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考点巩固卷 04 指对幂函数（六大考点）
考点01：指数基础运算及特殊运算
1、有理数指数幂的分类n个
⑴正整数指数幂an = ⏞ a⋅a⋅a⋅a⋅a⋯a(n∈N¿)
a0 =1(a≠0)
⑵零指数幂
1
a−n = (a≠0,n∈N¿)
⑶负整数指数幂 an
⑷0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.
2、有理数指数幂的性质
am ⋅an =am+n (a>0,m,n∈Q)
⑴
(am) n =a mn (a>0,m,n∈Q)
⑵
(ab) m =ambm (a>0,b>0,m∈Q)
⑶
m
⑷√n am =an(a>0,m,n∈Q)
3、根式的定义
xn =a x a n (n>1,n∈N¿),√ n a n
一般地，如果 ，那么 叫做 的 次根式，其中 叫做根式， 叫做根指数，
a叫做开方数.
n
√a
4、对于根式 ，要注意以下几点
n∈N n>1
⑴ 且 ；
√ n an =|a|= {a,a≥0
⑵当
n
为奇数时，√ n an =a ；当
n
为偶数时， −a,a<0；
⑶负数没有偶次方根；
0 0
⑷ 的任何次方根都是
5、多重根号问题，首先先写成指数形式
{√ √ 3 √ 7 7 √ 1 √ 1 {√ 1 1
√a⋅√a⋅√a= a⋅ a2 = a4 =a8 ， a2 ⋅ a2 ⋅√a= a2 ⋅√a1 =√a1 =a2
1 1 1 7 1 1 1 1
a2 ⋅a4 ⋅a8 =a8 a4 ⋅a8 ⋅a8 =a26、指数的逆运算过程
( 3 3 )− 3 1 = ( 27 )− 3 1 = [ ( 3 ) 3]− 3 1 = ( 3 ) −1 = 2
8 8 2 2 3
特殊运算：形如 ，求下列各种形式的值的思路．
（1） ；根据 计算即可；
（2） ；根据 计算即可；
（3） ．由于 ，进而根据
即可求解.
（4） ；根据 计算即可
（5） 根据 计算即可
（6） 根据 计算即可
1．下列各式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据指数幂的运算性质，准确计算，即可求解.
【详解】对于A，由指数幂的运算性质，可得 ，所以A错误；
对于B，由指数幂的运算性质，可得 ，所以B错误；对于C，由指数幂的运算性质，可得 ，所以C错误；
对于D，由指数幂的运算性质，可得
，所以D正确.
故选：D.
2．用分数指数幂的形式表示 的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据根式与分数指数幂的互化原则直接化简即可.
【详解】 ， .
故选；B.
3．化简 的结果为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用根式的运算性质即可得出答案.
【详解】 ， .
故选：D
4．计算 ，结果是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用指数幂的运算及根式的意义计算作答.【详解】 .
故选：B
5．函数 的导数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】把函数化为分数指数幂，根据导数公式可求出结果.
【详解】 ，则 .
故选：B
6．化简 的结果为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用平方差公式化简即可.
【详解】
=
=
==
=
=
=
故选：B
7．已知 ，则 的值是（ ）
A．15 B．12 C．16 D．25
【答案】A
【分析】利用分数指数幂的运算即可求出结果.
【详解】因为 ，
所以 ，
又由立方差公式， ，
故选：A．
8．化简 的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先分析 的取值范围，再进行根式化简.
【详解】由题意得， ，即 ，所以 .
故选：B
9．下列各式中成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据指数幂的运算性质可判断AC选项；根据根式与指数幂的互化可判断BD选项.
【详解】对于A选项， ，A选项错误；
对于B选项， ，B选项错误；
对于C选项， ，C选项错误；
对于D选项， ，D选项正确.
故选：D.
10．设 ， ， 为奇函数，则 的值为 ．
【答案】
【分析】先化简已知函数，再由函数为奇函数可得 ，由此式可解 的值．
【详解】要使 为奇函数，∵ ,∴需 ，
∴ ，
由 ,得 , ．
故答案为：1.考点02：对数基础运算
1、对数运算法则
(M)
log =log M−log N
①外和内乘：log (MN)=log M+log N②外差内除： a N a a
a a a
n
log bn = log b(m,n∈R)
③提公次方法： am m a ④特殊对数： log a 1=0
a log a b =b,log ab =b
⑤指中有对，没心没肺，真数为几，直接取几： a
2、对数的定义
一般地，如果 ax =N(a>0,a≠1) ，那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数，记 x=log a N ,其中 a 叫做对数的
N (N>0)
底数， 叫做对数的真数
3、换底公式
log b 1
log b= m log b=
①常用换底 a log a ②倒数原理 a log a
m b
lgb lgc lgc
log b⋅log c= × = =log c
③约分技巧 a b lga lgb lga a ④具体数字归一处理：lg2+lg5=1
11．下列等式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，结合指数幂与对数的运算法则及运算性质，逐项计算，即可求解.
【详解】对于A中，由 ，所以A正确；对于B中，由 ，所以B错误；
对于C中，由 ，所以C错误；
对于D中，由 ，所以D错误．
故选：A
12．若实数 ， ， 满足 且 ，则 （ ）
A． B．12 C． D．
【答案】D
【分析】根据指对数的互化可得 ， ，代入 ，即可计算得到 的值.
【详解】因为 且 ，易知 且 ，
所以 ， ，
所以 ， ，
所以 ，则 .
故选：D．
13．工厂废气排放前要过滤废气中的污染物再进行排放，废气中污染物含量 （单位：mg/L）与过滤时间
小时的关系为 （ ， 均为正的常数）．已知前5小时过滤掉了10%污染物，那么当污染物过
滤掉50%还需要经过（ ）（最终结果精确到1h，参考数据： ， ）
A．43h B．38h C．33h D．28h
【答案】D
【分析】先确定废气中初始污染物含量，由题意求出常数 ，即可解出．
【详解】∵废气中污染物含量 与过滤时间 小时的关系为 ，令 ，得废气中初始污染物含量为 ，
又∵前5小时过滤掉了10%污染物，
∴ ，则 ，
∴当污染物过滤掉50%时， ，
则 ，
∴当污染物过滤掉50%还需要经过 .
故选：D.
14．若 ， ，则 （ ）
A．1 B．－1 C．2 D．－2
【答案】A
【分析】本题考查指数式与对数式的互化、对数的运算法则、换底公式的应用.
【详解】由 ，
所以
故选：A
15．设 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用换底公式可得 ，结合对数运算性质分析求解.
【详解】根据换底公式有 ， ，
可得 ，整理得 .故C正确，检验可知其他选项均不符合.
故选：C.
16．已知定义在 上的奇函数 满足 ，当 时， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，探讨函数 的周期，再利用对数函数单调性及指对数运算计算即得.
【详解】在 上的奇函数 满足 ，则 ，
于是 ，即函数 的周期为4，
而 ，则 ， ，又当 时， ，
所以 .
故选：A
17．已知 ， ，用a，b表示 为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由 指对互化得 ，再把 利用换底公式计算可得答案.
【详解】因为 ，所以 ，
.
故选：C.
18． ．【答案】
【分析】根据给定条件，利用换底公式及对数运算性质计算即得.
【详解】
.
故答案为：
19．方程 的正实数解为 .
【答案】
【分析】运用对数的运算性质先证 ，可得原方程为 ， ，可得 ，
再由复合函数的单调性和指数函数、对数函数的单调性，即可得到方程的解．
【详解】先证 （ 且 ， 且 ， 且 ），
令 ， ，两边取 为底的对数，
可得 ， ，
所以 ，所以 ，即 ，
则 即为 ，
可得 ，
由于 在 上单调递增， ， 在 上单调递减，
所以 ， 在 上单调递减，
可得 在 上单调递减，又 时，即 时，有 ，
则原方程的解有且只有一个为 .
故答案为：
20．已知 ， ，则 ．
【答案】64
【分析】将 利用换底公式转化成 来表示即可求解.
【详解】由题 ，整理得 ，
或 ，又 ，
所以 ，故
故答案为：64.
考点03：指对数函数底数大小的比较
y=ax,y=bx,y=cx,y=dx
形如：
图象如下：x=1
先画一条 的直线，明确交点，由下至上底数越来越大.
形如： 确定 大小关系
⇒
x =c,x =d,x =a,x =b
其中 1 2 3 4 ，
y=1 c1 00时，y>1；当x<0时，01；当x>0时，01和01 01时，y>0；当01时，y<0；当00
⑤在(0，＋∞)上是增函数 ⑤在(0，＋∞)上是减函数
27．函数 的图象过定点 ，且定点 的坐标满足方程 ，其中 ， ，则 的最小值为（ ）
A． B．9 C． D．8
【答案】B
【分析】
根据指数函数的性质求出定点 的坐标，即可得到 ，再由乘“1”法及基本不等式计算可得.
【详解】对于函数 ，令 ，即 时 ，
所以函数 的图象恒过定点 ，
又定点 的坐标满足方程 ，所以 ，即 ，
又 ， ，所以 ，
当且仅当 ，即 ， 时取等号，
的最小值为 ．
故选：B．
28．已知函数 的图象恒过定点P，则P点的坐标为（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
由指数型函数所过的定点求解即可.
【详解】令 ，解得 ，则 ，即过定点 .
故选：B
29．函数 ，且 恒过定点（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据 ，且 求出 的值，代入 求出对应的函数值即可得出函数恒过定点的坐标.
【详解】由已知得 ，
由此可知函数 恒过定点 ，
故选：B .
30．函数 且 的图象恒过定点 ，则 为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】令 上的指数为0即可得到答案.
【详解】对于函数 ，令 ，可得 ，则 ，
所以，函数 且 的图象恒过定点坐标为 ．
故选：A
31．已知函数 且 的图象恒过定点 ，且 点在直线 上，
则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】函数 的图象恒过定点 ，进而可得 ，结合基本不等式和指数的运
算性质进而得到答案．【详解】当 时， ，
故函数 的图象恒过定点 ，
由点 在直线 上，则 ,
故 ，
当且仅当 等号成立,故 的最小值是 .
故选：B
32．函数 的图象恒过定点 ，且点 的坐标满足方程 ，其中 ，
，则 的最小值为（ ）
A．7 B．6 C． D．
【答案】C
【分析】先利用必过定点确定 的坐标，后利用基本不等式‘1’的代换处理即可.
【详解】在 中，当 时， ，故 ，
将 代入直线方程中，化简得 ，
故 ，
当且仅当‘ ’时取等，即 的最小值为 .
故选：C
33．当 且 时，函数 恒过定点（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由指数函数的性质即可求解.
【详解】当 时， ，与 无关，则函数 恒过定点 ．
故选：B.
34．已知函数 图象恒过的定点在双曲线 的一条渐近线上，双
曲线离心率为e，则 等于（ ）．
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】先利用对数函数的性质，求得函数 的图象恒过定点 ，代入双曲线的渐近线方程，求得
，结合离心率的定义，即可求解.
【详解】由函数 ，
令 ，可得 ，且 ，所以函数 的图象恒过定点 ，
又由双曲线 的一条渐近线方程为 ，
将点 代入渐近线方程，可得 ，解得 ，
所以双曲线的离心率为 ，所以 .
故选：C.
35．若函数 ，且 的图象所过定点恰好在椭圆 上，则
的最小值为（ ）
A．6 B．12 C．16 D．18
【答案】C
【分析】根据对数函数性质求出定点，根据定点在椭圆上，将定点代入椭圆方程，得到m与n的等量关系，
再利用基本不等式即可求解.
【详解】由题意得，函数 ，且 的图象所过定点为 ，则 ，所以 ，
当且仅当 ，即 时等号成立.
故选：C.
36．函数 （ 且 ）的图象所过的定点为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用对数函数的性质即可得解.
【详解】因为函数 （ 且 ），
令 ，解得 ，则 ，
所以 的图象所过的定点为 .
故选：A.
考点05：涉及指对数分段函数判断参数的取值范围
{f (x),x≤m
G(x)=
形如： g(x),x>m
G(x) f (x) g(x) g(m)≥f (m)
①如果 为单调递增函数，满足： 为递增函数， 为递增函数， .
G(x) f (x) g(x) g(m)≤f (m)
②如果 为单调递减函数，满足： 为递减函数， 为递减函数， .
G(x) f (x) g(x) g(m)≤f (m)
③如果 由最大值，满足： 为递增函数， 为递减函数， .
G(x) f (x) g(x) g(m)≥f (m)
④如果 由最小值，满足： 为递减函数， 为递增函数， .
{f (x),x≤m
G(x)=
形如： g(x),x>mG(x) f (x) g(x) g(m)≥f (m)
①如果 为单调递增函数，满足： 为递增函数， 为递增函数， .
G(x) f (x) g(x) g(m)≤f (m)
②如果 为单调递减函数，满足： 为递减函数， 为递减函数， .
G(x) f (x) g(x) g(m)≤f (m)
③如果 由最大值，满足： 为递增函数， 为递减函数， .
G(x) f (x) g(x) g(m)≥f (m)
④如果 由最小值，满足： 为递减函数， 为递增函数， .
37．已知 在 上满足 ，则 的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
解：第一步：因为 在 上满足 ，即函数 在 上单调递增，
第二步：所以 恒成立，即 且 恒成立，即 的取值范围为 ，故
选D.
38．函数 在 上单调递减，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
解：第一步：函数 在 上单调递减，
第二步：需 ，解得 .故选:B.39．若函数 的值域为 ，则 的取值范围为（ ）
A． ， B． ， C． ， D． ， ，
解：第一步：①若 时，则当 时， 单调递增，
当 时， 在 上单调递增，
在 ， 上单调递减，
若函数值域为 则需 ，解得 ；
第二步：②若 时，则当 时， 单调递减，
当 时， 在 上单调递增，在 ， 上单调递减，不满足
函数值域为 ，不符合题意，舍去，
综上： 的取值范围为 ， ，
故选：
40．已知函数 在 上单调,则 的取值范围为( )
A． B． C． D．
解： 又 当 时, 是单调递减函数
在 上是单调递减函数根据分段函数的在定义域单调递减,即要保证每段函数上单调递减,也要保
证在分界点上单调递减可得:第二步： 解得: .故选:A.
41．已知函数 的值域为 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
解：由题,当 时, ,则 ,
因为 的值域为 ,则当 时, 需满足 ,即 ,且 ，当
时, ,舍去；
当 时,设 ,则对称轴为 ,则 ,即 ；
当 时, 有最大值,故舍去综上, 故选：B
42、设函数 有最大值，则实数 的取值范围为（ ）
a
A． B． C． D．
解：因为 在 上单调递增，所以 ，
因为 在 上单调递减，所以 ，
因为函数 有最大值，
所以 ，解得 ，所以实数a的取值范围为 ，故选：D
43．函数 （ 且 ）在R上单调递减，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
解：因为函数 （ 且 ）在R上单调递减，
所以 ，解得 ，即实数 的取值范围是 .故选：D.
44．如果函数 ，满足对任意 ，都有 成立，那么 的
a
取值范围是（ ）
A． B． C． D．
解：因为对任意 都有 成立，
所以 单调递增，
，解得 故选：C
考点06：指对数大小比较问题
指对数大小比较问题已经成为高考的重难点问题，我们这里介绍五大核心思想.
核心思想一：同步《升⇔降》次法
log b=log bn
a am
log 3=log 32 =log 33 =log 34 =log 3−1
形如： 2 22 23 24 2−12,3
注意：一般情况下以 为底的对数比较大小，底数真数次方一起同升同降.
2,3
口诀： 为底眼睛亮，底真次方同升降.
核心思想二：先分离常数再比大小
当底数与真数出现倍数关系，必须先将对数分离常数后作比较.
log (pm)=log p+log m=log p+1
① m m m m
log (pmn)=log p+log mn =log p+n
② m m m m
口诀：底真出现倍数时，分离常数用起来
核心思想三：利用糖水变甜不等式比较大小
当对数比较大小形式中出现底数与真数成等差数列时，可以采用糖水不等式放缩处理.
b+m b a+m a
> <
形如：a>b>0,m>0则存在a+m a ，或b+m b
45．设 ， ， ，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，利用指数函数与对数函数的单调性，求得 的取值范围，即求解.
【详解】由对数函数的性质，可得 ，
所以 .
故选：A.
46．已知 ， ， ，则 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用对数函数的单调性求得 的范围，根据指数函数的单调性得 的范围，即可比较大小.
【详解】因为 在 上单调递减，所以 ，即 ，因为 在 上单调递增，所以 ，即 ，
因为 在 上单调递增，所以 ，即 ，
综上， .
故选：
47．已知 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用指数函数单调性得到 ，利用指对运算和指数函数单调性得到 ，利用对数函数单
调性得到 ，则比较出大小.
【详解】因为 ，且 ，则 ，
，
所以 ，
故选：A.
48．若 ，则 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用指数函数和对数函数的单调性分析判断即可.
【详解】因为 在 上递增，且 ，
所以 ，
所以 ，即 ，
因为 在 上递增，且 ，
所以 ，即 ，
所以 ，
故选：B49．三个数 的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据指数函数、对数函数的性质判断即可.
【详解】因为 在定义域 上单调递增，所以 ，
又 ，
所以 .
故选：A
50．设 ，则 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据对数运算性质及对数函数单调性比较大小即可.
【详解】因为函数 在 上单调递增，
故 ，
又 ，
所以 .
故选：A
51．已知正数 ， ， 满足 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】化 为 ，作差法并构造函数 ，求导利用导数求出函数最值，比较大小，再利用作差法比较 大小，即可比较 的大小.
【详解】由 得 ，即 ，所以 ，
令 ， ，
当 时， ， 在 单调递增，
所以 ，所以 ，
则有 ，所以 ；
由 得 ，即 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，即 ，故 ．
故选：A.
52．若 ，则下列大小关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，利用对数函数的单调性，以及正弦函数的性质，分别求得 的取值范围，即可求
解.
【详解】由对数函数单调性，可得 ，所以 ；
因为 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，即 ，所以 .
故选：B.
53．已知 ， ， ，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．【答案】D
【分析】结合指数函数、对数函数特征判断每个数的大致范围，再作比较即可.
【详解】 ，
，
，
显然 ，
故选：D
54．若 ， ， ， 则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据指数函数和对数函数的单调性判断即可.
【详解】因为 ， ，
，
所以 .
故选：A．
