文档内容
第 20 章 勾股定理
20.2 勾股定理的逆定理及其应用
第 2 课时 勾股定理的逆定理的应用
【素养目标】
1. 理解勾股定理与其逆定理的区别和联系。
2. 灵活应用勾股定理及其逆定理解决实际问题，培养应用数学的意识。(重点)
3. 割补思想、转化思想和数形结合思想的应用。(难点)
【复习导入】
回顾所学，并完成下列填空。
勾股定理：
在 Rt△ABC 中，若∠C=90∘ , 则 ____________ .
勾股定理的逆定理：在 △ABC 中，若 a2+b2 = c2 ，
则 __________________________________________ .
在军事和航海上经常要确定方向和位置，从而常需要使 用
一些数学知识和方法， 其中勾股定理的逆定理经常会被用到， 这堂课让我们
一起来学习吧。
【合作探究】
探究点1：勾股定理的逆定理的实际应用
例1 如图，港口 P 位于东西方向的海岸线上。“远航”号、“海天”号轮船
同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行 16 n mile,
“海天”号每小时航行 12 n mile. 它们离开港口 1.5 h 后分别位于点 Q , R
处，且相距 30 n mile. 如果 “远航” 号沿东北方向航行，那么 “海天” 号
沿什么方向航行吗？
实际问题：“海天”号沿哪个方向航行？
几何问题：已知______________________ 的长，
求______________.
第 1 页归纳总结：
解决实际问题的步骤：
① 构建几何模型(从整体到局部)；
② 标注有用信息，明确已知和所求；
③ 应用数学知识求解。
【变式题】
如图，南北方向 PQ 以东为我国领海，以西为公海，晚上10时28分，我边
防反偷渡巡逻101号艇在 A 处发现其正西方向的 C 处有一艘可疑船只正向我
沿海靠近， 便立即通知在 PQ 上 B 处巡逻的103号艇注意其动向，经检测，
AC = 10 海里， BC = 8海里，AB = 6海里，若该船只的速度为 12.8 海
里/时，则可疑船只最早何时进入我领海？
探究点2：勾股定理及其逆定理的综合应用
问题：勾股定理与其逆定理的区别和联系是什么？
区
别
联
系
5
例 2 如图，在四边形 ABCD 中， AB = 5 ， BC = 3 ， AD = ，
3
13
DC = .
3
如果 AC⊥BC ，判断 AC 与 AD 是否也垂直，并说明理由。
第 2 页【练一练】
1.如图，在四边形ABCD中，AC⊥DC , △ADC的面积为 30 cm2,DC=12cm,
AB = 3cm , BC = 4cm ，求△ABC的面积。
2. 如图是一农民建房时挖地基的平面图， 按标准应为长方形，他在挖完后测
量了一下，发现 AB = DC = 8m,AD = BC = 6m,AC = 9m ，请你运用所
学知识帮他检验一下挖的是否合格？
【练一练】
3.如图，△ABC 中，AB =AC ，D是AC边上的一点，CD = 1 ， BC = √5 ，
BD = 2 .
(1)求证：△BCD是直角三角形；
(2)求 △ABC 的面积。
第 3 页当堂反馈
1. 如图，OA = 6 , OB = 8 , AB = 10 ，点 A 在点 O 的北偏西 50°方
向，则点 B 在点 O 的 ( )
A. 北偏东40°的方向上
B. 北偏东50°的方向上
C. 南偏东 40∘ 的方向上
D. 南偏东50°的方向上
2. 一个三角形的三边长分别为 5,12,13，则这个三角形最长边上的高线长为
_____.
3. 如图，学校要在一块四边形空地 ABCD 上种植草皮，测得∠ABC = 90∘,
AB = 3m , BC = 4m , CD = 12m , AD = 13m . 若每平方米草皮需要
200 元，则学校需要投入多少钱？
第 4 页参考答案
复习导入
a2+b2 = c2 △ABC 为直角三角形且 ∠C = 90∘ .
探究点1：勾股定理的逆定理的实际应用
例 1 解 ： 根 据 题 意 ，
PQ = 16×1.5 = 24, PR = 12×1.5 = 18 , QR = 30.
因为 242+182=302 ，即 PQ2 + PR2 = QR2 ，所以 ∠QPR = 90∘ .
由“远航”号沿东北方向航行可知，∠1=45∘. 因此 ∠2 = 45∘，
即 “海天” 号沿西北方向航行。
【 变 式 题 】 解 ： ∵ AC = 10 , AB = 6 , BC = 8 ,
∴ AC2 = AB2 + BC2 ,
即 △ABC 是直角三角形。设 PQ 与 AC 相交于点 D ，根据三角形面积公式有
1 1 24
BC×AB = AC×BD ，即 6×8 = 10×BD ，解得 BD = .
2 2 5
在Rt 中， √ 24 2
△BCD CD = √BC2 −BD2 = 82 − ( ) = 6.4 (海里).
5
又 ∵ 该船只的速度为 12.8 海里/时，6.4÷12.8=0.5(小时)=30 (分钟),
∴ 需要 30 分钟进入我领海，即最早晚上 10 时 58 分进入我领海。
探究点2：勾股定理及其逆定理的综合应用
问题：
(1) 勾股定理是已知直角三角形，得出三边之间的关系；勾股定理的逆
定理是已知三角形的三边关系， 得出直角三角形。
区
别 (2) 勾股定理是直角三角形的性质定理， 而其逆定理是判定定理。
联 勾股定理及其逆定理都与直角三角形有关。
系
例2 解： 因为 AC⊥BC ，所以 ∠ACB=90∘ . 在 Rt △ABC 中，根据勾股定
理，AC2 = AB2 −BC2 = 52 −32 = 16 .所以 AC = 4 .
5 2 169 13 2 169
在 △ACD 中，AC2+AD2 = 42+( ) = ,CD2 = ( ) = ,
3 9 3 9
第 5 页所以 AC2 + AD2 = CD2 .因此 △ACD 是直角三角形，即 AC⊥AD .
【练一练】1. 解： .
∵S = 30 cm2 , DC = 12cm
△ACD
1 1
S = ×CD×AC = ×12×AC = 30(cm2),
ΔACD 2 2
∴AC = 5cm . 又∵AB2+BC2 = 32+42 = 52 = AC2 ,
∴△ABC 是 直 角 三 角 形 ， ∠B 是 直 角 。
1 1
∴S = ×AB×BC = ×3×4 = 6( cm2).
△ABC 2 2
【练一练】2. 解：∵AB = DC = 8m,AD = BC = 6m ,
∴AB2+BC2 = 82+62 = 64+36 = 100.又∵AC2 = 92 = 81 ,
∴ AB2+BC2 ≠ AC2 . ∴∠ABC ≠ 90∘ , ∴ 该农民挖地不合格。
3.解：(1)证明：∵ CD = 1 , BC = √5 , BD = 2 ，
∴ CD2 + BD2 = BC2 ，∴△BDC 是直角三角形
(2)设腰长 AB = AC = x ，在 Rt△ADB 中， ∵ AB2 = AD2 + BD2 ，
5
∴x2 = (x−1) 2+22 ， 解 得 x = .
2
1 1 5 52
∴S = AC×BD = × ×2 =
△ADB 2 2 2 2
当堂反馈
60
1. A. 2.
13
3. 解： 如图，连接 AC,∵∠B = 90∘, AB = 3m , BC = 4m ,
.
∴AC = √AB2+BC2 = √32+42 = 5( m)
∵CD = 12m , AD = 13m , ∴ AC2+CD2 = AD2 .
∴△ACD 是直角三角形，且 ∠ACD = 90∘ .
1 1
∴S = S +S = ×3×4+ ×5×12 = 36( m2),
四边形ABCD △ABC △ACD 2 2
200×36=7200 (元). ∴ 学校需要投入7200元。
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