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2022 届新高考数学提分计划之函数与导数
新高考 I 专用（10）
1.函数 的图像大致为( )
A. B.
C. D.
2.已知函数 若 ，则实数a的取值范围是( )
A. B.
C. D.
3.函数 的所有零点的积为m，则有( )
A. B. C. D.
4.设函数 ， .若对任意的 ， ，不等式 恒成
立，则正数k的取值范围是( )A. B. C. D.
5.已知函数 ，若对任意的 ， 恒成立，则
实数a的取值范围为( )
A. B. C. D.
6. （多选）已知函数 则以下结论正确的有( )
A.
B.方程 有三个实数根
C.当 时，
D. 若 函 数 在 上 有 8 个 零 点 ， 则
的取值范围为
7. （多选）设函数 的定义域为 ，已知 有且只有一个零点，则
下列结论中正确的有( )
A.
B. 在区间 上单调递增
C.当 时， 取得极大值
D. 是 的最小值
8.已知 ，在实数集R中定义一种运算 ，则 ____________，
函数 的最小值为_____________.
9.已知函数 .若存在 ，使得 成立，则实数a
的取值范围是____________.
10.已知函数 ， 为其导函数.
（1）若函数 在点 处的切线方程为 ，求函数 的解析式.（2）在（1）的条件下，若 是函数 的零点，且 ， ，求n的值.
（3）当 时，函数 有两个零点 ， （ ），且 .求证： .答案以及解析
1.答案：A
解析：设 ，易知 的定义域为 ， 函数
是奇函数， 的图像关于原点对称，排除C、D，易知 ，排除B，故
选A.
2.答案：C
解析：当 时，由 ，解得 或 ，故 ；
当 时，由 ，
解得 ，故 ；
当 时，由 ，解得 ，故无解.
综上， ，故选C.
3.答案：B
解析：由 ，得 ，在同一平面直角坐标系中作出函数 与 的
图象，如图所示.
由图象知 有两个实数解 ， ，且 ，
， ，
由函数的零点就是方程的解，列出关于 ， 的方程.
，，
，即 .故选B.
4.答案：B
解析： 对任意的 ， ，不等式 恒成立， .由
，得 .当 ， ，当 ， . ，
.令 ，得 （ 舍去）.当 时，
，当 ， . ， ， ，
，故选B.
5.答案：C
解析：函数 ，即 ，定义域为R，
， 为R上的奇函数，
当 时，函数 在 上单调递增， 在 上单调递增，
且当 时， ， ，
所以 在 上单调递增，则 在R上单调递增，
对任意的 ， 恒成立，
即 在 上恒成立，
即 ，即 对 恒成立，
设 ， ，
可得 ，且 ，解得 ，
故选C.6.答案：ACD
解析： ，A正确；
的图象和直线 如图所示，
由图象知方程 有四个实数根，B错误；
当 时， ，依题意得 ，C正确；
由题意得 ， ，
不妨设 ，
则 ，
，
又 ，
，D正确.
故选ACD.
7.答案：ACD
解析： 只有一个零点，即方程 在 上只有一个根，则 ，两边取对
数，得 ，即 只有一个正根.设 ，则 ，当
时， ， 单调递增；当 时， ；当 时， ， 单
调递减，此时 ，则 ，所以要使方程 只有一个正根，则或 ，解得 或 .又因为 ，所以 ，故A正确； ，
，令 ，即 ，两边取对数，得 ，易知 和
是此方程的解.设 ， ，当 时，则
， 单调递增；当 时， ， 单调递减，所以 是极大值.又
，所以 有且只有两个零点.当 或 时，所以 ，即
，即 ，则 .同理当 时， ，所以 在区间
和 上单调递增，在区间 上单调递减，所以极小值为 ，极大值为 .
又 ，所以 是最小值，故B错误，C，D正确.故选ACD.
8.答案：13；7
解析：由已知得 .
函数 ，当且仅当 时取等号，
所以函数 的最小值为7.
9.答案：
解析：由 ，得 ，设 ，则存在 ，使得
成立，即 成立，所以 成立，所以 .令
，则 ，所以 时， ， 单调递增，所以
，所以实数a的取值范围是 .
10.答案：（1） ，
所以 ，所以函数 .
（2）由（1）知 ，
，
令 ，解得 或 ，
因为函数 的定义域为 ，
所以当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增.
又 ，不符合要求，
，
，
所以 ，故 .
（2）当 时， ，
， ，
两式相减，可得 ，
所以 .
因为 ，所以 ，
因为 ，所以
.设 ，
则 ，
所以 在 上单调递增，且 ，
所以当 时， ，
因为 ， ，所以 .
