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20.1 勾股定理及其应用（第 2 课时）
知识点1：勾股定理的简单应用
1.如果一梯子底端离建筑物9 m远，那么15 m长的梯子可到达建筑物的高度是 m．
【答案】12
【分析】以梯子的长度为斜边构造直角三角形，用勾股定理求解即可．
【详解】∵直角三角形的斜边长为15m，一直角边长为9m，
∴另一直角边长=√152 −92=12，
故梯子可到达建筑物的高度是12m．
故答案是：12．
【点睛】本题考查了勾股定理，明确梯长的长度是直角三角形的斜边是解题的关键．
2．如图，这是我国海军某舰艇编队在南海开展实兵对抗的训练图，已知∠AOB=90°，红方战舰A在雷达
站O的北偏东60°方向，距离40n mile处，且红方战舰A与蓝方战舰B相距50n mile，则蓝方战舰B在雷
达站O的（ ）
A．南偏东30°方向，距离30n mile处 B．北偏东30°方向，距离30n mile处
C．南偏东60°方向，距离30n mile处 D．北偏东60°方向，距离30n mile处
【答案】A
【分析】本题考查了方向角，勾股定理，掌握相关知识点是解题的关键．
根据∠AOB=90°，点A在点O的北偏东60°方向，可知点B在点O的南偏东30°方向，根据勾股定理
可知OB=30n mile，即可求解．
【详解】解：∵∠AOB=90°，点A在点O的北偏东60°方向，
∴点B在点O的南偏东30°方向，
根据勾股定理可知OB=√AB2 −OA2=√502 −402=30(n mile)，
综上可知点B在点O的南偏东30°方向，距离30(n mile)处．
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学科网（北京）股份有限公司故选：A．
3．如图，是一个可调节平板支架，其结构示意图如图所示，已知平板宽度AB为16cm，支架脚BC的长度为
12cm，当∠ABC=90°且CB平分∠ACD时，则点B到CD的距离是( )
A．8cm B．8.6cm C．9cm D．9.6cm
【答案】D
【分析】本题考查了勾股定理，角平分线的性质．过点B分别作AC,CD的垂线，垂足分别为E,F，根据勾
股定理求得AC，等面积法求得BE，根据角平分线的性质可得BF=BE，即可求解．
【详解】解：如图，过点B分别作AC,CD的垂线，垂足分别为E,F，
∵AB=16cm,BC=12cm,∠ABC=90°，
∴AC=√AB2+BC2=20cm，
1 1
∵S = AB×BC= ×AC×BE，
△ABC 2 2
AB×BC 16×12
∴BE= = =9.6cm，
AC 20
∵CB平分∠ACD，
∴BF=BE=9.6cm，
故选：D．
4．由平面镜成像可知物与像关于镜面成轴对称．如图，物体PQ平行镜面MN，点Q处恰好能从镜面点G处
看到点P,PQ=1.6m,PG=QG=2.4m，点P′是点P的像，则P与P′之间的距离为 ．
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学科网（北京）股份有限公司16√2
【答案】 m
5
【分析】本题考查了轴对称，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握轴对称的性质，将问题转
化为求2GA，先过点G作GA⊥PQ于A，得出A为PQ的中点，再利用勾股定理求出GA即可求解．
【详解】解：过点G作GA⊥PQ于A，如图：
1
由题意知：QA= PQ=0.8m，
2
GA=√GQ2 −QA2=√2.42 −0.82=
8√2
(m)，
5
16√2
由对称性知，点P′是点P的像，关于MN对称，则P与P′之间的距离为2GA= m，
5
16√2
故答案为： m．
5
知识点2：勾股定理与方程思想
5．（湖北省孝感市汉川市2021—2022学年八年级下学期期中考试数学试题）我国古代数学著作《九章算
术》记载了一道有趣的问题．原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问
水深、葭长各几何．译为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它
高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度与这根芦
苇的长度分别是多少？设芦苇的长度是x尺．根据题意，可列方程为（ ）
A．x2+102=(x+1) 2 B．(x−1) 2+52=x2
C．x2+52=(x+1) 2 D．(x−1) 2+102=x2
【答案】B
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，将实际问题转化为勾股定理问题成为解题的关键．
如图：设芦苇的长度是x尺，即AB=AB′=x，再表示出水深AC，然后根据勾股定理建立方程即可解答．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】解：依题意画出图形：
如图：设芦苇的长度是x尺，即AB=AB′=x，则水深AC=(x−1)尺，
∵B′E=10尺，
∴B′C=5尺，
在Rt△AB′C中，CB′2+AC2=AB′2，
∴(x−1) 2+52=x2．
故选B．
6．《九章算术》勾股章有一个问题，其意思是：现有一竖立着的木柱，在木柱上端系有绳索，绳索从木
柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵着绳索退行，在离木柱根部8尺处时绳索用尽，请问：
绳索有多长？若设绳索长x尺，根据题意，可列方程为（ ）
A．82+x2=(x−3)2 B．82+(x−3)2=x2
C．82+x2=(x+3)2 D．x2(x+3)2=x2
【答案】B
【分析】由绳索的长度，可得出木柱的高度，再利用勾股定理，即可得出方程，此题得解．
【详解】解：设绳索长x尺，则木柱高x−3尺，
由题意得：82+(x−3)2=x2，
故选：B．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出方程、数学常识以及勾股定理的应用，找准等量关正确列出方程是
解题的关键．
7．看着冉冉升起的五星红旗，你们是否想过旗杆到底有多高呢？某数学兴趣小组为了测量旗杆高度，进
行以下操作：如图1，先将升旗的绳子拉到旗杆底端，发现绳子末端刚好接触到地面；如图 2，再将绳子
末端拉到距离旗杆6m处，发现绳子末端距离地面2m．请根据以上测量情况，计算旗杆的高度．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】解：如图所示
设旗杆高度为x m，则AC=AD=xm，AB=(x−2)m，BC=6m，
在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2
(x−2) 2+62=x2
解得：x=10，
答：旗杆的高度为10m．
8．《九章算术》是我国古代数学代表作之一，书中记载：今有开门去阅（门槛）一尺，不合四寸，问门
广几何？其大意如下：如图2为图1的平面示意图，推开双门（大小相同），双门间隙CD=4寸，点C，点
D到门槛AB的距离CE=DF=1尺（1尺=10寸），求门槛AB的长．
【详解】解：如图：
设AE=BF=x寸，则AC=(x+2)寸，
∵AE2+CE2=AC2，
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学科网（北京）股份有限公司∴x2+102=(x+2) 2，
解得：x=24，
∵EF=CD=4，
∴AB=AE+EF+BF=24+4+24=52寸，
∴AB的长为52寸．
知识点3：勾股定理与最短路径问题
9．如图所示的是两层台阶，每一层台阶都相同，数据如图（单位：cm），一只蚂蚁沿台阶表面从点A出
发爬到点 B，其爬行的最短线路的长度是（ ）
A．100cm B．120cm C．130cm D．150cm
【答案】C
【分析】本题主要考查平面展开的最短路径问题．先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点
之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．
将台阶展开成平面图形，根据两点之间，线段最短得到最短路线，结合勾股定理求解即可．
【详解】解：将台阶展开成平面图形，如图所示，
在Rt△ABC中，AC=50cm，BC=(20+40)×2=120cm，
∴AB=√AC2+BC2=130cm，
即一只蚂蚁沿台阶从点A出发爬到点B，其爬行的最短线路的长度是130cm．
故选：C．
10．如图是一个棱长为6cm的正方体的有盖纸盒，一只蚂蚁想从盒底的A点爬到盒顶的B点，其中BC＝
2cm，那么蚂蚁爬行的最短行程是多少？
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学科网（北京）股份有限公司【详解】解：如图所示．
∵BC＝2cm，棱长为6cm，
∴AD＝6+2＝8（cm），BD＝6cm
由勾股定理得，
AB＝√BD2+AD2=√82+62＝10（cm），
答：蚂蚁爬行的最短行程是10cm．
【点睛】此题考查了平面展开一最短路径问题，利用勾股定理是解题的关键．
11．如图，甲，乙两条轮船同时从港口A出发，甲轮船以每小时30海里的速度向东北方向航行，乙船以每
小时15海里的速度沿着北偏东75°方向航行，1小时后，甲船接到命令要与乙船会合，于是甲船在B处改
变航向，沿南偏东60°方向航行，结果甲，乙两船在小岛C处相遇．假设乙船的速度和航向保持不变，求：
（结果保留根号）
(1)港口A与小岛C之间的距离；
(2)甲船从B处行至小岛C的速度．
【详解】解：（1）
如图，过点B作BM⊥AC，垂足为M，
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学科网（北京）股份有限公司由题意得，∠BAC=75°−45°=30°，∠ABM=90°−∠ BAC=60°，
设BN指示南北方向，点N在线段AC上，则∠ABN=45°，
∴∠MBN=∠ABM−∠ABN=60°−45°=15°．
由题意知，∠CBN=60°，
∴∠MBC=∠CBN−∠MBN=60°−15°=45°，
在Rt△ABM中，∠BAM=30°，AB=30海里，
1
∴BM= AB=15海里， AM=√AB2 −BM2=√302 −152=15√3 海里，
2
在Rt△BCM中，∠MBC=45°，
∴BM=MC=15海里，
∴AC=AM+MC=(15+15√3)海里，
答：港口A与小岛C之间的距离为(15+15√3)海里；
（2）
在Rt△BCM中，∠MBC=45°，BM=MC=15海里，
∴BC=√2BM=15√2 （海里），
15+15√3
∴乙船行驶的时间为 =1+√3小时，
15
∴甲船从B处行至小岛C的时间为1+√3−1=√3（小时）．
15√2
∴甲船从B处行至小岛C的速度为 =5√6（海里/时），
√3
答：甲船从B处行至小岛C的速度为5√6海里/时．
【点睛】
本题主要考查了与方向角有关的计算题，涉及勾股定理的应用、含30°角的直角三角形等知识点，解题的
关键是准确理解“方向角”．
12．（2025年宁夏中考数学试题）如图，在单位长度均为1cm的平面直角坐标系中，放置一个圆柱形笔筒
的展开图．其中，侧面展开图OABC的边OA,OC在坐标轴上，点B坐标为(24,−10)．将一根长度为
14.6cm的铅笔放入笔筒内，露出笔筒部分的最小长度是 cm(结果保留整数，π取3，壁厚忽略不计)．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】2
【分析】本题考查了圆柱的性质、圆的直径与周长关系以及勾股定理的应用，解题的关键是明确圆柱内铅
笔能放置的最大长度为以底面直径和高为直角边的直角三角形的斜边．
由点B坐标确定圆柱的高，根据圆柱侧面展开图的周长求出底面直径；利用勾股定理计算以底面直径和高
为直角边的直角三角形的斜边长度，即笔筒内铅笔能放置的最大长度；用铅笔总长度减去该最大长度，得
到露出部分的最小长度并保留整数．
【详解】解：如图，AB表示圆柱底面直径，BC为圆柱的高，AC示意铅笔能放置的最大长度，CD为露出部
分的最小长度，
∵点B坐标为(24,−10)，
24 24
∴AB= = =8cm，BC=10cm，
π 3
∴AC=√AB2+BD2=√82+102=√64+100=√164，
∵铅笔总长度为14.6cm，即AD=14.6cm，
∴CD=14.6− √164，
∵122=144，132=169，
∴12<√164<13，
∴14.6− √11624>>1144..66−−13
即1.6
