文档内容
专题 11.1 三角形的三边关系、高线、中线及角平分线
目录
【典型例题】..............................................................................................................................................................1
【考点一 三角形的分类】........................................................................................................................................1
【考点二 构成三角形的条件】................................................................................................................................3
【考点三 确定第三边的取值范围】........................................................................................................................4
【考点四 画三角形的高】........................................................................................................................................6
【考点五 与三角形的高有关的计算问题】............................................................................................................8
【考点六 根据三角形中线求长度】......................................................................................................................10
【考点七 根据三角形的中线求面积】..................................................................................................................12
【考点八 三角形角平分线的定义】......................................................................................................................15
【考点九 利用网格求三角形面积】......................................................................................................................17
【考点十 三角形的稳定性】..................................................................................................................................20
【过关检测】............................................................................................................................................................22
【典型例题】
【考点一 三角形的分类】
例题：（23-24七年级下·河北邢台·期末）图表示三角形分类，则Q表示的是（ ）
A．等边三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形
【答案】A
【分析】本题主要考查三角形的分类，掌握三角形按边分类的方法是解题的关键．
根据三角形按边分类，即可求解．
【详解】解：∵三角形按边分为三边都不等的三角形，等腰三角形，等腰三角形分为：两边相等的等腰三
角形，三边相等的等边三角形．
∴Q表示的是等边三角形．故选：A．
【变式训练】
1．（2024七年级下·全国·专题练习）有下列两种图示均表示三角形分类，则正确的是（ ）
A．①对，②不对 B．②对，①不对 C．①、②都不对 D．①、②都对
【答案】B
【分析】此题主要考查了三角形的分类，关键是掌握分类方法．按边的相等关系分类：不等边三角形和等
腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等边三角形）．根据三角形的分类可直
接选出答案．
【详解】解：按边的相等关系分类：不等边三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等
的等腰三角形即等边三角形）．
按角分类：直角三角形，锐角三角形和钝角三角形．
故①的分类不正确；图②中的三角形的分类正确．
故选：B．
2．（22-23八年级上·全国·单元测试）三角形按边长关系，可分为（ ）
A．等腰三角形，等边三角形 B．直角三角形，不等边三角形 C．等腰三角形，不等边三
角形 D．直角三角形，等腰三角形
【答案】C
【分析】本题考查了三角形的分类，根据三角形按边的分类方法即可得到答案．
【详解】解：三角形按边长关系，可分为等腰三角形和不等边三角形，
故选C．
3．（23-24八年级上·湖北孝感·期中）若如图表示三角形分类，则下列说法正确的是（ ）A． 表示等边三角形 B． 表示锐角三角形
C． 表示等腰三角形 D． 表示三边都不相等的三角形
【答案】C
【分析】本题主要考查了三角形的分类，根据三角形按边的分类可直接选出答案．
【详解】解：三角形根据边分类如下：
由图可知，M表示三边均不相等的三角形，N表示等边三角形，P表示等腰三角形
故选：C．
【考点二 构成三角形的条件】
例题：（22-23七年级下·吉林长春·期末）以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ）
A． 、 、 B． 、 、
C． 、 、 D． 、 、
【答案】B
【分析】本题考查三角形的三边关系：任意两边之和大与第三边，任意两边之差小于第三边．判定三条线
段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段长度即可．
【详解】解：A、 ，故 、 、 不能组成三角形，A不符合题意；
B、 ，故 、 、 能组成三角形，故B符合题意；
C、 ，故 、 、 不能组成三角形，故C不符合题意；
D、 ，故 、 、 不能组成三角形，故D不符合题意．
故选：B．
【变式训练】
1．（23-24七年级下·四川宜宾·期末）下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（
）A．15，12，20 B．4，7，11 C．6，7，15 D．5，5，10
【答案】A
【分析】本题考查了构成三角形的条件：任两边之和大于第三边；根据此条件，逐项判断，若两根较短木
棒的长度和大于长木棒长度，则可构成三角形，否则不能．
【详解】解：A、 ，能摆成三角形；
B、 ，不能摆成三角形；
C、 ，不能摆成三角形；
D、 ，不能摆成三角形；
故选：A．
2．（23-24七年级下·江苏扬州·期末）下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．2、2、3 B．2、2、5 C．5、5、11 D．1、2、3
【答案】A
【分析】本题考查三角形的三边关系，比较两条较短的线段的长度和与较长线段的大小关系，即可．
【详解】解：A、 ，能组成三角形，符合题意；
B、 ，不能构成三角形，不符合题意；
C、 ，不能构成三角形，不符合题意；
D、 ，不能构成三角形，不符合题意；
故选A．
3．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）下列每组数分别是三根小木棍的长度，用它们能摆成三角形的是（
）
A．3，7，10 B．6，8，16 C．13，11，20 D．6，6，12
【答案】C
【分析】本题主要考查三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键．根据三边关系进行
判断即可．
【详解】解： ，故选项A不能摆成三角形，
，故选项B不能摆成三角形，
，故选项C能摆成三角形，
，故选项D不能摆成三角形，
故选：C．
【考点三 确定第三边的取值范围】例题：（23-24七年级下·江苏徐州·期末）一个三角形的两边长分别是2和5，若第三边的长为奇数，则第
三边的长是 ．
【答案】5
【分析】本题主要考查了三角形的三边关系．设第三边长为x，根据三角形的三边关系，可得
，即可求解．
【详解】解：设第三边长为x，根据题意得：
，
即 ，
∵第三边的长为奇数，
∴x的值为5，
即第三边的长是5．
故答案为：5
【变式训练】
1．（23-24八年级上·广东东莞·阶段练习）三角形三边长分别为2，a，4．则a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】此题考查了三角形的三边关系：三角形的任意一边都大于另两边的差，小于另两边的和，据此列
得 ，即可求出a的取值范围
【详解】解：由三边关系得，
∴
故答案为
2．（23-24七年级下·四川成都·期末）如果 的两边长a、b满足条件 ，那么这个三
角形的第三边长c的取值范围为 ．
【答案】
【分析】先根据非负数的性质求出 、 的值，再由三角形的三边关系即可得出结论．本题主要考查的是
三角形的三边关系，非负数的性质，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解
答此题的关键．
【详解】解： 、 满足条件 ，
， ，
， ．、 、 为三角形的三边长，
，即 ．
故答案为： ．
3．（23-24七年级下·河南平顶山·阶段练习）一个三角形的两边长分别为5和7，若第三边x为最长边且为
偶数，则此三角形的周长为 ．
【答案】20或22
【分析】本题主要考查了三角形三边关系，要注意三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，任意两
边之差小于第三边．
利用三角形三边关系定理，先确定第三边的范围，就可以求出第三边的长，从而求得三角形的周长．
【详解】解：由三角形三边关系定理得： ，
∴ ，
∵x为最长边且为偶数，
∴x的值是8或10，
∵ ， ，
∴此三角形的周长为20或22．
故答案为：20或22．
【考点四 画三角形的高】
例题：（2023秋·浙江杭州·八年级校考开学考试）下列各图中，正确画出 边上的高的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据三角形高的定义判断即可得到答案．
【详解】解： 中 边上的高即为过点B作 的垂线段，该垂线段即为 边上的高，四个选项中
只有选项D符合题意，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了三角形高线定义，解题的关键是熟知过三角形一个顶点作对边的垂线得到的线段
叫三角形的高．
【变式训练】1．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第一一三中学校校考期中）下面四个图形中，线段 是
的高的图形是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据三角形的高的定义逐项分析即可解答．
【详解】解：A．线段 是 的高，选项不符合题意；
B．线段 是 的高，选项不符合题意；
C．线段 是 的高，选项不符合题意；
D．线段 是 的高，选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查三角形的高的定义，从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点到垂足之间的线
段叫做三角形的高．
2．（2023·浙江·八年级假期作业）如图， ， ， ，点 ， ， 是垂足，下列
说法错误的是（ ）
A． 中， 是 边上的高 B． 中， 是 边上的高
C． 中， 是 边上的高 D． 中， 是 边上的高
【答案】B
【分析】根据三角形高的定义依次判断即可．
【详解】解：A、 中， 是 边上的高，故此选项正确，不符合题意；
B、 中， 不是 边上的高，故此选项错误，符合题意；
C、 中， 是 边上的高故此选项正确，不符合题意；
D、 中， 是 边上的高，故此选项正确，不符合题意．故选B．
【点睛】本题主要考查了三角形高的概念，应熟记三角形的高应具备的两个条件：①经过三角形的一个顶
点，②垂直于这个顶点的对边．
【考点五 与三角形的高有关的计算问题】
例题：（2023春·广东惠州·七年级校联考期中）如图，在直角三角形 中， ， ，
， ，则点 到 的距离是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．
【答案】D
【分析】根据面积相等即可求出点C到 的距离．
【详解】解：∵在直角三角形 中， ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
故选：D．
【点睛】本题考查点到直线的距离，求直角三角形斜边上的高，用面积法列出关系式是解题关键．
【变式训练】
1．（2023春·广东惠州·八年级校考期中）如图， ， 分别是 的高， ， ， ，
求 的长．【答案】 ．
【分析】根据三角形的面积公式即可求得．
【详解】解： ， 分别是 的高，
∴ ，
∴ ，
， ， ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了三角形的面积公式的应用；三角形的面积 底 高．
2．（2023春·广东佛山·七年级校考阶段练习）三角形如图， 的边 上的高为 ，中线为
边上的高为 ，已知 ， ， ．
(1)求 的面积；
(2)求 的长；
(3) 和 的面积有何关系？
【答案】(1)30
(2)
(3) 和 的面积相等
【分析】（1）利用面积公式进行计算即可；（2）利用面积公式进行求解即可；
（3）利用中线平分面积，作答即可．
【详解】（1）解： 的面积 ；
（2）∵ 的面积 ， ，
∴ ；
（3）∵ 为 的中线，
∴ ，
∵ 的边 上的高为 ，
∴ ．
即： 和 的面积相等．
【点睛】本题考查与三角形的高和中线有关的计算．熟练掌握高线和中线的定义，以及中线平分三角形面
积，是解题的关键．
【考点六 根据三角形中线求长度】
例题：（2023·福建泉州·泉州五中校考模拟预测）如图， 是 的中线， ， ．若
的周长为16，则 周长为__________．
【答案】18
【分析】根据三角形的中线的概念得到 ，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【详解】解： 是 的中线，
，
的周长为16，
，
，
，，
．
故答案为：18．
【点睛】本题考查的是三角形的中线的概念，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．
【变式训练】
1．（2023春·陕西咸阳·七年级咸阳市实验中学校考阶段练习）如图， 的周长为 ， ， 是
边 上的中线， 的周长比 的周长大2，则 的长为______．
【答案】4
【分析】依据 的周长为 ， 的周长比 的周长大2，可得 ，由此即可解题．
【详解】解：∵ 的周长为 ， ，
∴ ，
∵ 的周长比 的周长大2，
∴ ，
∴ ， ，
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了三角形三角形中线的定义，解题时注意：中线分成的两个三角形周长差等于边长
差．
2．（2023春·江苏连云港·七年级校考期中）如图，在 中， 为边 上的高，点 为边 上的一
点，连接 ．
(1)当 为边 上的中线时，若 ， 的面积为24，求 的长；
(2)当 为 的角平分线时，若 ， ，求 的度数．
【答案】(1)4(2)
【分析】（1）利用三角形的面积公式求出 即可解决问题；
（2）根据三角形内角和求出 和 的度数，然后根据角平分线的定义求得 的度数，再根
据角的和差关系即可求出 ；
【详解】（1）解： 是边 上的高， ， 的面积为24，
，
为边 上的中线，
是 的中点，
．
（2）解： 为边 的高，
， ．
．
为 的角平分线，
，
．
【点睛】本题考查三角形的面积，三角形的中线与高等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于基础
题．
【考点七 根据三角形的中线求面积】
例题：（2023春·广东茂名·七年级校考阶段练习）如图， 的面积为20，点 ， ， 分别为
的中点，则阴影部分 的面积为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．10【答案】B
【分析】根据三角形中线平分三角形面积，先证明 ，再证明 即可得到答案．
【详解】解：如图所示，连接 ，
为 中点，
.
同理可得， ， .
的面积为20，
.
，
.
故选B．
【点睛】本题主要考查了与三角形中线有关的面积问题，熟知三角形中线平分三角形面积是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023春·山西太原·七年级山西大附中校考期中）如图， 是 的中线，则下列结论中，正
确的个数有（ ）
（1） ；（2） ；（3） ；（4） ．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】如图，首先证明 （设为λ）， （设为μ）；进而证明 ，
，得到 ，进而得到 ，此为解决问题的关键性结论，运用该结论
即可解决问题
【详解】解：∵ 是 的中线，
∴ ；
∴ （设为λ），
（设为μ），
，
∴ ；
同理可证： ，
即 ， ；
∴选项（1）、（2）、（3）均成立，
选项（4）不成立，
故选：C．
【点睛】该题主要考查了三角形中线的定义、三角形的面积公式等几何知识点及其应用问题；解题的关键
是灵活运用等底同高的两个三角形的面积相等这一规律，来分析、判断、推理或解答．
2．（2023春·江苏扬州·七年级校联考阶段练习）如图， 是 的中线，点E、F分别为 的中点，若 的面积为 ，则 的面积是________ ．
【答案】8
【分析】根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答即可．
【详解】∵点F是 的中点， 的面积为 ，
∴ ．
∵点E是 的中点，
∴ ， ．
∴ ．
∴ ，
故答案是8．
【点睛】本题主要考查了三角形的面积，主要利用三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，原
理是等底同高的三角形面积相等．
【考点八 三角形角平分线的定义】
例题：（2023·云南楚雄·统考一模）如图， ， 平分 ，若 ，则 的度数
为（ ）
A． B． C． D．【答案】A
【分析】根据 ， ，可得 ，再由角平分线的定义可得 ，再利用
平行线的性质可得 ，即可得到结果．
【详解】解：如图，∵ ， ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
故选：A．
【点睛】本题考查平行线的性质可角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023春·全国·七年级专题练习）如图， 是 的角平分线， ，交AC于点F，已知
，求 的度数．
【答案】
【分析】根据平行线的性质得到 ，再根据角平分线的定义得到
即可得到答案．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∵ 是 的角平分线，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，三角形角平分线的定义，根据平行线的性质求出 是
解题的关键．
2．（2023春·上海·七年级阶段练习）已知：如图，BE平分∠ABC，∠1＝∠2．求证：BC//DE．【答案】见解析
【分析】由BE平分∠ABC，可得∠1＝∠3，再利用等量代换可得到一对内错角相等，即∠2＝∠3，即可
证明结论．
【详解】证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠1＝∠3，
∵∠1＝∠2，
∴∠2＝∠3，
∴BC//DE．
【点睛】本题主要利用了角平分线的性质以及内错角相等、两直线平行等知识点，灵活运用平行线的判定
定理成为解答本题的关键．
【考点九 利用网格求三角形面积】
例题：（2023春·广东湛江·八年级校考阶段练习）如图，方格纸中小正方形的边长为1， 的三个顶点
都在小正方形的格点上，求 的面积．
【答案】
【分析】利用割补法由正方形的面积减去三个三角形的面积即可．
【详解】解：如图，．
【点睛】本题考查的是求解网格三角形的面积，熟知割补法求解图形面积是解本题的关键．
【变式训练】
1．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第六十九中学校校考期中）下图为 的网格，每一小格均为
正方形，已知 ．
(1)画出 中 边上的中线 ；
(2)画出 中 边上的高 ．
(3)直接写出 的面积为_________．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析；
(3)6．
【分析】（1）取 的中点 ，连接 ，即为所求；
（2）取格点 ，连接 ， 即为所求；
（3）用直接利用面积公式进行求解即可．
【详解】（1）解：如图所示， 即为所求；（2）如图， 即为所求；
（3） ；
故答案为：6．
【点睛】本题考查格点画三角形的中线和高线，求三角形的面积．熟练掌握中线和高线的定义，是解题的
关键．
2．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第四十七中学校考期中）如图所示方格纸中，每个小正方形的
边长均为1，点A，点B，点C在小正方形的顶点上．
(1)画出 中边 上的高 ；
(2)画出 中边 上的中线 ；
(3)直接写出 的面积为______．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)4【分析】（1）根据三角形的高的定义画出图形即可；
（2）根据三角形的中线的定义画出图形即可；
（3）利用三角形面积公式求解．
【详解】（1）解：如图，线段 即为所求；
（2）如图，线段 即为所求；
（3） ．
故答案为：4．
【点睛】本题考查作图 应用与设计作图，三角形的高，中线，三角形的面积等知识，解题的关键是理解
三角形的高，中线的定义，属于中考常考题型．
【考点十 三角形的稳定性】
例题：（23-24七年级下·河南周口·期末）如图所示的斜拉桥是将主梁用许多拉索直接拉在桥塔上的一种桥
梁，这样做的依据是 ．
【答案】三角形的稳定性
【分析】本题考查三角形稳定性的实际应用，三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、
房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得．桥梁的斜拉
钢索是三角形的结构，故可用三角形的稳定性解释．
【详解】解∶ 斜拉桥是将主梁用许多拉索直接拉在桥塔上的一种桥梁，这样做的依据是三角形的稳定性，
故答案为∶ 三角形的稳定性．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·吉林·阶段练习）三角形在日常生活和生产中有很多应用，如家用梯子的设计中都有三角形结构，这样做的依据是三角形具有 ．
【答案】稳定性
【分析】本题考查的是三角形的稳定性，熟知三角形具有稳定性是解题的关键．
根据三角形的稳定性解答即可．
【详解】解：家用梯子的设计中都有三角形结构，这样设计的依据是三角形具有稳定性．
故答案为：稳定性．
2．（2024·吉林白城·模拟预测）如图，在生活中，为了保证儿童的安全，通常儿童座椅主体框架成三角形，
这是利用了 ．
【答案】三角形的稳定性
【分析】本题考查了三角形稳定性的特性，理解三角形的稳定性即可解题．
【详解】解：为了保证儿童的安全，通常儿童座椅主体框架成三角形，是利用了三角形的稳定性，
故答案为：三角形的稳定性．
3．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，松花江大桥的钢架结构采用三角形的形状，这其中运用
的数学道理是 .
【答案】三角形的稳定性
【分析】本题主要考查了三角形的稳定性．根据三角形的稳定性，即可求解．
【详解】解：松花江大桥的钢架结构采用三角形的形状，其中的数学道理是三角形的稳定性，故答案为：三角形的稳定性．
【过关检测】
一、单选题
1．（23-24八年级上·云南文山·阶段练习）下列每组数分别是三个木棒的长度（单位： ），能用它们摆
成三角形的是（ ）
A．3 ，4 ，7 B．1 ，5 ，8 C．2 ，2 ，4 D．9 ，9 ， 1
【答案】D
【分析】本题考查构成三角形的条件．根据三角形的三边关系逐一进行判断即可．
【详解】解：A、 ，不能摆成三角形．故本选项不符合题意；
B、 ，不能摆成三角形．故本选项不符合题意；
C、 ，不能摆成三角形．故本选项不符合题意；
D、 ，能摆成三角形．故本选项符合题意；
故选：D
2．（23-24七年级下·贵州毕节·期末）如图，2024年4月27日龙里河大桥正式通车运营，该桥是世界首座
车行道与玻璃步道共桥面的高山峡谷景观桥，大桥为双塔双索面叠合梁半漂浮体系斜拉桥，如图所示的斜
拉桥结构稳固，其蕴含的数学道理是（ ）
A．两点确定一条直线 B．垂线段最短C．三角形的稳定性 D．三角形任意两边之和大于第三边
【答案】C
【分析】本题主要考查了三角形的稳定性，熟知三角形具有稳定性是解题的关键．根据三角形具有稳定性
进行求解即可．
【详解】解：如图所示的斜拉桥结构稳固，其蕴含的数学道理是三角形具有稳定性，
故选C．
3．（24-25八年级上·全国·课前预习）下列各图中，正确画出 边上的高线的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了画三角形的高线．根据三角形高线的定义，即可求解．
【详解】解： 边上的高线是
故选：A
4．（23-24八年级上·广西南宁·阶段练习）如图，在 中，关于高的说法正确的是（ ）
A．线段 是 边上的高 B．线段 是 边上的高
C．线段 是 边上的高 D．线段 是 边上的高
【答案】B
【分析】本题考查了三角形的高的定义：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．根据三角形的高的定义对各选项进行分析即可．
【详解】解： 中， ， ， 边上的高分别为线段 ，线段 ，线段 ．
观察四个选项，选项B符合题意．
故选：B．
5．（23-24八年级上·吉林·阶段练习）如图，在 中， 是 边上的中线，E是 的中点，连接
，若 的面积为6，则 的面积为（ ）．
A．3 B．6 C．9 D．12
【答案】D
【分析】本题考查了三角形中线的性质．根据三角形的中线把三角形分成面积相同的两部分求解即可．
【详解】解：∵点E是 的中点， 的面积为6，
∴ 的面积为 ，
∵ 为 边上的中线，
∴ 的面积 的面积为12．
故选：D．
二、填空题
6．（22-23七年级上·四川泸州·开学考试）一个三角形的三个角的比是 ，最大的角是 度．这是
一个 三角形．
【答案】 110 钝角
【分析】本题主要考查根据比的相关知识进行解答，三角形的内角和等于 ，度数之比为 ，则说
明把180°平均分成三份，先求出一份的大小，再计算出较大角的度数，确定什么三角形即可．
【详解】解： (度)，
则这个三角形为钝角三角形．
故答案为：110；钝角．
7．（23-24七年级下·江苏宿迁·期末）若a、b、c是三角形的三边，则 ．【答案】
【分析】本题考查三角形的三边关系、绝对值化简，根据三角形的三边关系可得 ， ，再根
据绝对值的性质进行求解即可．
【详解】解：∵a、b、c是三角形的三边，
∴ ， ，
∴
，
故答案为： ．
8．（23-24八年级上·吉林长春·开学考试）如图，在 中，点D在 边上， ．
若 ，则 ．
【答案】3
【分析】本题考查了三角形的面积计算公式的实际应用．熟练掌握等高的三角形面积之比等于底的比是解
题的关键．
由题意知， ，则 ，即 ，由 ，可得
，则 ，即 ，由 ，可得 ，即 ，
计算求解即可．
【详解】解：由题意知， ，
∴ ，即 ，
∵ ，∴ ，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ，即 ，
解得， ，
故答案为：3．
9．（23-24七年级下·江苏泰州·阶段练习）在数轴上点A、B、C、D对应的数字分别是 ，若线段
能围成三角形，则x的范围是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了实数与数轴，三角形三边的关系，解不等式组，先根据题意得到
，由三角形三边关系定理得： ，再分情况求出不等式组
的解集是 ，即可得到答案．
【详解】解：由点在数轴上的位置得： ，
∵线段 能围成三角形，
∴由三角形三边关系定理得： ，
当 时，解得： ，此时， ，
由不等式①得： ，
由不等式②得： （矛盾，不成立，舍去）
由不等式③得： ，恒成立，
当 时，解得： ，
此时， ，
由不等式①得： ，
由不等式②得： ，恒成立，
由不等式③得： ，（矛盾，不成立，舍去）
当 时，解得： ，
此时， ，
由不等式①得： ，恒成立，
由不等式②得：
由不等式③得： ，
∴不等式组的解集是 ，
当 时，
此时，x无解，
综上，x的范围是 ，
故答案为： ．
10．（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在 中， ， 是高， 是中线，
是角平分线， 交 于点G，交 于点H，给出以下结论：① ；② ；③；④ ；⑤ ．其中结论正确的有 ．（只填序号）
【答案】②③④
【分析】此题考查了三角形的高、中线、角平分线等相关线段的性质，根据相关性质和角之间的关系逐项
进行判断即可 ．
【详解】解：∵ 是 的中线，
∴ ，
故④正确，符合题意；
∵ 是角平分线，，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故②正确，符合题意；
∵ ，
∴ ，
故③正确，符合题意；
由已知条件不能确定 ，
∴ 与 的关系不能确定，故⑤错误，不符合题意；
根据已知条件无法证明 ，故①错误，不符合题意；
故答案为：②③④．
三、解答题11．（23-24七年级下·江苏宿迁·期末）已知： 、 、 为 的三边长，且 、 满足
．
(1)求 的取值范围；
(2)在（1）的条件下，若 ，求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查绝对值的非负性、平方的非负性和三角形三边关系，解一元一次不等式，解题的关键是
利用非负性求出 ， 的值．
（1）利用非负性求出 ， 的值，再利用三角形三边关系，即可求解；
（2）根据第题意，列出不等式求解即可．
【详解】（1）解：∵ ，
，
解得 ， ，
， ，
∴ ．
（2）解：∵ ，
．
12．（23-24七年级下·江苏苏州·阶段练习）已知a、b、c是一个三角形的三边长．
(1)若 ， ，则c的取值范围是_______．
(2)试化简： ．
【答案】(1)
(2)【分析】本题考查三角形三边关系，化简绝对值，关键是掌握三角形三边关系定理：三角形两边之和大于
第三边，三角形的两边差小于第三边；正有理数的绝对值是它本身，负有理数的绝对值是它的相反数．
（1）由三角形三边关系定理即可得到答案；
（2）由绝对值的意义和三角形三边关系定理即可化简．
【详解】（1）解：由三角形三边关系定理得： ，
．
故答案为： ．
（2）解： ， ， ，
．
13．（23-24七年级下·四川乐山·期末）如图， 是 的中线， 是 的中线．
(1)在 中作 边上的高 ；
(2)若 的面积为 ， ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了三角形的高，三角形中线的性质，三角形面积公式，掌握三角形中线平分三角形面积
是解题关键．
（1）根据过直线外一点作已知直线的垂线的方法作图即可；
（2）由三角形中线的性质，得到 ，再根据三角形面积公式，求出 即可．
【详解】（1）解：如图， 即为所求作；（2）解： 为 的中线， 为 中线，
， ，
，
，
，
．
14．（2024·吉林长春·模拟预测）图①、图②、图③分别是 的网格，每个小正方形的边长均为1，每个
小正方形的顶点称为格点，点 、 、 均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要
求作图，所画点均在格点上．
(1)在图①中，在 右侧找到格点 ，使 ；
(2)在图②中，画出 ，使 ；
(3)在图③中，画射线 ，使 平分四边形 的面积．
【答案】(1)作图见解析；
(2)作图见解析；
(3)作图见解析．
【分析】（ ）取格点 ，连接 ，由网格可得 ， ，即 ，
故点 即为所求；
（ ）取格点 ，由网格可得 ， ，即 ，
故 即为所求；（ ）取格点 ，画射线 ，由网格可得 ，即射线 即为所求．
本题考查了网格作图，根据网格特点求出图形的面积是解题的关键．
【详解】（1）解：如图所示，点 即为所求；
（2）解：如图所示， 即为所求；
（3）解：如图所示，射线 即为所求．
15．（23-24八年级上·河南信阳·开学考试）如图所示，已知 分别是 的高和中线，
， ．
试求：
(1) 的长；
(2) 的面积；
(3) 和 的周长的差．【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了中线的定义、三角形中线的性质、三角形周长的计算，解题的关键是掌握等面积法和
三角形中线的性质．
（1）利用“面积法”来求线段 的长度；
（2）根据 与 是等底同高的两个三角形，它们的面积相等求解即可；
（3）由于 是中线，那么 ，于是 的周长 的周长 ，
化简可得 的周长 的周长 ，即可求其值．
【详解】（1）解： ， 是边 上的高，
，
，
即 的长度为 ；
（2）解：如图， 是直角三角形， ， ， ，
．
又 是边 的中线，
．
的面积是 ．
（3）解： 为 边上的中线，
，
的周长 的周长 ，
即 和 的周长的差是 ．
16．（23-24八年级上·河南信阳·开学考试）【图形定义】
有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形．例如：如图1，在 和 中， ， 分别是 和 边上的高线，且 ，则
和 是等高三角形．
【性质探究】
如图1，用 ， 分别表示 和 的面积．
则 ， ．
∵ ，∴ ．
【性质应用】
(1)如图2，D是 的边 上的一点．若 ， ，则 ______．
(2)如图3，在 中，D，E分别是 和 边上的点．若 ， ， ，则
______， ______．
(3)如图3，在 中，D，E分别是 和 边上的点，若 ， ， ，
则 ______．
【答案】(1)
(2) ，
(3)
【分析】此题是三角形综合题，主要考查了三角形的面积公式，理解等高的两三角形的面积比等于底的比是解本题的关键．
（1）根据等高的两三角形面积的比等于底的比，直接求出答案；
（2）同（1）的方法即可求出答案；
（3）同（1）的方法即可求出答案．
【详解】（1） ， ，
，
故答案为： ；
（2） ，
，
，
；
，
，
；
故答案为： ， ；
（3） ，
，
，
；
，
，
，
故答案为： ．
