文档内容
数学活动 黄金矩形与剪拼正方形
1.理解黄金矩形原理，掌握剪拼正方形的方法.
2.体会数学与美学、实践的联系，提升动手与推理能力.
3.感悟古代数学思想，激发文化探究兴趣.
重点：黄金矩形验证、正方形剪拼操作.
难点：黄金矩形推导、剪拼方案创新.
知识链接：回顾勾股定理内容，复习矩形、正方形的性质（边长、
面积关系，图形变换等），为理解黄金矩形比例、剪拼正方形作铺
垫.
创设情境——见配套课件
探究点一：黄金矩形的验证（以活动1为例）
下面我们做一次折叠活动：
第一步：在一张宽为2的矩形纸片的一端，利用图①的方法折叠出
一个正方形，然后把纸片展开.
第二步：如图②，把这个正方形折成两个全等的矩形，再把纸片展
平.
第三步：折出内侧矩形的对角线AB，并将AB折到图③中所示的AD
处.
第四步：展平纸片，如图④，按照所得的点D折出DE，矩形BCDE
就是黄金矩形，你能说明为什么吗？（注：当矩形的宽与长的比为
√5－1
时，称这个矩形为黄金矩形）
2解：∵正方形BCNM的边长为2，正方形BCNM沿AF对折，∴AC
1
＝ NC＝1.
2
在△ABC中，∵BC＝2，AC＝1，∴AB＝√AC2＋BC2＝√5.
CD √5－1
∵AD＝AB＝√5，∴CD＝AD－AC＝√5－1.∴ ＝ .
BC 2
∴矩形BCDE就是黄金矩形.
归纳总结：依据勾股定理计算边长，通过比例推导，验证黄金矩形
√5－1
满足宽、长比为 ，理解其美学与数学融合性.
2
探究点二：正方形剪拼之“出入相补法”与勾股定理（拓展）
我国是最早了解勾股定理的国家之一.魏晋时期数学家刘徽在为
《九章算术》作注中依据割补术而创造了勾股定理的无字证明“青
朱出入图”.
解：如图所示，连接大正方形的一条对角线DE，可知S ＝
梯形ACDE
1 1
S ＋S ＋S ，其中，S ＝ （a＋b）（a＋b），S ＝
△ABE △BDE △DBC 梯形ACDE 2 △ABE 2
1 1 1 1 1 1
ab，S ＝ c2，S ＝ ab，代入可得 （a＋b）2＝ ab＋ c2＋
△BDE 2 △DBC 2 2 2 2 2
ab，即a2＋b2＝c2.
归纳总结：“出入相补法”是古代数学智慧，借图形变换证明勾股
定理，体现数学推导的简洁与巧妙，可迁移用于图形剪拼.1.如图，当以黄金矩形ABCD的宽AB为边在矩形ABCD内部作正方
形ABEF时，若AF＝√5－1，则AD的长为（ A ）
A.2
B.4
C.2√5－2
D.3＋√5
2.我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD，分别取
AB，CD的中点E，F，连接EF；以点E为圆心，以ED为半径画弧，
交BA的延长线于点G；作GH⊥CD，交CD的延长线于点H，则下
列矩形是黄金矩形的是（ C ）
A.矩形BCHG B.矩形EFCBC.矩形ADHG D.矩形EFHG
第2题图 第3题图
3.“出入相补”原理是中国古代几何学基本原理之一，由魏晋时期
的数学家刘徽提出的，运用出入相补原理在勾股定理证明、开平方、
解二次方程等诸多方面取得了巨大成就.如图，是刘徽用出入相补法
证明勾股定理的“青朱出入图”，其中四边形ABCD，BEFG，
AHIG均为正方形.
（1）若S
正方形AHIG
＝10，AE＝4，则S
△GFI
＝（ A ）
3
A. B.14 C.6 D.3
2845
（2）若AH＝13，BG＝12，则△AJD与△GIF的面积之和等于
24
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（其他课堂拓展题，见配套PPT）
