文档内容
第二十章 勾股定理
20.2 勾股定理的逆定理及其应用
第2课时 勾股定理及其逆定理的综合应用
教学设计
课题 20.2第2课时 勾股定理及其逆定理的综合应用 授课人
1.会用勾股定理解决简单问题；会用勾股定理的逆定理判定直角三角形；会
用勾股定理解决综合问题和实际问题.
2.发展合情推理的能力，体会数形结合和由特殊到一般的数学思想，树立数
教学目标
形结合的思想、分类讨论思想.
3.通过获得成功的经验和克服困难的经历，增进数学学习的信心，激发学生
的民族自豪感和爱国情怀.
教学重点 回顾并思考勾股定理及逆定理.
教学难点 灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题.
授课类型 新授课 课时 1
教学步骤 师生活动 设计意图
复习导入 1．勾股定理： 通过回顾
旧知为学
如果直角三角形的两条直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那
习新知做
么 a2＋b2＝c2．
好准备.
2．勾股定理的逆定理：
如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2＋b2＝c2，那么这个三角形
是直角三角形．
我们已经学会用勾股定理解决实际问题，那么勾股定理的逆定理
在实际生活中有哪些应用呢？
探究新知 1.勾股定理的逆定理的实际应用 通过合作
探究，引
李叔叔想要检测雕塑底座正面的边 AD和边BC是否分别垂直于
出新课内
底边AB，但他随身只带了卷尺．
容，激发
（1）你能替他想办法完成任务吗？
学生的学
连接对角线AC，BD，只要分别量出AB，BC， 习兴趣.
通过构建
AC，AD和BD的长度即可．
几 何 模
若AB2＋BC2＝AC2， 型，培养
学生的空
则△ABC为直角三角形．
间想象能
同理可得到△ABD为直角三角形．
力,进一
（2）李叔叔量得 AD 长是 30 cm，AB 长是 40 步巩固勾cm，BD长是50 cm． 股定理的
应用.
AD边垂直于AB边吗？
解：因为AD2＋AB2＝302＋402＝2500＝BD2，
所以△ABD是直角三角形，∠A＝90°．
所以AD边垂直于AB边．
（3）小明随身只有一个长度为20 cm的刻度尺，他能有办法检验
AD边是否垂直于AB边吗？
当刻度尺较短时，有很多办法，
如利用分段相加的方法量出AB，AD和BD的长度，
或在AB，AD边上各量一段较小长度，再去量以它们为边的三角
形的第三边，
从而可根据勾股定理的逆定理得到结论．
（链接例1）
如何有效解决实际问题：
1．构建对应几何图形．
2．标注有用信息（或添加必要的辅助线），明确已知和所求．
3．应用数学知识解决问题．
2.勾股定理及其逆定理的综合运用
（链接例2）
勾股定理与勾股定理的逆定理的条件和结论相反．勾股定理是直
角三角形的性质，其逆定理是直角三角形的判定．勾股定理是根
据直角三角形探求边长的关系，体现了由形到数的转化；勾股定
理的逆定理是由三角形的三边关系探求三角形的形状，体现了由
数到形的转化．
（链接针对练习）
典例精析 【例1（教材P36例题）】 如图，某港口 P 位于东西方向的海 通过例题
岸线上．“远航” 号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿 和练习，
一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每 帮助学生
小时航行 12 海里．它们离开港口 一 掌握利用
个半小时后分别位于点 Q，R 处， 且 勾股定理
相距 30 海里． 如果知道“远 解决实际
航” 号沿东北方向航行，能知道 问题的方
“海天” 号沿哪个方向航行吗？ 法.
【解】根据题意，
PQ＝16×1.5＝24，PR＝12×1.5＝18 ，
QR＝30 ．
∵ 242＋182＝302，
即PQ2＋PR2＝QR2， ∴ ∠QPR＝90°，
由“远航”号沿东北方向航行可知∠1＝45°．
因此∠2＝45°，即“海天”号沿西北方向航行．
【例2（教材P37例题）】 如图，在四边形ABCD中，AB=5，
5 13
BC=3，AD= ,DC= .如果AC⊥BC，判断AC与AD是否也垂
3 3
直，并说明理由，
【解】因为AC⊥BC，所以
∠ACB=90°.
在Rt△ABC中,根据勾股定理，
AC²=AB²-BC²=5²-3²=16.所以
AC=4.
在△ACD中，
5 169 13 169
AC²+AD²=4²+（ ）²= ，CD=（ ）²= ,
3 9 3 9
所以AC²+AD²=CD².
因此△ACD是直角三角形，即AC⊥AD.
【针对练习】 如图，某中学为迎接校庆50周年，拟对学校校园
中的一块空地进行美化施工，已知AB＝3 m，BC＝4 m，∠ABC
＝90°，AD＝12 m，CD＝13 m，学校欲在此空地上铺草坪，已
知每平方米草坪80元，试问用草坪铺满这块空地共需花费多少
元．
【解】如图，连接AC，在Rt△ABC中，
∵AC2＝AB2＋BC2＝32＋42＝
25，
∴AC＝5 m．
∵AC2＋AD2＝52＋122＝169，
CD2＝132＝169，
∴AC2＋AD2＝CD2，
∴∠CAD＝90°，
该区域面积＝S －S ＝30－6＝24（m2），
△ACD △ABC
铺满这块空地共需花费24×80＝1 920（元）．
答：用草坪铺满这块空地共需花费1 920元．
随堂检测 1.一艘轮船从 A 港向南偏西 48°方向航行 100 km 到达 B 通过设置
岛，再从 B 岛沿BM 方向航行 125 km 到达 C 岛，A 港到航线 随 堂 检
测，及时BM 的最短距离是 60 km． 获知学生
对所学知
（1）若轮船速度为 25 km/h，求轮船从 C 岛沿 CA 方向返回
识的掌握
A 港所需的时间；
情况，明
确哪些学
（2）C 岛在 A 港的什么方向？
生需要在
【分析】（1）在 Rt△ABD 中，利用勾股定理可求得 BD的长 课后加强
度，则 CD＝BC－BD；然后在Rt△ACD 中，利用勾股定理可求 辅导，达
得 AC 的长度，最后由“时间＝路程÷速度”求出所需的时间； 到全面提
高 的 目
（2）由勾股定理的逆定理推知∠BAC＝90°，由方向角的定义作
的.
答即可．
【解】（1）由题意 AD＝60 km，
在 Rt△ABD 中，由 AD2＋BD2＝AB2
得 602＋BD2＝1002．
∴BD＝80（km）．
∴CD＝BC－BD＝125－80＝45（km）．
∴AC=√CD2+AD2=√452+602=75
（km）．
75÷25＝3（h）．
答：从 C 岛沿 CA 方向返回 A 港所需的时间为 3 h．
（2）∵AB2＋AC2＝1002＋752＝15 625，
BC2＝1252＝15 625，
∴AB2＋AC2＝BC2，
∴∠BAC＝90°．
∴∠NAC＝180°－90°－48°＝42°．
∴C 岛在 A 港的北偏西 42°方向上．
2.如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，
CD＝10，AD＝10√2．求四边形 ABCD 的面积．
【分析】连接 AC，然后根据勾股定理可以求得 AC 的长，再根
据勾股定理的逆定理即可判断△ACD 的形状，从而可以求得四
边形 ABCD 的面积.
【解】连接 AC，
∵∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝
8，
∴ AC= √AB2+BC2=√62+82=
．
∵CD＝10，AD＝10√2，
10
∴CD2＋AC2＝102＋102＝200，AD2＝(10√2)2＝200，∴CD2＋AC2＝AD2，
∴△ACD是直角三角形，
∴四边形ABCD的面积是
AB∙BC AC∙CD＝ 6×8 10×10＝74，
+ +
2 2 2 2
即四边形ABCD的面积是 74．
3.拖拉机行驶过程中会对周围产生较大的噪声影响．如图，有一
台拖拉机沿公路 AB 由点 A 向点 B 行驶，已知点 C 为一所学
校，且点 C 与直线AB 上两点 A，B 的距离分别为 150 m 和
200 m，AB＝250 m，拖拉机周围 130 m 以内为受噪声影响区
域．
（1）学校 C 会受噪声影响吗？为什么？
（2）若拖拉机的行驶速度为 50 m/min，拖拉机噪声影响该学校
持续的时间有多少分钟？
【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出△ABC 是直角三角
形，然后利用三角形面积得出 CD 的长，进而得出学校 C 是否
会受噪声影响.
（2）利用勾股定理得出 ED 以及 EF 的长，进而可得出拖拉机
噪声影响该学校持续的时间．
【解】（1）学校 C 会受噪声影响．
理由：如图，过点 C 作 CD⊥AB 于 D，
∵AC＝150 m，BC＝200 m，AB＝250 m，
∴AC2＋BC2＝AB2， ∴△ABC是直角三角形．
∴S ＝1AC·BC＝1CD·AB，
△ABC
2 2
∴150×200＝250CD，
∴CD＝150×200＝120（m），
250
∵拖拉机周围 130 m 以内为受
噪声影响区域，
∴学校 C 会受噪声影响．
（2）如图，取 EC＝130 m，FC＝130 m，当拖拉机在 EF 上时
学校会受噪声影响．
∵ED2＝EC2－CD2＝1302－1202＝502，
∴ED＝50（m），
∴EF＝100（m）．
∵拖拉机的行驶速度为 50 m/min，∴100÷50＝2（min），
即拖拉机噪声影响该学校持续的时间有 2 min．
课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 巩固所学
知识，加
小结：
深对本节
1．利用勾股定理逆定理求角的度数 知识的理
解.
2．利用勾股定理逆定理求线段的长
3．利用勾股定理逆定理解决实际问题
作业布置
板书设计 20.2 第2课时 勾股定理及其逆定理的综合应用
1.勾股定理的逆定理的实际应用
2.勾股定理及其逆定理的综合运用
教学反思
