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2022 届新高考数学提分计划之函数与导数
新高考 I 专用（1）
1.函数 定义域和值域分别为M，N，则 ( )
A. B. C. D.
2.在同一直角坐标系中，函数 ， （ ，且 ）的图象可能是( )
A. B.
C. D.
3.已知函数 在区间 上既没有最大值也没有最小值，则实数k的取值
范围是( )
A. B.
C. D.
4.某莲藕种植塘每年的固定成本是1万元，每年最大规模的种植量是8万斤，每种植一斤藕，
成本增加0.5元.已知销售额函数是 （x是莲藕种植量，单位：万斤；
销售额的单位：万元，a是常数），若种植2万斤，利润是2.5万元，则要使利润最大，每年需种
植莲藕( )A.6万斤 B.8万斤 C.3万斤 D.5万斤
5.已知函数 满足对任意 ， ，则函数 在 上
的零点个数不可能为( )
A.5 B.9 C.21 D.23
6（. 多选）已知函数 ，若函数 的图象在 处切线的斜率为3e，则下列
结论中正确的是( )
A. B. 有极大值
C. 有最大值 D. 有最小值0
7（. 多选）若存在两个不相等的实数 ， ，使 ， ， 均在函数 的定义域内，且
满足 ，则称函数 具有性质 .下列函数具有性质 的是( )
A. B.
C. D.
8.曲线 的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为________________.
9.已知函数 若方程 有三个不同的实根，则实数a的取值
范围是_______________.
10.函数 ， .
（1）讨论 在区间 上极值点的个数；
（2）若 ，总有 ，求实数a的取值范围.答案以及解析
1.答案：D
解析：由 ，得 ，则 .
由 ， ， 得 ， 则 . 所 以
，故选D.
2.答案：D
解析：对于函数 ，当 时，有 ，得 ，即 的图
象恒过定点 ，排除选项A、C；函数 与 在各自定义域上单调性相
反，排除选项B，故选D.
3.答案：C
解析：由于函数 在区间 上既没有最大值也没有最小值，因此函数
在区间 上是单调函数.函数 的图象开口向上，且
对称轴方程为 ，因此 或 ，所以 或 .
4.答案：A
解 析 ： 设 销 售 的 利 润 为 ， 则 ， 即
， 当 时 ， ， 解 得 ， 故
，则 ，可得函数 在区间 上单
调递增，在区间 上单调递减，所以当 时，利润最大.
5.答案：D
解析：由对任意 ， ，得π为函数 的最小正周期的整数倍，故 ，
，所以 ， ，当 时， ，函数 在 上有5个零点，
当 时， ，函数 在 上有9个零点，
当 时， ，函数 在 上有13个零点，
当 时， ，函数 在 上有17个零点，
当 时， ，函数 在 上有21个零点，
……
故当 ， 时，函数 在 上有 个零点，只有选项D不符合，故选D.
6.答案：ABD
解析： ，则 ，解得 ，故A正确； ，
当且仅当 时取等号，则 有最小值0，故D正确； ，当
时， ， 单调递增，当 时， 时， 单调递减，当 时，
， 单调递增，则当 时函数取得极大值 ，故B正确，但该函数没有最大
值，故C错误.故选ABD.
7.答案：BD
解 析 ： 对 于 A ， 因 为 函 数 的 定 义 域 为 ， 所 以
， 由 于 ， 所 以
恒成立，故A不具有性质 ;对于B，函数 的定义域为 ，
取 ， 则 ， 所 以 ， 所 以
成立，故B具有性质 ;对于C，函数 的定义域为 ，当 时， ，由于 ，所以 ，易知 在
上单调递增，所以 恒成立，故C不具有性质 ;对于D，函
数 的定义域为 ，易知 为奇函数，取 ，则 ，所以
，所以 成立，故D具有性
质 .
8.答案：
解析：设切点为 ，对 求导得 ，则曲线的切线的斜率为 ，
解得 .所以 ，则切点为 ，切线方程为 ，即 .
9.答案：
解析：在同一坐标系中，作出 与 的图象.
因为方程 有三个不同的实根，
所以 的图象与 的图象有三个交点，
当直线 过 点时， ，
由 得 ，令 ，
解得 ，
结合图象知，a的取值范围是 .
10.答案：（1）由题意，得 .
设 ，则方程 的判别式 ，对称轴方程为 ，
.
若 在区间 上恒成立，即 .
当 时， ，当且仅当 时取等号，
所以当 时， 在区间 上恒成立，所以 恒成立，则
在区间 上单调递增，无极值点.
当 时， ，由 ，
若 ，即 时，方程 在 上有唯一实根 ，
此时函数 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，则函数 有一个极值
点.
当 时，方程 在区间 上有唯一实数根 ，
此时函数 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，则函数 有一个极值
点.
若 ， 且 ，
即 时，
方程 在 有两个相异的根 ， ，此时函数 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，在区间 上单调递
增，有两个极值点.
综上，当 时， 在区间 上无极值点；当 时， 在区间 上有1个
极值点；当 时， 在区间 上有2个极值点.
（2）由 ，得 .
因为 ，所以 在区间 上恒成立.
令 ，
则 .
因为 ，所以当 时， ， 单调递减；当 时， ，
单调递增，
所以 ，所以 ，
故实数a的取值范围为 .
