文档内容
第二十三章 一次函数
数学活动 水龙头的滴水量与纸杯厚度
【素养目标】
1.学会通过实验探究进行数据收集，提升数学建模能力.
2.掌握函数关系的推导，强化数形结合素养.
3.理解数学在生活中的应用，培养实践与创新思维.
重点：数据收集分析、函数解析式的推导.
难点：建立实际问题的数学模型并应用.
【复习导入】
问题1：什么是函数？
问题2：什么是一次函数？
【合作探究】
探究点一：水龙头滴水量的函数关系（活动1）
例1 学校开展“珍惜水资源，从点滴做起”的主题活动，八年级同学们积极响应，
参与到一项关于水龙头滴水情况的实践调查中，旨在了解日常生活中被忽视的水资源
浪费问题.
同学们领取一个带有精确刻度、能显示水量的容器，放置在一个关闭不严、正在滴水
的水龙头下方，以下是同学们记录的不同时间下容器内的水量数据：
时间t/min 0 5 10 15 20
水量V/mL 0 10 20 30 40
【任务一】（1）建立平面直角坐标系，以横轴表示时间 t，纵轴表示水量V，描出表
格每组数据所对应的点，连接这些点，观察它们的分布规律；
【任务二】（2）试写出漏水量V关于时间t的函数解析式；
【任务三】（3）依据函数解析式，估算在这种状态下一天（24h）会浪费多少升水.
归纳总结：通过“实验记录→描点→找规律→求解析式→应用”，建立滴水问题的函
数模型，体现数学建模流程.
[练一练]
第 1 页1.为了估计一根驱蚊线香可燃烧的时间，小颖点燃一根香，并每隔 1 min 测量一次香
可燃烧部分的长度，数据如下：
燃烧时间 t/min 1 2 3 4 5 ...
香可燃烧部分的长度l/cm 22.4 21.9 21.4 20.9 20.4 ...
（1）根据小颖得到的数据，在平面直角坐标系中描出（t，l）对应的点。
（2）估计燃烧 10 min 后这根香可燃烧部分的长度，并说明理由。
（3）估计这根香可燃烧的时间，并说明理由.
（4）试写出这根香可燃烧部分的长度 l 与燃烧时间 t 的关系式.
探究点二：纸杯高度的函数模型（活动2）
例2 如图是1个纸杯和6个叠放在一起的纸杯示意图，一个纸杯高为8.5cm，6个纸
杯高为18.5cm.
（1）如图叠放纸杯，每多一个杯子高度增加多少厘米？
（2）当有n个杯子按如图方式叠放在一起时，高度为ycm，求y与n之间的数量关系.
（3）若有20个杯子按如图方式叠放，高度是多少厘米？
归纳总结：自主定义变量，测量分析数据，构建“总高＝单个增量×个数＋基础高度”
的函数模型，解决叠放高度问题.
当堂反馈
1.水龙头关闭不严会造成滴水，为了调查漏水量与漏水时间的关系，某数学兴趣小组进
行了以下的试验与研究：在滴水的水龙头下放置一个能显示水量的容器（如图），每
第 2 页5min记录一次容器中的水量，并填写表格.以横轴表示时间t，纵轴表示水量V，建立
直角坐标系，描出以上述试验所得数据为坐标的各点，观察它们的分布规律，估算这
种漏水状态下一天（24h）的漏水量为（ ）
时间t/min 0 5 10 15 20 25 30
水量V/mL 0 30 60 90 120 150 180
A.4320mL B.864mLC.1440mL D.8640mL
第1题图 第2题图 第3题图
2.如图是1个纸杯和6个纸杯叠放在一起的示意图.小红想探究叠放在一起的杯子的总
高度随杯子数量的变化关系.她将50个同样的纸杯叠放在一起，则这50个纸杯的总高
度为（ ）
A.50cm B.56cm C.57cm D.58cm
3.（1）图①是某型号的 1 个纸杯的高度为 9.1cm，4 个叠在一起的纸杯总高度为
10.9cm，求杯子的总高度y（cm）与杯子数量n的函数关系式.
（2）图②是某品牌饮水机的示意图，储藏柜的高度是 40cm.若要将该型号纸杯叠放后
竖直（杯口向上）放入储藏柜，最多能将多少个纸杯叠放在一起？
参考答案
【复习导入】
问题1：在某个变化过程中，如果有两个变量 x 与 y，并且对于 x 的每一个确定的值，
y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 x 是自变量，y 是 x 的函数.
问题2：形如 y＝kx＋b (k，b为常数，k≠0) 的函数，叫作一次函数.
【合作探究】
探究点一：水龙头滴水量的函数关系（活动1）
例1
第 3 页解：（1）描点并连线如图所示.由图象可知，这些点分布在同一条直线上.
（2）∵这些点分布在同一条直线上，∴V与t之间是一次函数的关系.
设V关于t的函数解析式为V＝kt（k为常数，且k≠0）.
将坐标（5，10）代入V＝kt，得5k＝10，解得k＝2.
∴V关于t的函数解析式为V＝2t.
（3）60×24＝1440（min），当t＝1440时，V＝2×1440＝2880，
2880mL＝2.88L.
答：在这种状态下一天（24h）会浪费2.88L水.
[练一练]
1.（1）如图。
（2）由题意得，香每分钟缩短 0.5 cm，
那么燃烧 10 分钟时，总共减少的长度是0.5×10 = 5 cm。
则燃烧 10 分钟后香可燃烧部分的长度为 22.4 - 5=17.4 cm。
22.9
(3) 香初始长 22.9 cm，燃尽需 =45.8 min.
0.5
(4) l 与 t 的关系式为 l = 22.9 - 0.5t.
探究点二：纸杯高度的函数模型（活动2）
例2
解：（1）∵（18.5－8.5）÷5＝10÷5＝2（cm），
∴叠放纸杯，每多一个杯子高度增加2cm.
（2）根据题意得y＝8.5＋2（n－1）＝2n＋6.5.
（3）当n＝20时，y＝2×20＋6.5＝46.5.
答：20个杯子按如图方式叠放，高度是46.5cm.
当堂反馈
1. D
2. C
3.解：（1）设函数关系式为y＝h＋an.
∵1个纸杯的高度为9.1cm，4个叠在一起的纸杯总高度为10.9cm，
{h＋a=9.1， {h=8.5，
∴ 解得 ∴y与n的函数关系式为y＝0.6n＋8.5.
h+4a=10.9， a=0.6.
（2）根据题意得8.5＋0.6x≤40，解得x≤52.5.
第 4 页∵x为整数，∴x最大取52.∴最多能将52个纸杯叠放在一起.
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