文档内容
20.2 勾股定理的逆定理及其应用
知识点一 判断三边能否构成直角三角形
1．（24-25八年级下·云南红河·期末）下列各组线段中，不能构成直角三角形的一组是（ ）
A．3，4，5 B．3，5，7 C．6，8，10 D．5，12，13
【答案】B
【分析】本题主要考查勾股定理逆定理，熟练掌握勾股定理逆定理是解题的关键；根据勾股定理逆定理，
若三角形三边满足 （c为最长边），则该三角形为直角三角形，分别计算各组线段是否满足此
条件即可．
【详解】解：对于选项A：∵ ，∴能构成直角三角形；
对于选项B：∵ ，∴不能构成直角三角形；
对于选项C：∵ ，∴能构成直角三角形；
对于选项D：∵ ，∴能构成直角三角形；
故选：B．
2．（24-25八年级下·云南临沧·期末）五根木棒（单位： ）的长度分别为1，2，3，4，5，从其中选出
三根，将它们首尾相接摆成三角形，其中能摆成直角三角形的是（ ）
A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，4，5 D．1，3，5
【答案】C
1 / 25
学科网（北京）股份有限公司【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，利用勾股定理的逆定理判断直角三角形是解题的关键．
先根据三角形不等式判断各组线段能否组成三角形，再根据勾股定理的逆定理判断是否为直角三角形.
【详解】解：A、∵ ，不满足两边之和大于第三边，∴不能组成三角形．
B、∵ ， ， ，∴能组成三角形，但∵ ， ， ，∴不
是直角三角形．
C、∵ ， ， ，∴能组成三角形，且∵ ， ，∴是直角三角
形．
D、∵ ，∴不能组成三角形．
故选：C．
3．（24-25八年级下·福建三明·期中）下列长度的线段能构成直角三角形的是（）
A．4，5，6 B．1，1，2 C．2，3，4 D．1， ，2
【答案】D
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理．根据勾股定理的逆定理，若三角形三边满足两边平方和等于第三
边平方，则该三角形为直角三角形．同时需验证三边能否构成三角形（两边之和大于第三边）．
【详解】解：A、 ， ， ，不能构成直角三角形．
B、 ，不大于2，不能构成三角形．
C、 ， ， ，不能构成直角三角形．
D、 ， ，相等，能构成直角三角形．
故选：D．
4．（24-25八年级下·四川泸州·期中）以下列各组数值为边长，不能构成直角三角形的是（ ）
A．7，24，25 B．1，1， C．20，21，29 D．9，16，25
【答案】D
【分析】本题主要考查了直角三角形的判定，解题的关键是掌握勾股定理的逆定理．
根据勾股定理的逆定理，判断各组数是否满足两边平方和等于最大边的平方．
【详解】解：对于选项A：∵ ，
2 / 25
学科网（北京）股份有限公司∴ ，
能构成直角三角形；
对于选项B：∵ ，
∴ ，
能构成直角三角形；
对于选项C：∵ ，
∴ ，
能构成直角三角形；
对于选项D：∵ ，
∴ ，
不能构成直角三角形；
故选：D．
知识点二 图形上与已知两点构成直角三角形的点
1．（23-24八年级下·广西玉林·期末）如图，在 方格中作以 为一边的 ，要求点C也在格点
上，这样的 能作出（ ）
A．2个 B．4个 C．6个 D．7个
【答案】C
【分析】此题主要考查了勾股定理逆定理，正确进行讨论，把每种情况考虑全，是解决本题的关键，当
是斜边时有四个 ，当 是直角边时有2个 ．
【详解】解：当 是斜边时，则第三个顶点所在的位置有：C、D、E、H四个；
3 / 25
学科网（北京）股份有限公司当 是直角边，A是直角顶点时，第三个顶点是F点；
当 是直角边，B是直角顶点时，第三个顶点是G．
因而共有6个满足条件的顶点．
故选C．
2．（23-24八年级下·河北唐山·期中）在平面直角坐标系中，已知点 ， 为坐标原点．若要使
是直角三角形，则点 的坐标不可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查坐标与图形的性质，直角三角形的性质，勾股定理的逆定理．根据题意，画出图即可，
见详解．
【详解】解：如图所示，点 的坐标不可能是 ，
A.点 时， ，此项不符合题意；
B.点 时， ，此项不符合题意；
C.点 时，如图， 不是直角三角，符合题意；
D.点 时，由勾股定理求得 ,故 ，即 ,此项不符合题意；
故选：C．
4 / 25
学科网（北京）股份有限公司3．（22-23八年级下·浙江台州·期中）在如图所示的 的方格图中，点A和点B均为图中格点．点C也
在格点上，满足 为以 为斜边的直角三角形．这样的点C有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】结合网格的性质和直角三角形的判定找到对应点即可．
【详解】解：如图，满足条件的点C共有4个，
故选D．
【点睛】此题主要考查了勾股定理逆定理，正确进行讨论，把每种情况考虑全，是解决本题的关键．
4．（2019·福建·一模）点 A（2，m），B（2，m-5）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点．若 ABO是
直角三角形，则m的值不可能是（ ） △
A．4 B．2 C．1 D．0
【答案】B
【分析】分∠OAB＝90°，∠OBA＝90°，∠AOB＝90°三种情况考虑：当∠OAB＝90°时，点A在x轴上，进而
5 / 25
学科网（北京）股份有限公司可得出m＝0；当∠OBA＝90°时，点B在x轴上，进而可得出m＝5；当∠AOB＝90°时，利用勾股定理可得
出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值．综上，对照四个选项即可得出结论．
【详解】
解：分三种情况考虑（如图所示）：
当∠OAB＝90°时，m＝0；
当∠OBA＝90°时，m−5＝0，解得：m＝5；
当∠AOB＝90°时，AB2＝OA2＋OB2，即25＝4＋m2＋4＋m2−10m＋25，
解得：m ＝1，m ＝4．
1 2
综上所述：m的值可以为0，5，1，4．
故选B．
【点睛】本题考查了坐标与图形性质以及勾股定理，分∠OAB＝90°，∠OBA＝90°，∠AOB＝90°三种情况求
出m的值是解题的关键．
知识点三 利用勾股定理的逆定理求解
1．（24-25八年级下·四川南充·期末）如图，在 中， ， ， ， 是 上一点，
，求 的长．
【答案】 的长为
【分析】本题考查勾股定理，勾股定理的逆定理．
由勾股定理的逆定理，可得 ，根据勾股定理可得 ，从而可得 的长．
【详解】解：∵ ， ， ，
6 / 25
学科网（北京）股份有限公司∴ ， ，
∴ ，
∴ 为直角三角形， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ．
∴ 的长为 ．
2．（23-24八年级下·甘肃定西·月考）如图，在 中， 是直角， ， ， ，
，求四边形 的面积．
【答案】36
【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键．
在 中根据勾股定理求得 ，从而得到 ，根据勾股定理的逆定
理证得 是直角三角形， ，从而根据 即可求解．
【详解】解：∵在 中， ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ 是直角三角形， ，
∴
7 / 25
学科网（北京）股份有限公司．
3．（24-25八年级下·湖南长沙·开学考试）如图， 中， ， ， ， 是三角形的
高线，直线 交 于 点，交 于 点，若 ；
(1)求证： 平分 ；
(2)求点D到直线 的距离．
【答案】(1)证明见解答
(2)3
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，角平分线的性质定理，关键是得到 平分 ．
（1）根据勾股定理的逆定理，结合等角的余角相等即可求解；
（2）根据三角形面积公式即可求解．
【详解】（1）证明： 中， ， ， ，
，
是直角三角形， ，
，
，
，
，
是三角形的高线，
，
，
，
平分 ；
（2）解：过 点作 于 ，
8 / 25
学科网（北京）股份有限公司平分 ，
，
设点 到直线 的距离是 ，
则 ，
解得 ．
故点 到直线 的距离是3．
4．（24-25八年级下·湖北恩施·月考）如图，在 中， ，点 是边 上一点，连接 ，且
， ．
(1)求证： ；
(2)若 ，求 的周长．
【答案】(1)证明见解析.
(2)
【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，关键是根据勾股定理的逆定理证明 是直角三角
形．
（1）根据勾股定理的逆定理即可得到结论；
（2）根据三角形面积公式得出 ，再利用勾股定理得出 ，进而解答即可．
【详解】（1）证明：在 中， ， ， ，
∵ ，
∴ 是直角三角形，且 ，
9 / 25
学科网（北京）股份有限公司∴ ；
（2）解：∵ ，
∴ 是直角三角形，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，即 ，
解得 ，
∴ 的周长 ．
知识点四 勾股定理逆定理的应用
1．（23-24八年级下·河南洛阳·月考）2022年是第七届全国文明城市创建周期的第二年，某小区在创城工
作过程中，在临街的拐角清理出了一块可以绿化的空地．如图，已知 ， ， ，
， ．
(1)求 的长度；
(2)若平均每平方米空地的绿化费用为50元，试计算绿化这片空地共需花费多少元？
【答案】(1) 的长度为
(2)共需花费 元
【分析】本题主要考查勾股定理及其逆定理的实际运用，掌握以上知识是解题的关键．
（1）根据题意可知，在 中，根据勾股定理即可求解；
（2）运用勾股定理的逆定理判定 是直角三角形，由此即可求解绿化空地的面积，由此即可求解．
【详解】（1）解：∵ ， ， ，
∴在 中， ，
∴ 的长度为 ．
10 / 25
学科网（北京）股份有限公司（2）解：已知 ， ， ，
∴ ， ， ，
∴ ，即 ，
∴ 是直角三角形，
∴ ， ，
∴空地的绿化的面积为 ，
∵平均每平方米空地的绿化费用为 元，
∴绿化这片空地共需花费 （元），
∴共需花费 元．
2．（24-25八年级下·湖北黄冈·期末）在春天来临之际，八（1）班的学生计划在学校劳动实践基地种植蔬
菜．他们班的劳动实践基地正好是一块四边形的土地 ．如图， ， ， ，
， ，求该四边形土地 的面积．
【答案】该四边形土地 的面积为
【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理．
根据勾股定理得到 ，进而可得 是直角三角形，根据四边形 的面积 的面积
的面积计算即可．
【详解】解：连接 ，
， ， ，
在 中，由勾股定理得 ，
， ，
∴ ，
11 / 25
学科网（北京）股份有限公司是直角三角形，
四边形 的面积 的面积 的面积
该四边形土地 的面积为 ．
3．（24-25八年级下·福建厦门·月考）如图，台风“海葵”中心沿东西方向 由A向B移动，已知点C为
一海港，且点C与直线 上的两点A、B的距离分别为 ，又 ，经
测量，距离台风中心 及以内的地区会受到影响．海港C受台风影响吗？为什么？
【答案】海港 受台风影响，理由见解析
【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理的实际应用，由勾股定理逆定理可证明 为直角三角形，
且 ．过点 作 于点D，由等面积法可求出 ，即说明海港 受台
风影响．
【详解】解：海港 受台风影响，理由如下：
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 为直角三角形，且 ．
过点 作 于点D，如图，
∵ ，
∴ ，
12 / 25
学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∵ ，
∴海港 受台风影响．
4．（24-25八年级下·山东聊城·月考）如图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图．根据安全标准需
满足 ，现测得 ， ， ， ，其中 与 之间由一个固定
为 的零件连接（即 ）．通过计算说明该车是否符合安全标准．
【答案】该车不符合安全标准，见解析
【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理；利用勾股定理求出 ，由
，可得 ，则 和 不垂直，该车不符合安全标准．
【详解】解：该车不符合安全标准；
在 中， ， ， ，
由勾股定理得： ，
在 中， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 和 不垂直，
∴该车不符合安全标准．
1．（23-24八年级下·福建莆田·月考）定义：若a，b，c是 的三边，且 ，则称 为
“方倍三角形”．
(1)对于①等边三角形②直角三角形，下列说法一定正确的是 ．
13 / 25
学科网（北京）股份有限公司A．①一定是“方倍三角形” B．②一定是“方倍三角形”
C．①②都一定是“方倍三角形” D．①②都一定不是“方倍三角形”
(2)如图， 中， ， ，P为 边上一点，将 沿直线 进行折叠，点A
落在点D处，连接 ， ．若 为“方倍三角形”，且 ，求 的面积．
【答案】(1)A
(2)
【分析】本题考查了翻折变换、等边三角形的性质，解决本题的关键是掌握等边三角形的性质．
（1）根据“方倍三角形”定义可得，等边三角形一定是“方倍三角形”，直角三角形不一定是“方倍三
角形”进而可以判断；
（2）根据题意可得 ，根据“方倍三角形”定义可得 为等边三角形，从而证明
为等腰直角三角形，可得 ，延长 交 于点 ，根据勾股定理求出 的长，根据
为等腰直角三角形，可得 ，进而可以求 的面积．
【详解】（1）解：对于①等边三角形，三边相等，
设边长为 ，
则 ，
根据“方倍三角形”定义可知：
等边三角形一定是“方倍三角形”；
对于②直角三角形，三边满足关系式：
，
根据“方倍三角形”定义可知：
直角三角形不一定是“方倍三角形”；
14 / 25
学科网（北京）股份有限公司故答案为： ；
（2）由题意可知：
，
， ，
根据“方倍三角形”定义可知：
，
，
为等边三角形， ，
，
，
，
，
，
， ，
，
，
为等腰直角三角形，
，
，
延长 交 于点 ，如图，
，
， ，
，
，
15 / 25
学科网（北京）股份有限公司，
为等腰直角三角形，
，
．
2．（23-24八年级上·江苏镇江·期中）【问题初探】勾股定理神奇而美妙，它的证法多种多样，在学习了
教材中介绍的拼图证法以后，小华突发灵感，给出了如图①的拼图：两个全等的直角三角板 和直角三
角板 ，顶点F在 边上，顶点C、D重合，连接 ．设 交于点G．
， ， ， ．请你回答以下问题：
（1） 与 的位置关系为______．
（2）填空： ______（用含c的代数式表示）．
（3）请尝试利用此图形证明勾股定理．
【问题再探】平移直角三角板 ，使得顶点B、D重合，这就是大家熟悉的“K型图”，如图②，此时
三角形 是一个等腰直角三角形．
请你利用以上信息解决以下问题：
已知直线 及点P，作等腰直角 ，使得点A、B分别在直线a、b上且 ．（尺规作图，
保留作图痕迹）
【问题拓展】请你利用以上信息解决以下问题：
已知 中， ， ， ，则 的面积 ______．
16 / 25
学科网（北京）股份有限公司【答案】问题初探：（1） ；（2） ；（3）见解析；问题再探：见解析；问题拓展：9
【分析】本题是四边形的综合题，考查了勾股定理的证明，三角形的面积的计算，全等三角形的性质．
问题初探：（1）根据全等三角形的性质得到 ，求得 ，得到
，根据垂直的定义得到 ；
（2）根据三角形的面积公式即可得到结论；
（3）根据三角形的面积和梯形的面积公式用两种方法求得四边形 的面积，于是得到结论．
问题再探：如图，过点P作 直线 于点F交直线a于点E，截取 ， ，连接
即可；
问题拓展：过点B作 交 延长线于点E，过点C作 于点D，证明
，得 ，根据勾股定理得
，然后代入三角形面积公式即可解决问题．
【详解】解：问题初探：（1） ；
证明： ，
，
，
，
，
，
，
故答案为： ；,
（2）∵ ，
17 / 25
学科网（北京）股份有限公司，
故答案为： ；,
（3）证明：∵四边形 的面积
，
∴四边形 的面积
，
∴ ，
即 ．
问题再探：解：如图， 即为所求；
18 / 25
学科网（北京）股份有限公司问题拓展：解：如图，过点B作 交 延长线于点E，过点C作 于点D，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
在 和 中，
，
，
，
，
19 / 25
学科网（北京）股份有限公司，
，
，
，
的面积
．
故答案为：9．
3．（23-24八年级上·江苏徐州·期中）在 中， ，设 为最长边，当
时， 是直角三角形；当 时，利用代数式 和 的大小关系，探究 的形状（按
角分类）．
(1)当 三边分别为6、8、9时， 为________三角形；当 三边分别为6、8、11时，
为________三角形；
(2)猜想：当 ________ 时， 为锐角三角形；当 ________ 时， 为钝角三角形；
（填“>”或“<”或“=”）
(3)判断：当 时，
当 为直角三角形时，则 的取值为________；
当 为锐角三角形时，则 的取值范围________；
当 为钝角三角形时，则 的取值范围________．
【答案】(1)锐角；钝角
(2)
20 / 25
学科网（北京）股份有限公司(3)① ；② ；③
【分析】本题主要考查勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
（1）当两直角边为6、8时，利用勾股定理可得斜边的长度，当三角形最长的边小于所求边为锐角三角形，
反之为钝角三角形；
（2）根据勾股定理的逆定理即可得出结论；
（3）当为直角三角形时，可求出 ，再根据勾股定理的逆定理求出下面情况的取值范围．
【详解】（1）解：当两直角边为6、8时，斜边
当 三边分别为6、8、9时， 为锐角三角形
当 三边分别为6、8、11时， 为钝角三角形
（2）解：由勾股定理逆定理可得，
当 时， 为锐角三角形；
当 时， 为钝角三角形；
（3）解：当为直角三角形时， ；
当 为锐角三角形时， ，
；
当 为钝角三角形时， ，
则 的取值范围为 ，
两边之和大于第三边，
．
4．（24-25八年级下·广西来宾·期中）【综合与实践】
【问题探究】
（1）如图1， 为四边形 的对角线， ，若 ， ， ， ，试求
四边形 的面积；
21 / 25
学科网（北京）股份有限公司【问题解决】
（2）如图2，四边形 是某县一座全民健身中心的平面示意图， 、 、 为三条走廊（点 和
点 分别在边 和 上）， 米， 米， 米， 米， ，
．求 的长；
（3）随着民众健康意识的不断增强，对科学健身也有了更多的需求，为满足民众不断增长的健身需求，
该县计划对这座全民健身中心进行重新规划，在 上取点 ，并将 区域修建为功能训练区，根据
设计要求， 应为等腰三角形，请你帮助设计人员计算出所有符合条件的 的长．
【答案】（1） ；（2） 米；（3）20米或14米或25米
【分析】（1）先利用勾股定理，由 ， ， 算出 的长；再通过勾股定理逆定理，
结合 ， ，判断 是直角三角形；最后将四边形 拆分为 和 ，分别用直
角三角形面积公式计算后求和 ．
（2）先根据勾股定理，由 米， 米， 算出 ；再用勾股定理逆定理，结合
米， 米，判断 是直角三角形；接着算出 的长，最后依据三角形面积的两种不同
表示方法（ ），求出 ．
（3）分三种等腰三角形情况讨论：当 时，直接用 算 ；当 时，先算 ，再
确定 ，进而得 ；当 时，设未知数，利用勾股定理列方程求解 ，再算 ．
【详解】（1）解：（1）由题意可得： ．
22 / 25
学科网（北京）股份有限公司∵ ， ，
∴ ．
∵ ， ， ，
∴ ．
∴ 是直角三角形，且 ．
∴ ．
（2）∵ ，
∴ ，
∴ （米）．
∵ 米， 米， 米，
∴ ．
∴ 是直角三角形，且 ，
∴ ， 是直角三角形，
∵ 米， 米，
∴ 米．
∵ ，
∴ ．
∴ ，
解得 米．
（3）①当 时，如图2，点 在 的位置，
23 / 25
学科网（北京）股份有限公司∴ 米．
∴ 米．
②当 时，如图2，点 在 的位置，
∵ 米， 米， ，
∴ （米）．
由题意可得： （米）．
∴ （米）；
③当 时，如图2，点 在 的位置，
设 ，则 ．
，
∴ ，
解得 ，即 ．
∴ （米）．
综上可知， 的长为20米或14米或25米．
【点睛】本题主要考查了勾股定理、勾股定理逆定理、三角形面积公式以及等腰三角形的分类讨论，熟练
掌握勾股定理及其逆定理，灵活运用三角形面积公式，准确进行等腰三角形分类讨论是解题的关键．
24 / 25
学科网（北京）股份有限公司25 / 25
学科网（北京）股份有限公司
