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2025-2026 学年八年级下册数学单元自测
第二十章 勾股定理·基础通关
建议用时：60分钟，满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列属于勾股数的是（ ）
A．2，4，5 B．2，5，8 C．5，12，19 D．6，8，10
【答案】D
【分析】本题考查了勾股数，勾股数是指三个正整数a，b，c（其中c为最大数）满足 ，据此进
行逐项分析，即可作答．
【详解】解：A、 ，即2，4，5不属于勾股数，故该选项不符合题意；
B、 ，即2，5，8不属于勾股数，故该选项不符合题意；
C、 ，即5，12，19不属于勾股数，故该选项不符合题意；
D、 ，即6，8，10属于勾股数，故该选项符合题意；
故选：D．
2．满足下列条件的 ，不是直角三角形的是（）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查勾股定理的逆定理和三角形内角和定理，根据勾股定理的逆定理和三角形的内角和定理
逐项判断即可．
【详解】解：A． 由勾股定理逆定理， 是直角三角形， ．
B．设 ， ， ，则 ， ，
， 是直角三角形， ．
C． ，又 ，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 1 / 25， ， 是直角三角形．
D．设 ， ， ，则 ， ，
， 不是直角三角形．
不是直角三角形的是D．
故选：D．
3．已知直角三角形的两条直角边长分别为3和4，则斜边上的高为（ ）
A．2.4 B．2.5 C．3 D．4
【答案】A
【分析】本题利用了勾股定理和直角三角形的面积公式求解．
根据勾股定理求出斜边的长，利用面积法求出三角形斜边上的高．
【详解】解：∵直角三角形的两条直角边分别为 和 ，
∴斜边长为 .
设斜边上的高为 ，
∵面积相等，即 ，
解得 ，
故选A．
4．如图，在 中， ，以 的三边为边向外作三个正方形， 、 、 分别表示这
三个正方形的面积，若 ， ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查勾股定理，根据三个正方形的面积为直角三角形的三边的平方，结合勾股定理，进行求
解即可．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 2 / 25【详解】解：由图可知： ，
由勾股定理，得 ，即 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
故选B．
5．如图，根据尺规作图痕迹，可以判断弧线与数轴的交点C表示的数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了勾股定理，实数与数轴．
根据勾股定理可求出点 到原点的距离，进而求出点 到原点的距离，再根据点 的位置确定点 所表示
的数．
【详解】∵点 表示的数为3，
点 到原点的距离为3，
由图可得 ，
点 到原点的距离 ．
∵点 到原点的距离和点 到原点的距离相等，
点 到原点的距离为 ，
点 表示的数为 ．
故选：D．
6．如图，在 中， ，将 折叠，使点C落在 边上的点E处， 是折痕，
则 的周长为（ ）
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 3 / 25A．6 B．8 C．12 D．14
【答案】C
【分析】本题考查翻折变换，勾股定理等知识，掌握其相关知识点是解题的关键．
利用勾股定理求出 ，利用翻折的性质可得 ，推出 即可解决问题．
【详解】解：在 中， ，
∴ ，
由翻折的性质可知： ， ，
∴ ，
∴ 的周长 ．
故选：C．
7．如图，在一个长方形草坪 上，放着一根长方体的木块，已知 ， ，该木块的较
长边与 平行，横截面是边长为1米的正方形，一只蚂蚁从点A爬过木块到达C处需要走的最短路程是
（ ）
A．13m B．10m C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了平面展开最短路线问题，两点之间线段最短，勾股定理．将木块表面展开，然后
根据两点之间线段最短，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：展开图如下：
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 4 / 25蚂蚁从点A爬过木块到达C处需要走的最短路程为 的长度，
由展开图得 ，
（ ），
故选：A．
8．我国是最早了解勾股定理的国家之一，据《周髀算经》记载，勾股定理的证明是在商代由商高发现的，
故又称之为“商高定理”；三国时代的赵爽对 周髀算经 内的勾股定理作出了详细注释，又给出了另外
一个证明，古代印度、希腊、阿拉伯等许多国家也都很重视对勾股定理的研究和应用．下面四幅图中，不
能证明勾股定理的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了勾股定理的证明方法，掌握利用两种不同的方法计算同一个图形的面积来验证勾股定
理是解题的关键．分别利用两种不同的方法计算各选项中的大正方形或梯形的面积，即可解答．
【详解】解：A、大正方形的面积为 ，也可以看作4个直角三角形和一个小正方形的面积之和，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 5 / 25则其面积为 ，
∴ ，故选项A能证明勾股定理；
B、大正方形的面积为 ，也可以看作2个小长方形和2个小正方形的面积之和，
则其面积为 ，
∴ ，故选项B不能证明勾股定理；
C、大正方形的面积为 ，也可以看作4个直角三角形和一个小正方形的面积之和，
则其面积为 ，
∴ ，即 ，故选项C能证明勾股定理；
D、梯形的面积为 ，也可以看作3个直角三角形的面积之和，
则其面积为 ，
∴ ，即 ，故选项D能证明勾股定理．
故选：B．
9．如图，某同学用圆规 画一个半径为 的圆，测得此时 ，为了画一个半径更大的同心圆，
固定 端不动，将 端向左移至 处，此时测得 ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形，勾股定理．利用勾股定理求出 的长，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 6 / 25过点 作 ，利用含30度角的直角三角形的性质，结合勾股定理求出 的长，再根据线段的和
差关系进行求解即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
过 作 ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故选：A．
10．如图， ，过点P作 且 ，再过点 ，作 且 ，又过点 作
且 ，…依此法继续作下去，则 的长度为（ ）
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 7 / 25A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了勾股定理，找到图形变化的规律是解题的关键．由勾股定理求出 ， ， 的长，
依此类推可知，即可求解．
【详解】解：在直角三角形 中，由勾股定理得： ，
在直角三角形 中，由勾股定理得： ，
在直角三角形 中，由勾股定理得： ，
…，
依此类推， 为正整数 ，
当 时， ，
故选：
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．在 中， ，如果 ，那么 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条
直角边分别为a、b，斜边为c，那么 ．在直角三角形中，根据勾股定理，斜边的平方等于两直
角边的平方和．根据 ，因此 为斜边， 和 为直角边．代入已知值计算即可．
【详解】解：在 中， ，如果 ，
由勾股定理得： ．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 8 / 25故答案为： ．
12．若三角形的三边长分别为a、b、c，且满足 ，则这个三角形按形状分类是
三角形．
【答案】直角
【分析】此题考查了勾股定理的逆定理，绝对值和算术平方根的非负性，解题的关键是掌握以上知识点．
利用非负数的性质求出三角形的三边长，再根据勾股定理的逆定理判断三角形的形状．
【详解】解：∵ ，且 ， ， ，
∴ ， ， ，
解得 ， ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴该三角形是直角三角形，边 为斜边．
故答案为：直角．
13．如图， 中， ， 平分 交 于点D， ， ，则点D到 的距
离为 ．
【答案】3
【分析】本题考查了勾股定理以及角平分线的性质，熟练掌握勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键．
过点D作 于点E，由勾股定理得 ，再由角平分线的性质即可得出结论．
【详解】解：如图，过点D作 于点E，
∵ ， ， ，
∴ ， ，
∵ 平分 ，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 9 / 25∴ ，
即点D到 的距离为3，
故答案为：3．
14．如图，小丽在公园里荡秋千，在起始位置A处摆绳 与地面垂直，向前荡起到最高点B处时距地面
竖直高度 为 ，摆动水平距离 为 ，最高点 处距离秋千顶端O的竖直高度 为 ；然
后向后摆到最高点 处．若前后摆动过程中绳始终拉直，且 与 成 角，则小丽在 处时距离地面
的竖直高度 的长度是 ．
【答案】 /
【分析】本题考查了勾股定理的应用，全等三角形的判定和性质，作辅助线构造全等三角形是解题关键．
过点 作 于点 ，摆绳 与地面的垂足为 ，证明 ，得到 ，
再利用勾股定理求出 ，得到 ，求出 ，由题意得 ，即可求解．
【详解】解：如图，过点 作 于点 ，摆绳 与地面的垂足为 ，
与 成 角，
，
，
，
在 和 中，
，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 10 / 25，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
由题意可知， ，
∴ ．
故答案为： ．
15．如图1，是直角边长分别为 的直角三角形，用这样4个形状、大小完全相同的直角三角形分
别拼成了如图2、图3的正方形，已知正方形 的面积为125，正方形 的面积是5，那么图1中
直角三角形的面积是 ．
【答案】15
【分析】本题考查了完全平方公式的几何应用，根据正方形 的面积为125，正方形 的面积是
5，得 ， ，即可求出 的值，再根据图1中直角三角
形的面积为 即可求解．
【详解】解：∵正方形 的面积为125，
∴ ，
∵正方形 的面积是5，
∴ ，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 11 / 25∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴图1中直角三角形的面积是 ．
故答案为：15．
16．如图，在平面直角坐标系中， ， 两点分别在 轴， 轴上，点 的坐标为 ，点 的坐标为
，点 为射线 上一动点，点 关于直线 的对称点为点 ，当 为直角三角形时， 的长
为 ．
【答案】3或6
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用、轴对称的性质等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键．
分 、 、 三种情况，分别根据图形利用勾股定理求解即可．
【详解】解：设 ，
∵点 关于直线 的对称点为点 ，
∴ ，
∴ ，
当 为直角三角形时，分三种情况：
如图1：当 时，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 12 / 25∵
∴A、B、C三点共线，
∴ ，
∵
∴ ，
解得： ，
∴ ，
当 时，如图：
∵
∴
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ；
当 时，则 ，
与 相矛盾，故不存在．
故答案为：3或6．
三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；
共9小题，共72分）
17．（1）在 中， ， ， ，求 ．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 13 / 25（2）在 中， ， ， ，求 的长．
【答案】（1）5；（2）12
【分析】本题主要考查了勾股定理，熟练掌握相关知识是解题关键．
（1）直接利用勾股定理求解即可；
（2）直接利用勾股定理求解即可．
【详解】解：（1）∵ 中， ， ， ，
∴ ；
（2）∵ 中， ， ， ，
∴ ．
18．如图，一架梯子 长 ，斜靠在一竖直的墙 上，此时梯子顶端 A到地面的距离为 ．
(1)求梯子底端B到墙角O的距离；
(2)如果梯子的顶端 A沿墙下滑 ，那么梯子底端 B 将向外移动多少米？
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查的是勾股定理的应用．
（1）在 中，直接利用勾股定理求解即可．
（2）在 中，直接利用勾股定理可得 ，进一步求解即可．
【详解】（1）解：∵ ， ， ，
∴ ，
∴梯子底端B到墙角O的距离为： ．
（2）解：∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 14 / 25∴梯子底端 B 将向外移动 ．
19．如图①是小华同学在正方形网格中（每个小正方形的边长为1）画出的格点 （ 的三个顶
点都在正方形的顶点处）．
(1)由图①可知 ，则 ______， ______．
(2)请你在图②的正方形网格中，补画出格点 ，其中 ， ，并求出 的面积．
（只要画出一个符合条件的 ）
【答案】(1) ，
(2)见解析，
【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理及其逆定理是关键．
（1）根据勾股定理求解即可；
（2）根据勾股定理即可画出图形；根据勾股定理的逆定理，可证明 ，即可根据直角三角形的
面积公式求解．
【详解】（1）解： ， ．
故答案为： ， ．
（2）解：如图， 就是所求作的图形；
， ， ，
，
，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 15 / 25．
20．如图，有一架救火飞机沿东西方向由点A飞向点B，已知点C为其中一个着火点，且直线 上A，B
两点与点C的距离分别为 和 ，又 ，飞机中心周围 以内可以受到洒水影响．
(1)着火点C受洒水影响吗？为什么？
(2)若飞机以 的速度沿直线 匀速飞行，要想扑灭着火点C估计需要13秒，请你通过计算判断着火
点C能否被扑灭？
【答案】(1)着火点C受洒水影响，理由见解析
(2)能，理由见解析
【分析】本题考查了勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，等腰三角形的性质，
（1）过点C作 ，垂足为D，勾股定理的逆定理证明 是直角三角形，进而等面积法求得
长度，与260进行比较即可求得答案；
（2）以点C为圆心， 为半径作圆，交 于点E，F． 勾股定理求得 ，根据等腰三角形的性质
进而求得 的长，根据飞机的速度得到飞行时间，再根据题意求得灭火时间，即可解决问题．
【详解】（1）解：着火点C受洒水影响，理由如下，
如图，过点C作 ，垂足为D，
∵ ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 是直角三角形，
∴ ， ，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 16 / 25∵ ，
∴着火点C受洒水影响；
（2）解：能，理由如下：
如图，以点C为圆心， 为半径作圆，交 于点E，F，则 ，
在 中， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴着火点C能被扑灭．
21．勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，其中有著名
的数学家，也有数学爱好者．
(1)如图1，这是美国第20任总统詹姆斯·加菲尔德的“总统证法”图形， ，请推导勾
股定理．
(2)如图2，在 中， ，垂足为H，求 的长．
【答案】(1)见解析；
(2)8
【分析】本题主要考查勾股定理及梯形、三角形面积公式的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理；
（1）用两种方法表示出梯形 的面积，再根据它们相等整理即可证明结论；
（2）设 ，分别在 和 中，表示出 ，列出方程，求出x，再利用勾股定理即可
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 17 / 25求出 的值.
【详解】（1）解：∵
，
整理得：
（2）解：设
∵
∴
∴ 和 都是直角三角形
在 中，
在 中，
∴
∵ ， ，
则
解得 ，即
在 中，由勾股定理，得 .
22．【合作探究】如图①，在 中， ，过点 作 交 于点 ，求
的长．某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路，完成解答过程．
（1）设 ，则 ____________（用含 的代数式表示）；
（2）请根据勾股定理，利用 作为“桥梁”，建立方程，并求出 的值；
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 18 / 25【类比应用】如图②，在 ， ，求 的面积．
【答案】（1） ；（2）9；（3）12
【分析】此题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
（1）设 ，由 表示出 ；
（2）分别在直角三角形 与直角三角形 中，利用勾股定理表示出 ，列出关于x的方程，求出
方程的解得到 的值；
类比应用：过点 作 交 的延长线于点 ，利用勾股定理解得 ，即可求出 的面积．
【详解】（1）解：设 ，
故答案为： ．
（2）由勾股定理，得 ，
，
故 ，
解得 ．
类比应用：
如图，过点 作 交 的延长线于点 ，
∴ ，
∵ ，
即 ，
解得 ，
所以 ，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 19 / 25所以 ．
23．八年级数学小组以“直角三角形的折叠”为主题，开展数学探究活动．
如图①，已知，在 中， ， ， ，点D是边 上一动点， 于点
(1)【操作判断】如图②，将 沿直线 折叠，点C恰好与点A重合，则 与 的数量关系是
______；
(2)【问题解决】在（1）的条件下，求 的长；
(3)【问题探究】将 沿直线 折叠，点C落在边 上的点F处，连接 ，当 是等边三角
形时，直接写出 的面积．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题是几何综合题，考查了折叠的性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，灵
活运用这些性质是解题的关键．
（1）由折叠的性质可得 ；
（2）由勾股定理可求BD的长；
（3）由直角三角形的性质可求 ，可得 ，由三角形的面积公式可求解．
【详解】（1）解：∵将 沿直线 折叠，
，
故答案为： ；
（2）解： ，
，
∵ ， ，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 20 / 25，
；
（3）解：如图，
是等边三角形，
， ，
，
，
，
的面积
24．阅读并回答下列问题
【几何模型】（1）如图①， 、 是直线 同侧的两个定点，问题：在直线 上找一点 ，使 值最
小．
方法：如图②，作 点关于 的对称点 ，连接 交 于 点，则 为所求作的点．试说明理由．
【模型应用】（2）如图③，若 、 两点在直线 同侧，分别过点 、 作 ， ， 为
线段 上一动点，连接 、 ．已知 ， ， ，设 ．请问点 满足什么条件
时， 的值最小，并求出最小值；
【拓展应用】（3）直接写出代数式 的最小值．
【答案】（1）见解析；（2）当点 关于 的对称点与点 共线时， 的值最小，最小值为 ；
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 21 / 25（3）
【分析】本题考查了勾股定理，轴对称的性质，两点之间线段最短，解题的关键是正确利用轴对称的性质
求解．
（1）由轴对称的性质结合两点之间线段最短即可求解；
（2）作点 关于 的对称点 ，过点 作 延长线的垂线，垂足为点 ，连接 ，则
，那么 ，故当点 三点共线时， 的值最小，
最小值为 ，再由勾股定理求解即可；
（3）将代数式 的值转化为点 到点 和点 的距离之和，设 ，
， ，过点 作 轴的对称点 ，连接 与 轴交点即为点 ，此时最小值即为
，再由两点之间距离公式求解即可．
【详解】解：（1）由轴对称的性质可得 ，
∴ ，
∴当点 三点共线时， 的值最小，点 为 为直线 的交点；
（2）作点 关于 的对称点 ，过点 作 延长线的垂线，垂足为点 ，连接 ，
∴ ，
∴ ，
∴当点 三点共线时， 的值最小，最小值为
∵ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 22 / 25同理 ，
∴ ，
∴ ，
∴最小值为 ；
（3）解：∵ ，
∴代数式 的值表示点 到点 和点 的距离之和，
设 ， ， ，如图，过点 作 轴的对称点 ，连接 与 轴交点即为点 ，
此时最小值即为 ，
∴ ，
∴代数式 的最小值为 ．
25．在 中， ，点D，E分别是边 上的点，连接 ．
(1)若点E为 的中点， ，则 是__________三角形．（填“等腰”“等边”
或“直角”）
(2)如图1，连接 ，若 平分 ，求 的长．
(3)如图2，点 在边 上运动，连接 ， 始终保持与 相等， 是 的垂直平分线，交 于
点 ．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 23 / 25①判断 与 的位置关系，并说明理由；
②若 ，求 的长．
【答案】(1)直角
(2)
(3)① ，理由见解析；②
【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，角平分线的性质，中垂线的性质，熟练掌握相关知识点是解题的
关键：
（1）利用勾股定理逆定理即可得出结论；
（2）根据角平分线的性质定理结合勾股定理进行求解即可；
（3）①等边对等角得到 ，中垂线的性质结合等边对等角得到 ，进而推出
，即可得证；②连接 ，设 ，则 ，利用勾股定理进行求解即可．
【详解】（1）解：∵点 为 的中点， ，
．
，且 ，
，
是直角三角形．
（2）解： 平分 ，
．
设 ，则 ，
在 中， ，
，
，
即 ．
（3）解：① ．
理由如下：
由题意知 ，
．
是 的垂直平分线，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 24 / 25，
．
，
，
．
．
②如图，连接 ．
设 ，则 ．
，
．
由勾股定理，得 ，
即 ，
，
的长为 ．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 25 / 25
