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20.2 勾股定理的逆定理及其应用
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1. 理解勾股定理的逆定理；
2. 能用勾股定理逆定理判断三角形是否为直角三角形，以及解决相关的实际应用问题。
【题型1】判断三个数是否为勾股数
1.（25-26八年级上·广东深圳·期中）下列四组数中，是勾股数的是（ ）
A．10，8，6 B． ， ，
C． ， ， D．0.3，0.4，0.5
2．（25-26七年级上·湖南·期末）下列各组数中不是勾股数的是（ ）
A． B． C． D．
3．（25-26八年级上·江苏常州·期中）当n为正整数时，下列各组数：① ， ， ；②5，6，7；
③ ， ， ，其中是勾股数的是（ ）
A．① B．①② C．①③ D．①②③
4．（25-26八年级上·全国·随堂练习）有一组勾股数，已知其中的两个数分别是20和15，则第三个数是
．
5.（24-25八年级下·山东潍坊·期中）满足 的三个正整数组成的数组 叫做勾股数组．《周
髀算经》中记载的“勾三股四弦五（古人将直角三角形中较短边称为勾，另一直角边称为股，斜边称为
弦）”就是一组最简单的勾股数组 ，在《九章算术》中给出了更多的勾股数组： ，
等．上述勾股数组的规律，可以用下面表格呈现：
勾股数组 …
股与弦的和： 9 25 49 …
股 …
弦 …
通过观察分析，回答下列问题：(1)根据上述勾股数组的特点，写出勾股数组（11，______，______）；（______，______，145）
(2)猜想：若 表示比1大的奇数，则上述勾股数组可以表示为（ ，______，______）；
(3)请证明（2）中的猜想．
【题型2】判断三角形是否为直角三角形
6.（25-26八年级上·江西萍乡·期中）以下列各组数为边长，能够组成直角三角形的是（ ）
A． ， ， B．7，25，24 C．12，18，22 D．2，2，4
7．（25-26八年级上·山东枣庄·月考） 中，若 ，则 ．
8．（25-26八年级上·河南平顶山·期中）下列说法正确的是（ ）
A． 的两边长 ， ，则
B． 中 ， ，则
C．在 中，若 ，则 是直角三角形
D．在 中，若三边长分别为9，40，41，则 是直角三角形
9．（25-26八年级上·陕西咸阳·月考）若 的三边长为 、 、 ，并且满足
，则 的形状是 ．
10．（24-25八年级上·河北·期末）如图，三角形 ， 、 、 分别是以 、 、 为直径的半
圆的面积，若 ，则三角形 是 ．
【题型3】证明一个三角形为直角三角形
11.（23-24八年级上·贵州贵阳·月考）如图，在 中， 的垂直平分线 分别交 、 于点D、
E，且 ．(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的面积
12．（24-25八年级下·广东东莞·月考）如图，在四边形 中， ， ， ， ，
．
(1)求证：
(2)求四边形 的面积．
13．（25-26八年级上·浙江湖州·期中）如图，已知 中， ， ， 是 上一点，连结
，且 ， ．
(1)求证： ．
(2)求 的度数．
14．（22-23八年级下·陕西渭南·期末）如图，在 中， ， ， 是 上一点，且 ，
，求证： ．15．（25-26八年级上·广东梅州·月考）如图，已知在 中， ， ， 边上的中线 ．
求证：
【题型4】直角坐标系（网格）中直角三角形的判断
16.（19-20八年级·上海静安·课后作业）已知A( ， )，B(4， )，C(1，2)，判定 ABC的形状．
17．（18-19八年级·全国·课后作业）点 在 轴上， 、 ，如果 是直角三角形，求点
的坐标．
18．（24-25八年级上·河南平顶山·期中）已知，点 ， ， 、
(1)在这个坐标平面内画出
(2)计算 的面积；
(3)若点P在y轴上，且 与 的面积相等，求点 P 的坐标．19.（24-25八年级下·云南临沧·期末）如图，网格图中每个小正方形的边长都是1． 的三个顶点都在
网格线的交点上．求证： ．
20.．（24-25八年级上·福建宁德·月考）如图所示，图中每个小正方形的边长都为1，点A，B，C，D在格
点上．
(1)四边形 的周长为_______，面积为_______；
(2)若 是以 为斜边的直角三角形，则满足条件的格点E有_______个．
【题型5】已知三边长求三角形的高（面积）
21.（25-26八年级上·江苏徐州·期中）四边形 的面积是 ．
22.（25-26八年级上·浙江杭州·月考）如图，在四边形 中， ， ， ，
，四边形 的面积为 ．23.（24-25八年级下·江西上饶·月考）如图，已知在△ABC中，CD⊥AB于点D，BD＝9，BC＝15，AC＝
20．
(1)求CD的长；
(2)求AB的长；
(3)判断△ABC的形状．
24.（25-26八年级上·陕西汉中·期中）如图，在 中， ，D为 上一点，连接 ，若
， ， ．
(1)判断 的形状，并说明理由；
(2)求 的面积
25.（25-26八年级上·湖南·期末）阅读下列内容，设 ， ， 是一个三角形的三条边的长，且 是最长边，
我们可以利用 ， ， 三边长间的关系来判断这个三角形的形状：①若 ，则该三角形是直角三
角形；②若 ，则该三角形是钝角三角形；若③ ，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是 ， ， 则最长边是 ，由于 ，故由上面③可知该三
角形是锐角三角形，请解答以下问题．
（1）若一个三角形的三条边长分别是 ， ， 则该三角形是 三角形（填“锐角”、“直角”或
“钝角”）；
（2）若一个三角形的三条边长分别是 ， ， 且这个三角形是直角三角形，则 的值为 ．
【题型6】动点问题——能否构成直角三角形
26.（24-25八年级上·浙江·期末）如图， ，点A是 延长线上的一点， ，动点P
从点A出发沿 以 的速度移动，动点Q从点O出发沿 以 的速度移动，如果点 同时
出发，用 表示移动的时间，当 s时， 是等腰三角形；当 s时，
是直角三角形．
27.（25-26八年级上·四川·月考）如图，在 中， ，点 在线段 上以每秒
个单位的速度从 向 移动，连接 ，当点 移动 秒时， 与 的边垂直．
28.（24-25八年级下·吉林四平·期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，AC=4cm，动点P从点B出发沿射线BC以3cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒．
(1)求BC边的长；
(2)当△ABP为直角三角形时，求t的值；
(3)当△ABP为等腰三角形时，请直接写出此时t的值．
29.（2023·浙江温州·二模）在直角坐标系中，我们把横纵坐标都为整数的点叫作整点，顶点都是整点的三
角形称为整点三角形．如图，已知整点 ， ，请在所在的网格区域（含边界）画出符合要求的
整点三角形．
(1)在图1中画一个 ．
(2)在图2中画一个 ，使点Q的横纵坐标相等，且 的面积等于3．
【题型7】勾股定理的应用——判断是否是直角
30.（2025八年级上·全国·专题练习）如图是王叔叔建房时所挖地基的平面图，按标准，四边形 四个
角都应是直角，他在挖完后测量发现 ，则他挖的地基
．（填“合格”或“不合格”）31.（25-26八年级上·山西运城·期中）某旅游景区导览图的框架结构示意图如图所示．现测得 ，
， ， ， ．根据安全标准需满足 ，请你通过计算说
明该框架结构是否符合安全标准．
32.（25-26八年级上·全国·课后作业）如图是一个机器零件的示意图， 是这种零件合格的一项
指标．现测得 ， ， ， ， ．根据这些条件，能否知道
？
33.（24-25八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）如图，某港口 位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海
天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航
行12海里．它们离开港口一个半小时后分别位于点 处，且相距30海里．已知“远航”号沿东北方向
航行，则“海天”号沿 方向航行．
34.（25-26八年级上·重庆·期中）某校劳动基地的形状是类似如图所示的四边形 ，测得 ，
， ， ，且 ，现需将菜地分成两块，分别种上白菜和萝卜．为了
区分两块区域，劳动老师决定沿对角线 修一条仅供一个人走的小路（小路的宽度忽略不计），小路上方种白菜，下方种萝卜．
(1)求小路 的长；
(2)通过计算说明种白菜和萝卜的菜地哪块大？大多少？
【题型8】判断线段是否为最短路径
35.（25-26八年级上·江苏无锡·月考）在一条东西走向的河流一侧有一村庄A，河边原有两个取水点B，
C，其中 ，由于某种原因，由A到B的路现在已经不通，A村为方便村民取水决定在河边新建一
个取水点D（B、C、D在一条直线上），并新修一条路 ，测得 千米， 千米，
千米．
(1)问 是否为从村庄A到河边的最近路？请通过计算加以说明；
(2)求原来的路线AB的长．
36.（25-26八年级上·全国·月考）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，常在周围几百千米的范围
内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向 由点 向点 移动，已知点 为
一海港，且点 与 ， 两点之间的距离 ， 分别为 ， ， ，以台风中心为
圆心周围 以内（包括 ）为受影响区域．
(1)海港 受台风影响吗？为什么？
(2)若海港 受台风影响，且台风中心移动的速度为 ，台风影响海港 持续的时间有多长？（若海
港 不受台风影响，则忽略此问）
37.（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图，在一条东西方向铁路的北边有一鸟类巢穴C，铁路上有A、B两处观测点，观测点A距离鸟类巢穴 ，观测点B距离鸟类巢穴 ，两观测点A、B相距 ．火车
行驶时会对周围半径 范围造成噪声污染．
(1)证明 为直角三角形，并求点C到铁路 的距离；
(2)当一列长度为 的火车以 的速度经过铁路时会对鸟类巢穴造成噪声污染吗？若不会造成噪
声污染，请说明理由；若会造成噪声污染，求出火车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长．
