文档内容
20.1 勾股定理及其应用
第3课时
一、教学目标
【知识与技能】
1.利用勾股定理,能在数轴上找到表示无理数的点.
2.进一步学习将实际问题转化为直角三角形的数学模型,并能用勾
股定理解决简单的实际问题.
【过程与方法】
1.经历在数轴上寻找表示无理数的点的过程,发展学生灵活运用勾
股定理解决问题的能力.
2.在用勾股定理解决实际问题的过程中,体验解决问题的策略,发
展学生的动手操作能力和创新精神.
3.在解决实际问题的过程中,学会与人合作,并能与他人交流思维
过程和结果,形成反思的意识.
【情感态度与价值观】
1.在利用勾股定理寻找数轴上表示无理数的点的过程中,体会勾股
1 / 14定理的重要作用,并从中获得成功的体验,锻炼克服困难的意志,建立
自信心.
2.在解决实际问题的过程中,形成实事求是的态度以及进行质疑和
独立思考的习惯.
二、课型
新授课
三、课时
第3课时 共3课时
四、教学重难点
【教学重点】
能利用勾股定理在数轴上表示无理数.
【教学难点】
利用勾股定理寻找直角三角形中长度为无理数的线段.
五、课前准备
教师：课件、三角尺、直尺、圆规等.
学生：复习尺规作图的有关知识,准备三角板、直尺、圆规、铅
笔.
2 / 14六、教学过程
（一）导入新课（出示课件2）
欣赏课件中海螺的图片：
在数学中也有这样一幅美丽的“海螺型”图案，如第七届国际数
学教育大会的会徽.
这个图是怎样绘制出来的呢？这就是今天我们探究的问题.
（二）探索新知
1.出示课件4-5，探究证明“HL”
教师问：在八年级上册中，我们曾经通过探究得到结论：斜边和
一条直角边分别相等的两个直角三角形全等．学习了勾股定理后，
你能证明这一结论吗？
教师展示问题：
已知：如图，在Rt ABC 和Rt A′B′ C′中，∠C=∠C′=90°，
△ △
AB=A′B ′，AC=A′C′ ．
3 / 14求证：△ABC≌△ A′B′ C′ ．
学生讨论后回答：
证明：在 Rt ABC 和 Rt A ′B′ C′中，∠C=∠C′=90°，根据勾股
△ △
定理，得BC= ，B′C′= .
√AB2−AC2 √A'B'2−A'C'2
∵AB=A′B′,AC=A′C′,
∴BC=B′C′．
∴△ABC≌△A′B′C′（SSS）．
2.出示课件6-8，探究利用勾股定理在数轴上确定无理数
教师问：你能在数轴上表示出√2的点吗？-√2呢？
师生一起解答：（放幻灯片，展示作图过程.）
教师问：用同样的方法作√3 ，√4， √5，√6，√7 呢？
学生答：如下图所示（放映幻灯片，展示作图过程）
4 / 14总结点拨：可以构造直角三角形作出边长为无理数的边，就能在
数轴上画出表示该无理数的点.
教师问：长为√13的线段是直角边的长都为正整数的直角三角形
的斜边吗？
教师找三名学生回答.
学生1答：
学生2答：
学生3答：
5 / 14教师总结如下，其中有两种符合要求.
教师问：根据上面问题你能在数轴上画出表示√13的点吗？
师生总结如下：
步骤：
1.在数轴上找到点A,使OA=3;
2.作直线l⊥OA,在l上取一点B，使AB=2;
3.以原点O为圆心，OB长为半径作弧，弧与数轴正半轴交于C
点，则点C即为表示√13的点.
6 / 14教师总结点拨（出示课件9）
利用勾股定理表示无理数的方法:
（1）利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正数的直
角三角形的斜边.
（2）以原点为圆心，以无理数斜边长为半径画弧与数轴存在交
点，在原点左边的点表示是负无理数，在原点右边的点表示是正无
理数.
考点1：利用勾股定理在数轴上确定无理数的点
在数轴上作出表示√17的点.（出示课件10）
师生共同讨论解答如下：
解：作法：
（1）在数轴上找到点A，使OA=1；
（2）过点A作直线l垂直于OA，在直线l上取点B,使AB=4，
7 / 14那么OB=√17；
（3）以原点O为圆心，OB长为半径作弧，弧与数轴正半轴交
于点C，则OC=√17.
如图，在数轴上，点C为表示√17的点.
出示课件11，学生自主练习后口答，教师订正.
3.出示课件12-13，探究利用勾股定理在网格上做长度为无理数
的线段
教师问：在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，
请在给定网格中以A出发分别画出长度为√2，√5，√8的线段AB．
教师找三名学生回答.
学生1答：
8 / 14学生2解答：
学生3解答：
教师追问：如图为4×4的正方形网格,以格点与点A为端点,你能
画出几条边长为√10的线段?
学生讨论后回答：如图所示：
9 / 14教师总结点拨：
勾股定理与网格的综合求线段长时，通常是把线段放在与网格构
成的直角三角形中，利用勾股定理求其长度.
考点1：利用勾股定理在网格上作线段
如图是由4个边长为1的正方形构成的田字格，只用没有刻度的
直尺在这个田字格中最多可以作出多少条长度为√5的线段？（出示
课件14）
学生独立思考后，师生共同解答.
解：如图所示，有8条.
教师总结点拨：
一个点一个点地找，不要漏解.
10 / 14出示课件15，学生自主练习，教师给出答案.
4.利用勾股定理在折叠问题中求线段的长度
如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，
使点B落在CD边上的B′处，点A的对应点为A′，且B′C＝3，求
AM的长.（出示课件16）
学生独立思考后，师生共同解答.
解：连接BM，MB′.设AM＝x，
在Rt ABM中，AB2＋AM2＝BM2.
△
在Rt MDB′中，MD2＋DB′2=MB′2.
△
∵MB＝MB′，∴AB2＋AM2＝MD2＋DB′2，
11 / 14即92＋x2＝(9－x)2＋(9－3)2，
解得x＝2.即AM＝2.
师生共同归纳如下：（出示课件17）
折叠问题中结合勾股定理求线段长的方法:
(1)设一条未知线段的长为x(一般设所求线段的长为x)；
(2)用已知线段或含x的代数式表示出其他线段长；
(3)在一个直角三角形中应用勾股定理列出一个关于x的方程；
(4)解这个方程，从而求出所求线段长.
出示课件18，学生自主练习，教师给出答案.
教师：学了前面的知识，接下来做几道练习题看看你掌握的怎么
样吧.
（三）课堂练习（出示课件19-26）
练习课件第19-26页题目，约用时20分钟.
（四）课堂小结（出示课件27）
师生共同回顾本节课所学主要内容:
1.用勾股定理在数轴上表示无理数,构造长为无理数的线段放在直
角三角形中,有时是直角边,有时是斜边.
12 / 142.求不规则图形的面积,应用割补法把图形分解为特殊图形,四边
形中常常通过作辅助线构造直角三角形,以利用勾股定理.
（五）课前预习
预习下节课（20.2第1课时）的相关内容.
知道勾股定理的逆定理的定义
七、课后作业
1、教材第29页练习第2，3题.
2、培优练习20.1第2，3题.
八、板书设计
勾股定理及其应用
第3课时
1证明“HL”
2. 利用勾股定理在数轴上确定无理数
考点1
3. 利用勾股定理在网格上做长度为无理数的线段
考点1
4. 利用勾股定理在折叠问题中求线段的长度
13 / 145. 例题讲解
九、教学反思
成功之处：本节课注重数学与生活的联系,注重数学知识的应用,
从学生认知规律和接受水平出发,循序渐进地引入新课,成功地引导学
生会将长为无理数的线段看成一个直角三角形的斜边,再按照尺规作
图的要求,在数轴上找出表示无理数的点.
不足之处：由于学生尺规作图的能力较差,学生在确定了作图思
路之后,却难以按照尺规作图的步骤完成作图.
补救措施：教师指导在数轴上找出表示无理数的点,示范作图步
骤.教学中,根据学生的基础情况,适当进行复习,帮助学生解决学习中
的困难.
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