文档内容
20.1 勾股定理及其应用（第 2 课时） 教学设计
一、内容和内容解析
1. 内容
本节课是在学习勾股定理的基础上，学习应用勾股定理进行直角三角形的边长计算，解决一些简单的
实际问题。
2. 内容分析
勾股定理的核心价值在于“应用”，本节课承接上一课时的定理探究与证明，聚焦定理在实际场景中
的落地运用。其本质是引导学生将实际问题抽象为直角三角形的几何模型，通过定理建立边的数量关系，
进而求解未知量。课程内容涵盖“生活场景—经典名题—综合应用”，既强调基础计算能力，又注重模型
思想和抽象思维的培养。
基于以上分析，确定本节课的教学重点为：运用勾股定理计算线段长度，解决实际问题。
二、目标和目标解析
1. 目标
（1）能运用勾股定理求线段长度，并解决一些简单的实际问题，发展应用意识。
（2）在利用勾股定理解决实际问题的过程中，能从实际问题中抽象出直角三角形这一几何模型，利
用勾股定理建立已知边与未知边长度之间的联系，并进一步求出未知边长，发展抽象能力和模型观念。
2. 目标解析
（1）学生能熟练运用勾股定理及其变形公式，解决“已知直角三角形两边求第三边”的基础计算；
能结合实际场景，准确提取关键数据，通过计算解决实际问题，形成“用数学知识解决实际问题”的应用
意识。
（2）学生能通过分析实际问题中的垂直关系，自主抽象出直角三角形模型；能在复杂场景中，通过
画图标注已知量和待求量，建立与勾股定理有关的等量关系，甚至结合方程思想求解，逐步提升抽象概括
能力和模型建构能力。
三、教学问题诊断分析
学生可能出现的问题：
（1）难以从实际问题中识别直角关系，无法快速抽象出直角三角形模型，导致找不到解题的切入点。
（2）对实际问题中的关键数据提取不准确，或混淆直角三角形的直角边与斜边，误用勾股定理公式。
（3）解决需要设未知数的实际问题时，缺乏方程思想，难以建立等量关系。
应对策略：
（1）教学中强调“找直角”的核心步骤，通过标注实际场景中的垂直关系，引导学生画出直角三角
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学科网（北京）股份有限公司形示意图，强化模型观念。
（2）在例题和练习中，要求学生先标注直角三角形的直角、已知边和待求边，明确斜边的特征，再
代入公式计算，避免公式误用；通过基础题强化训练，巩固数据提取和公式应用能力。
（3）针对含未知数的问题，通过示范设未知数的方法，引导学生分析已知量与未知量的关系，借助
勾股定理建立方程，渗透方程思想；设计同类变式题，让学生反复练习，掌握解题思路。
基于以上分析，确定本节课的教学难点为：能从实际问题中抽象出直角三角形模型。
四、教学过程设计
（一）复习引入
1.勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2.
2.勾股定理的证明：
勾股定理有广泛的应用，下面我们用它解决两个问题。
设计意图：通过回顾勾股定理的核心公式和证明方法，唤醒学生的旧知记忆，为后续应用奠定基础；
以“广泛应用”引出本节课主题，明确学习目标，自然过渡到实际问题的解决，激发学生的学习兴趣。
（二）合作探究
例2 一个门框的尺寸如图所示，一块长3 m，宽2.2 m的长方形薄木板能否
从门框内通过?为什么?
分析： 可以看出，木板横着或竖着都不能从门框内通过，只能试试斜着能
否通过.门框对角线AC的长度是木板斜着能通过的最大长度.求出AC，再与木板
的宽比较，就能知道木板能否通过.
解：连接AC，在Rt△ABC中，根据勾股定理，
AC2=AB2+BC2=12+22=5，
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学科网（北京）股份有限公司∴ AC=√5≈2.24.
因为AC大于木板的宽2.2 m，所以木板能从门框内通过.
例3 如图，一架长为2.5 m的梯子斜靠在竖直的墙上，此时梯子一边的顶端位于墙面的点A处，底端
位于地面的点B处，点B到墙面的距离BO为0.7 m.如果将梯子底端沿OB向外移动0.8 m，那么梯子顶端
也沿墙AO下滑0.8 m吗?
解：当梯子底端沿OB向外移动0.8 m时，设梯子的底端由点B移动到点D，顶端由点A下滑到点C.
可以看出，AC=OA−OC.
在Rt△AOB中，根据勾股定理，
OA2=AB2−OB2=2.52−0.72=5.76，∴OA=2.4.
在Rt△COD中，根据勾股定理，
OC2=CD2−OD2=2.52−(0.7+0.8)2=4，∴OC=2.
所以，AC=OA−OC=2.4-2=0.4.
因此，当梯子底端向外移动0.8 m时，梯子顶端并不是下滑0.8 m，而是下滑0.4 m.
总结归纳
设计意图：选取门框、梯子这两个贴近生活的场景，让学生感受勾股定理的实用性；例 2 侧重“判
断能否通过”的决策类问题，引导学生发现“对角线为最大通行长度”这一解题关键；例 3 通过“移动
距离与下滑距离是否相等”的疑问，培养学生的理性思考能力，避免直觉判断错误。两个例题均完整呈现
“分析场景—抽象模型—应用定理—得出结论”的解题流程，帮助学生掌握解决实际问题的基本套路。
（三）典例分析
1. 如图，A，B是池塘边上的两点，点C是与BA方向成直角的方向上一点，测得BC=60 m，AC=20
m.求A，B两点间的距离(结果取整数).
解：根据勾股定理，
AB2=BC2−AC2=602−202=3200，
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学科网（北京）股份有限公司∴AB=40√2≈57(m).
∴A，B两点间的距离约为57 m.
2.如图，有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺.
如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面.水的深度与这根芦苇的长度分别是多
少?
此题源自《九章算术》，原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺.引葭赴岸，适与岸齐.问水
深、葭长各几何.(丈、尺是长度单位，1丈=10尺.)
解：由题意得：AC=5尺，AB−BC=1尺.
设BC=x尺，AB=(x+1)尺，根据勾股定理，
AC2+BC2=AB2，即52+x2=(x+1)2，
解得x=12，∴x+1=13.
答：水深12尺，芦苇长13尺.
总结归纳 此处体现了方程思想.
设计意图：典例 1 聚焦“测量不可直接到达的两点距离”，强化“构造直角三角形”的应用；典例
2 选取古代数学名题，既渗透数学文化，又引入方程思想，突破解题难点。通过总结归纳，让学生明确方
程思想在勾股定理应用中的重要性，拓宽解题思路。
（四）巩固练习
1. 如图，用激光测距仪测量一栋楼的高度.位于地面上点A处的激光测距仪先将激光射向楼底端的点
B，仪器显示AB=23.1 m；再将激光射向楼顶端的点C，仪器显示AC=31.9 m；最后仪器自动显示出楼高
BC=22 m.你能说出其中的数学道理吗?
解：根据勾股定理，
BC2=AC2−AB2=31.92−23.12=484，
∴BC=22(m).
2. 电视机的屏幕尺寸是指其屏幕对角线的长度，通常以英寸(1英寸=2.54 cm)为单位.王芳测得自家电
视机的屏幕宽为71 cm，高为40 cm，这台电视机的屏幕尺寸是多少英寸(结果取整数)?
解：记电视机屏幕为长方形ABCD，连接AC.由题意得：AB=71 cm，BC=40 cm.根据勾股定理，
AC2=AB2+BC2=712+402=6641，
∴AC=81.5(cm)≈32(英寸).
∴这台电视机的屏幕尺寸约为32英寸.
3．河滨公园有一块长方形的草坪如图所示，有少数的人为了避开拐角走“捷径”，在草坪内走出了
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学科网（北京）股份有限公司一条“路”，他们仅仅少走了 6 米，却踩伤了花草！青青绿草地，悠悠关我心，请大家文明出行，足
下留“青”！
4．如图，小明和小华同时从P处分别向北偏东60°和南偏东30°方向出发，他们的速度分别是3m/s和
4m/s，则20s后他们之间的距离为（ D ）
A．70m B．80m C．90m D．100m
5．如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几
何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈=十尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子
底部6尺远，则折断处离地面的高度为（ B ）
A．3尺 B．3.2尺 C．3.6尺 D．4尺
6．将一根24cm的筷子，置于底面直径为5cm、高为12cm的圆柱体中，如图，设筷子露出在杯子外
面长为hcm，则h的最小值为 11cm ，h的最大值为 12cm ．
设计意图：巩固练习覆盖多种实际场景，体现梯度性和综合性：第 1-2 题侧重基础应用，强化数据
提取和公式计算；第 3-4 题结合生活常识和方位角知识，培养模型抽象能力；第 5 题呼应古代名题，深
化方程思想；第 6 题涉及立体图形，提升综合转化能力。通过多样化练习，既能强化学生对解题套路的
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学科网（北京）股份有限公司掌握，又能及时反馈学习情况，同时培养学生的文明意识和应用意识。
（五）归纳总结
（六）感受中考
1．（2025年江苏连云港）如图，长为3m的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为1.8m，则梯
子顶端的高度h为 2.4 m．
2．（2023年四川绵阳）如图，厂房屋顶人字架（等腰三角形）的跨度BC=10m，∠B=30°，则中柱
5√3
AD（D为底边中点）的长为 m．
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3．（2025年山东东营）如图，小丽在公园里荡秋千，在起始位置A处摆绳OA与地面垂直，摆绳长2 m，
向前荡起到最高点B处时距地面高度1.3 m，摆动水平距离BD为1.6 m，然后向后摆到最高点C处．若前后
摆动过程中绳始终拉直，且OB与OC成90°角，则小丽在C处时距离地面的高度是（ A ）
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学科网（北京）股份有限公司A．0.9 m B．1.3 m C．1.6 m D．2 m
设计意图：引入中考真题，让学生感受勾股定理在中考中的考查形式和难度，明确学习重点；真题涵
盖不同实际场景，既能检验学生的学习成果，又能提升学生的应考能力和解题信心，激发学习动力。
（七）小结梳理
（八）布置作业
1.必做题：习题20.1 第2，3，5题.
2.探究性作业：习题20.1 第4，9题.
五、教学反思
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