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20.1 勾股定理及其应用（第 2 课时） 导学案
一、学习目标
1.能运用勾股定理求线段长度，并解决一些简单的实际问题，发展应用意识。
2.在利用勾股定理解决实际问题的过程中，能从实际问题中抽象出直角三角形这一几何模型，利用勾
股定理建立已知边与未知边长度之间的联系，并进一步求出未知边长，发展抽象能力和模型观念。
学习重点：运用勾股定理计算线段长度，解决实际问题。
学习难点：能从实际问题中抽象出直角三角形模型。
二、学习过程
（一）复习引入
1.勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么 .
2.勾股定理的证明：
勾股定理有广泛的应用，下面我们用它解决两个问题。
（二）合作探究
例2 一个门框的尺寸如图所示，一块长3 m，宽2.2 m的长方形薄木板能否从门框内通过?为什么?
例3 如图，一架长为2.5 m的梯子斜靠在竖直的墙上，此时梯子一边的顶端位于墙面的点A处，底端
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学科网（北京）股份有限公司位于地面的点B处，点B到墙面的距离BO为0.7 m.如果将梯子底端沿OB向外移动0.8 m，那么梯子顶端
也沿墙AO下滑0.8 m吗?
总结归纳
（三）典例分析
1. 如图，A，B是池塘边上的两点，点C是与BA方向成直角的方向上一点，测得BC=60 m，AC=20
m.求A，B两点间的距离(结果取整数).
2.如图，有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺.
如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面.水的深度与这根芦苇的长度分别是多
少?此题源自《九章算术》，原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺.引葭赴岸，适与岸齐.问水深、
葭长各几何.(丈、尺是长度单位，1丈=10尺.)
（四）巩固练习
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学科网（北京）股份有限公司1. 如图，用激光测距仪测量一栋楼的高度.位于地面上点A处的激光测距仪先将激光射向楼底端的点
B，仪器显示AB=23.1 m；再将激光射向楼顶端的点C，仪器显示AC=31.9 m；最后仪器自动显示出楼高
BC=22 m.你能说出其中的数学道理吗?
2. 电视机的屏幕尺寸是指其屏幕对角线的长度，通常以英寸(1英寸=2.54 cm)为单位.王芳测得自家电
视机的屏幕宽为71 cm，高为40 cm，这台电视机的屏幕尺寸是多少英寸(结果取整数)?
3．河滨公园有一块长方形的草坪如图所示，有少数的人为了避开拐角走“捷径”，在草坪内走出了
一条“路”，他们仅仅少走了 米，却踩伤了花草！青青绿草地，悠悠关我心，请大家文明出行，
足下留“青”！
4．如图，小明和小华同时从P处分别向北偏东60°和南偏东30°方向出发，他们的速度分别是3m/s和
4m/s，则20s后他们之间的距离为（ ）
A．70m B．80m C．90m D．100m
第3题图 第4题图 第5题图 第6题图
5．如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几
何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈=十尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子
底部6尺远，则折断处离地面的高度为（ ）
A．3尺 B．3.2尺 C．3.6尺 D．4尺
6．将一根24cm的筷子，置于底面直径为5cm、高为12cm的圆柱体中，如图，设筷子露出在杯子外
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学科网（北京）股份有限公司面长为hcm，则h的最小值为 ，h的最大值为 ．
（五）归纳总结
利用勾股定理解决实际问题的一般步骤：
（六）感受中考
1．（2025年江苏连云港）如图，长为3m的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为1.8m，则梯
子顶端的高度h为 m．
2．（2023年四川绵阳）如图，厂房屋顶人字架（等腰三角形）的跨度BC=10m，∠B=30°，则中柱
AD（D为底边中点）的长为 m．
第1题图 第2题图 第3题图
3．（2025年山东东营）如图，小丽在公园里荡秋千，在起始位置A处摆绳OA与地面垂直，摆绳长2 m，
向前荡起到最高点B处时距地面高度1.3 m，摆动水平距离BD为1.6 m，然后向后摆到最高点C处．若前后
摆动过程中绳始终拉直，且OB与OC成90°角，则小丽在C处时距离地面的高度是（ ）
A．0.9 m B．1.3 m C．1.6 m D．2 m
（七）布置作业
1.必做题：习题20.1 第2，3，5题.
2.探究性作业：习题20.1 第4，9题.
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