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专题 20.3 勾股定理逆定理
1. 掌握勾股定理的逆定理内容，能够熟练地运用它来判断直角三角形以及在相关问题
教学目标 中运用；
2. 掌握勾股数并能够判断勾股数并能够熟练应用勾股数。
1. 重点
（1）勾股定理逆定理；
（2）勾股数；
教学重难点
2. 难点
（1）勾股定理逆定理的相关运用；
（2）勾股数的证明。知识点01 勾股定理逆定理
1. 勾股定理逆定理内容：
在△ABC中，如果三角形的三边分别是 且满足 ，则该三角形一定是有一个
直角三角形且∠C是直角。
勾股定理的逆定理用于判断一个三角形是不是直角三角形。
2. 直角三角形的判定
①勾股定理逆定理
②三角形中有一个角是90°。
③三角形中有两个角之和为90°。
【即学即练1】
1．以下列各组数为边长，能够组成直角三角形的是（ ）
A．❑√3，❑√4，❑√5 B．2，3，4 C．5，12，13 D．8，13，17
【即学即练2】
2．若△ABC的三边分别是a，b，c，则下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（ ）
A．∠A＝∠B+∠C B．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
C．a＝5，b＝12，c＝13 D．a＝1，b=❑√2，c=❑√3
【即学即练3】
3．已知a，b，c是三角形的三边，如果满足（a﹣3）2+❑√b−4+|c﹣5|＝0，则三角形的形状是（ ）
A．底与腰部相等的等腰三角形
B．等边三角形
C．钝角三角形
D．直角三角形
【即学即练4】
4．如图，AB⊥BC，AB＝4，BC＝3，DC＝12，AD＝13，连接AC．
（1）判断△ACD的形状并说明理由；
（2）计算四边形ABCD的面积．
【即学即练5】5．如图，某小区有两个喷泉A，B，两个喷泉的距离AB的长为250m．现要为喷泉铺设供水管道AM，
BM，供水点M在小路AC上，供水点M到AB的距离MN的长为120m，BM的长为150m．
（1）求供水点M到喷泉A需要铺设管道MA的长；
（2）BM的长是喷泉B到小路AC上各处的最短距离吗？请说明理由．
知识点03 勾股数
1. 勾股数的定义：
满足勾股定理（即 ）的三个 称为勾股数。
注意：①一定要满足勾股定理；②一定要是正整数。
2. 常见的勾股数类型：
基本勾股数：（3，4，5）（6，8，10）
①倍数型勾股数：
②奇数规律：满足 的三个正整数。（ 为奇数）
③偶数规律：满足 的三个正整数。（ 为偶数）
【即学即练1】
6．下列各组数中，属于勾股数的是（ ）
1 1 1
A．32，42，52 B．5，12，13 C．❑√3，❑√4，❑√5 D． ， ，
3 4 5
【即学即练2】
7．一个直角三角形的两边长分别是3和4，且三边长构成一组勾股数，则第三边长为（ ）
A．5 B．❑√7 C．5或❑√7 D．12
【即学即练3】
8．如果满足等式a2+b2＝c2的a，b，c是三个正整数，我们称a，b，c为勾股数．（1）已知m，n，k是正整数且m＞n，证明：a＝2mn，b＝m2﹣n2，c＝m2+n2是勾股数．
（2）请写出任意一组含有68的“勾股数”： ．
题型01 判断构成直角三角形的线段
【典例1】以下列数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（ ）
A．❑√3，2，❑√5 B．1，❑√3，2 C．3，6，7 D．6，9，12
【变式1】以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的是（ ）
A．5，12，13 B．1，2，❑√5 C．1，❑√3，2 D．4，5，6
【变式2】以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（ ）
1 1 1
A．3，4，5 B．❑√3，❑√4，❑√5 C．32，42，52 D． ， ，
3 4 5
题型02 判定直角三角形
【典例1】已知a，b，c为△ABC的三边长，下列条件中不能判定△ABC为直角三角形的是（ ）
A．∠A+∠B＝∠C B．∠A：∠B：∠C＝1：2：3
C．a：b：c＝1：2：3 D．a2﹣b2＝c2
【变式1】满足下列条件时，△ABC不是直角三角形的是（ ）
A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
B．AB：BC：AC＝1：1：❑√2
C．AB＝0.5cm，BC＝1.2cm，AC＝1.3cm
D．∠A＝38°，∠C＝52°
【变式2】在△ABC中，分别给出下列条件，不能判定是直角三角形的是（ ）【提示：在△ABC中，
∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c】
A．在△ABC中，∠A：∠B：∠C＝3：4：5B．在△ABC中，∠A+∠B＝∠C
C．在△ABC中，（a﹣b）（a+b）＝c2
D．在△ABC中，a＝3，b＝4，c＝5
题型03 判断三角形的形状
【典例1】已知a、b、c是△ABC的三边长，它们满足(a−10) 2+❑√b−24+|c−26|=0，则这个三角形
的形状是（ ）
A．等边三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
【变式1】已知实数a，b，c满足(a−❑√7) 2+❑√b−5+|c−3❑√2|=0．
（1）求实数a，b，c的值．
（2）以a，b，c为边能否构成直角三角形？请说明理由．
【变式2】已知a+6的算术平方根是3❑√2，b﹣4的平方根是±3，﹣27的立方根是2﹣c．
（1）求a，b，c的值．
（2）判断以a，b，c为边长的三角形的形状，并说明理由．
题型04 判断勾股数及其求值或证明
【典例1】下列各组数是勾股数的是（ ）
A．7，24，25 B．0.3，0.4，0.5
C．1.5，2，2.5 D．5，11，12【变式1】下列各组数中，是勾股数的一组是（ ）
A．7，8，9 B．1，1，2 C．9，12，15 D．2，3，4
【变式2】若n、8、10是一组勾股数，则n的值是（ ）
A．2 B．6 C．8 D．10
【变式3】若5，a，12是一组勾股数，则a的值为（ ）
A．13 B．❑√119 C．❑√119或13 D．11
【变式4】（1）我们知道像3，4，5这样三个整数是一组勾股数，那么3k，4k，5k（k是正整数）是一组
勾股数吗？请说明理由；
（2）如果a，b，c是一组勾股数，那么ak，bk，ck（k是正整数）也是一组勾股数吗？请说明理由．
（3）如果m表示大于1的整数，a＝2m，b＝m2﹣1，c＝m2+1，请说明a，b，c为勾股数．
题型05 勾股定理逆定理的应用
【典例1】如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB=BC=❑√2，CD=❑√5，DA＝1．连接AC．
（1）求AC的长度；
（2）求∠DAB的度数．
【变式1】如图，四边形ABCD的四个顶点都在网格上，且网格中每个小正方形的边长都为1．
（1）求四边形ABCD的周长；
（2）求∠BAD的度数．【变式2】如图，一架无人机旋停在空中点A处，点A与地面上点B之间的距离AB＝20米，点A与地面
上点C（点B，C处于同一水平面上）的距离AC＝25米，且BC＝15米．
（1）求∠ABC的度数；
（2）现这架无人机沿AB所在直线向下飞行至点 D处，若点D恰好在边AC的垂直平分线上，连接
CD，求这架无人机向下飞行的距离（AD的长）．
1．以下列各数为边长，能构成直角三角形的是（ ）
A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，4，5 D．4，5，6
2．下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．0.3，0.4，0.5 B．10，15，18
1 1 1
C． ， ， D．6，8，10
3 4 5
3．下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（ ）A．∠A+∠B＝∠C B．∠A：∠B：∠C＝1：2：3
C．a2﹣b2＝c2 D．a：b：c＝3：4：6
4．如图，将长为8cm的橡皮筋放置在水平面上，固定两端A和B，然后把中点C垂直向上拉升3cm至点
D，则橡皮筋被拉长了（ ）
A．2cm B．3cm C．4cm D．6cm
5．如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？
意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝十尺），折断后，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，
求折断处离地面的高度．设竹子折断处离地面x尺，根据题意，列出的正确方程为（ ）
A．x2+62＝102 B．（10﹣x）2+62＝x2
C．x2+62＝（10﹣x）2 D．（10﹣x）2+x2＝62
6．平静的水池中央生长着一株荷花，荷花高出水面1尺．一阵强风吹过，荷花被吹至倾斜，其顶端恰好接
触到岸边的水面．此时，荷花顶端相比于原位置，在水平方向上移动了4尺．由此可知水池的深度是（
）
15 17
A．7尺 B． 尺 C．8尺 D． 尺
2 2
7．已知△ABC三边长分别为a，b，c，且满足❑√a−1+|b−❑√2|+(c−❑√3) 2=0，则△ABC是（ ）
A．以c为斜边长的直角三角形
B．以b为斜边长的直角三角形
C．以a为斜边长的直角三角形
D．等腰三角形
8．如图，小丽在公园里荡秋千，在起始位置A处摆绳OA与地面垂直，摆绳长2m，向前荡起到最高点B
处时距地面高度1.3m，摆动水平距离BD为1.6m，然后向后摆到最高点C处．若前后摆动过程中绳始终
拉直，且OB与OC成90°角，则小丽在C处时距离地面的高度是（ ）A．0.9m B．1.3m C．1.6m D．2m
9．小惠同学用25个等距离的结把一根绳子分成等长的24段，她同时握住第1个结和第25个结，小淇同
学握住第7个结，这时小婷同学应该握住第（ ）个结，拉紧绳子后才会得到一个以第 7个结为直角
顶点的直角三角形．
A．13 B．14 C．15 D．16
10．在学习“勾股数”的知识时，爱思考的小琦发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格
中：
a 6 8 10 12 14 …
b 8 15 24 35 48 …
c 10 17 26 37 50 …
则当a＝18时，b+c的值为（ ）
A．242 B．200 C．128 D．162
11．如图，小红家的木门左下角有一点受潮，她想检测门是否变形，采用了如下方法进行检测：先测得门
的边AB和BC的长分别为 2.4m和1m，又测得点A与点C间的距离为 2.6m，则小红家的木门
（填“已变形”或“没有变形”）．
12．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，AC＝3，点I为Rt△ABC三条角平分线的交点，则点
I到边AB的距离为 ．
13．勾股定理a2+b2＝c2本身就是一个关于a，b，c的方程，满足这个方程的正整数解（a，b，c）通常叫
做勾股数组．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：
（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），…．分析上面勾股数组可以发现，4＝1×（3+1），12
＝2×（5+1），24＝3×（7+1），…分析上面规律，第4个勾股数组为 ．14．如图，△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别在AB，BC边上匀
速移动，它们的速度分别为2cm/s和1cm/s，当点P到达点B时，P，Q两点停止运动，设点P的运动时
间为ts，则当t＝ s时，△PBQ为直角三角形．
15．在△ABC中，AB＝5，AC＝12，BC＝13，过点A的直线把△ABC分成两个三角形，若其中仅有一个
是等腰三角形，则这个等腰三角形的面积是 ．
16．若实数b的立方根为2，且实数a，b，c满足❑√a−15+b+(a−c+2) 2=8．
（1）求2a﹣3b+c的值；
（2）若a，b，c是△ABC的三边，试判断三角形的形状，并说明理由．
17．如图，在四边形 ABCD 中，∠B＝90°，AC 为四边形 ABCD 的对角线，已知 AB＝8，BC＝6，
CD=2❑√15，AD=2❑√10．
（1）请判断△ACD的形状，并说明理由；
（2）过点D作DE⊥AC于点E，求线段CE的长．
18．当直角三角形的三边长都是正整数时，我们称这三个正整数为勾股数．
（1）若a，b为一个直角三角形的两条直角边长，c为斜边长，a，b，c为勾股数，且a＝n+7，c＝
n+8，n为正整数，求b的值（用含n的式子表示），并直接写出符合题意的最小的b值．
（2）当n是大于1的整数时，判断2n，n2﹣1，n2+1是否是勾股数，并说明理由．19．已知m、x、y均为正整数，且x≠y，当m＝x2+y2时，我们称正整数m为“可媲美勾股数”，把x与y
的积称为m的“勾股值”，用A（m）表示，即A（m）＝xy．例如：13＝32+22，A（13）＝3×2＝6，13
就是一个“可媲美勾股数”，6是13的勾股值．
（1）下列各数中，属于“可媲美勾股数”的有 ．
①5
②25
③49
（2）求A（65）﹣A（20）的值．
m−9
（3）已知正整数m为“可媲美勾股数”，且满足18＜m＜60，m的勾股值为 ，求m的值．
2
20．小亮在网上搜索到下面的文字材料：在 x轴上有两个点它们的坐标分别为（a，0）和（c，0），则这
两个点所成的线段的长为|a﹣c|；同样，若在y轴上的两点坐标分别为（0，b）和（0，d），则这两个
点所成的线段的长为|b﹣d|．如图，在直角坐标系中的任意两点P ，P 其坐标分别为（a，b）和（c，
1 2
d），分别过这两个点作两坐标轴的平行线，构成一个直角三角形，其中直角边P Q＝|a﹣c|，P Q＝|b﹣
1 2
d|，利用勾股定理可得：线段P P 的长为❑√(a−c) 2+(b−d) 2．
1 2
根据上面材料，回答下面的问题：
（1）在平面直角坐标系中，已知A（3，2），B（4，5）则线段AB的长为 ；
（2）若点C在y轴上，点D的坐标是（4，0），且CD＝5，则点C的坐标是 ；
（3）已知△ABC的三个顶点坐标分别为 A（1，3），B（3，0），C
（﹣2，1），请判断△ABC的形状，并说明理由．
