文档内容
20.2（第 2 课时）勾股定理的逆定理的应用（原卷版）
目 录
类型一、实际应用.................................................................................................................................................................................1
类型二、几何应用.................................................................................................................................................................................6
类型一、实际应用
1．据说古埃及人先在一根长绳上打等距离的 个结，然后以 个结间距、 个结间距、 个结间距的长度
为边长，构成一个三角形（如图），这个三角形其中一个角便是（ ）
A． B． C． D．
2．体育公园边有一块如图所示的地，其中 ， ，则这
块地的面积为（ ） ．
A．216 B．270 C．432 D．540
3．如图，在一块四边形 空地上种植草皮，测得 ， ， ， ，
．若每平方米草皮需要200元，则需要投入（ ）
A．5100元 B．7000元 C．7200元 D．16800元
4．我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其
中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长
分别为5里，12里，13里，则这块沙田的面积为（ ）A．65平方里 B．60平方里 C．325平方里 D．30平方里
5．如图， ， ， 是某社区的三栋楼，若在 中点 处建一个通讯基站，其覆盖半径为 ，则这
三栋楼中在该通讯基站覆盖范围内的是（ ）
A．只有 B．只有 ， C．只有 ， D． ， ，
6．我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其
中小斜五里，中斜十二，大斜十三，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块空角形沙田，三条边长分别
为5，12，13，问该沙田的面积为（ ）
A．60 B．75 C．30 D．78
7．如图，老李家有一块草坪，家里想整理它，需要知道其面积，老李测量了草坪各边得知： 米，
米， 米， 米，且 ．则这块草坪的面积是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，李伯伯家有一块四边形田地 ，其中 ， ， ， ，
，则这块地的面积为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，某港口M位于东西方向的海岸线上，胜利号，智能号两轮船同时离开港口，各自沿一固定方向
航行，胜利号、智能号两轮船每小时分别航行12海里和16海里，1小时后胜利号、智能号两轮船分别位
于点A，B处，且相距20海里，如果知道胜利号轮船沿北偏西 方向航行，则智能号轮船的航行方向是
（ ）A．北偏东 B．北偏西 C．北偏东 D．北偏西
10．放学后，彬彬先去同学晓华家写了一个小时的作业，然后才回到家里．已知学校A．晓华家 ，彬彬
家 的两两之间的距离如图所示，且晓华家 在学校 的正东方向，则彬彬家 在学校 的（ ）
A．正南方向 B．正东方向 C．正西方向 D．正北方向
11．如图，三个村庄A、B、C之间的距离分别为 ， ， ．已知A、B两村之
间已修建了一条笔直的村级公路 ，为了实现村村通公路，现在要从 村修一条笔直公路 直达 ．
已知公路的造价为10000元/ ，则修这条公路的最低造价为 元．
12．如图是某工厂的平面图经测量 ．
（1）则 度；
（2）已知 是在 边上药厂的进出口，为了能观察到进出口周围环境情况，工作人员计划在点 处安
装一个摄像头，且摄像头能监控的最远距离为 ，若 ，则直线 上被摄像头监控
的公路长度为 米．
13．木工做一个长方形桌面，量得桌面的长为 ，宽为 ，对角线长为 ，则这个桌面 ．
（填“合格”或“不合格”）14．某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街的拐角建造了一块绿化地（阴影部分）．
如图，已知 ， ， ， ，技术人员通过测量确定了 ．则这片
绿地的面积是 ．
15．如图所示的一块地，已知 ， ， ， ， ，则这块地的
面积为 ．
16．海面上有两个疑似漂浮目标． 舰艇以 海里/时的速度离开港口 ，向北偏西 方向航行；同时，
舰艇在同地以 海里/时的速度向北偏东一定角度的航向行驶，如图所示，离开港口 小时后两船相距
海里，则 舰艇的航行方向是 ．
17．某日早晨 甲渔船以12海里/时的速度离开港口 向东北方向航行， 乙渔船以10海里/时的
速度离开港口 沿某一方向航行．上午 两渔船相距26海里．则乙渔船航行的方向是 ．
18．如图所示，在四边形 中， ， ， 于E， ，则 的度
数等于 ．
19．如图， 两村庄相距 ， 为供气站， ， ，为了方便供气，现有两种方案
铺设管道．方案一：从供气站 直接铺设管道分别到 村和 村（即管道总长为 ）；
方案二：过点 作 的垂线，垂足为点 ，先从 铺设管道到点 处，再从点 处分别向 、 两村铺
设管道（即管道总长为 ）．
(1) 是直角三角形吗？为什么？
(2)在这两种方案中，哪一种方案铺设的管道总长度较短？请通过计算说明理由．
20．如图，在一条东西走向河的一侧有一村庄 ，河边有两个取水点 ，村庄修建了道路 和 ，其
中 ．由于某种原因，道路 不再通行，村庄为了方便村民取水，决定在河边新建一个取水点
（点 在同一条直线上），并修建道路 ．经测量： 百米， 百米， 百米．
(1)判断 是否为从村庄 到河边的最近道路，并说明理由；
(2)求原来的路线 的长．
21．如图，在一条东西走向的河的一侧有一村庄 ，河边原有两个取水点 ，由于某种原因，由 到 、
由 到 的路现在均不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点 （ 在同一条直线上），
并新修一条路 ，测得 米， 米， 米．问 是否为从村庄 到河边 最近的
路？请通过计算加以说明．
22．习总书记强调：“要教育孩子们从小热爱劳动，热爱创造”．某校为促进学生全面发展，健康成长，
计划在校园内利用一块四边形空地（如图四边形 ）建造一个劳动实践基地，已知 ，
， ， ， ．(1)求证： ；
(2)求这块四边形 空地的面积．
23．为持续提升居民生活环境品质，打造“颜值”与“内涵”并重的生态宜居环境，某市积极开展“市容
环境卫生整治行动 植绿种树”活动．志愿者在某小区临街的拐角处清理出一块四边形空地 如图
进行绿化，经测量 ， 米， 米， 米， 米，求空地 的面积．
24．某科技馆拟展出恐龙互动模型，为规避互动过程中模型关节卡顿、失衡等风险，该模型一条大腿支架
与小腿支架 需满足互相垂直的条件，为节省材料成本，设计人员计划利用现有支架实施固定，其示
意图如图所示，实际测得数据如下： ， ， ， ， ，
请通过计算，判断该支架是否符合要求．
25．在泰州溱潼古镇附近的湿地公园中，规划修建一条观鸟栈道．该栈道计划沿三角形区域 的岸边布
置．由于 段穿越一处重点保护的古建筑，无法直接测量．勘测人员在 上取一点 ，测得
米， 米， 米， 米．
(1)求证： ：
(2)求 的长．
类型二、几何应用
26．已知一个三角形三边长分别是4，9，12，要作最长边上的高正确的图形做法是（ ）
A． B．
C． D．27．阅读下列内容：设 ， ， 是一个三角形的三条边的长，且 最大，我们可以利用 ， ， 之间的
关系来判断这个三角形的形状：①若 ，则该三角形是直角三角形；②若 ，则该三角
形是钝角三角形；③若 ，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是 ，
， ，则最长边是 ， ，故由③可知该三角形是锐角三角形．
（1）若一个三角形的三边长分别是 ， ， ，则该三角形是 ；
（2）若一个三角形的三边长分别是 ， ， ，且这个三角形是直角三角形，则 的值为 ；
（3）带一个三角形的三边长 ， ， ，其中 是最长边长，则该三角形是
三角形．
28．校园内有一处池塘，数学实践小组的同学想利用所学知识测量池塘两端 之间的距离，他们的操
作过程如下：①沿 延长线的方向，在池塘边的空地上选点 ，使 米；②在 的一侧选点 ，
恰好使 米， 米；③测得 米．请根据他们的操作过程，求出 两点间的距离．
29．综合与实践
问题情境：某小区的社区管理人员计划在临街的拐角建造一块绿化地（阴影部分），现面向小区居民征集
设计方案，欣欣和强强合作一起完成了绿化地和引水灌溉方案的设计．
欣欣设计的绿化地及浇灌点方案如下：如图， ，在 上选取两点
E，F为浇灌点，从水源点G处铺设管道引水．
强强设计的铺设管道方案如下：
方案一：从水源点G处直接铺设管道分别到浇灌点E，F；
方案二：过点G作 的垂线，垂足为H，先从水源点G处铺设管道到点H处，再从点H处分别向浇灌点
E，F铺设管道．
社区管理人员按照欣欣设计的绿化地及浇灌点方案施工，施工人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点
之间的距离，就确定了 ．
(1)施工人员测量的是点 与点 之间的距离．
(2)若绿化地建造每平方米的费用为100元，求建造绿化地的费用．(3)若 ， ，管道铺设费用为50元/米，请比较强强设计的两种铺设管道方案
所花的费用，并求出铺设管道所需的最少费用．
30．产业兴旺是乡村振兴的重要基础，产业发展是滋养农民美好生活的源头活水．如图，某乡村有一块三
角形空地 ，计划将这块三角形空地分割成四边形 和△ ，分别种植梨树和桃树两种不同的果
树，经测量， ， 米， 米， 米， 米， 米，求四边形
的面积．
31．如图，小区有一块三角形空地 ，计划将这块空地种上三种不同的花卉，中间用小路 、 隔
开， ．经测量， 米， 米， 米， 米．
(1)求 的长；
(2)求小路 的长．
32．劳动教育能够提升学生的创造力，强壮学生的体格．实验中学为了给学生提供合适的劳动教育场地，
在校园规划了一片劳动基地（四边形 ）用来种植蔬菜和花卉．如图，花卉区和蔬菜区之间用一条小
路 隔开（小路的宽度忽略不计）．经测量，花卉区 的 边长为24米， 边长为7米，蔬菜区
的 边长为20米， 边长为15米， ．
(1)求小路 的长；
(2)求 的度数和蔬菜区 的面积．
33．某文化创意工作室为打造具有特色的旅游纪念品，开展手工饰品制作项目，其中一款饰品的部件形状
是一个不规则四边形，工作室需要确定这个部件平面图的面积，以便估算材料用量．如图所示，四边形
是该饰品部件的平面图，通过高精度测量仪器测量得出：
，请根据以上数据求出该饰品部件平面图的面积．34．如图，一架无人机旋停在空中点A处，点A与地面上点B之间的距离 米，点A与地面上点C
（点B，C处于同一水平面上）的距离 米，且 米．
(1)求 的度数；
(2)现这架无人机沿 所在直线向下飞行至点D处，若点D恰好在边 的垂直平分线上，连接 ，求
这架无人机向下飞行的距离（ 的长）．
35．【阅读与思考】勾股定理神秘而美妙，它的证法多种多样，其巧妙各有不同．在进行《勾股定理》一
章学习时，老师带领同学们进行探究活动：如图1，这是用纸片剪成的四个全等的直角三角形（两条直角
边长分别为a， ，斜边长为c）和一个边长为c的正方形，请你将它们拼成一个图形，该图形能验证
勾股定理．
【任务】
(1)如图2，这是小敏同学拼成的图形．请你利用图2验证勾股定理．
(2)一个零件的形状如图3所示，按照规定，零件中 和 都是直角，才是合格零件．如图4所示，
工人师傅测得零件 ， ， ， ， ，这个零件符合要求
吗？请判断并说明理由．
36．如图，在边长都为1的小正方形组成的方格中，线段 、 、 的端点均在格点（即小正方形的
顶点），判断线段 、 、 能否围成一个直角三角形，并说明理由．37．劳动教育能够提升学生的智力与创造力，强壮学生的体格，实验中学为了给学生提供合适的劳动教育
场地，在校园规划了一片劳动基地（四边形 ）用来种植蔬菜和花卉．如图，花卉区和蔬菜区之间用
一条长 （ ）的小路隔开（小路的宽度忽略不计）．经测量，花卉区的 边长 ， 边
长 ，蔬菜区的 边长 ，
(1)求蔬菜区边 的长；
(2)求劳动基地（四边形 ）的面积．
1．小明准备用一段长30米的篱笆围成一个三角形状的小圈，用于饲养家兔．已知第一条边长为 米，由
于受地势限制，第二条边长只能是第一条边长的2倍多2米．
(1)问第一条边长可以为7米吗？为什么？请说明理由．
(2)求出 的取值范围．
(3)能否使得围成的小圈是直角三角形状，且各边长均为整数？若能，说出你的围法：若不能，请说明理由．
2．一个零件的形状如图所示，按规定这个零件中 为直角，工人师傅量得零件各边尺寸为 ，
， ， ．请计算这个零件的面积．3．【再读教材】：我们八年级下册数学课本第16页介绍了“海伦—秦九韶公式”：如果一个三角形的三
边长分别为a，b，c，记 ，那么三角形的面积为 ．
【解决问题】：已知在 中， ， ， ．
(1)请你用“海伦—秦九韶公式”求 的面积．
(2)除了利用“海伦—秦九韶公式”求 的面积外，你还有其它的解法吗？请写出你的解法．
1．在平面直角坐标系中，点O为原点，点 ，点C在x轴正半轴上，连接 ，
．
(1)如图1，求点C的坐标；
(2)如图2，点P在第一象限，连接 ，线段 与 相交于点G，且 ，点E在线段
上，点F在线段 上，且 ，连接 ，若 ，求 的度数；
(3)如图3，在（2）问条件下，若点E为线段 中点，求线段 的值．
2．定义：若a，b，c是 的三边，且 ，则称 为“方倍三角形”．
(1)对于①等边三角形②直角三角形，下列说法一定正确的是 ．
A．①一定是“方倍三角形” B．②一定是“方倍三角形”
C．①②都一定是“方倍三角形” D．①②都一定不是“方倍三角形”
(2)如图， 中， ， ，P为 边上一点，将 沿直线 进行折叠，点A
落在点D处，连接 ， ．若 为“方倍三角形”，且 ，求 的面积．3．【问题初探】勾股定理神奇而美妙，它的证法多种多样，在学习了教材中介绍的拼图证法以后，小华
突发灵感，给出了如图①的拼图：两个全等的直角三角板 和直角三角板 ，顶点F在 边上，
顶点C、D重合，连接 ．设 交于点G． ， ，
， ．请你回答以下问题：
（1） 与 的位置关系为______．
（2）填空： ______（用含c的代数式表示）．
（3）请尝试利用此图形证明勾股定理．
【问题再探】平移直角三角板 ，使得顶点B、D重合，这就是大家熟悉的“K型图”，如图②，此时
三角形 是一个等腰直角三角形．
请你利用以上信息解决以下问题：
已知直线 及点P，作等腰直角 ，使得点A、B分别在直线a、b上且 ．（尺规作图，
保留作图痕迹）
【问题拓展】请你利用以上信息解决以下问题：
已知 中， ， ， ，则 的面积 ______．
