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专题 20.3 勾股定理逆定理
1. 掌握勾股定理的逆定理内容，能够熟练地运用它来判断直角三角形以及在相关问题
教学目标 中运用；
2. 掌握勾股数并能够判断勾股数并能够熟练应用勾股数。
1. 重点
（1）勾股定理逆定理；
（2）勾股数；
教学重难点
2. 难点
（1）勾股定理逆定理的相关运用；
（2）勾股数的证明。知识点01 勾股定理逆定理
1. 勾股定理逆定理内容：
在△ABC中，如果三角形的三边分别是 且满足
a2+b2=c2
，则该三角形一定是有一个直
角三角形且∠C是直角。
勾股定理的逆定理用于判断一个三角形是不是直角三角形。
2. 直角三角形的判定
①勾股定理逆定理
②三角形中有一个角是90°。
③三角形中有两个角之和为90°。
【即学即练1】
1．以下列各组数为边长，能够组成直角三角形的是（ ）
A．❑√3，❑√4，❑√5 B．2，3，4 C．5，12，13 D．8，13，17
【答案】C
【解答】解：∵（❑√3）2+（❑√4）2＝7，（❑√5）2＝5，
∴❑√3，❑√4，❑√5不能组成直角三角形，
故A不符合题意；
∵22+32≠42，
∴2，3，4不能组成直角三角形，
故B不符合题意；
∵52+122＝132，
∴5，12，13可以组成直角三角形，
故C符合题意；
∵82+132≠172，
∴8，13，17不能组成直角三角形，
故D不符合题意．
故选：C．
【即学即练2】
2．若△ABC的三边分别是a，b，c，则下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（ ）
A．∠A＝∠B+∠C B．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
C．a＝5，b＝12，c＝13 D．a＝1，b=❑√2，c=❑√3
【答案】B
【解答】解：A、∵∠A＝∠B+∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴2∠A＝180°，则∠A＝90°，∴△ABC是直角三角形，不符合题意；
B、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，
∴设∠A＝3k，∠B＝4k，∠C＝5k，则3k+4k+5k＝12k＝180°，
解得k＝15°，
∴∠A＝45°，∠B＝60°，∠C＝75°，
∴△ABC不是直角三角形，符合题意；
C、∵52+122＝25+144＝169，132＝169，
∴52+122＝132，
∴△ABC是直角三角形，不符合题意；
D、∵12+ (❑√2) 2= 1+ 2=3，(❑√3) 2=3，
∴12+ (❑√2) 2=(❑√3) 2 ，
∴△ABC是直角三角形，不符合题意，
故选：B．
【即学即练3】
3．已知a，b，c是三角形的三边，如果满足（a﹣3）2+❑√b−4+|c﹣5|＝0，则三角形的形状是（ ）
A．底与腰部相等的等腰三角形
B．等边三角形
C．钝角三角形
D．直角三角形
【答案】D
【解答】解：由题意得，a﹣3＝0，b﹣4＝0，c﹣5＝0，
解得a＝3，b＝4，c＝5，
∵32+42 ＝9+16＝25＝52，
∴a2+b2 ＝c2，
∴以a，b，c为边的三角形是直角三角形．
故选：D．
【即学即练4】
4．如图，AB⊥BC，AB＝4，BC＝3，DC＝12，AD＝13，连接AC．
（1）判断△ACD的形状并说明理由；
（2）计算四边形ABCD的面积．【答案】（1）△ACD是直角三角形．
理由见解答；
（2）24．
【解答】解：（1）△ACD是直角三角形．
理由如下：连接AC，∵AB⊥BC，AB＝4，BC＝3，
由勾股定理，得AC=❑√AB2+BC2=5，
∵AD＝13，CD＝12，
∴AC2+CD2＝25+144＝169，AD2＝169，
∴AC2+CD2＝AD2，
∴△ACD是直角三角形；
1 1
（2）在Rt△ABC中，S△ABC =
2
BC•AB =
2
×3×4＝6，
1 1
在Rt△ADC中，S△ADC =
2
CD•AC =
2
×12×5＝30，
∴S四边形ABCD ＝S△ADC ﹣S△ABC ＝30﹣6＝24．
【即学即练5】
5．如图，某小区有两个喷泉A，B，两个喷泉的距离AB的长为250m．现要为喷泉铺设供水管道AM，
BM，供水点M在小路AC上，供水点M到AB的距离MN的长为120m，BM的长为150m．
（1）求供水点M到喷泉A需要铺设管道MA的长；
（2）BM的长是喷泉B到小路AC上各处的最短距离吗？请说明理由．
【答案】（1）200m；
（2）见解答．
【解答】解：（1）∵在△ABM中，MN⊥AB，
∴∠ANM＝∠BNM＝90°（垂直的定义），在Rt△MNB中，BN=❑√BM2−M N2=❑√1502−1202=90(m)，
∴AN＝250﹣90＝160（m），
在Rt△AMN中，AM=❑√AN2+M N2=❑√1602+1202=200(m)，
答：供水点M到喷泉A需要铺设的管道AM的长为200m；
（2）BM的长是喷泉B到小路AC上各处的最短的距离，理由如下：
BM的长是喷泉B到小路AC上各处的最短的距离，
∵AB＝250m，AM＝200m，BM＝150m，
∴根据勾股定理得，BM2+AM2＝2002+1502＝40000+22500＝62500，AB2＝2502＝62500，
∴BM2+AM2＝AB2（等量代换），
∴△ABM是直角三角形，
∴∠AMB＝90°，
∴BM⊥AC，
∴BM的长是喷泉B到小路AC上各处的最短距离．
知识点03 勾股数
1. 勾股数的定义：
满足勾股定理（即 ）的三个 正整数 称为勾股数。
注意：①一定要满足勾股定理；②一定要是正整数。
2. 常见的勾股数类型：
基本勾股数：（3，4，5）（6，8，10）
①倍数型勾股数：
②奇数规律：满足 的三个正整数。（ 为奇数）
③偶数规律：满足 的三个正整数。（ 为偶数）
【即学即练1】
6．下列各组数中，属于勾股数的是（ ）
1 1 1
A．32，42，52 B．5，12，13 C．❑√3，❑√4，❑√5 D． ， ，
3 4 5
【答案】B
【解答】解：A、32＝9，42＝16，52＝25，
∵92+162＝81+256＝337≠625＝252，
∴不是勾股数，不符合题意；
B、∵52+122＝25+144＝169＝132，∴是勾股数，符合题意；
C、❑√3，❑√4，❑√5非全部正整数，故不是勾股数，不符合题意；
1 1 1
D、由 ， ， ，非正整数，故不是勾股数，不符合题意．
3 4 5
故选：B．
【即学即练2】
7．一个直角三角形的两边长分别是3和4，且三边长构成一组勾股数，则第三边长为（ ）
A．5 B．❑√7 C．5或❑√7 D．12
【答案】一个．
【解答】解：①若3和4为直角边，则斜边为 ❑√32+42=❑√9+16=❑√25=5，5为整数，符合勾股数要
求；
②若4为斜边，则另一条直角边为 ❑√42−32=❑√16−9=❑√7，❑√7不是整数，不符合勾股数要求，
∴直角三角形的第三边长为5，
故选：A．
【即学即练3】
8．如果满足等式a2+b2＝c2的a，b，c是三个正整数，我们称a，b，c为勾股数．
（1）已知m，n，k是正整数且m＞n，证明：a＝2mn，b＝m2﹣n2，c＝m2+n2是勾股数．
（2）请写出任意一组含有68的“勾股数”： 6 8 ， 28 5 ， 29 3 （答案不唯一） ．
【答案】见解答；
（2）68，285，293（答案不唯一）．
【解答】（1）证明：a2+b2＝（2mn）2+（m2﹣n2）＝4m2n2+m4﹣2m2n2+n4＝m4+2m2n2+n4，
c2＝（m2+n2）＝m4+2m2n2+n4，
则a2+b2＝c2，
∵m，n是正整数，m＞n，
∴a＝2mn，b＝m2﹣n2，c＝m2+n2是勾股数；
（2）解：2mn＝68，
则mn＝34，
当m＝17，n＝2时，m2﹣n2＝172﹣22＝285，m2+n2＝172+22＝293，
∴68，285，293是一组含有68的“勾股数”，
故答案为：68，285，293（答案不唯一）．
题型01 判断构成直角三角形的线段
【典例1】以下列数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（ ）A．❑√3，2，❑√5 B．1，❑√3，2 C．3，6，7 D．6，9，12
【答案】B
【解答】解：根据勾股定理的逆定理得，
A、∵(❑√3) 2+22=3+4=7≠(❑√5) 2=5，
∴长为❑√3，2，❑√5的三边不可以组成直角三角形，所以此选项错误，不符合题意；
B、∵12+(❑√3) 2=1+3=4=22，
∴长为1，❑√3，2的三边可以组成直角三角形，所以此选项正确，符合题意；
C、∵32+62＝9+36＝45≠72＝49，
∴长为3，6，7的三边不可以组成直角三角形，所以此选项错误，不符合题意；
D、∵62+92＝36+81＝117≠122＝144，
∴长为6，9，12的三边不可以组成直角三角形，所以此选项错误，不符合题意；
故选：B．
【变式1】以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的是（ ）
A．5，12，13 B．1，2，❑√5 C．1，❑√3，2 D．4，5，6
【答案】D
【解答】解：A、∵52+122＝132，∴能构成直角三角形，故本选项错误；
B、∵12+22＝（❑√5）2，∴能构成直角三角形，故本选项错误；
C、∵12+（❑√3）2＝22，∴能构成直角三角形，故本选项错误；
D、∵52+42≠62，∴不能构成直角三角形，故本选项正确．
故选：D．
【变式2】以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（ ）
1 1 1
A．3，4，5 B．❑√3，❑√4，❑√5 C．32，42，52 D． ， ，
3 4 5
【答案】A
【解答】解：A、∵32+42＝52，∴以这三个数为长度的线段能构成直角三角形，故选项正确；
B、∵（❑√3）2+（❑√4）2≠（❑√5）2，∴以这三个数为长度的线段不能构成直角三角形，故选项错误；
C、∵（32）2+（42）2≠（52）2，∴以这三个数为长度的线段，能构成直角三角形，故选项正确；
1 1 1
D、∵（ ）2+（ ）2≠（ ）2，∴以这三个数为长度的线段不能构成直角三角形，故选项错误．
4 5 3
故选：A．
题型02 判定直角三角形
【典例1】已知a，b，c为△ABC的三边长，下列条件中不能判定△ABC为直角三角形的是（ ）
A．∠A+∠B＝∠C B．∠A：∠B：∠C＝1：2：3
C．a：b：c＝1：2：3 D．a2﹣b2＝c2【答案】C
【解答】解：A、∠A+∠B＝∠C，此时∠C是直角，能判定△ABC是直角三角形；
B、∠A：∠B：∠C＝1：2：3，那么∠A＝30°、∠B＝60°、∠C＝90°，能判定△ABC是直角三角形；
C、12+22≠32，不符合勾股定理的逆定理，不能够判定△ABC为直角三角形；
D、a2﹣b2＝c2，则b2+c2＝a2，符合勾股定理的逆定理，能够判定△ABC为直角三角形．
故选：C．
【变式1】满足下列条件时，△ABC不是直角三角形的是（ ）
A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
B．AB：BC：AC＝1：1：❑√2
C．AB＝0.5cm，BC＝1.2cm，AC＝1.3cm
D．∠A＝38°，∠C＝52°
【答案】A
【解答】解：A、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A＝45°，∠B＝60°，∠C＝75°，
则△ABC不是直角三角形，符合题意；
B、设AB＝x，则BC＝x，AC=❑√2x，
∵x2+x2＝（❑√2x）2，
∴AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC是直角三角形，不符合题意；
C、AB2+BC2＝0.52+1.22＝1.69，AC2＝1.32＝1.69，
∴AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC是直角三角形，不符合题意；
D、∵∠A+∠C＝38°+52°＝90°，
∴△ABC是直角三角形，不符合题意；
故选：A．
【变式2】在△ABC中，分别给出下列条件，不能判定是直角三角形的是（ ）【提示：在△ABC中，
∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c】
A．在△ABC中，∠A：∠B：∠C＝3：4：5
B．在△ABC中，∠A+∠B＝∠C
C．在△ABC中，（a﹣b）（a+b）＝c2
D．在△ABC中，a＝3，b＝4，c＝5
【答案】A
【解答】解：A．设∠A＝3x，∠B＝4x，∠C＝5x，
则3x+4x+5x＝180°，解得x＝15°，
∴∠C＝75°，∴△ABC不是直角三角形，符合题意；
B．∵∠A+∠B＝∠C，
∴2∠C＝180°，
∴∠C＝90°，
∴△ABC是直角三角形，不符合题意；
C．（a﹣b）（a+b）＝c2，
∴a2＝c2+b2，
∴△ABC是直角三角形，不符合题意；
D．∵a＝3，b＝4，c＝5，
∴c2＝a2+b2，
∴△ABC是直角三角形，不符合题意．
故选：A．
题型03 判断三角形的形状
【典例1】已知a、b、c是△ABC的三边长，它们满足(a−10) 2+❑√b−24+|c−26|=0，则这个三角形
的形状是（ ）
A．等边三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
【答案】B
【解答】解：根据算术平方根的非负性、偶次方的非负性、绝对值的非负性可知：
a﹣10＝0，b﹣24＝0，c﹣26＝0，
∴a＝10，b＝24，c＝26，
∵a2+b2＝102+242＝676，c2＝262＝676，
∴a2+b2＝c2，
∴△ABC是直角三角形，
故选：B．
【变式1】已知实数a，b，c满足(a−❑√7) 2+❑√b−5+|c−3❑√2|=0．
（1）求实数a，b，c的值．
（2）以a，b，c为边能否构成直角三角形？请说明理由．
【答案】（1）a=❑√7，b=5，c=3❑√2；
（2）能构成直角三角形，理由如下见解答．
【解答】解：（1）由题意得，a−❑√7=0，b−5=0，c−3❑√2=0，
∴a=❑√7，b=5，c=3❑√2；
（2）以a，b，c为边能构成直角三角形，理由如下：
∵a=❑√7，b=5，c=3❑√2，∴a2=(❑√7) 2=7，b2=52=25，c2=(3❑√2) 2=18，
∴a2+c2＝b2，
∴以a，b，c为边能构成直角三角形．
【变式2】已知a+6的算术平方根是3❑√2，b﹣4的平方根是±3，﹣27的立方根是2﹣c．
（1）求a，b，c的值．
（2）判断以a，b，c为边长的三角形的形状，并说明理由．
【答案】（1）a＝12，b＝13，c＝5；
（2）直角三角形．
理由：由（1）知，a＝12，b＝13，c＝5，
∵52+122＝132，
∴以a，b，c为边长的三角形是直角三角形．
【解答】解：（1）∵a+6的算术平方根是3❑√2，b﹣4的平方根是±3，﹣27的立方根是2﹣c，
∴a+6＝（3❑√2）2＝18，b﹣4＝（±3）2＝9，2﹣c=√3−27=−3，
∴a＝12，b＝13，c＝5；
（2）直角三角形．
理由：由（1）知，a＝12，b＝13，c＝5，
∵52+122＝132，
∴以a，b，c为边长的三角形是直角三角形．
题型04 判断勾股数及其求值或证明
【典例1】下列各组数是勾股数的是（ ）
A．7，24，25 B．0.3，0.4，0.5
C．1.5，2，2.5 D．5，11，12
【答案】A
【解答】解：A选项，72+242＝625＝252，7，24，25是勾股数；
B选项，三个数都不是正整数，0.3，0.4，0.5不是勾股数；
C选项，1.5和2.5不是正整数，1.5，2，2.5不是勾股数；
D选项，52+112＝146≠122，5，11，12不是勾股数；
故选：A．
【变式1】下列各组数中，是勾股数的一组是（ ）
A．7，8，9 B．1，1，2 C．9，12，15 D．2，3，4
【答案】C
【解答】解：A、72+82≠92，不是勾股数，不符合题意；
B、12+12≠22，不是勾股数，不符合题意；
C、92+122＝152，是勾股数，符合题意；D、22+32≠42，不是勾股数，不符合题意，
故选：C．
【变式2】若n、8、10是一组勾股数，则n的值是（ ）
A．2 B．6 C．8 D．10
【答案】B
【解答】解：∵n、8、10是一组勾股数，
∴n2+82＝102或n2＝82+102，
解得：n＝±6或n＝±2❑√41，
∵n是正整数，
∴n＝6，
故选：B．
【变式3】若5，a，12是一组勾股数，则a的值为（ ）
A．13 B．❑√119 C．❑√119或13 D．11
【答案】A
【解答】解：分两种情况讨论：
①a为最长边，a=❑√52+122=13，13是正整数，符合题意；
②12为最长边，a=❑√122−52=❑√119，不是整数，不能构成勾股数，不符合题意；
故选：A．
【变式4】（1）我们知道像3，4，5这样三个整数是一组勾股数，那么3k，4k，5k（k是正整数）是一组
勾股数吗？请说明理由；
（2）如果a，b，c是一组勾股数，那么ak，bk，ck（k是正整数）也是一组勾股数吗？请说明理由．
（3）如果m表示大于1的整数，a＝2m，b＝m2﹣1，c＝m2+1，请说明a，b，c为勾股数．
【答案】见解答．
【解答】解：（1）是勾股数，
理由：∵3k，4k，5k（k是正整数），
∴（3k）2+（4k）2＝9k2+16k2＝25k2＝（5k）2，
∴3k，4k，5k是一组勾股数；
（2）是勾股数，理由：
∵a，b，c是一组勾股数，
∴a2+b2＝c2，
∴ak，bk，ck（k是正整数）也是一组正整数，
∴k2a2+k2b2＝k2c2，
∴（ak）2+（bk）2＝（ck）2，
∴ak，bk，ck（k是正整数）也是一组勾股数；
（3）是勾股数，理由：∵m表示大于1的整数，
∴由a＝2m，b＝m2﹣1，c＝m2+1得到a、b、c均为正整数；
又∵a2+b2＝（2m）2+（m2﹣1）2＝4m2+m4﹣2m2+1＝m4+2m2+1，
而c2＝（m2+1）2＝m4+2m2+1，
∴a2+b2＝c2，
∴a、b、c为勾股数．
题型05 勾股定理逆定理的应用
【典例1】如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB=BC=❑√2，CD=❑√5，DA＝1．连接AC．
（1）求AC的长度；
（2）求∠DAB的度数．
【答案】（1）2；
（2）135°．
【解答】解：（1）∵∠B＝90°，AB=BC=❑√2，
∴AC=❑√ (❑√2) 2+(❑√2) 2=2，
则AC的长度为2；
（2）∵CD=❑√5，DA＝1，
∵AC＝2，
∴根据勾股定理，DA2+AC2＝DC2，
∴△DAC为直角三角形，即∠DAC＝90°，
∵∠B＝90°，AB=BC=❑√2，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠BAC＝45°，
∴∠DAB＝90°+45°＝135°．
【变式1】如图，四边形ABCD的四个顶点都在网格上，且网格中每个小正方形的边长都为1．
（1）求四边形ABCD的周长；
（2）求∠BAD的度数．【答案】（1）5❑√2+3❑√5+5；
（2）∠BAD＝45°．
【解答】解：（1）根据勾股定理得：
AB=❑√72+12=5❑√2，
BC=❑√42+22=2❑√5，
CD=❑√22+12=❑√5，
AD=❑√32+42=5，
∴AB+BC+CD+AD＝5❑√2+2❑√5+❑√5+5＝5❑√2+3❑√5+5；
（2）连接BD，
根据勾股定理得：BD=❑√32+42=5，
∵AB＝5❑√2，AD＝5，
∴BD2+AD2＝52+52＝50＝AB2，AD＝BD，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴∠BAD＝45°．
【变式2】如图，一架无人机旋停在空中点A处，点A与地面上点B之间的距离AB＝20米，点A与地面
上点C（点B，C处于同一水平面上）的距离AC＝25米，且BC＝15米．
（1）求∠ABC的度数；
（2）现这架无人机沿AB所在直线向下飞行至点 D处，若点D恰好在边AC的垂直平分线上，连接
CD，求这架无人机向下飞行的距离（AD的长）．125
【答案】这架无人机向下飞行的距离（AD的长）为 米．
8
【解答】解：（1）∵AB2+BC2＝202+152＝625，AC2＝252＝625，
∴AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC是直角三角形，∠ABC＝90°；
（2）设AD＝x米，若点D恰好在边AC的垂直平分线上，则CD＝AD＝x米，BD＝（20﹣x）米，
在Rt△BDC中，DC2＝BD2+BC2，
∴x2＝（20﹣x）2+152，
125
解得x= ．
8
125
答：这架无人机向下飞行的距离（AD的长）为 米．
8
1．以下列各数为边长，能构成直角三角形的是（ ）
A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，4，5 D．4，5，6
【答案】C
【解答】解：A、因为12+22≠32，所以不能构成直角三角形；
B、因为22+32≠42，所以不能构成直角三角形；
C、因为32+42＝52，所以能构成直角三角形；
D、因为42+52≠62，所以不能构成直角三角形．
故选：C．
2．下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．0.3，0.4，0.5 B．10，15，18
1 1 1
C． ， ， D．6，8，10
3 4 5
【答案】D
【解答】解：A、0.3，0.4，0.5不是正整数，不是勾股数，故此选项不合题意；
B、102+152≠182，不是勾股数，故此选项不合题意；
1 1 1
C、 ， ， 不是正整数，不是勾股数，故此选项不合题意；
3 4 5D、62+82＝102，且都是正整数，是勾股数，故此选项符合题意；
故选：D．
3．下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（ ）
A．∠A+∠B＝∠C B．∠A：∠B：∠C＝1：2：3
C．a2﹣b2＝c2 D．a：b：c＝3：4：6
【答案】D
【解答】解：A、∵∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴2∠C＝180°
∴∠C＝90°，
∴△ABC是直角三角形，不符合题意；
B、∵∠A：∠B：∠C＝1：2：3，设∠A＝k，∠B＝2k，∠C＝3k，
则k+2k+3k＝6k＝180°
∴k ＝ 30°
∴∠C＝90°
∴△ABC是直角三角形，不符合题意；
C、∵a2﹣b2＝c2，
∴a2＝b2+c2，
∴△ABC是直角三角形，不符合题意；
D、∵a：b：c＝3：4：6，设a＝3k，b＝4k，c＝6k，
则a2+b2＝9k2+16k2＝25k2，c2＝36k2
∵a2+b2≠c2
∴△ABC不是直角三角形，符合题意，
故选：D．
4．如图，将长为8cm的橡皮筋放置在水平面上，固定两端A和B，然后把中点C垂直向上拉升3cm至点
D，则橡皮筋被拉长了（ ）
A．2cm B．3cm C．4cm D．6cm
【答案】A
1
【解答】解：Rt△ACD中，AC= AB＝4cm，CD＝3cm；
2
根据勾股定理，得：AD=❑√AC2+DC2=5（cm）；
∴AD+BD﹣AB＝2AD﹣AB＝10﹣8＝2（cm）；
故橡皮筋被拉长了2cm．故选：A．
5．如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？
意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝十尺），折断后，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，
求折断处离地面的高度．设竹子折断处离地面x尺，根据题意，列出的正确方程为（ ）
A．x2+62＝102 B．（10﹣x）2+62＝x2
C．x2+62＝（10﹣x）2 D．（10﹣x）2+x2＝62
【答案】C
【解答】解：由图可得，
x2+62＝（10﹣x）2，
故选：C．
6．平静的水池中央生长着一株荷花，荷花高出水面1尺．一阵强风吹过，荷花被吹至倾斜，其顶端恰好接
触到岸边的水面．此时，荷花顶端相比于原位置，在水平方向上移动了4尺．由此可知水池的深度是（
）
15 17
A．7尺 B． 尺 C．8尺 D． 尺
2 2
【答案】B
【解答】解：设水池的深度为h尺，
则h2+42＝（h+1）2，
h2+16＝h2+1+2h，
15
解得：h= ，
2
故选：B．
7．已知△ABC三边长分别为a，b，c，且满足❑√a−1+|b−❑√2|+(c−❑√3) 2=0，则△ABC是（ ）
A．以c为斜边长的直角三角形
B．以b为斜边长的直角三角形
C．以a为斜边长的直角三角形
D．等腰三角形【答案】A
【解答】解：由题意得，a﹣1＝0，b−❑√2=0，c−❑√3=0，
∴a＝1，b=❑√2，c=❑√3，
∴a2+b2=12+(❑√2) 2=3=(❑√3) 2=c2，
∴△ABC是以c为斜边长的直角三角形，
故选：A．
8．如图，小丽在公园里荡秋千，在起始位置A处摆绳OA与地面垂直，摆绳长2m，向前荡起到最高点B
处时距地面高度1.3m，摆动水平距离BD为1.6m，然后向后摆到最高点C处．若前后摆动过程中绳始终
拉直，且OB与OC成90°角，则小丽在C处时距离地面的高度是（ ）
A．0.9m B．1.3m C．1.6m D．2m
【答案】A
【解答】解：如图，过点C作CE⊥OA于点E，则∠OEC＝90°，
∵∠BOC＝90°，
∴∠BOD+∠COE＝90°，
由题意可知，OB＝CO，OA＝OB＝OC＝2m，BD＝1.6m，DF＝1.3m，BD⊥OA，
∴∠BDO＝90°，
∴OD=❑√OB2−BD2=❑√22−1．62=1.2（m），
∴OF＝OD+DF＝1.2+1.3＝2.5（m），
∵∠BDO＝∠OEC＝90°，
∴∠BOD+∠OBD＝90°，
∴∠COE＝∠OBD，
在△OBD和△COE中，
{∠BDO=∠OEC
)
∠OBD=∠COE ，
OB=CO
∴△OBD≌△COE（AAS），
∴OE＝BD＝1.6m，
∴EF＝OF﹣OE＝2.5﹣1.6＝0.9（m），
即小丽在C处时距离地面的高度是0.9m，故选：A．
9．小惠同学用25个等距离的结把一根绳子分成等长的24段，她同时握住第1个结和第25个结，小淇同
学握住第7个结，这时小婷同学应该握住第（ ）个结，拉紧绳子后才会得到一个以第 7个结为直角
顶点的直角三角形．
A．13 B．14 C．15 D．16
【答案】C
【解答】解：∵小淇同学握住第7个结，
∴小惠和小淇之间有6个单位长度，
∵6，8，10是一组勾股数，且6+8+10＝24，
∴小婷同学应该握住第15个结，拉紧绳子后才会得到一个以第7个结为直角顶点的直角三角形，
故选：C．
10．在学习“勾股数”的知识时，爱思考的小琦发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格
中：
a 6 8 10 12 14 …
b 8 15 24 35 48 …
c 10 17 26 37 50 …
则当a＝18时，b+c的值为（ ）
A．242 B．200 C．128 D．162
【答案】D
【解答】解：根据表格中数据可得：a2+b2＝c2，并且c＝b+2，
则a2+b2＝（b+2）2，
当a＝18时，182+b2＝（b+2）2，
解得：b＝80，
则c＝80+2＝82，
则b+c＝162．
故选：D．
11．如图，小红家的木门左下角有一点受潮，她想检测门是否变形，采用了如下方法进行检测：先测得门
的边AB和BC的长分别为2.4m和1m，又测得点A与点C间的距离为2.6m，则小红家的木门 没有变
形 （填“已变形”或“没有变形”）．【答案】没有变形．
【解答】解：∵AB2+BC2＝2.42+12＝6.76＝2.62＝AC2，
∴∠ABC＝90°，
则小红家的木门没有变形，
故答案为：没有变形．
12．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，AC＝3，点I为Rt△ABC三条角平分线的交点，则点
I到边AB的距离为 1 ．
【答案】1
【解答】解：∵在△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，CA＝3，AB＝5，
∵点I为△ABC的三条角平分线的交点，
∴IE＝IF＝ID，
设IE＝x，
∵S△ABC ＝S△IAB +S△IAC +S△ICB ，
1 1 1 1
∴ ×4×3 = IF×5 + IE×3 + ID×4，
2 2 2 2
∴5x+3x+4x＝12，
∴x＝1，
∴点I到AB的距离等于1．
故答案为：1
13．勾股定理a2+b2＝c2本身就是一个关于a，b，c的方程，满足这个方程的正整数解（a，b，c）通常叫
做勾股数组．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），…．分析上面勾股数组可以发现，4＝1×（3+1），12
＝2×（5+1），24＝3×（7+1），…分析上面规律，第4个勾股数组为 （ 9 ， 4 0 ， 4 1 ） ．
【答案】（9，40，41）．
【解答】解：根据图中给出的数据可得：
由4＝1×（3+1），12＝2×（5+1），24＝3×（7+1），…第四个为4×（9+1）＝40，
∴第4组中间的数为4×（9+1）＝40．
故答案为：（9，40，41）．
14．如图，△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别在AB，BC边上匀
速移动，它们的速度分别为2cm/s和1cm/s，当点P到达点B时，P，Q两点停止运动，设点P的运动时
3 12
间为ts，则当t＝ 或 s时，△PBQ为直角三角形．
2 5
3 12
【答案】 或
2 5
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝6cm，∠A＝∠B＝∠C＝60°，
当∠PQB＝90°时，∠BPQ＝30°，
∴BP＝2BQ．
∵BP＝6﹣2x，BQ＝x，
∴6﹣2x＝2x，
3
解得x= ；
2
当∠QPB＝90°时，∠PQB＝30°，
∴BQ＝2PB，
∴x＝2（6﹣2x），
12
解得x= ．
5
3 12
答： 或 秒时，△BPQ是直角三角形．
2 5
3 12
故答案为 或 ．
2 515．在△ABC中，AB＝5，AC＝12，BC＝13，过点A的直线把△ABC分成两个三角形，若其中仅有一个
150 1500 360
是等腰三角形，则这个等腰三角形的面积是 或 或 ．
13 169 13
150 1500 360
【答案】 或 或
13 169 13
【解答】解：由条件可知AB2+AC2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°．
1 1
∴面积为S = ×AB×AC= ×5×12=30．
△ABC 2 2
沿过点A的直线把△ABC分割成两个三角形，使其中只有一个是等腰三角形，有三种情况：
当AB＝BP＝5时，如图1所示，
BP 5 150
S = S = ×30= ；
等腰△ABP BC △ABC 13 13
当AB＝AP＝5，且P在BC上时，如图2所示，
AB⋅AC 5×12 60
作△ABC的高AD，则AD= = = ，
BC 13 13
25
∴BD=DP=❑√AB2−AD2=
，
13
50
∴BP=2BD= ，
13
50
∴ BP 13 1500；
S = S = ×30=
等腰△ABP BC △ABC 13 169
当CA＝CP＝12时，如图3所示，
CP 12 360
∴S = S = ×30= ；
等腰△ABP BC △ABC 13 13
150 1500 360
综上所述：等腰三角形的面积可能为 或 或 ，
13 169 13
150 1500 360
故答案为： 或 或 ．
13 169 1316．若实数b的立方根为2，且实数a，b，c满足❑√a−15+b+(a−c+2) 2=8．
（1）求2a﹣3b+c的值；
（2）若a，b，c是△ABC的三边，试判断三角形的形状，并说明理由．
【答案】（1）23；
（2）△ABC是直角三角形，理由见解答．
【解答】解：（1）∵实数b的立方根为2，
∴b＝8，
∵❑√a−15+b+(a−c+2) 2=8，
∴❑√a−15+(a−c+2) 2=0
∴a﹣15＝0，a﹣c+2＝0，
解得：a＝15，c＝17，
∴2a﹣3b+c＝2×15﹣3×8+17＝23；
（2）△ABC是直角三角形，
理由：∵a＝15，b＝8，c＝17
∴a2+b2＝152+82＝289，c2＝172＝289，
∴a2+b2＝c2，
∴△ABC是直角三角形．
17．如图，在四边形 ABCD 中，∠B＝90°，AC 为四边形 ABCD 的对角线，已知 AB＝8，BC＝6，
CD=2❑√15，AD=2❑√10．
（1）请判断△ACD的形状，并说明理由；
（2）过点D作DE⊥AC于点E，求线段CE的长．
【答案】（1）△ACD是直角三角形，理由见解答；
（2）线段CE的长为6
【解答】解：（1）△ACD是直角三角形，理由：
∵∠B＝90°，AB＝8，BC＝6，∴AC2＝AB2+BC2＝82+62＝100，
∴AC＝10，
又∵AD=2❑√10，CD=2❑√15，
∴AD2+CD2=(2❑√10) 2+(2❑√15) 2=40+60=100，
∴AD2+CD2＝AC2，
∴△ACD是直角三角形；
（2）∵△ACD是直角三角形，∠ADC＝90°，DE⊥AC，
1 1
∴S = AD×CD= AC×DE，
△ACD 2 2
1 1
即 ×2❑√10×2❑√15= ×10×DE，
2 2
化简得2❑√150=5DE，即10❑√6=5DE，
∴DE=2❑√6
∴CE2=CD2−DE2=(2❑√15) 2−(2❑√6) 2=60−24=36，
∴CE＝6．
18．当直角三角形的三边长都是正整数时，我们称这三个正整数为勾股数．
（1）若a，b为一个直角三角形的两条直角边长，c为斜边长，a，b，c为勾股数，且a＝n+7，c＝
n+8，n为正整数，求b的值（用含n的式子表示），并直接写出符合题意的最小的b值．
（2）当n是大于1的整数时，判断2n，n2﹣1，n2+1是否是勾股数，并说明理由．
【答案】（1）5；
（2）是勾股数，理由见解析．
【解答】解：（1）a，b，c为勾股数，c为斜边长，
∴a2+b2＝c2，
∵a＝n+7，c＝n+8，
∴（n+7）2+b2＝（n+8）2，
∴b2＝2n+15，b=❑√2n+15，
∵n，b都为正整数，
∴当n＝5时，b=❑√2×5+15=5，
∴最小的b值为5；
（2）∵（2n）2＝4n2，（n2﹣1）2＝n4﹣2n2+1，（n2+1）2＝n4+2n2+1，
∴（2n）2+（n2﹣1）2＝（n2+1）2，
∴2n，n2﹣1，n2+1是勾股数．
19．已知m、x、y均为正整数，且x≠y，当m＝x2+y2时，我们称正整数m为“可媲美勾股数”，把x与y
的积称为m的“勾股值”，用A（m）表示，即A（m）＝xy．例如：13＝32+22，A（13）＝3×2＝6，13
就是一个“可媲美勾股数”，6是13的勾股值．（1）下列各数中，属于“可媲美勾股数”的有 ①② ．
①5
②25
③49
（2）求A（65）﹣A（20）的值．
m−9
（3）已知正整数m为“可媲美勾股数”，且满足18＜m＜60，m的勾股值为 ，求m的值．
2
【答案】（1）①；
（2）20或0；
（3）m的值是29或45．
【解答】解：（1）①5＝22+12，则5是一个“可媲美勾股数”；
②25＝32+42，则25是一个“可媲美勾股数”；
③49＝72，则49不是一个“可媲美勾股数”；
故答案为：①②；
（2）∵20＝22+42，
当65＝42+72时，
∴A（65）＝4×7＝28，A（20）＝2×4＝8，
∵A（65）﹣A（20）＝28﹣8＝20；
当65＝12+82时，
∴A（65）＝1×8＝8，A（20）＝2×4＝8，
∵A（65）﹣A（20）＝8﹣8＝0；
综上，A（65）﹣A（20）的值是20或0；
m−9
（3）由题意得：m＝x2+y2（x≠y），A（m）＝xy = ，
2
m−9
∴（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy＝m﹣2× =9，
2
∴x﹣y＝±3，
∴m＝（y+3）2+y2，
∵18＜m＜60，
∴当y＝2时，m＝52+22＝29，
当y＝3时，m＝62+32＝45，
综上，m的值是29或45．
20．小亮在网上搜索到下面的文字材料：在 x轴上有两个点它们的坐标分别为（a，0）和（c，0），则这
两个点所成的线段的长为|a﹣c|；同样，若在y轴上的两点坐标分别为（0，b）和（0，d），则这两个
点所成的线段的长为|b﹣d|．如图，在直角坐标系中的任意两点P ，P 其坐标分别为（a，b）和（c，
1 2
d），分别过这两个点作两坐标轴的平行线，构成一个直角三角形，其中直角边P Q＝|a﹣c|，P Q＝|b﹣
1 2d|，利用勾股定理可得：线段P P 的长为❑√(a−c) 2+(b−d) 2．
1 2
根据上面材料，回答下面的问题：
（1）在平面直角坐标系中，已知A（3，2），B（4，5）则线段AB的长为 ❑√10 ；
（2）若点C在y轴上，点D的坐标是（4，0），且CD＝5，则点C的坐标是 （ 0 ， 3 ）或（ 0 ，﹣
3 ） ；
（3）已知△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，3），B（3，0），C（﹣2，1），请判断△ABC的形状，
并说明理由．
【答案】（1）❑√10；
（2）（0，3）或（0，﹣3）；
（3）△ABC是等腰直角三角形，理由如下：
∵三个顶点坐标分别为A（1，3），B（3，0），C（﹣2，1），
∴AB=❑√(1−3) 2+(3−0) 2=❑√13，
BC=❑√(3+2) 2+(0−1) 2=❑√26，
AC=❑√(1+2) 2+(3−1) 2=❑√13，
∴AC＝AB，AB2+AC2=(❑√13) 2+(❑√13) 2=26=(❑√26) 2=BC2，
∴△ABC是等腰直角三角形．
【解答】解：（1）∵A（3，2），B（4，5），
∴AB=❑√(3−4) 2+(2−5) 2=❑√(−1) 2+(−3) 2=❑√1+9=❑√10，
故答案为：❑√10；
（2）设点C的坐标为（0，y），
∵点D的坐标是（4，0），且CD＝5，
∴42+y2＝52，
解得：y＝3或y＝﹣3，
∴点C的坐标为（0，3）或（0，﹣3）；
故答案为：（0，3）或（0，﹣3）；
（3）△ABC是等腰直角三角形，理由如下：
∵三个顶点坐标分别为A（1，3），B（3，0），C（﹣2，1），∴AB=❑√(1−3) 2+(3−0) 2=❑√13，
BC=❑√(3+2) 2+(0−1) 2=❑√26，
AC=❑√(1+2) 2+(3−1) 2=❑√13，
∴AC＝AB，AB2+AC2=(❑√13) 2+(❑√13) 2=26=(❑√26) 2=BC2，
∴△ABC是等腰直角三角形．
