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2022 届新高考数学提分计划之函数与导数
新高考 I 专用（2）
1.已知关于x的方程 的两个实数根 ， 满足 ，则实数
m的取值范围为( )
A. B. C. D.
2.若函数 在区间 上是减函数，则a的取值范围为( )
A. B. C. D.
3.已知函数 若 ，则实数m的取值范围为( )
A. B.
C. D.
4.已知函数 在区间 上有极值，则实数a的取值范围为( )
A. B. C. D.
5.复兴号动车组列车是中国标准动车组的中文命名，由中国铁路总公司牵头组织研制、具有
完全自主知识产权、达到世界先进水平的动车组列车.2019年12月30日，CR400BF-C智能复
兴号动车组在京张高铁实现时速350 km自动驾驶，不仅速度比普通列车快，而且车内噪声
更小.我们用声强（I 单位： ）表示声音在传播途径中每平方米面积上的声能流密度，声
强级L（单位：dB）与声强I的函数关系式为： ，已知 时， .
若要将某列车的声强级降低30 dB，则该列车的声强应变为原声强的( )
A. B. C. D.
6. （多选）若将一边长为a的正方形铁片的四角截去四个边长均为x的小正方形，然后做成
一个无盖的方盒，则下列说法中正确的是( )A.当 时，方盒的容积最大
B.当 时，方盒的容积最小
C.方盒容积的最大值为
D.方盒容积的最小值为
7. （多选）已知函数 则下列命题中正确的是( )
A.在该函数图象上一点 处的切线的斜率为
B.函数 的最小值为
C.该函数图象与x轴有4个交点
D.函数 在区间 上为减函数，在区间 上也为减函数
8.已知 是奇函数，且当 时， .若 ，则 __________.
9.若函数 在区间 上有两个零点，则实数a的取值范围是
________________.
10.已知函数 .
（1）若 是奇函数，且有三个零点，求实数b的取值范围；
（2）若 在 处有极大值 ，当 时，求出 的值域.答案以及解析
1.答案：D
解 析 ： 设 ， 由 题 意 可 得 ， ， 即
，即 ，解得 .故选D.
2.答案：D
解析：设 ，则函数 由 ， 复合而成，因为
是减函数，所以 在 上单调递增，从而 ，解得 .
又当 时， ，所以当 时， ，解得 .所以
.故选D.
3.答案：D
解析：当 时， ，所以 ，
即 ，解得 .
当 时， ，所以 ，即 ，解得
.
综上，实数m的取值范围为 ，故选D.
4.答案：B
解析：由题意，得 ，设 .因为函数 在区间
上有极值，所以 在 上有变号零点，即 在 上有解，
令 ，由 ，得 ，即 ，得到 ，解得 .
5.答案：C
解析：已知 时， ，所以 ，解得 .故
，由已知，设该列车声强级降低前后的声强级分别为 ， ，声强分别为 ， ，则 ，
所以 ，解得 .故选C.
6.答案：AC
解 析 ： 方 盒 的 容 积 为 ， 则
，令 ，则 或 ，则当
时，函数 单调递减；当 时，函数 单调递增，所以
.故选AC.
7.答案：ABD
解析：当 时， ， ，则 ，故A正确；由上，得当
时， ；当 时， ，所以 在区间 上单调递减，在区
间 上单调递增，故当 时， 有最小值 ；当 时， 在区间
上单调递减，在区间 上单调递增，故当 时， 有最小值 ，故
有最小值 ，故B，D正确；令 ，得 ；令 ，得 ，故
该函数图象与x轴有3个交点，故C错误.故选ABD.
8.答案：-3
解析：由 可得 ，由 是奇函数可知 ，
时， ，则 ，
，
.9.答案：
解析：当 时， ，因此 不是 的零点.
当 时， ，
由 ，得 ，
若 ，则另一根 ；
若 ，则另一根 .
符合题意.
若 在 内有两个零点，
则
即 解得 .
综上所述，a的取值范围是 .
10.答案：（1）因为 是定义域为R的奇函数，
所以 ，且 ，
所以 ，所以 .
当 时， ，
此时 在R上单调递减， 在R上只有一个零点，不符合题意.
当 时， ，解得 .
因为 在R上有三个零点，所以 且 .
又 ， ， 恒成立，
所以 .
综上，实数b的取值范围为 .
（2）由题意，得 ，
， ，
解得 或
当 ， 时， ， ，
令 ，得 ，
令 ，得 或 ，
所以函数 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，
所以 在 处有极小值，与题意不符.
当 ， 时， ， .
令 ，得 ；
令 ，得 或 ，
所以函数 在区间 和 上单调递减，在区间 上单调递增，
所以 在 处有极大值，符合题意，
故 ， .
又因为 ，所以 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减.
又 ， ， ，
所以函数 在区间 上的值域为 .
