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20.2 勾股定理的逆定理及其应用
知识点一 判断三边能否构成直角三角形
1．（24-25八年级下·云南红河·期末）下列各组线段中，不能构成直角三角形的一组是（ ）
A．3，4，5 B．3，5，7 C．6，8，10 D．5，12，13
2．（24-25八年级下·云南临沧·期末）五根木棒（单位： ）的长度分别为1，2，3，4，5，从其中选出
三根，将它们首尾相接摆成三角形，其中能摆成直角三角形的是（ ）
A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，4，5 D．1，3，5
3．（24-25八年级下·福建三明·期中）下列长度的线段能构成直角三角形的是（）
A．4，5，6 B．1，1，2 C．2，3，4 D．1， ，2
4．（24-25八年级下·四川泸州·期中）以下列各组数值为边长，不能构成直角三角形的是（ ）
A．7，24，25 B．1，1， C．20，21，29 D．9，16，25
知识点二 图形上与已知两点构成直角三角形的点
1．（23-24八年级下·广西玉林·期末）如图，在 方格中作以 为一边的 ，要求点C也在格点
上，这样的 能作出（ ）
A．2个 B．4个 C．6个 D．7个
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学科网（北京）股份有限公司2．（23-24八年级下·河北唐山·期中）在平面直角坐标系中，已知点 ， 为坐标原点．若要使
是直角三角形，则点 的坐标不可能是（ ）
A． B． C． D．
3．（22-23八年级下·浙江台州·期中）在如图所示的 的方格图中，点A和点B均为图中格点．点C也
在格点上，满足 为以 为斜边的直角三角形．这样的点C有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（2019·福建·一模）点 A（2，m），B（2，m-5）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点．若 ABO是
直角三角形，则m的值不可能是（ ） △
A．4 B．2 C．1 D．0
知识点三 利用勾股定理的逆定理求解
1．（24-25八年级下·四川南充·期末）如图，在 中， ， ， ， 是 上一点，
，求 的长．
2．（23-24八年级下·甘肃定西·月考）如图，在 中， 是直角， ， ， ，
，求四边形 的面积．
3．（24-25八年级下·湖南长沙·开学考试）如图， 中， ， ， ， 是三角形的
高线，直线 交 于 点，交 于 点，若 ；
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学科网（北京）股份有限公司(1)求证： 平分 ；
(2)求点D到直线 的距离．
4．（24-25八年级下·湖北恩施·月考）如图，在 中， ，点 是边 上一点，连接 ，且
， ．
(1)求证： ；
(2)若 ，求 的周长．
知识点四 勾股定理逆定理的应用
1．（23-24八年级下·河南洛阳·月考）2022年是第七届全国文明城市创建周期的第二年，某小区在创城工
作过程中，在临街的拐角清理出了一块可以绿化的空地．如图，已知 ， ， ，
， ．
(1)求 的长度；
(2)若平均每平方米空地的绿化费用为50元，试计算绿化这片空地共需花费多少元？
2．（24-25八年级下·湖北黄冈·期末）在春天来临之际，八（1）班的学生计划在学校劳动实践基地种植蔬
菜．他们班的劳动实践基地正好是一块四边形的土地 ．如图， ， ， ，
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学科网（北京）股份有限公司， ，求该四边形土地 的面积．
3．（24-25八年级下·福建厦门·月考）如图，台风“海葵”中心沿东西方向 由A向B移动，已知点C为
一海港，且点C与直线 上的两点A、B的距离分别为 ，又 ，经
测量，距离台风中心 及以内的地区会受到影响．海港C受台风影响吗？为什么？
4．（24-25八年级下·山东聊城·月考）如图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图．根据安全标准需
满足 ，现测得 ， ， ， ，其中 与 之间由一个固定
为 的零件连接（即 ）．通过计算说明该车是否符合安全标准．
1．（23-24八年级下·福建莆田·月考）定义：若a，b，c是 的三边，且 ，则称 为
“方倍三角形”．
(1)对于①等边三角形②直角三角形，下列说法一定正确的是 ．
A．①一定是“方倍三角形” B．②一定是“方倍三角形”
C．①②都一定是“方倍三角形” D．①②都一定不是“方倍三角形”
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学科网（北京）股份有限公司(2)如图， 中， ， ，P为 边上一点，将 沿直线 进行折叠，点A
落在点D处，连接 ， ．若 为“方倍三角形”，且 ，求 的面积．
2．（23-24八年级上·江苏镇江·期中）【问题初探】勾股定理神奇而美妙，它的证法多种多样，在学习了
教材中介绍的拼图证法以后，小华突发灵感，给出了如图①的拼图：两个全等的直角三角板 和直角三
角板 ，顶点F在 边上，顶点C、D重合，连接 ．设 交于点G．
， ， ， ．请你回答以下问题：
（1） 与 的位置关系为______．
（2）填空： ______（用含c的代数式表示）．
（3）请尝试利用此图形证明勾股定理．
【问题再探】平移直角三角板 ，使得顶点B、D重合，这就是大家熟悉的“K型图”，如图②，此时
三角形 是一个等腰直角三角形．
请你利用以上信息解决以下问题：
已知直线 及点P，作等腰直角 ，使得点A、B分别在直线a、b上且 ．（尺规作图，
保留作图痕迹）
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学科网（北京）股份有限公司【问题拓展】请你利用以上信息解决以下问题：
已知 中， ， ， ，则 的面积 ______．
3．（23-24八年级上·江苏徐州·期中）在 中， ，设 为最长边，当
时， 是直角三角形；当 时，利用代数式 和 的大小关系，探究 的形状（按
角分类）．
(1)当 三边分别为6、8、9时， 为________三角形；当 三边分别为6、8、11时，
为________三角形；
(2)猜想：当 ________ 时， 为锐角三角形；当 ________ 时， 为钝角三角形；
（填“>”或“<”或“=”）
(3)判断：当 时，
当 为直角三角形时，则 的取值为________；
当 为锐角三角形时，则 的取值范围________；
当 为钝角三角形时，则 的取值范围________．
4．（24-25八年级下·广西来宾·期中）【综合与实践】
【问题探究】
（1）如图1， 为四边形 的对角线， ，若 ， ， ， ，试求
四边形 的面积；
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学科网（北京）股份有限公司【问题解决】
（2）如图2，四边形 是某县一座全民健身中心的平面示意图， 、 、 为三条走廊（点 和
点 分别在边 和 上）， 米， 米， 米， 米， ，
．求 的长；
（3）随着民众健康意识的不断增强，对科学健身也有了更多的需求，为满足民众不断增长的健身需求，
该县计划对这座全民健身中心进行重新规划，在 上取点 ，并将 区域修建为功能训练区，根据
设计要求， 应为等腰三角形，请你帮助设计人员计算出所有符合条件的 的长．
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