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五年（2019-2023）年高考真题分项汇编
专题 04 立体几何
考点一 空间几何体的侧面积和表面积
1．（2021•新高考Ⅰ）已知圆锥的底面半径为 ，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥
的母线长为
A．2 B． C．4 D．
【解析】由题意，设母线长为 ，
因为圆锥底面周长即为侧面展开图半圆的弧长，圆锥的母线长即为侧面展开图半圆的半径，
则有 ，解得 ，
所以该圆锥的母线长为 ．
故选： ．
2．（2022•上海）已知圆柱的高为4，底面积为 ，则圆柱的侧面积为 ．
【解析】因为圆柱的底面积为 ，即 ，
所以 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分1 百】所以 ．
故答案为： ．
3．（2021•上海）已知圆柱的底面圆半径为1，高为2， 为上底面圆的一条直径， 是
下底面圆周上的一个动点，则 的面积的取值范围为 ．
【解析】如图1，上底面圆心记为 ，下底面圆心记为 ，
连接 ，过点 作 ，垂足为点 ，
则 ，
根据题意， 为定值2，所以 的大小随着 的长短变化而变化，
如图2所示，当点 与点 重合时， ，
此时 取得最大值为 ；
如图3所示，当点 与点 重合， 取最小值2，
此时 取得最小值为 ．
综上所述， 的取值范围为 ．
故答案为： ．
4．（2021•上海）已知圆柱的底面半径为1，高为2，则圆柱的侧面积为 ．
【解析】圆柱的底面半径为 ，高为 ，
所以圆柱的侧面积为 ．
故答案为： ．
5．（2019•上海）一个直角三角形的两条直角边长分别为1和2，将该三角形分别绕其两
个直角边旋转得到的两个圆锥的体积之比为
A．1 B．2 C．4 D．8
【解析】如图，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分2 百】则 ， ，
两个圆锥的体积之比为 ．
故选： ．
6．（2020•浙江）已知圆锥的侧面积（单位： 为 ，且它的侧面展开图是一个半圆，
则这个圆锥的底面半径（单位： 是 ．
【解析】 圆锥侧面展开图是半圆，面积为 ，
设圆锥的母线长为 ，则 ， ，
侧面展开扇形的弧长为 ，
设圆锥的底面半径 ，则 ，解得 ．
故答案为： ．
7．（2022•新高考Ⅱ）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为 和 ，其顶
点都在同一球面上，则该球的表面积为
A． B． C． D．
【解析】当球心在台体外时，由题意得，上底面所在平面截球所得圆的半径为 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分3 百】下底面所在平面截球所得圆的半径为 ，如图，
设球的半径为 ，则轴截面中由几何知识可得 ，解得 ，
该球的表面积为 ．
当球心在台体内时，如图，
此时 ，无解．
综上，该球的表面积为 ．
故选： ．
8．（2021•新高考Ⅱ）北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导
航系统中，地球静止同步轨道卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为
（轨道高度是指卫星到地球表面的距离）．将地球看作是一个球心为 ，半径 为
的球，其上点 的纬度是指 与赤道平面所成角的度数．地球表面上能直接观测到的一
颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为 ，该卫星信号覆盖地球表面的表面积
（单位： ，则 占地球表面积的百分比约为
A． B． C． D．
【解析】由题意，作出地球静止同步卫星轨道的左右两端的竖直截面图，
则 ，那么 ；
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分4 百】卫星信号覆盖的地球表面面积 ，
那么， 占地球表面积的百分比为 ．
故选： ．
考点二 空间几何体的体积
9．（2022•新高考Ⅰ）已知正四棱锥的侧棱长为 ，其各顶点都在同一球面上．若该球的
体积为 ，且 ，则该正四棱锥体积的取值范围是
A． ， B． ， C． ， D． ，
【解析】如图所示，正四棱锥 各顶点都在同一球面上，连接 与 交于点 ，
连接 ，则球心 在直线 上，连接 ，
设正四棱锥的底面边长为 ，高为 ，
在 中， ，即 ，
球 的体积为 ， 球 的半径 ，
在 中， ，即 ，
， ，
，又 ， ，
该正四棱锥体积 ，
，
当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减，
（4） ，
又 ， ，且 ，
，
即该正四棱锥体积的取值范围是 ， ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分5 百】故选： ．
10．（2022•新高考Ⅰ）南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水
蓄入某水库．已知该水库水位为海拔 时，相应水面的面积为 ；水位为海拔
时，相应水面的面积为 ．将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，
则该水库水位从海拔 上升到 时，增加的水量约为
A． B． C． D．
【解析】 ， ，
根据题意，增加的水量约为
．故选： ．
11．（2021•新高考Ⅱ）正四棱台的上、下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积
为
A． B． C． D．
【解析】解法一：如图 为正四棱台， ， ， ．
在等腰梯形 中，过 作 ，可得 ，
．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分6 百】连接 ， ，
， ，
过 作 ， ，
，
正四棱台的体积为：
．
解法二：作出图形，连接该正四棱台上下底面的中心，如图，
该四棱台上下底面边长分别为2，4，侧棱长为2，
该棱台的记 ，
下底面面积 ，上底面面积 ，
则该棱台的体积为：
．
故选： ．
12．【多选】（2023•新高考Ⅰ）下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位： 的正
方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有
A．直径为 的球体
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分7 百】B．所有棱长均为 的四面体
C．底面直径为 ，高为 的圆柱体
D．底面直径为 ，高为 的圆柱体
【解析】对于 ，棱长为1的正方体内切球的直径为 ，选项 正确；
对于 ，如图，
正方体内部最大的正四面体 的棱长为 ，选项 正确；
对于 ，棱长为1的正方体的体对角线为 ，选项 错误；
对于 ，如图，六边形 为正六边形， ， ， ， ， ， 为棱的中点，
高为0.01米可忽略不计，看作直径为1.2米的平面圆，
六边形 棱长为 米， ，
所以 米，故六边形 内切圆半径为 米，
而 ，选项 正确．
故选： ．
13．【多选】（2022•新高考Ⅱ）如图，四边形 为正方形， 平面 ，
， ．记三棱锥 ， ， 的体积分别为 ，
， ，则
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分8 百】A． B． C． D．
【解析】设 ，
，
，
如图所示，
连接 交 于点 ，连接 、 ，
则 ， ， ，
故 ，
，
故 、 正确， 、 错误．
故选： ．
14．【多选】（2021•新高考Ⅰ）在正三棱柱 中， ，点 满足
，其中 ， ， ， ，则
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分9 百】A．当 时，△ 的周长为定值
B．当 时，三棱锥 的体积为定值
C．当 时，有且仅有一个点 ，使得
D．当 时，有且仅有一个点 ，使得 平面
【解析】对于 ，当 时， ，即 ，所以 ，
故点 在线段 上，此时△ 的周长为 ，
当点 为 的中点时，△ 的周长为 ，
当点 在点 处时，△ 的周长为 ，
故周长不为定值，故选项 错误；
对于 ，当 时， ，即 ，所以 ，
故点 在线段 上，
因为 平面 ，
所以直线 上的点到平面 的距离相等，
又△ 的面积为定值，
所以三棱锥 的体积为定值，故选项 正确；
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分10百】对于 ，当 时，取线段 ， 的中点分别为 ， ，连结 ，
因为 ，即 ，所以 ，
则点 在线段 上，
当点 在 处时， ， ，
又 ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ，即 ，
同理，当点 在 处， ，故选项 错误；
对于 ，当 时，取 的中点 ， 的中点 ，
因为 ，即 ，所以 ，
则点 在线的 上，
当点 在点 处时，取 的中点 ，连结 ， ，
因为 平面 ，又 平面 ，所以 ，
在正方形 中， ，
又 ， ， 平面 ，
故 平面 ，又 平面 ，所以 ，
在正方体形 中， ，
又 ， ， 平面 ，所以 平面 ，
因为过定点 与定直线 垂直的平面有且只有一个，
故有且仅有一个点 ，使得 平面 ，故选项 正确．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分11百】故选： ．
15．（2023•新高考Ⅱ）底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底
面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为 ．
【解析】如图所示，根据题意易知△ ，
，又 ，
， ，又上下底面正方形边长分别为2，4，
所得棱台的体积为 ．
故答案为：28．
16．（2023•新高考Ⅰ）在正四棱台 中， ， ， ，
则该棱台的体积为 ．
【解析】如图，设正四棱台 的上下底面中心分别为 ， ，
过 作 ，垂足点为 ，由题意易知 ，又 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分12百】，又 ， ，
该四棱台的体积为 ．
故答案为： ．
17．（2020•海南）已知正方体 的棱长为2， 、 分别为 、 的
中点，则三棱锥 的体积为 ．
【解析】如图，
正方体 的棱长为2， 、 分别为 、 的中点，
，
．
故答案为： ．
18．（2022•上海）如图所示三棱锥，底面为等边 ， 为 边中点，且 底面
， ．
（1）求三棱锥体积 ；
（2）若 为 中点，求 与面 所成角大小．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分13百】【解析】（1）在三棱锥 中，因为 底面 ，所以 ，
又 为 边中点，所以 为等腰三角形，
又 ．所以 是边长为2的为等边三角形，
，三棱锥体积 ，
（2）以 为坐标原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴，建立空间直角坐标系，
则 ，0， ， ，0， ， ，1， ， ， ， ，
， ， ，
平面 的法向量 ，0， ，
设直线 与平面 所成角为 ，
则直线 与平面 所成角的正弦值为 ，
所以 与面 所成角大小为 ．
19．（2020•上海）已知四棱锥 ，底面 为正方形，边长为3， 平面
．
（1）若 ，求四棱锥 的体积；
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分14百】（2）若直线 与 的夹角为 ，求 的长．
【解析】（1） 平面 ， ．
， ， ，
，
所以四棱锥 的体积为12．
（2） 是正方形， 平面 ，
，
又
平面
异面直线 与 所成角为 ，
在 中， ，
故
在 中，
考点三 空间中直线与直线之间的位置关系
20．（2022•上海）如图正方体 中， 、 、 、 分别为棱 、 、
、 的中点，联结 ， ．空间任意两点 、 ，若线段 上不存在点在线
段 、 上，则称 两点可视，则下列选项中与点 可视的为
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分15百】A．点 B．点 C．点 D．点
【解析】线段 上不存在点在线段 、 上，即直线 与线段 、 不相交，
因此所求与 可视的点，即求哪条线段不与线段 、 相交，
对 选项，如图，连接 、 、 ，因为 、 分别为 、 的中点，
易证 ，故 、 、 、 四点共面， 与 相交， 错误；
对 、 选项，如图，连接 、 ，易证 、 、 、 四点共面，
故 、 都与 相交， 、 错误；
对 选项，连接 ，由 选项分析知 、 、 、 四点共面记为平面 ，
平面 ， 平面 ，且 平面 ，点 ，
与 为异面直线，
同理由 ， 选项的分析知 、 、 、 四点共面记为平面 ，
平面 ， 平面 ，且 平面 ，点 ，
与 为异面直线，
故 与 ， 都没有公共点， 选项正确．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分16百】故选： ．
21．（2021•浙江）如图，已知正方体 ， ， 分别是 ， 的中点，
则
A．直线 与直线 垂直，直线 平面
B．直线 与直线 平行，直线 平面
C．直线 与直线 相交，直线 平面
D．直线 与直线 异面，直线 平面
【解析】连接 ，如图：
由正方体可知 ， ， 平面 ，
，由题意知 为△ 的中位线， ，
又 平面 ， 平面 ， 平面 ． 对；
由正方体可知 与平面 相交于点 ， 平面 ， ，
直线 与直线 是异面直线， 、 错；
， 不与平面 垂直， 不与平面 垂直， 错．
故选： ．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分17百】22．（2020•上海）在棱长为10的正方体 中， 为左侧面 上一点，
已知点 到 的距离为3， 到 的距离为2，则过点 且与 平行的直线交正方体
于 、 两点，则 点所在的平面是
A． B． C． D．
【解析】如图，
由点 到 的距离为3， 到 的距离为2，
可得 在△ 内，过 作 ，且 于 ， 于 ，
在平面 中，过 作 ，交 于 ，则平面 平面 ．
连接 ，交 于 ，连接 ，
平面 平面 ，平面 平面 ，平面 平面 ，
．
在 中，过 作 ，且 于 ，则 ．
线段 在四边形 内， 在线段 上， 在四边形 内．
则 点所在的平面是平面 ．
故选： ．
23．（2023•上海）如图所示，在正方体 中，点 为边 上的动点，则
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分18百】下列直线中，始终与直线 异面的是
A． B． C． D．
【解析】对于 ，当 是 的中点时， 与 是相交直线；
对于 ，根据异面直线的定义知， 与 是异面直线；
对于 ，当点 与 重合时， 与 是平行直线；
对于 ，当点 与 重合时， 与 是相交直线．
故选： ．
考点四 异面直线及其所成的角
24．【多选】（2022•新高考Ⅰ）已知正方体 ，则
A．直线 与 所成的角为
B．直线 与 所成的角为
C．直线 与平面 所成的角为
D．直线 与平面 所成的角为
【解析】如图，
连接 ，由 ， ，得四边形 为平行四边形，
可得 ， ， 直线 与 所成的角为 ，故 正确；
， ， ， 平面 ，而 平面 ，
，即直线 与 所成的角为 ，故 正确；
设 ，连接 ，可得 平面 ，即 为直线 与平面
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分19百】所成的角，
， 直线 与平面 所成的角为 ，故 错误；
底面 ， 为直线 与平面 所成的角为 ，故 正确．
故选： ．
考点五 空间中直线与平面之间的位置关系
25．（2019•上海）已知平面 、 、 两两垂直，直线 、 、 满足： ， ，
，则直线 、 、 不可能满足以下哪种关系
A．两两垂直 B．两两平行 C．两两相交 D．两两异面
【解析】如图1，可得 、 、 可能两两垂直；
如图2，可得 、 、 可能两两相交；
如图3，可得 、 、 可能两两异面；
故选： ．
26．【多选】（2021•新高考Ⅱ）如图，下列正方体中， 为底面的中心， 为所在棱的
中点， ， 为正方体的顶点，则满足 的是
A． B．
C． D．
【解析】对于 ，设正方体棱长为2，设 与 所成角为 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分20百】则 ， 不满足 ，故 错误；
对于 ，如图，作出平面直角坐标系，设正方体棱长为2，
则 ，0， ， ，0， ， ，0， ， ，1， ，
，0， ， ， ， ，
， 满足 ，故 正确；
对于 ，如图，作出平面直角坐标系，设正方体棱长为2，
则 ，2， ， ，2， ， ，1， ， ，0， ，
，0， ， ， ， ，
， 满足 ，故 正确；
对于 ，如图，
作出平面直角坐标系，设正方体棱长为2，
则 ，2， ， ，0， ， ，1， ， ，1， ，
， ， ， ，0， ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分21百】， 不满足 ，故 错误．
故选： ．
考点六 直线与平面所成的角
27．（2020•山东）日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷
面的影子来测定时间．把地球看成一个球（球心记为 ，地球上一点 的纬度是指 与
地球赤道所在平面所成角，点 处的水平面是指过点 且与 垂直的平面．在点 处放
置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点 处的纬度为北纬 ，则晷针与点 处的
水平面所成角为
A． B． C． D．
【解析】可设 所在的纬线圈的圆心为 ， 垂直于纬线所在的圆面，
由图可得 为晷针与点 处的水平面所成角，
又 为 且 ，
在 中， ， ，
另解：画出截面图，如下图所示，其中 是赤道所在平面的截线．
是点 处的水平面的截线，由题意可得 ， 是晷针所在直线． 是晷面的截线，
由题意晷面和赤道面平行，晷针与晷面垂直，
根据平面平行的性质定理可得 ，
根据线面垂直的定义可得 ，由于 ， ，
所以 ，由于 ，
所以 ，也即晷针与 处的水平面所成角为 ，
故选： ．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分22百】28．（2021•上海）如图，在长方体 中，已知 ， ．
（1）若 是棱 上的动点，求三棱锥 的体积；
（2）求直线 与平面 的夹角大小．
【解析】（1）如图，在长方体 中，
；
（2）连接 ，
，
四边形 为正方形，则 ，
又 ， ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分23百】平面 ，
直线 与平面 所成的角为 ，
．
直线 与平面 所成的角为 ．
29．（2021•浙江）如图，在四棱锥 中，底面 是平行四边形，
， ， ， ， ， 分 别 为 ， 的 中 点 ，
， ．
（Ⅰ）证明： ；
（Ⅱ）求直线 与平面 所成角的正弦值．
【解析】（Ⅰ）证明：在平行四边形 中，由已知可得， ，
， ，
由余弦定理可得，
，
则 ，即 ，
又 ， ， 平面 ，
而 平面 ， ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分24百】， ；
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知， 平面 ，
又 平面 ， 平面 平面 ，
且平面 平面 ，
，且 平面 ， 平面 ，
连接 ，则 ，
在 中， ， ， ，
可得 ，
又 ，在 中，求得 ，
取 中点 ，连接 ，则 ，可得 、 、 两两互相垂直，
以 为坐标原点，分别以 、 、 为 、 、 轴建立空间直角坐标系，
则 ，2， ， ，0， ， ，
又 为 的中点， ， ，
平面 的一个法向量为 ，
设直线 与平面 所成角为 ，
则 ．
故直线 与平面 所成角的正弦值为 ．
30．（2020•海南）如图，四棱锥 的底面为正方形， 底面 ．设平面
与平面 的交线为 ．
（1）证明： 平面 ；
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分25百】（2）已知 ， 为 上的点， ，求 与平面 所成角的正弦值．
【解析】（1）证明：过 在平面 内作直线 ，
由 ，可得 ，即 为平面 和平面 的交线，
平面 ， 平面 ， ，
又 ， ， 平面 ，
设 为平面 中任意一条直线，则 ，
， ，
由线面垂直的定义是 平面 ；
（2）解：如图，以 为坐标原点，直线 ， ， 所在的直线为 ， ， 轴，建立
空间直角坐标系 ，
， 为 上的点， ，
， ，
则 ，0， ， ，0， ， ，1， ， ，0， ， ，1， ，作 ，
则 为平面 与平面 的交线为 ，因为 ， 是等腰直角三角形，所
以 ，0， ，
则 ，0， ， ，1， ， ，1， ，
设平面 的法向量为 ， ， ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分26百】则 ， ，取 ，可得 ，0， ，
， ，
与平面 所成角的正弦值为 ．
31．（2020•上海）已知 是边长为1的正方形，正方形 绕 旋转形成一个圆
柱．
（1）求该圆柱的表面积；
（2）正方形 绕 逆时针旋转 至 ，求线段 与平面 所成的角．
【解析】（1）该圆柱的表面由上下两个半径为1的圆面和一个长为 、宽为1的矩形组
成，
．
故该圆柱的表面积为 ．
（2） 正方形 ， ，
又 ， ，
，且 、 平面 ，
平面 ，即 在面 上的投影为 ，
连接 ，则 即为线段 与平面 所成的角，
而 ，
线段 与平面 所成的角为 ．
32．（2020•山东）如图，四棱锥 的底面为正方形， 底面 ．设平面
与平面 的交线为 ．
（1）证明： 平面 ；
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分27百】（2）已知 ， 为 上的点，求 与平面 所成角的正弦值的最大值．
【解析】（1）证明：过 在平面 内作直线 ，
由 ，可得 ，即 为平面 和平面 的交线，
平面 ， 平面 ， ，
又 ， ， 平面 ，
设平面 中有任一直线 ，则 直线 ，
， 直线 ，
由线面垂直的定义得 平面 ；
（2）如图，以 为坐标原点，直线 ， ， 所在的直线为 ， ， 轴，建立空间
直角坐标系
则 ，0， ， ，0， ， ，1， ， ，0， ， ，1， ，
设 ，0， ， ，0， ， ，1， ， ，1， ，
设平面 的法向量为 ， ， ，
则 ， ，取 ，可得 ，0， ，
， ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分28百】与平面 所成角的正弦值为
，当且仅当 取等号，
与平面 所成角的正弦值的最大值为 ．
33．（2020•浙江）如图，在三棱台 中，平面 平面 ，
， ．
（Ⅰ）证明： ；
（Ⅱ）求直线 与平面 所成角的正弦值．
【解析】（Ⅰ）证明：作 ，且交 于点 ，
面 面 ， 面 ， ，
在 中， ，
， ，
，即 是直角三角形，且 ，
， 面 ， 面 ， ，
在三棱台 中， ， ．
（Ⅱ）设 ，则 ， ，
在 中， ， ，
在 中， ，
作 于 ， ， 面 ， 面 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分29百】， 是直角三角形，且 ，
设 与面 所成角为 ，则 即为 与面 的夹角，
且 ，
在 中， ，
，
．
34．（2019•上海）如图，在长方体 中， 为 上一点，已知 ，
， ， ．
（1）求直线 和平面 的夹角；
（2）求点 到平面 的距离．
【解析】（1）依题意： 平面 ，连接 ，则 与平面 所成夹角为
，
， ，
△ 为等腰三角形，
，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分30百】直线 和平面 的夹角为 ，
（2）（空间向量），如图建立坐标系，
则 ，0， ， ，4， ， ，0， ， ，0， ，
，4， ， ，4， ， ，4． ，
设平面 的法向量 ， ， ，
由 ，可得 ，1， ，
点 到平面 的距离 ．
35．（2019•浙江）如图，已知三棱柱 ，平面 平面 ，
， ， ， ， 分别是 ， 的中点．
（Ⅰ）证明： ；
（Ⅱ）求直线 与平面 所成角的余弦值．
【解析】方法一：
证明：（Ⅰ）连接 ， ， 是 的中点，
，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分31百】又平面 平面 ， 平面 ，
平面 平面 ，
平面 ， ，
， ， ，
， 平面 ，
．
解：（Ⅱ）取 中点 ，连接 、 ，则 是平行四边形，
由于 平面 ，故 ，
平行四边形 是矩形，
由（Ⅰ）得 平面 ，
则平面 平面 ，
在平面 上的射影在直线 上，
连接 ，交 于 ，则 是直线 与平面 所成角（或其补角），
不妨设 ，则在 △ 中， ， ，
是 的中点，故 ，
，
直线 与平面 所成角的余弦值为 ．
方法二：
证明：（Ⅰ）连接 ， ， 是 的中点，
，
又平面 平面 ， 平面 ，
平面 平面 ，
平面 ，
如图，以 为原点，在平面 中，过 作 的垂线为 轴，
， 所在直线分别为 ， 轴，建立空间直角坐标系，
设 ，则 ，0， ， ， ， ， ，2，
，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分32百】， ，
由 ，得 ．
解：（Ⅱ）设直线 与平面 所成角为 ，
由（Ⅰ）得 ， ，2， ，
设平面 的法向量 ， ， ，
则 ，取 ，得 ，
，
直线 与平面 所成角的余弦值为 ．
考点七 二面角的平面角及求法
36．（2022•浙江）如图，已知正三棱柱 ， ， ， 分别是棱
上的点．记 与 所成的角为 ， 与平面 所成的角为 ，二面角
的平面角为 ，则
A． B． C． D．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分33百】【解析】 正三棱柱 中， ，
正三棱柱的所有棱长相等，设棱长为1，
如图，过 作 ，垂足点为 ，连接 ，则 ，
与 所成的角为 ，且 ，
又 ， ， ， ，
与平面 所成的角为 ，且 ， ，
， ①，
再过 点作 ，垂足点为 ，连接 ，
又易知 底面 ， 底面 ，
，又 ， 平面 ，
二面角 的平面角为 ，且 ，又 ， ，
， ， ， ②，
又 ， ， ③，
由①②③得 ，又 ， ， ， ， 在 ， 单调递增，
，
故选： ．
37．（2019•浙江）设三棱锥 的底面是正三角形，侧棱长均相等， 是棱 上的
点（不含端点）．记直线 与直线 所成角为 ，直线 与平面 所成角为 ，
二面角 的平面角为 ，则
A． ， B． ， C． ， D． ，
【解析】方法一、如图 为 的中点， 在底面的射影为 ，则 在底面上的射影 在
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分34百】线段 上，作 于 ，易得 ，过 作 于 ，
过 作 ，交 于 ，
则 ， ， ，
则 ，可得 ；
，可得 ，
方法二、由最小值定理可得 ，记 的平面角为 （显然 ，
由三正弦定理可得 ；
方法三、（特殊图形法）设三棱锥 为棱长为2的正四面体， 为 的中点，
易得 ，可得 ， ， ，
当 时，由余弦定理可得 ，
， ，可得 ，故 错误．
故选： ．
38．【多选】（2023•新高考Ⅱ）已知圆锥的顶点为 ，底面圆心为 ， 为底面直径，
， ，点 在底面圆周上，且二面角 为 ，则
A．该圆锥的体积为 B．该圆锥的侧面积为
C． D． 的面积为
【解析】取 中点 ，则 ， ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分35百】由二面角的定义可知，二面角 的平面角即为 ，
对于 ， 中，由于 ， ，
则 ， ，
则 ， ，选项 正确．
对于 ， ，选项 错误．
对于 ， ，选项 正确．
对于 ， ， ，选项 错误．
故选： ．
39．（2023•上海）已知直四棱柱 ， ， ， ，
， ．
（1）证明：直线 平面 ；
（2）若该四棱柱的体积为36，求二面角 的大小．
【解析】（1）证明：根据题意可知 ， ，且 ，
可得平面 平面 ，又直线 平面 ，
直线 平面 ；
（2）设 ，则根据题意可得该四棱柱的体积为 ，
， 底面 ，在底面 内过 作 ，垂足点为 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分36百】则 在底面 内的射影为 ，
根据三垂线定理可得 ，
故 即为所求，
在 中， ， ， ，
，又 ，
，
二面角 的大小为 ．
40．（2023•新高考Ⅱ）如图，三棱锥 中， ， ，
， 为 中点．
（1）证明 ；
（2）点 满足 ，求二面角 的正弦值．
【解析】证明：（1）连接 ， ，
， 为 中点．
，
又 ， ，
与 均为等边三角形，
，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分37百】， ，
平面 ，
平面 ，
．
（2）解：设 ，
，
， ，
，
，
又 ， ，
平面 ，
以 为原点，建立如图所示空间直角坐标系，
， ， ， ，0， ，
，
，
， ， ，
设平面 与平面 的一个法向量分别为 ， ，
则 ，令 ，解得 ，
，令 ，解得 ， ，
故 ，1， ， ，1， ，
设二面角 的平面角为 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分38百】则 ，
故 ，
所以二面角 的正弦值为 ．
41．（2023•新高考Ⅰ）如图，在正四棱柱 中， ， ．点 ，
， ， 分别在棱 ， ， ， 上， ， ， ．
（1）证明： ；
（2）点 在棱 上，当二面角 为 时，求 ．
【解析】（1）证明：根据题意建系如图，则有：
，2， ， ，0， ， ，2， ， ，0， ，
， ，
，又 ， ， ， 四点不共线，
；
（2）在（1）的坐标系下，可设 ，2， ， ， ，
又由（1）知 ，0， ， ，2， ， ，0， ，
， ， ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，取 ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，取 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分39百】根据题意可得 ， ，
，
，又 ， ，
解得 或 ，
为 的中点或 的中点，
．
42．（2022•浙江）如图，已知 和 都是直角梯形， ， ，
， ， ， ，二面角 的平面角为 ．
设 ， 分别为 ， 的中点．
（Ⅰ）证明： ；
（Ⅱ）求直线 与平面 所成角的正弦值．
【解析】证明： 由于 ， ，
平面 平面 ， 平面 ， 平面 ，
所以 为二面角 的平面角，
则 ， 平面 ，则 ．
又 ，
则 是等边三角形，则 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分40百】因为 ， ， ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，因为 平面 ，所以 ，
又因为 ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，因为 平面 ，故 ；
解：（Ⅱ）由于 平面 ，如图建系：
于是 ，则 ，
，
设平面 的法向量 ， ， ，
则 ， ，令 ，则 ， ，
平面 的法向量 ，
设 与平面 所成角为 ，
则 ．
43．（2022•新高考Ⅱ）如图， 是三棱锥 的高， ， ， 为
的中点．
（1）证明： 平面 ；
（2）若 ， ， ，求二面角 的正弦值．
【解析】（1）证明：连接 ， ，依题意， 平面 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分41百】又 平面 ， 平面 ，则 ， ，
，
又 ， ，则 ，
，
延长 交 于点 ，又 ，则在 中， 为 中点，连接 ，
在 中， ， 分别为 ， 的中点，则 ，
平面 ， 平面 ，
平面 ；
（2）过点 作 ，以 ， ， 分别为 轴， 轴， 轴建立如图所示的空
间直角坐标系，
由于 ， ，由（1）知 ，
又 ，则 ，
，
又 ，即 ，12， ，
设平面 的一个法向量为 ，又 ，
则 ，则可取 ，
设平面 的一个法向量为 ，又 ，
则 ，则可取 ，
设锐二面角 的平面角为 ，则 ，
，即二面角 正弦值为 ．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分42百】44．（2022•新高考Ⅰ）如图，直三棱柱 的体积为4，△ 的面积为 ．
（1）求 到平面 的距离；
（2）设 为 的中点， ，平面 平面 ，求二面角 的
正弦值．
【解析】（1）由直三棱柱 的体积为4，可得 ，
设 到平面 的距离为 ，由 ，
， ，解得 ．
（2）连接 交 于点 ， ， 四边形 为正方形，
，又 平面 平面 ，平面 平面 ，
平面 ， ，
由直三棱柱 知 平面 ， ，又 ，
平面 ， ，
以 为坐标原点， ， ， 所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分43百】， ，又 ，解得 ，
则 ，0， ， ，2， ， ，0， ， ，2， ， ，1， ，
则 ，2， ， ，1， ， ，0， ，
设平面 的一个法向量为 ， ， ，
则 ，令 ，则 ， ，
平面 的一个法向量为 ，0， ，
设平面 的一个法向量为 ， ， ，
，令 ，则 ， ，
平面 的一个法向量为 ，1， ，
， ，
二面角 的正弦值为 ．
45．（2021•新高考Ⅱ）在四棱锥 中，底面 是正方形，若 ，
， ．
（Ⅰ）求证：平面 平面 ；
（Ⅱ）求二面角 的平面角的余弦值．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分44百】【 解 析 】 （ Ⅰ ） 证 明 ： 中 ， ， ， ， 所 以
，所以 ；
又 ， ， 平面 ， 平面 ，所以 平面 ；
又 平面 ，所以平面 平面 ．
（Ⅱ）解：取 的中点 ，在平面 内作 ，
以 所在直线为 轴， 所在直线为 轴，建立空间直角坐标系 ，如图所示：
则 ，0， ， ， ， ， ，1， ， ，0， ，
因为 平面 ，所以平面 的一个法向量为 ，0， ，
设平面 的一个法向量为 ， ， ，
由 ，2， ， ， ， ，
得 ，即 ，
令 ，得 ， ，所以 ，2， ；
所以 ， ，
所以二面角 的平面角的余弦值为 ．
46．（2021•新高考Ⅰ）如图，在三棱锥 中，平面 平面 ， ，
为 的中点．
（1）证明： ；
（2）若 是边长为 1 的等边三角形，点 在棱 上， ，且二面角
的大小为 ，求三棱锥 的体积．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分45百】【解析】（1）证明：因为 ， 为 的中点，所以 ，
又平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，
所以 ；
（2）方法一：
取 的中点 ，因为 为正三角形，所以 ，
过 作 与 交于点 ，则 ，
所以 ， ， 两两垂直，
以点 为坐标原点，分别以 ， ， 所在直线为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐
标系如图所示，
则 ， ， ， ， ，1， ，
设 ，0， ，则 ，
因为 平面 ，故平面 的一个法向量为 ，
设平面 的法向量为 ，
又 ，
所以由 ，得 ，
令 ，则 ， ，故 ，
因为二面角 的大小为 ，
所以 ，
解得 ，所以 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分46百】又 ，所以 ，
故 ．
方法二：
过 作 ，交 于点 ，过 作 于点 ，连结 ，
由题意可知， ，又 平面
所以 平面 ，又 平面 ，
所以 ，又 ，
所以 平面 ，又 平面 ，
所以 ，
则 为二面角 的平面角，即 ，
又 ，
所以 ，则 ，
故 ，
所以 ，
因为 ，
则 ，
所以 ，则 ，
所以 ，则 ，
所以 ．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分47百】考点八 立体几何的交线问题
47．（2020•山东）已知直四棱柱 的棱长均为2， ．以 为球
心， 为半径的球面与侧面 的交线长为 ．
【解析】由题意直四棱柱 的棱长均为2， ．可知： ，
上下底面是菱形，建立如图所示的平面直角坐标系，设 为半径 的球面上的点，
过 作 垂直 的垂线， 为垂足，
则 ．
由题意可知 ．
可得： ．
即 ，
所以 在侧面 的轨迹是以 的中点为圆心，半径为 的圆弧．
以 为球心， 为半径的球面与侧面 的交线长为： ．
故答案为： ．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分48百】资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分49百】
