文档内容
专题20.2 勾股定理的逆定理及其应用
（知识荟萃+6个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共43题）
【解析版】
知识荟萃
1
知识点梳理01：互逆命题与互逆定理...................................................1
知识点梳理02：勾股定理的逆定理.....................................................2
知识点梳理03：勾股数...............................................................3
题型讲练...............................................................................3
题型1：判断三边能否构成直角三角形..................................................3
题型2：图形上与已知两点构成直角三角形的点..........................................4
题型3：在网格中判断直角三角形......................................................7
题型4：利用勾股定理的逆定理求解....................................................9
题型5：勾股定理逆定理的实际应用...................................................12
题型6：勾股定理逆定理的拓展问题...................................................15
中考真题..............................................................................18
分层训练..............................................................................23
基础夯实..........................................................................23
培优拔高..........................................................................28
知识点梳理01：互逆命题与互逆定理
互逆命题：如果两个命题题设、结论正好相反.那么这两个命题叫做互逆命题.
如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题.
互逆定理： 一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，
称这两个定理互为逆定理.
1、对互逆命题的理解：
①“题设、结论正好相反”是指位置相反，即第一个命题的题设是第二个命题的结论，第二个命题的题设是第一个命题的结论，而不是指它们的意义相反；
②每个命题都有逆命题，只有将原命题的题设改写成结论，并将结论改成题设，就可以得到原命题的
逆命题，但原命题是否为真命题与逆命题是否为真命题没有关系.
③写某个命题的逆命题时要先认真分析命题结构，分清命题的条件和结论，再改写成“如果……那
么……”的形式.
1、每个命题都有逆命题，但并不是每个定理都有逆定理，只有当一个定理的逆命题为真命题时，它
才有逆定理，也就是说定理一定有逆命题，但不一定有逆定理.
知识点梳理02：勾股定理的逆定理
勾股定理的逆定理： 如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.
我们把这个定理叫做勾股定理的逆定理.
1、用勾股定理判定直角三角形的步骤：
①找：找出三角形三边中的最长边；
②算：计算其他两边的平方和与最长边的平方；
③判：若两者相等，则这个三角形是直角三角形，否则不是.
【易错点拨】
（1）a2+b2=c2只是一种表达形式，只要有两边的平方和等于第三边的平方的三角形都
是直角三角形，其中最长边即为斜边.
（2）这种判定方法不是判定直角三角形的唯一方法，也可以用定义或其他方法来证
明.
勾股定理与勾股定理的逆定理的区别与联系：
勾股定理 勾股定理的逆定理
条 件 在Rt△ABC中，∠C=90° 在△ABC中，a2 + b2 = c2
结 论 a2 + b2 = c2 ∠C=90°
勾股定理是一个直角三角形为条 勾股定理的逆定理的是以一个三
件进而得到三边满足的数量关系 角形的三边满足a2+b2=c2为条件
区 别 a2+b2=c2，是由“形”到“数”. 进而得到这个三角形是直角三角
形,即由“数”到“形”.
联 系 两者都与三角形的三边有关系.知识点梳理03：勾股数
勾股数：满足a2+b2＝c2 的三个正整数，称为勾股数．
1、三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a2+b2＝c2，但是它们不是正整数，所以它们不是够
勾股数．
2、一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数．
3、记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；…
4、判断一组数是否为勾股数的一般步骤：
①确定是否为三个正整数 a，b，c;
②确定最大数c；
③计算较小两数的平方和是否等于c2;
④若相等，则这三个数是一组勾股数，否则不是一组勾股数.
题型1：判断三边能否构成直角三角形
【典例精讲】（24-25八年级下·陕西商洛·期末）在△ABC中，AC=❑√5，BC=2❑√3，AB=❑√17，求
∠ACB的度数．
【答案】90°
【思路点拨】本题考查了勾股定理的逆定理，掌握知识点是解题的关键．
通过计算可得AC2+BC2=AB2，进而由勾股定理的逆定理得到△ABC为直角三角形，据此即可求．
【规范解答】解：∵AC=❑√5，BC=2❑√3，AB=❑√17，
∴AC2+BC2=(❑√5) 2+(2❑√3) 2=17,AB2=(❑√17) 2=17，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC为直角三角形，且∠ACB=90°．
【变式训练1】（24-25八年级下·云南红河·期末）下列各组线段中，不能构成直角三角形的一组是（
）
A．3，4，5 B．3，5，7 C．6，8，10 D．5，12，13
【答案】B
【思路点拨】本题主要考查勾股定理逆定理，熟练掌握勾股定理逆定理是解题的关键；根据勾股定理逆定
理，若三角形三边满足a2+b2=c2（c为最长边），则该三角形为直角三角形，分别计算各组线段是否满足此条件即可．
【规范解答】解：对于选项A：∵32+42=25=52，∴能构成直角三角形；
对于选项B：∵32+52=34≠72，∴不能构成直角三角形；
对于选项C：∵62+82=100=102，∴能构成直角三角形；
对于选项D：∵52+122=169=132，∴能构成直角三角形；
故选：B．
【变式训练2】（24-25八年级下·甘肃定西·期中）已知三角形边长为a，b，c，如果
(a−5) 2+|b−12)+❑√c−13=0，试判断三角形的形状．
【答案】该三角形是直角三角形
【思路点拨】此题主要考查了勾股定理逆定理，以及非负数的性质．根据非负数的性质可得a−5=0，
b−12=0，c−13=0，再解出a、b、c的值，利用勾股定理逆定理可得该三角形是直角三角形．
【规范解答】解：该三角形是直角三角形．理由如下：
∵(a−5) 2+|b−12)+❑√c−13=0，
∴a−5=0，b−12=0，c−13=0．
解得a=5，b=12，c=13．
∵a2+b2=169,c2=169，
∴a2+b2=c2，
∴该三角形是直角三角形．
题型2：图形上与已知两点构成直角三角形的点
【典例精讲】（23-24八年级下·广西玉林·期末）如图，在4×4方格中作以AB为一边的Rt△ABC，要
求点C也在格点上，这样的Rt△ABC能作出（ ）
A．2个 B．4个 C．6个 D．7个
【答案】C
【思路点拨】此题主要考查了勾股定理逆定理，正确进行讨论，把每种情况考虑全，是解决本题的关键，当AB是斜边时有四个Rt△ABC，当AB是直角边时有2个Rt△ABC．
【规范解答】解：当AB是斜边时，则第三个顶点所在的位置有：C、D、E、H四个；
当AB是直角边，A是直角顶点时，第三个顶点是F点；
当AB是直角边，B是直角顶点时，第三个顶点是G．
因而共有6个满足条件的顶点．
故选C．
【变式训练1】（23-24八年级下·广东中山·期中）如图，在△ABC中，AB边上的垂直平分线DE与AB、
AC分别交于点D、E，且CB2=AE2−CE2
(1)求证：∠C=90°；
(2)若AC=15，BC=9，求CE的长．
【答案】(1)证明见解析
24
(2)CE=
5
【思路点拨】本题考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理的逆定理，勾股定理，根据定理以及线段垂直
平分线的性质解题即可．
（1）连接BE，根据线段垂直平分线的性质和勾股定理的逆定理即可求证；
（2）设CE=x，在（1）的结论上，利用勾股定理列出方程计算即可求解．
【规范解答】（1）证明：连接BE，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE=BE，
∵CB2=AE2−CE2，
∴CB2=BE2−CE2，即CE2+CB2=BE2，∴△BCE是直角三角形，
∴∠C=90°；
（2）∵AC=AE+EC=15，AE=BE，
∴CE+BE=15，
设CE=x，则BE=15−x，
∵CE2+CB2=BE2，BC=9，
∴92+x2=(15−x) 2，
24
解得x= ，
5
24
∴CE=
5
【变式训练2】（22-23八年级下·浙江台州·期中）在如图所示的5×5的方格图中，点A和点B均为图中
格点．点C也在格点上，满足△ABC为以AB为斜边的直角三角形．这样的点C有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【思路点拨】结合网格的性质和直角三角形的判定找到对应点即可．
【规范解答】解：如图，满足条件的点C共有4个，
故选D．题型3：在网格中判断直角三角形
【典例精讲】（24-25八年级下·云南普洱·期末）如图，在8×8的网格中，每个小正方形的边长都为
1，四边形ABCD的顶点都在格点（网格线的交点）上．
(1)求线段BC和CD的长．
(2)∠BAD是直角吗？请说明理由．
【答案】(1)BC=2❑√10，CD=❑√29
(2)∠BAD是直角，理由见解析
【思路点拨】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理，以及勾股定理的逆定理是解
题的关键．
（1）根据勾股定理解答即可；
（2）根据勾股定理逆定理即可．
【规范解答】（1）解：根据题意得：BC=❑√22+62=2❑√10，
CD=❑√22+52=❑√29；
（2）解：∠BAD是直角，理由如下：
如图，连接BD，根据题意得：AB2=22+42=20,AD2=22+12=5,BD2=32+42=25，
∴AB2+AD2=BD2，
∴△ABD为直角三角形，且∠BAD=90°，
即∠BAD是直角．
【变式训练1】（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期末）如图，在3×3正方形的网格中，每个小正方形
的边长都为1，△ABC的顶点都在网格线的交点上，下列说法错误的是（ ）
A．AC=❑√10 B．∠B=90°
2
C．只有两条边长为无理数 D．AC边上的高为 ❑√10
5
【答案】C
【思路点拨】本题考查了勾股定理及其逆定理，三角形面积公式．
根据勾股定理可判断A、C，进而根据勾股定理逆定理可判断B，最后根据三角形面积公式判断D即可．
【规范解答】解：AC=❑√12+32=❑√10，A说法正确；
AB=❑√12+12=❑√2，BC=❑√22+22=2❑√2，则三边长均为无理数，C说法错误；
则AB2+BC2=(❑√2) 2+(2❑√2) 2=AC2，即∠B=90°，B说法正确；
1 1 2❑√10
设AC边上的高为h，则 ×❑√2×2❑√2= ×❑√10×h，解得h= ，D说法正确；
2 2 5
故选：C．
【变式训练2】（23-24八年级下·北京密云·期末）如图，网格中每个小正方形的边长都是1，A, B, C
三点都是格点（水平线和垂直线的交点）．(1)判断△ABC的形状，并证明；
(2)若A, B, C是某个平行四边形的三个顶点，在网格中画出所有符合题意的平行四边形．
【答案】(1)△ABC是直角三角形，证明见解析
(2)见解析
【思路点拨】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，平行四边形的判定，
对于（1），根据勾股定理求出AB2，AC2，BC2，再根据勾股定理的逆定理判断即可；
对于（2），以AC,BC为边，过点A，B作BC,AC的平行线，两直线交于点D ，四边形ACBD 是平行
1 1
四边形；再以AC为对角线，作AB=CD ，AB∥CD ，四边形ABCD 是平行四边形；然后以BC为对
2 2 2
角线，作AB=CD ，AB∥CD ，四边形ABD C是平行四边形.
3 3 3
【规范解答】（1）解：△ABC是直角三角形．
证明：由已知，AC2=22+42=20, BC2=22+12=5, AB2=52=25．
∴AB2=AC2+BC2，
∴△ABC是直角三角形；
（2）解：
题型4：利用勾股定理的逆定理求解
【典例精讲】（23-24八年级下·广东揭阳·期末）如图，一张三角形纸片ABC，已知，AB=10，
AC=8，BC=6，将该纸片折叠，若折叠后点A与点B重合，折痕DE与边AC交于点D，与边AB交于点
E．(1)求△ABC的面积．
(2)求折痕DE的长．
【答案】(1)24
15
(2)
4
【思路点拨】本题考查的是勾股定理以及勾股定理逆定理，勾股定理与折叠问题，熟知折叠的性质是解答
此题的关键．
（1）先根据勾股定理逆定理，判断△ABC为直角三角形，然后根据三角形的面积公式解答即可；
（2）连接BD，根据折叠的性质可知，AD=BD，AE=BE，设CD=x，则AD=BD=8−x，在
Rt△BCD中利用勾股定理即可求出BD的长，同理，在Rt△BDE中利用勾股定理即可求出DE的长．
【规范解答】（1）解：∵AC=8,BC=6,AB=10，AC2=64,BC2=36,AB2=100，
∴AB2=AC2+BC2，
∴∠ACB=90°，
1 1
∴S = AC·BC= ×8×6=24；
△ABC 2 2
（2）解：连接BD，设CD=x，
∵折叠后点A与点B重合，折痕DE与边AC交于点D，与边AB交于点E．
∴△ADE≌△BDE，DE⊥AB，
1
∴AE=BE= AB=5,AD=BD，
2
设CD=x，则AD=BD=8−x，
在Rt△BCD中，BD2=CD2+BC2，即(8−x) 2=x2+36，
7
解得，DC= ，
4
7 25
∴AD=BD=8− = ，
4 4
∵DE⊥AB，
∴DE=❑√BD2−BE2=❑
√ (25) 2
−52=
15
．
4 4
【变式训练1】（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在△ABC中，AB=13，AC=15，D为边BC
上的一点，AD=12，BD=5．
(1)求证：AD⊥BC；
(2)求△ABC的面积．
【答案】(1)见解析
(2)84
【思路点拨】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理，勾股定理的逆定理是解题的
关键．
（1）根据AB=13，AD=12，BD=5，得AD2+BD2=52+122=132=AB2，证明AD⊥BC；
（2）根据勾股定理，得DC=❑√AC2−AD2=9，求得BC=BD+DC=14，计算△ABC的面积即可．
【规范解答】（1）解：∵AB=13，AD=12，BD=5，
∴AD2+BD2=52+122=132=AB2，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC.
（2）解：∵AC=15， AD=12，∠ADB=∠ADC=90°，
∴DC=❑√AC2−AD2=9，∴BC=BD+DC=14，
1 1
∴△ABC的面积为： BC⋅AD= ×14×12=84．
2 2
【变式训练2】（23-24八年级下·江苏常州·期中）如图，∠ABD中，
AB=8,AD=17,BC=9,CD=12，求△BCD的面积．
【答案】54
【思路点拨】此题考查了勾股定理逆定理，勾股定理，三角形面积，熟练掌握勾股定理逆定理是解题的关
键．先根据勾股定理求出BD=15，再根据勾股定理逆定理推出△BCD是直角三角形，∠C=90°，最后
根据三角形面积公式求解即可．
【规范解答】解：由题意得∠ABD=90°，
∵AB=8,AD=17，
∴BD2=AD2−AB2=172−82=225，
∴BD=15（负值舍去），
∵BC=9,CD=12，
∴BC2+CD2=81+144=225=BD2，
∴△BCD是直角三角形，且∠C=90°，
1 1
∴△BCD的面积= CD·BC= ×12×9=54．
2 2
题型5：勾股定理逆定理的实际应用
【典例精讲】（23-24八年级下·河南洛阳·月考）2022年是第七届全国文明城市创建周期的第二年，某
小区在创城工作过程中，在临街的拐角清理出了一块可以绿化的空地．如图，已知AB=3m，BC=4m，
CD=13m，AD=12m，∠ABC=90°．(1)求AC的长度；
(2)若平均每平方米空地的绿化费用为50元，试计算绿化这片空地共需花费多少元？
【答案】(1)AC的长度为5m
(2)共需花费1800元
【思路点拨】本题主要考查勾股定理及其逆定理的实际运用，掌握以上知识是解题的关键．
（1）根据题意可知，在Rt△ABC中，根据勾股定理即可求解；
（2）运用勾股定理的逆定理判定△ACD是直角三角形，由此即可求解绿化空地的面积，由此即可求解．
【规范解答】（1）解：∵∠ABC=90°，AB=3m，BC=4m，
∴在Rt△ABC中，AC=❑√AB2+BC2=❑√32+42=5(m)，
∴AC的长度为5m．
（2）解：已知AC=5m，CD=13m，AD=12m，
∴AC2=25，AD2=122=144，CD2=132=169，
∴AC2+AD2=CD2，即25+144=169，
∴△ACD是直角三角形，
1 1 1 1
∴S = AC×AD= ×5×12=30(m2)，S = AB×BC= ×3×4=6(m2)，
△ACD 2 2 △ABC 2 2
∴空地的绿化的面积为30+6=36(m2)，
∵平均每平方米空地的绿化费用为50元，
∴绿化这片空地共需花费36×50=1800（元），
∴共需花费1800元．
【变式训练1】（23-24八年级下·新疆乌鲁木齐·期中）如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地
（图中的四边形ABCD），经测量，在四边形ABCD中，AB=3m，BC=4m，CD=12m，DA=13m，
∠B=90°．(1)△ACD是直角三角形吗？为什么？
(2)小区为美化环境，想要在空地上铺草坪，已知草坪每平方米50元，试问铺满这块空地共需花费多少元？
【答案】(1)△ACD是直角三角形，见解析
(2)1800元
【思路点拨】(1) 根据勾股定理计算AC，根据勾股定理的逆定理判定△ACD是直角三角形，解答即可．
(3) 根据三角形面积公式，确定四边形的面积，后面积乘以单价计算即可．
本题考查了勾股定理及其逆定理，熟练掌握定理是解题的关键．
【规范解答】（1）解：△ACD是直角三角形，理由如下：
如图，连接AC，
∵∠B=90°，AB=3m，BC=4m，
∴AC=❑√AB2+BC2=❑√32+42=5(m)，
∵AC=5m，CD=12m，DA=13m，
且AC2+CD2=122+52=132=AD2，
∴∠ACD=90°，
故△ACD是直角三角形．
1 1
（2）解：根据题意，得四边形ABCD面积为： BC⋅AB+ AC⋅CD
2 2
1 1
= ×3×4+ ×12×5=36(m2)．
2 2
根据题意，得36×50=1800（元）．【变式训练2】（23-24八年级下·贵州遵义·月考）为了绿化环境，我区某中学有一块空地四边形
ABCD，如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量，∠ADC=90°，CD=3米，AD=4米，
AB=13米，BC=12米．
(1)求出空地ABCD的面积；
(2)若每种植1平方米草皮需要400元，问总共需投入多少元？
【答案】(1)24m2
(2)9600元
【思路点拨】本题考查了勾股定理及其逆定理，根据勾股定理的逆定理判定直角三角形是解题的关键；
（1）连接AC，利用勾股定理求得AC，再根据勾股定理的逆定理判断出∠ACB=90°，由
S =S −S 求解即可；
四边形ABCD △ACB △ACD
（2）由总面积×每平米的费用求解即可．
【规范解答】（1）解：连接AC，
在Rt△ACD中，
AC=❑√AD2+CD2=5(m)，
∵AC2+BC2=52+122=169,AB2=132=169，
∴AC2+BC2=AB2，
∴∠ACB=90°，
1 1 1 1
∴S =S −S = AC⋅BC− AD⋅CD= ×5×12− ×3×4=24(m2)，
四边形ABCD △ACB △ACD 2 2 2 2
答：空地ABCD的面积为24m2．
（2）解：总共需投入24×400=9600（元），
答：总共需投入9600元．题型6：勾股定理逆定理的拓展问题
1 1 2
【典例精讲】（24-25八年级下·湖南湘西·月考）在△ABC中， + = ，则∠C（ ）
a b c
A．一定是锐角 B．一定是直角 C．一定是钝角 D．都有可能
【答案】A
1 1 2
【思路点拨】本题主要考查了三角形边角关系，由已知条件入手，把 + = 进行变形，变形为
a b c
c(a+b)=2ab，再利用三角形边角关系得a+b>c,把其代入可得关系式2ab>c2，再利用完全平方公式得
a2+b2≥2ab，可得a2+b2>c2，可得∠C一定是锐角．
1 1 2
【规范解答】解：∵ + = ，
a b c
a+b 2
∴ = ，
ab c
∴c(a+b)=2ab，
∵a,b,c是三角形的三边，
∴a+b>c，
∴2ab>c2，
∵(a−b) 2≥0，
∴a2+b2−2ab≥0，
即a2+b2≥2ab，
∴a2+b2>c2，
∴∠C一定是锐角．
故选：A．
【变式训练1】（23-24八年级下·湖南长沙·期中）定义：a，b，c为正整数，若c2=a2+b2，则称c为
“完美勾股数”，a，b为c的“伴侣勾股数”． 如132=52+122，则13是“完美勾股数”，5，12是13
的“伴侣勾股数”．
(1)数10________“完美勾股数”（填“是”或“不是”）；
(2)已知△ABC的三边a，b，c满足a2+b2+c2−6a−8b−10c+50=0． 求证：c是“完美勾股数”．
(3)已知m，n>0且m>n，c=2m2+2mn+2n2，a=m2+4mn+n2，b=❑√3(m+n)，c为“完美勾股数”，
a，b为c的“伴侣勾股数”． 多项式x3−3x2+p有一个因式x−m+n，求该多项式的另一个因式．
【答案】(1)是
(2)见解析(3)x2−2x−2
【思路点拨】本题考查了勾股数和新定义的综合应用．
（1）根据完美勾股数的定义可得答案；
（3）利用完全平方公式证明即可；
（3）由勾股定理可得m，n的关系式，将m，n的关系式代入x−m+n，根据多项式x3−3x2+p有一个因
式x−m+n，求解即可．
【规范解答】（1）解：∵102=62+82，
∴数10是“完美勾股数”，
故答案为：是；
（2）证明：(a2−6a+9)+(b2−8a+16)+(c2−10c+25)=0
∴(a−3) 2+(b−4) 2+(c−5) 2=0
∵(a−3) 2≥0;(b−4) 2≥0;(c−5) 2≥0.
∴a=3,b=4,c=5，
∴c2=a2+b2，
∴c是“完美勾股数”；
（3）解：由题意得：c2=a2+b2，
∴(2m2+2mn+2n2) 2 =(m2+4mn+n2) 2 +3(m+n) 2，
∴(2m2+2mn+2n2) 2 −(m2+4mn+n2) 2 =3(m+n) 2，
∴(3m2+6mn+3n2)(m2−2mn+n2)=3(m+n) 2，
∴(m+n) 2 (m−n) 2=(m+n) 2，
∴(m+n) 2[(m−n) 2−1)=0，
又∵m,n>0;m>n，
∴(m−n) 2−1=0，即m−n=1，
∴m=n+1，
∴x3−3x2+p有一个因式为x−m+n=x−1，∴x3−3x2+P=(x−1)(x2−2x−2)，
∴另一个因式为x2−2x−2．
【变式训练2】（24-25八年级下·江苏无锡·期中）课间，小明拿着王老师的等腰直角三角板玩，三角板
不小心掉到墙缝中．我们知道两堵墙都是与地面垂直的，如图．王老师没有批评他，但要求他完成如下两
个问题：
（1）试说明△ADC≌△CEB；
（2）从三角板的刻度知AC＝25cm，算算一块砖的厚度．（每块砖的厚度均相等）小明先将问题所给条件
做了如下整理：如图，△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，AD⊥DE于D，BE⊥DE于E．请你帮他完成上述
问题．
【答案】（1）证明见解析；（2）5cm
【思路点拨】（1）根据题意可得AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，进而得到∠ADC＝∠CEB＝
90°，再根据等角的余角相等可得∠BCE＝∠DAC，再证明△ADC≌△CEB即可．
（2）利用（1）中全等三角形的性质进行解答．
【规范解答】证明：（1）如图：
∵AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC＝∠BEC＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠2+∠3＝180°﹣90°＝90°，∵∠ADC＝∠BEC＝90°，
∴∠1＝∠3，
由∠ADC＝∠BEC＝90°，∠1＝∠3，CA＝CB，
∴△ADC≌△CEB；
（2）设每块砖厚度为xcm，由①得，DC＝BE＝3xcm，AD＝4xcm，
∵∠ADC＝90°，
∴AD2+CD2＝AC2，
即（4x）2+（3x）2＝252，解得x＝5，（x=﹣5舍去），
∴每块砖厚度为5cm．
1．（2024·河北沧州·中考真题）在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，D为AC中点，则BD的长为
（ ）
A．1.5 B．2 C．2.5 D．❑√13
【答案】D
【思路点拨】本题考查的是勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，熟记勾股定理与勾股定理的逆定理是解
本题的关键．
先证明∠A=90°，再利用勾股定理可得BD=❑√AD2+AB2=❑√4+9=❑√13，从而可得答案．
【规范解答】解：如图：
∵AB=3，AC=4，BC=5，
∴AB2+AC2=32+42=25，BC2=52=25，
∴AB2+AC2=BC2
∴∠A=90°，
∵点D是AC的中点，
∴AD=CD=2，
∴BD=❑√AD2+AB2=❑√4+9=❑√13，故选：D．
2．（2024·江西鹰潭·中考真题）若△ABC的三条边a，b，c满足(a−b)(a2−b2−c2)=0，则△ABC的
形状是（ ）
A．直角三角形 B．等腰直角三角形
C．等边三角形 D．等腰三角形或直角三角形
【答案】D
【思路点拨】本题考查了等腰三角形的判定与勾股定理的逆定理，掌握以上定理是解题的关键．
根据因式分解，利用等腰三角形的判定与勾股定理的逆定理即可求解．
【规范解答】解：由(a−b)(a2−b2−c2)=0得，
当a−b=0时，a=b，此时△ABC的形状是等腰三角形；
当a2−b2−c2=0时，a2=b2+c2，此时△ABC的形状是直角三角形；
∴△ABC的形状是等腰三角形或直角三角形，
故选：D．
3．（2024·上海·中考真题）如图，在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点（不
与端点重合），PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为E、F，M为EF的中点，设AM的长为x，则x的取值
范围是 ．
12
【答案】 ≤x<4
5
【思路点拨】根据勾股定理的逆定理求出△ABC是直角三角形，得出四边形AEPF是矩形，求出
1 1 12
AM= EF= AP，求出 ≤x<4，即可得出答案．
2 2 5
【规范解答】解：如图所示，连接AP．∵AB=6，AC=8，BC=10，
∴AB2+AC2=25+144=169=BC2，
∴AB2+AC2=BC2，
∴∠BAC=90°，
∵PE⊥AB，PF⊥AC，
∴∠AEP=∠AFP=∠BAC=90°，
∴四边形AEPF是矩形，
∴AP=EF，
∵∠BAC=90°，M为EF中点，
1 1
∴AM= EF= AP，
2 2
∵当AP⊥BC时，AP值最小，
1 1
∴此时S = ×6×8= ×10×AP，
△BAC 2 2
24
∴AP = ，
最小 5
24 12
∴2AM≥ ，即AM≥
5 5
当P和C重合时，AP=8，
∵P和B、C不重合，
∴AP<8，即AM<4
12 12
∴ ≤AM<4，即 ≤x<4
5 5
12
故答案为： ≤x<4．
5
4．（2024·全国·中考真题）如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对
角线，AG∥DB，交CB的延长线于G，连接GF，AD⊥BD．下列结论：①DE∥BF；②四边形BEDF
是菱形；③S =4S ；④若AB=6，AD=4，那么FG=❑√55．其中所有正确结论的序号是
平行四边形ABCD △BFC
．【答案】①②③
【思路点拨】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，勾股定理的逆定理，三角形中线的性质，直角三
角形的性质，菱形的判定与性质，先由平行四边形的性质得到AB=CD，AB∥CD，AD∥BC，
AD=BC，再由线段中点的定义推出DF=BE，则可证明四边形BEDF是平行四边形，据此可判断①；由
1
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到DE=BE= AB，据此可判断②；由三角形中线平分三角形
2
1 1
面积得到S = S = S ，据此可判断③；证明四边形AGBD是平行四边形，得到
△BCF 2 △BCD 4 平行四边形ABCD
1 1
BG=AD=BC，再假设FG=❑√55，可证明此时∠CFG=90°，则BF= CG，这与BF≠ CG矛盾，据
2 2
此可判断④．
【规范解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，AD∥BC，AD=BC，
∵E、F分别为边AB、CD的中点，
1 1
∴DF= CD，BE= AB，
2 2
∴DF=BE，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∴DE∥BF，故①正确；
∵AD⊥BD，点E为AB的中点，
1
∴DE=BE= AB，
2
∴平行四边形BEDF是菱形，故②正确；
∵F为CD的中点，
1 1
∴S = S = S ，即S =4S ，故③正确；
△BCF 2 △BCD 4 平行四边形ABCD 平行四边形ABCD △BFC
∵AD∥BC，AG∥DB，
∴四边形AGBD是平行四边形，∴BG=AD=BC=4，
∴CG=BG+BC=8，
∵四边形BEDF是菱形，
1
∴BF=DE= AB=3，
2
当FG=❑√55时，则CF2+FG2=55+9=64=CG2，则∠CFG=90°，
1 1
∴BF= CG，这与BF≠ CG矛盾
2 2
∴FG=❑√55不成立，故④错误；
故答案为：①②③．
5．（2024·云南丽江·中考真题）如图，在直角三角形ABC，
∠ABC=90°,AB=3,BC=4,CD=12,AD=13．
(1)求AC的长．
(2)试判断△ACD的形状．
(3)求出四边形ABCD的面积．
【答案】(1)5
(2)直角三角形
(3)36
【思路点拨】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理，以及勾股定理的逆定理是解
题的关键．
（1）在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AC的长，
（2）然后利用勾股定理的逆定理证明△ACD是直角三角形；
（3）利用（2）的结论，然后根据四边形ABCD的面积=△ABC的面积+△ACD的面积，进行计算即可解
答．
【规范解答】（1）解：∵∠ABC=90°，AB=3，BC=4，
∴AC=❑√AB2+BC2=❑√32+42=5；
（2）解：△ACD是直角三角形，∵CD=12，AD=13，
∴AC2+CD2=52+122=169，AD2=132=169，
∴AC2+CD2=AD2，
∴△ACD是直角三角形；
（3）解：∵AB=3，BC=4，CD=12，AC=5，∠ACD=90°，∠ABC=90°，
∴四边形ABCD的面积=△ABC的面积+△ACD的面积
1 1
= AB⋅BC+ AC⋅CD
2 2
1 1
= ×3×4+ ×5×12
2 2
=36，
∴四边形ABCD的面积为36．
基础夯实
1．（24-25八年级下·云南红河·期末）据说古埃及人先在一根长绳上打等距离的13个结，然后以3个结
间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，构成一个三角形（如图），这个三角形其中一个角便是
（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【答案】D
【思路点拨】此题考查了勾股定理的逆定理，设结间距为m，再根据勾股定理的逆定理即可求解，掌握勾
股定理的逆定理的应用是解题的关键．
【规范解答】解：设结间距为m，
∴(3m) 2+(4m) 2=(5m) 2，
∴这个三角形其中一个角是90°，
故选：D．2．（24-25八年级下·广东广州·期中）下列各组数中，不能构成直角三角形的一组是（ ）
A．1,❑√2,❑√3 B．3,4,5 C．5,12,13 D．13,14,15
【答案】D
【思路点拨】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，
只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的
平方即可．
【规范解答】解：A、∵12+(❑√2) 2=1+2=3,(❑√3) 2=3，∴12+(❑√2) 2=(❑√3) 2 ，能构成直角三角形，不符
合题意；
B、∵32+42=9+16=25，52=25，∴32+42=52，能构成直角三角形，不符合题意；
C、∵52+122=25+144=169，132=169，∴52+122=132，能构成直角三角形，不符合题意；
D、∵132+142=169+196=365，152=225，∴132+142≠152，不能构成直角三角形，符合题意．
故答案为：D．
3．（24-25八年级下·云南临沧·期末）已知四组数据：①2,2,3；②0.3,0.4,0.5；③4,5,9；④5,12,13．
以每组数据分别作为三角形的三边长，能构成直角三角形的组数有（ ）
A．0组 B．1组 C．2组 D．3组
【答案】C
【思路点拨】本题考查勾股定理逆定理和三角形三边关系， 对于每组数据，先判断是否能构成三角形
（任意两边之和大于第三边），再判断是否满足勾股定理．
【规范解答】解：①22+22≠32，故不能构成直角三角形；
②0.32+0.42=0.52=0.25，故能构成直角三角形；
③4+5=9，不能构成三角形；
④52+122=132，故能构成直角三角形；
∴能构成直角三角形的组数为②和④， 共2组，
故选：C．
4．（24-25八年级下·陕西商洛·期末）已知△ABC的三边长分别为❑√3，❑√3，❑√6，则△ABC的面积为
．
3
【答案】
2
【思路点拨】本题考查了勾股定理逆定理和三角形面积公式，由三边长度，利用勾股定理逆定理得到三角
形是直角三角形，根据直角三角形面积公式求解即可．
【规范解答】解：设a=❑√3，b=❑√3，c=❑√6，∵a2+b2=(❑√3) 2+(❑√3) 2=6，c2=(❑√6) 2=6，
∴a2+b2=c2，
所以△ABC是直角三角形，且a,b为直角边，c为斜边，
1 3
故S= ×❑√3×❑√3= ，
2 2
3
故答案为： ．
2
5．（2024·湖南·模拟预测）如图，在5×5的正方形网格中，点A，B，C都在正方形网格的格点上，则
∠BAC= ．
【答案】45°/45度
【思路点拨】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，先用勾股定理分别计算AB，AC，BC的长，由
此即可判断△ABC是等腰直角三角形即可．
【规范解答】解：根据勾股定理，得AB=❑√12+32=❑√10，
AC=❑√42+22=❑√20，
BC=❑√12+32=❑√10，
∴AB2+BC2=AC2，AB=BC，
∴∠ABC=90°，∠CAB=45°.
故答案为：45°．
6．（24-25八年级下·广东清远·月考）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，若三边
关系为a2+c2=b2，则 是直角．
【答案】∠B
【思路点拨】本题主要考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
考查了勾股定理的逆定理，运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一
步结合其他已知条件来解决问题．
【规范解答】解：∵在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，三边关系为a2+c2=b2，∴∠B是直角．
故答案为：∠B．
7．（24-25八年级下·全国·月考）若三角形的三边长a、b、c满足(a+b) 2=c2+2ab，则这个三角形是
三角形．
【答案】直角
【思路点拨】本题考查了勾股定理的逆定理．先根据完全平方公式对已知等式进行化简，再根据勾股定理
的逆定理即可判定三角形是直角三角形．
【规范解答】解：∵(a+b) 2=c2+2ab，
∴a2+2ab+b2=c2+2ab，
∴a2+b2=c2，
∴三角形是直角三角形，
故答案为：直角．
8．（24-25八年级下·山东青岛·月考）如图，在△ABC中，D为边BC上的一点，
AB=13，AD=12，AC=15，BD=5．
(1)请说明AD⊥BC．
(2)求△ABC的面积．
【答案】(1)说明见解析
(2)△ABC的面积为84
【思路点拨】本题主要考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，求三角形的面积，
对于（1），根据AB2=AD2+BD2，可知△ABD为直角三角形，即可得出答案；
1
对于（2），先根据勾股定理求出CD，即可得出BC，然后根据△ABC的面积= BC⋅AD得出答案．
2
【规范解答】（1）证明：∵AB=13，AD=12，BD=5，
∴AD2+BD2=122+52=144+25=169，AB2=132=169，
即AB2=AD2+BD2，
∴△ABD为直角三角形，∴AD⊥BC；
（2）解：∵△ABD为直角三角形，
∴∠ADC=90°，
∴CD=❑√AC2−AD2=❑√152−122=9，
∴BC=CD+BD=9+5=14，
1 1
∴△ABC的面积= BC⋅AD= ×14×12=84．
2 2
9．（24-25八年级下·陕西商洛·期末）如图，在一条东西走向的河的一侧有一村庄C，河边原有两个取
水点A,B，由于某种原因，由C到A、由C到B的路现在均不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一
个取水点D（A,D,B在同一条直线上），并新修一条路CD，测得BD=50米，CD=120米，BC=130米．
问CD是否为从村庄C到河边AB最近的路？请通过计算加以说明．
【答案】CD是从村庄C到河边AB最近的路，见解析
【思路点拨】本题考查了勾股定理逆定理和垂线段，由已知条件可知BD2+CD2=BC2，进而得到
CD⊥AB，根据点到直线的距离垂线段最短即可得到结论．
【规范解答】解：CD是从村庄C到河边AB最近的路．
证明：∵BD=50米，CD=120米，BC=130米，
∴BD2+CD2=BC2，
∴△BDC是直角三角形，且∠BDC=90°，
∴CD⊥AB，
∴CD是从村庄C到河边AB最近的路．
10．（24-25八年级下·陕西渭南·期末）如图，两条公路AC，BC相交于点C，从A点沿直线再修建一
条公路到B点．若AC=60km，CB=80km，AB=100km．求证：∠C=90°．
【答案】证明过程见解析【思路点拨】本题主要考查了勾股定理逆定理的应用，准确利用公式求解是解题的关键．
根据已知数据利用a2+b2=c2进行判断即可
【规范解答】∵AC=60km，CB=80km，AB=100km，
∴AC2+BC2=602+802=10000，AB2=10000，
∴AC2+BC2=AB2，
∴∠C=90°．
培优拔高
11．（24-25八年级下·山东青岛·期末）五根小木棒的长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两
个直角三角形，摆放正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【思路点拨】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
根据勾股定理的逆定理进行计算、判定即可解答．
【规范解答】解：∵72=49，152=225，202=400，242=576，252=625，
∴72+242=252，152+202=252，
∴以7，24，25三根木棒能摆成直角三角形，以15，20，25三根木棒能摆成直角三角形，即C选项符合题
意．
故选：C．
12．（24-25八年级下·山西晋中·期末）五根小木棒的长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两
个直角三角形，下列图形正确的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】B
【思路点拨】本题考查勾股定理的逆定理的应用．欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验
证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【规范解答】解：A．72+242=252，152+202≠242，故A不正确；
B．72+242=252，152+202=252，故B正确；
C．72+202≠252，242+152≠252，故C不正确；
D．72+152≠202，202+242≠252，故D不正确．
故选：B．
13．（2025·北京石景山·模拟预测）当一个三角形的三边长是连续偶数，则对这样的三角形描述正确的
是（）
A．只有1个钝角三角形 B．只有2个钝角三角形
C．只有1个锐角三角形 D．只有2个锐角三角形
【答案】A
【思路点拨】本题考查了三角形三边关系，完全平方公式，整式的加减，勾股定理的逆定理及应用，理解
三角形的两条较小的边的平方和大于最大边的平方时为锐角三角形，反之则为钝角三角形．
由三角形的三边长是连续偶数，分三边为2，4，6；4，6，8；6，8，10；8，10，12；逐一判断，再当三
角形的最小边不小于8时，设三角形的三边分别为2n−2,2n,2n+2，再根据三角形的两条较小的边的平
方和大于最大边的平方时为锐角三角形，反之则为钝角三角形进行判断即可．
【规范解答】解：由三角形的三边长是连续偶数，
当三边为2，4，6时，
∵2+4=6，
∴2，4，6不能组成三角形；
当三边为4，6，8时，
∵82=64,42+62=16+36=52,64>52，
∴最大角为钝角，则三边为4，6，8时三角形是钝角三角形；
当三边为6，8，10，
∵62+82=36+64=100=102，
∴三边为6，8，10时三角形是直角三角形；当三边为8，10，12，
∵122=144,82+102=64+100=164,144<164，
∴三边为8，10，12时，三角形是锐角三角形（最大角为锐角）；
当三角形的最小边不小于8时，设三角形的三边分别为2n−2,2n,2n+2，有
2n−2≥8，解得n≥5，
∵(2n−2) 2+(2n) 2−(2n+2) 2=4n2−16n=4n(n−4)>0，
∴最小边为8且三边长是连续偶数的三角形都是锐角三角形；
综上，只有1个钝角三角形．
故选A．
14．（25-26八年级下·浙江金华·期中）如图，每个小正方形的边长都相等，点A，B，C均在小正方形
的顶点上，则∠ABC的度数为 ．
【答案】45°
【思路点拨】本题考查的是勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，利用网格先计算AC2=12+22=5，
BC2=12+22=5，AB2=12+32=10，再进一步解答即可．
【规范解答】解：设小正方形边长为1，连接AC，
∵AB2=12+32=10，BC2=12+22=5，AC2=12+22=5，
∴AC2+BC2=AB2且AC=BC，
∴△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=45°．
故答案为：45°．
15．（24-25八年级下·湖北宜昌·期末）如图，有一块铁皮（图中阴影部分），测得AB=3，BC=4，
CD=12，AD=13，∠B=90°，则阴影部分的面积为 ．【答案】24
【思路点拨】本题考查的是勾股定理及勾股定理的逆定理，三角形的面积等知识，判断出△ACD是直角三
角形是解答此题的关键．
先根据勾股定理求出AC的长，再由勾股定理的逆定理判断出△ACD是直角三角形，进而可得出结论．
【规范解答】解：如图，连接AC，
∵ AB=3 BC=4 ∠B=90°
， ， ，
∴ AC=❑√AB2+BC2=❑√32+42=5，
∵ CD=12，AD=13，
∴ AC2+CD2=52+122=169=132=AD2，
∴ △ACD是直角三角形，
1 1 1 1
∴ S −S = AC⋅CD− AB⋅BC= ×5×12− ×3×4=30−6=24，
△ACD △ABC 2 2 2 2
即阴影部分的面积为24，
故答案为：24．
1
16．（23-24八年级下·贵州毕节·期末）如图，在△ABC中，分别以A，B为圆心，以大于 AB的长为
2
半径作弧，两弧相交于F，G两点，作直线FG分别交AB，BC于点M，D；再分别以A，C为圆心，以大于
1 4
AC的长为半径作弧，两弧相交于H，I两点，作直线HI分别交AC，BC于点N，E；若BD=1，DE= ，
2 3
5
EC= ，则AC的长为 ．
3【答案】❑√10
【思路点拨】本题考查了线段垂直平分线的性质（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）和勾股
定理的逆定理、勾股定理，解题的关键是根据尺规作图判断出垂直平分线，得到相等线段，再通过边长关
系验证直角三角形，进而求出AC的长．
先根据尺规作图特征，确定FG是AB的垂直平分线、HI是AC的垂直平分线，得AD=BD、AE=EC；计
算CD=DE+EC的长度；再通过AD、DE、AE的边长关系，用勾股定理的逆定理判断△ADE为直角三
角形，得出AD⊥BC；最后在Rt△ADC中，用勾股定理求出AC．
【规范解答】解：由尺规作图可知，FG垂直平分AB,HI垂直平分AC，
∴AD=BD=1（线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等），
5
AE=EC= （线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等）．
3
4 5
∴CD=DE+EC= + =3.
3 3
4 5
在△ADE中，AD=1,DE= AE= ，
3 3
∵12+
(4) 2
=1+
16
=
25
=
(5) 2
，即AD2+DE2=AE2，
3 9 9 3
∴△ADE为直角三角形，且∠ADE=90°，即∠ADC=90°．
在Rt△ADC中，由勾股定理得：AC= ❑√AD2+CD2 = ❑√12+32 = ❑√1+9 = ❑√10．
故答案为：❑√10．
17．（2024八年级下·广东揭阳·竞赛）已知△ABC三边长分别为a，b，c，且满足
❑√a−b+(a2+b2−c2) 2 =0，则△ABC的形状为 ．
【答案】等腰直角三角形
【思路点拨】本题考查了勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的判定，算术平方根的非负性质，偶次方的
非负性质，熟练掌握勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的判定，算术平方根的非负性质，偶次方的非负性质是解题的关键．
根据已知，❑√a−b+(a2+b2−c2
)
2=0，可得❑√a−b=0且(a2+b2−c2
)
2=0，进而得出a−b=0，
a2+b2−c2=0，即a2+b2=c2，根据勾股定理的逆定理和等腰三角形的定义即可得出答案．
【规范解答】解：∵ ❑√a−b+(a2+b2−c2 ) 2=0，
∴ ❑√a−b=0且(a2+b2−c2 ) 2=0，
∴a−b=0，a2+b2−c2=0，即a2+b2=c2，
∴a=b，△ABC是直角三角形，
∴△ABC是等腰直角三角形．
故答案为：等腰直角三角形．
18．（24-25八年级下·云南临沧·期末）如图，网格图中每个小正方形的边长都是1．△ABC的三个顶
点都在网格线的交点上．求证：AB⊥AC．
【答案】证明见详解
【思路点拨】本题考查了勾股定理的应用及勾股定理逆定理证明．通过勾股定理求出AB、AC、BC的长
度，再根据勾股定理的逆定理来证明结论．
【规范解答】证明：在网格图中，AB在一个直角边分别为2和2的直角三角形的斜边上，
根据勾股定理可得：AB2=22+22=8，
同理，AC在一个直角边分别为3和3的直角三角形的斜边上，
根据勾股定理可得：AC2=32+32=18，
BC在一个直角边分别为1和5的直角三角形的斜边上，
根据勾股定理可得：BC2=12+52=26，
∵AB2+AC2=BC2，
∴根据勾股定理的逆定理可知，△ABC是直角三角形，且∠BAC=90°，
∴AB⊥AC．
19．（24-25八年级下·云南红河·期末）在军事和航海上经常要确定方向和位置．从而经常需要使用一
些数学知识和方法．如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，“龙腾”号，“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“龙腾”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里，它们离开
港口1.5小时后分别位于Q、R处，且相距30海里，如果知道“龙腾”号沿东北方向航行，能知道“海天”
号沿哪个方向航行吗？
【答案】沿北偏西45°（或西北）方向航行
【思路点拨】本题考查了勾股定理逆定理的应用，解题的重点主要是能够根据勾股定理的逆定理发现直角
三角形，关键是从实际问题中抽象出直角三角形，难度不大．
求出PR,PQ的长，利用勾股定理逆定理以及方向角即可得到“海天”号航行方向．
【规范解答】解：由题意可得：RP=12×1.5=18海里，PQ=16×1.5=24海里，QR=30海里，
∵182+242=302，
∴△RPQ是直角三角形，
∴∠RPQ=90°，
∵“龙腾”号沿东北方向航行，即沿北偏东45°方向航行，
∴∠RPS=45°，
∴“海天”号沿北偏西45°（或西北）方向航行．
20．（2025·河北邯郸·模拟预测）如图，在四边形ABCD中，AC⊥CD，E是边BC上的点，连接AE．
2
已知AD=6，CD=4，CE= BC=2，AE=4．现要在边AB上找一点H，使得△BEH是以BH为腰的
5
等腰三角形，则BH的长为（ ）
5 9
A．3 B．5 C．3或 D．3或
2 5
【答案】C
【思路点拨】本题考查了勾股定理及其逆定理，直角三角形的性质，等腰三角形的定义，利用勾股定理可得AC=❑√AD2−CD2=2❑√5，进而由勾股定理的逆定理得△ACE是直角三角形，得到∠AEB=90°，即
得AB=❑√AE2+BE2=5，再分BH=EH和BH=BE两种情况解答即可求解，掌握以上知识点是解题的关
键．
【规范解答】解：∵AC⊥CD，
∴∠ACD=90°，
∵AD=6，CD=4，
∴AC=❑√AD2−CD2=❑√62−42=2❑√5，
2
∵CE= BC=2，
5
∴BC=5，
∴BE=BC−CE=5−2=3，
∵AE=4，
∴AE2+CE2=AC2=20，
∴△ACE是直角三角形，∠AEC=90°，
∴∠AEB=90°，
∴AB=❑√AE2+BE2=❑√42+32=5，
当点H是AB的中点时，如图，
∵∠AEB=90°，
1 5
∴BH=EH= AB= ，此时△BEH是以BH为腰的等腰三角形；
2 2
当BH=BE=3时，△BEH是以BH为腰的等腰三角形；
5
综上，BH的长为3或 ，
2
故选：C．
