文档内容
20.2（第 2 课时）勾股定理的逆定理的应用（解析版）
目 录
类型一、实际应用......................................................................................................................................................1
类型二、几何应用....................................................................................................................................................18
类型一、实际应用
1．据说古埃及人先在一根长绳上打等距离的 个结，然后以 个结间距、 个结间距、 个结间距的长度
为边长，构成一个三角形（如图），这个三角形其中一个角便是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题考查了勾股定理的逆定理，设结间距为 ，再根据勾股定理的逆定理即可求解，掌握勾股定
理的逆定理的应用是解题的关键．
【详解】解：设结间距为 ，
∴ ，
∴这个三角形其中一个角是 ，
故选： ．
2．体育公园边有一块如图所示的地，其中 ， ，则这
块地的面积为（ ） ．
A．216 B．270 C．432 D．540
【答案】A
【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，先利用勾股定理求出 ，再证明
， ，据此根据这块地的面积 列式求解即可．
【详解】解；如图所示，连接 ，在 中，由勾股定理得 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴这块地的面积 ，
故选：A．
3．如图，在一块四边形 空地上种植草皮，测得 ， ， ， ，
．若每平方米草皮需要200元，则需要投入（ ）
A．5100元 B．7000元 C．7200元 D．16800元
【答案】C
【分析】此题主要考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理以及三角形面积等知识，熟练掌握勾股定理
和勾股定理的逆定理是解题的关键．由勾股定理求出 ，再由勾股定理的逆定理证明 是直角
三角形，且 ，然后由三角形面积公式列式计算即可．
【详解】解：如图，连接 ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，∴ 是直角三角形，且 ，
∴四边形 的面积 的面积 的面积
，
∴学校要投入资金为： （元），
故选：C．
4．我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其
中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长
分别为5里，12里，13里，则这块沙田的面积为（ ）
A．65平方里 B．60平方里 C．325平方里 D．30平方里
【答案】D
【分析】此题主要考查了勾股定理逆定理的应用．直接利用勾股定理的逆定理进而结合直角三角形面积求
法得出答案．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∴三条边长分别为5里，12里，13里，构成了直角三角形，
∴这块沙田面积为： （平方里）．
故选：D．
5．如图， ， ， 是某社区的三栋楼，若在 中点 处建一个通讯基站，其覆盖半径为 ，则这
三栋楼中在该通讯基站覆盖范围内的是（ ）
A．只有 B．只有 ， C．只有 ， D． ， ，
【答案】D
【分析】本题考查了直角三角形的性质、勾股定理的逆定理．首先利用勾股定理的逆定理证明 是直
角三角形，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得 ，从而可以判断，
、 、 三栋楼都在该通讯基站覆盖范围内．
【详解】解：如下图所示，连接、 、 ，
又
，
是直角三角形，
又 点 是 的中点，
，
、 、 三栋楼都在该通讯基站覆盖范围内．
故选：D ．
6．我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其
中小斜五里，中斜十二，大斜十三，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块空角形沙田，三条边长分别
为5，12，13，问该沙田的面积为（ ）
A．60 B．75 C．30 D．78
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，先利用勾股定理的逆定理证明这块沙田是直角三角形，从而得出
直角边为5，12，斜边为13，最后根据三角形面积公式计算即可．
【详解】解： 一块三角形沙田，三条边长分别为5，12，13，
∵， ，
∴ ，
∴这块沙田是直角三角形，
直角边为5，12，斜边为13，
∴
这块沙田的面积为
∴
故选：C．
7．如图，老李家有一块草坪，家里想整理它，需要知道其面积，老李测量了草坪各边得知： 米，
米， 米， 米，且 ．则这块草坪的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理．解题的关键是在应用勾股定理解决实际问题时勾股定
理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．体会数形结合的思想的应用．连接 ，根据勾股定理，求得 ，再根据勾股定理的逆定理，判断
是直角三角形．这块草坪的面积等于两个直角三角形的面积之和．
【详解】解：连接 ，如图，
，
，
米， 米，
米，
米， 米，
，
为直角三角形，
这块草坪的面积 ，
故选：A．
8．如图，李伯伯家有一块四边形田地 ，其中 ， ， ， ，
，则这块地的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了勾股定理和三角形面积的应用，连接 ，运用勾股定理逆定理可证 为直角三
角形，可求出两直角三角形的面积，此块地的面积为两个直角三角形的面积和．
【详解】解：连接 ，则在 中，
∵ ，，
在 中， ， ，
，
，
．
故答案为：A．
9．如图，某港口M位于东西方向的海岸线上，胜利号，智能号两轮船同时离开港口，各自沿一固定方向
航行，胜利号、智能号两轮船每小时分别航行12海里和16海里，1小时后胜利号、智能号两轮船分别位
于点A，B处，且相距20海里，如果知道胜利号轮船沿北偏西 方向航行，则智能号轮船的航行方向是
（ ）
A．北偏东 B．北偏西 C．北偏东 D．北偏西
【答案】A
【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，先根据题意得到 海里， 海里，
海里，则可得 ，由勾股定理的逆定理得到 ，进而求出 ，则智
能号轮船的航行方向是北偏东 ．
【详解】解：由题意得， 海里， 海里， 海里，
∴ ，
∴ 是直角三角形，且 ，
∵胜利号轮船沿北偏西 方向航行，
∴ ，
∴ ，
∴智能号轮船的航行方向是北偏东 ，
故选：A．
10．放学后，彬彬先去同学晓华家写了一个小时的作业，然后才回到家里．已知学校A．晓华家 ，彬彬
家 的两两之间的距离如图所示，且晓华家 在学校 的正东方向，则彬彬家 在学校 的（ ）A．正南方向 B．正东方向 C．正西方向 D．正北方向
【答案】D
【分析】本题考查勾股定理逆定理的应用，根据题意可求得 即可求解．
【详解】解：由图可得： ，
∴ ，
∴ 是直角三角形，
∴彬彬家 在学校 的正北方向，
故选：D．
11．如图，三个村庄A、B、C之间的距离分别为 ， ， ．已知A、B两村之
间已修建了一条笔直的村级公路 ，为了实现村村通公路，现在要从 村修一条笔直公路 直达 ．
已知公路的造价为10000元/ ，则修这条公路的最低造价为 元．
【答案】72000
【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是知道在什么时候距离最短．
首先得出 ，然后利用其逆定理得到 ，根据垂线段最短确
定最短距离，然后利用面积相等求得 的长，最终求得最低造价．
【详解】解：∵ ，
，
，
要使公路的造价最低，则 ，
，
，
故这条公路的最低造价为： （元），
故答案为：72000．
12．如图是某工厂的平面图经测量 ．（1）则 度；
（2）已知 是在 边上药厂的进出口，为了能观察到进出口周围环境情况，工作人员计划在点 处安
装一个摄像头，且摄像头能监控的最远距离为 ，若 ，则直线 上被摄像头监控
的公路长度为 米．
【答案】 160
【分析】本题考查勾股定理及其逆定理的实际应用，等腰三角形的性质与判定，熟知勾股定理及其逆定理
是解题的关键．
（1）连接 ，可得 ，利用勾股定理可得 ，则可证明 ，再根据
勾股定理的逆定理可得 ，即可求解；
（2）过点E作 ，交直线 于点G．点M，N在直线 上，且 ，即 的长
为直线 上被摄像头监控到的公路长度．可证明 ，得到 ．求出
，由勾股定理得 ，则 ，由勾股定理得 ，
同理可得 ，则 ，据此可得答案．
【详解】解：（1）如图，连接 ．
∵ ， ，
∴ ．
在 中，由勾股定理得 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为； ；
（2）如图，过点E作 ，交直线 于点G．点M，N在直线 上，且 ，即
的长为直线 上被摄像头监控到的公路长度．∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ， ，
∴
在 中，由勾股定理得 ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得 ，
同理可得 ，
∴ ，
即直线 上被摄像头监控到的公路长度为 ，
故答案为：160．
13．木工做一个长方形桌面，量得桌面的长为 ，宽为 ，对角线长为 ，则这个桌面 ．
（填“合格”或“不合格”）
【答案】合格
【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键在于掌握勾股定理的逆定理；
首先，用桌面长的平方加上宽的平方，看其是否等于对角线的平方； 然后，若其相等则满足勾股定理的
逆定理，三者构成直角三角形，桌面合格，否则不合格．
【详解】解：∵长方形桌面的长为 ，宽为 ，对角线长为 ，，
∴ ， ，
，
∴
∴桌面的角是直角，
∴这个桌面是合格的，
故答案为：合格．
14．某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街的拐角建造了一块绿化地（阴影部分）．
如图，已知 ， ， ， ，技术人员通过测量确定了 ．则这片
绿地的面积是 ．【答案】114
【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，连接 ，勾股定理求出 的长，勾股定理逆定理求出
为直角三角形，分割法求出绿地的面积即可．
【详解】解：连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ 为直角三角形， ，
∴绿地的面积 ；
故答案为：114．
15．如图所示的一块地，已知 ， ， ， ， ，则这块地的
面积为 ．
【答案】96
【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理的应用，得到 是直角三角形是解题的关键．同时
考查了直角三角形的面积公式．
连接 ，先由勾股定理求出 ，再由勾股定理的逆定理判定 是直角三角形，然后由三角形面积
即可得出结论．．
【详解】解：如图，连接 ．， ， ，
，
又 ， ，
，
是直角三角形， ，
这块地的面积 的面积 的面积 ．
故答案为：96．
16．海面上有两个疑似漂浮目标． 舰艇以 海里/时的速度离开港口 ，向北偏西 方向航行；同时，
舰艇在同地以 海里/时的速度向北偏东一定角度的航向行驶，如图所示，离开港口 小时后两船相距
海里，则 舰艇的航行方向是 ．
【答案】北偏东
【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理的应用和方位角的知识，根据题意判断出 是直角三角形是
解决问题的关键．根据勾股定理的逆定理判断 是直角三角形，求出 的度数即可．
【详解】解：如图，
由题意得， （海里）， （海里）
又∵ 海里，
∵ ，即 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
则另一艘舰艇的航行方向是北偏东 ，
故答案为：北偏东 ．17．某日早晨 甲渔船以12海里/时的速度离开港口 向东北方向航行， 乙渔船以10海里/时的
速度离开港口 沿某一方向航行．上午 两渔船相距26海里．则乙渔船航行的方向是 ．
【答案】东南方向或西北方向
【分析】本题考查方位角，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理的应用是解题的关键．设甲渔
船离开港口O向东北方向航行到A，乙渔船离开港口O航行到B，则 (海里)，
(海里)， 海里，由勾股定理的逆定理，判定出 ，再由 表示东
北方向，即可得出 表示的方向．
【详解】解：设甲渔船离开港口O向东北方向航行到A，乙渔船离开港口O航行到B，
由题意，得 (海里)， (海里)， 海里，
，
，
，
表示东北方向，
表示东南方向或西北方向．如图，
故答案为：东南方向或西北方向．
18．如图所示，在四边形 中， ， ， 于E， ，则 的度
数等于 ．
【答案】 /90度
【分析】本题考查勾股定理逆定理，根据面积求出 ，结合勾股定理逆定理求解即可得到答案；
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，解得： ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ 是直角三角形， ，
故答案为： ．
19．如图， 两村庄相距 ， 为供气站， ， ，为了方便供气，现有两种方案
铺设管道．
方案一：从供气站 直接铺设管道分别到 村和 村（即管道总长为 ）；
方案二：过点 作 的垂线，垂足为点 ，先从 铺设管道到点 处，再从点 处分别向 、 两村铺
设管道（即管道总长为 ）．
(1) 是直角三角形吗？为什么？
(2)在这两种方案中，哪一种方案铺设的管道总长度较短？请通过计算说明理由．
【答案】(1) 是直角三角形．理由见解析
(2)方案一所修的管道较短，理由见解析
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理、三角形面积的计算．
（1）由勾股定理的逆定理即可得出 是直角三角形；
（2）由 的面积求出 ，得出 ，即可得出结果．
【详解】（1）解： 是直角三角形．理由如下：
， ，
，
是直角三角形；
（2）解：方案一所铺设的管道较短,理由如下：
的面积 ，
，
， ，
∵
方案一所铺设的管道较短．
20．如图，在一条东西走向河的一侧有一村庄 ，河边有两个取水点 ，村庄修建了道路 和 ，其
中 ．由于某种原因，道路 不再通行，村庄为了方便村民取水，决定在河边新建一个取水点（点 在同一条直线上），并修建道路 ．经测量： 百米， 百米， 百米．
(1)判断 是否为从村庄 到河边的最近道路，并说明理由；
(2)求原来的路线 的长．
【答案】(1)是，见解析
(2)原来的路线 的长为 百米
【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，熟练中午知识点是解题的关键．
（1）先由勾股定理证明 ，再根据点到直线的距离最短求解即可；
（2） ，继而表示出 ，再根据勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：是，理由如下：
， ， ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∴ 是从村庄 到河边的最近道路；
∴（2）解：设 ，
，
∵ ，
∴ ，即 ，
∵ ，即 ，
∴
，即 百米，
∴
所以，原来的路线 的长为 百米．
21．如图，在一条东西走向的河的一侧有一村庄 ，河边原有两个取水点 ，由于某种原因，由 到 、
由 到 的路现在均不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点 （ 在同一条直线上），
并新修一条路 ，测得 米， 米， 米．问 是否为从村庄 到河边 最近的
路？请通过计算加以说明．【答案】 是从村庄 到河边 最近的路，见解析
【分析】本题考查了勾股定理逆定理和垂线段，由已知条件可知 ，进而得到 ，
根据点到直线的距离垂线段最短即可得到结论．
【详解】解： 是从村庄 到河边 最近的路．
证明： 米， 米， 米，
，
是直角三角形，且 ，
，
是从村庄 到河边 最近的路．
22．习总书记强调：“要教育孩子们从小热爱劳动，热爱创造”．某校为促进学生全面发展，健康成长，
计划在校园内利用一块四边形空地（如图四边形 ）建造一个劳动实践基地，已知 ，
， ， ， ．
(1)求证： ；
(2)求这块四边形 空地的面积．
【答案】(1)
(2)这块四边形 空地的面积为
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理、三角形面积等知识点，熟练掌握勾股定理
和勾股定理的逆定理是解题的关键．
（1）如图：连接 ，由勾股定理可得 ， 再由勾股定理的逆定理得 是直角三角形，即可
证明结论；
（2）根据 列式计算即可解答．
【详解】（1）解：如图：连接 ，在 中， ， ， ，
，
， ， ，
，
为直角三角形， .
（2）解： 在 中， ， ，在 中， ， ，
，
∴这块四边形 空地的面积为 ．
23．为持续提升居民生活环境品质，打造“颜值”与“内涵”并重的生态宜居环境，某市积极开展“市容
环境卫生整治行动 植绿种树”活动．志愿者在某小区临街的拐角处清理出一块四边形空地 如图
进行绿化，经测量 ， 米， 米， 米， 米，求空地 的面积．
【答案】空地的面积是
【分析】本题考查了勾股定理的应用，勾股定理的逆定理及三角形面积等，熟练掌握以上知识是解题的关
键．
由勾股定理得 米，再由勾股定理的逆定理得 是直角三角形．且 ，然后由三角形面
积公式即可得出结论．
【详解】解：连接 ，
在 中， 米， 米， 米， 米，
（米），，
，
是直角三角形，且 ，
答：空地的面积是 .
24．某科技馆拟展出恐龙互动模型，为规避互动过程中模型关节卡顿、失衡等风险，该模型一条大腿支架
与小腿支架 需满足互相垂直的条件，为节省材料成本，设计人员计划利用现有支架实施固定，其示
意图如图所示，实际测得数据如下： ， ， ， ， ，
请通过计算，判断该支架是否符合要求．
【答案】该支架符合要求
【分析】本题考查了勾股定理与勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题关键．先根据勾股
定理可得 的值，则可得 ，再根据勾股定理的逆定理求解即可得．
【详解】解：∵ ， ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是直角三角形，且 ，
∴ ，
答：该支架符合要求．
25．在泰州溱潼古镇附近的湿地公园中，规划修建一条观鸟栈道．该栈道计划沿三角形区域 的岸边布
置．由于 段穿越一处重点保护的古建筑，无法直接测量．勘测人员在 上取一点 ，测得
米， 米， 米， 米．(1)求证： ：
(2)求 的长．
【答案】(1)见解析
(2) 米
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理的应用，熟记勾股定理的逆定理，勾股定理是解题的关
键．
（1）根据勾股定理的逆定理即可推出 ；
（2）根据勾股定理求出 的长，据此即可求解．
【详解】（1）证明： 米， 米， 米，
则
，
；
（2）解：由（1）得 ，
，
（米），
（米）．
类型二、几何应用
26．已知一个三角形三边长分别是4，9，12，要作最长边上的高正确的图形做法是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由三角形的三边为4，9，12，可知该三角形为钝角三角形，其最长边上的高在三角形内部，即过
最长边所对的角的顶点，作对边的垂线，垂足在最长边上．
【详解】解：∵42+92=97＜122，
∴三角形为钝角三角形，
∴最长边上的高是过最长边所对的角的顶点，作对边的垂线，垂足在最长边上．故选：C．
【点睛】本题考查了三角形高的画法．当三角形为锐角三角形时，三条高在三角形内部；当三角形是直角
三角形时，两条高是三角形的直角边，一条高在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，两条高在三角形
外部，一条高在内部．
27．阅读下列内容：设 ， ， 是一个三角形的三条边的长，且 最大，我们可以利用 ， ， 之间的
关系来判断这个三角形的形状：①若 ，则该三角形是直角三角形；②若 ，则该三角
形是钝角三角形；③若 ，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是 ，
， ，则最长边是 ， ，故由③可知该三角形是锐角三角形．
（1）若一个三角形的三边长分别是 ， ， ，则该三角形是 ；
（2）若一个三角形的三边长分别是 ， ， ，且这个三角形是直角三角形，则 的值为 ；
（3）带一个三角形的三边长 ， ， ，其中 是最长边长，则该三角形是
三角形．
【答案】 锐角三角形 或 钝角
【分析】（1）直接利用定义结合三角形三边得出答案；
（2）直接利用勾股定理得出x的值；
（3）直接利用已知结合三边关系得出答案．
【详解】解：（1）∵72+82=49+64=113＞92，
∴三角形是锐角三角形，
故答案为：锐角三角形；
（2）∵这个三角形是直角三角形，当x为斜边，
∴52+122=x2，
∴x=13，
当12是斜边，
则52+x2=122，
解得：x= ，
综上所述：x=13或 ．
故答案为：13或 ；
（3）∵a2-b2-c2=x2+3z2-x+y2-2y+ =(x- )2+(y-1)2+3z2+ ＞0，
∴a2＞b2+c2，
∴该三角形是钝角三角形．
【点睛】此题主要考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，正确进行相关计算是解题关键．
28．校园内有一处池塘，数学实践小组的同学想利用所学知识测量池塘两端 之间的距离，他们的操
作过程如下：①沿 延长线的方向，在池塘边的空地上选点 ，使 米；②在 的一侧选点 ，恰好使 米， 米；③测得 米．请根据他们的操作过程，求出 两点间的距离．
【答案】 米
【分析】本题考查了勾股定理的应用，勾股定理的逆定理，正确得出三角形 是直角三角形是解题的关
键．先判定三角形 为直角三角形，推出三角形 为直角三角形，再根据勾股定理求出 的长即可．
【详解】解： 米， 米， 米，
，
是直角三角形，且 ，
，
米，
在 中，由勾股定理得，
米 ，
， 两点间的距离为 米．
29．综合与实践
问题情境：某小区的社区管理人员计划在临街的拐角建造一块绿化地（阴影部分），现面向小区居民征集
设计方案，欣欣和强强合作一起完成了绿化地和引水灌溉方案的设计．
欣欣设计的绿化地及浇灌点方案如下：如图， ，在 上选取两点
E，F为浇灌点，从水源点G处铺设管道引水．
强强设计的铺设管道方案如下：
方案一：从水源点G处直接铺设管道分别到浇灌点E，F；
方案二：过点G作 的垂线，垂足为H，先从水源点G处铺设管道到点H处，再从点H处分别向浇灌点
E，F铺设管道．
社区管理人员按照欣欣设计的绿化地及浇灌点方案施工，施工人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点
之间的距离，就确定了 ．
(1)施工人员测量的是点 与点 之间的距离．
(2)若绿化地建造每平方米的费用为100元，求建造绿化地的费用．(3)若 ， ，管道铺设费用为50元/米，请比较强强设计的两种铺设管道方案
所花的费用，并求出铺设管道所需的最少费用．
【答案】(1)A，C
(2)建造绿化地的费用为11300元
(3)方案一所花的费用700元 方案二所花的费用740元，铺设管道所需的最少费用为700元
【分析】本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理的实际应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）直接运用勾股逆定理进行列式计算，即可作答．
（2）直接运用勾股逆定理进行列式计算，得证 ，再计算 ，
，最后相加，即可作答；
（3）根据勾股定理得到 ，根据三角形的面积公式得到
，求得方案一：铺设管道所花的费用 （元），方案二：铺设
管道所花的费用 （元），于是得到结论．
【详解】（1）解：连接 ，
施工人员测量的是A，C两点之间的距离，
∵
∴ ，
∴ ，
即当测量A，C两点之间的距离为
∴满足勾股逆定理得 ；
∴ ，
故答案为：A，C；
（2）解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴
∴四边形 的面积 ，
∴建造绿化地的费用 （元）；
（3）解：∵ ，
∴
∵ ，
∴ ，
∴
∴求得方案一：铺设管道所花的费用 （元），
方案二：铺设管道所花的费用 （元），
∵
∴铺设管道所需的最少费用为700元．
30．产业兴旺是乡村振兴的重要基础，产业发展是滋养农民美好生活的源头活水．如图，某乡村有一块三
角形空地 ，计划将这块三角形空地分割成四边形 和△ ，分别种植梨树和桃树两种不同的果
树，经测量， ， 米， 米， 米， 米， 米，求四边形
的面积．
【答案】 平方米
【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟记勾股定理，勾股定理的逆定理是解题的关键．证
明 是直角三角形，即可推出结果．
【详解】解：连接 ，
在 中，由勾股定理得，
（米） ，在 中，由勾股定理得，
，
在 中，
，
是直角三角形，且 ，
四边形 的面积 （平方米）．
31．如图，小区有一块三角形空地 ，计划将这块空地种上三种不同的花卉，中间用小路 、 隔
开， ．经测量， 米， 米， 米， 米．
(1)求 的长；
(2)求小路 的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的应用，直角三角形的性质，熟练掌握勾股定理及其逆定理
是解题的关键．
（1）利用勾股定理的逆定理判定 为直角三角形，再利用勾股定理解答即可；
（2）利用等面积法解答即可．
【详解】（1）解： ， ， ，
， ，
，
，
，
，
答： 的长为 ．
（2）解：由（1）知：
，
，即 ，
∴答：小路 的长为 ．
32．劳动教育能够提升学生的创造力，强壮学生的体格．实验中学为了给学生提供合适的劳动教育场地，
在校园规划了一片劳动基地（四边形 ）用来种植蔬菜和花卉．如图，花卉区和蔬菜区之间用一条小
路 隔开（小路的宽度忽略不计）．经测量，花卉区 的 边长为24米， 边长为7米，蔬菜区
的 边长为20米， 边长为15米， ．
(1)求小路 的长；
(2)求 的度数和蔬菜区 的面积．
【答案】(1)小路 的长为25米
(2) 的度数为 ，蔬菜区 的面积为150平方米
【分析】本题考查勾股定理及其逆定理的应用．熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键．
（1）根据勾股定理求解即可；
（2）根据（1）所求可证明 ，则由勾股定理的逆定理可得 ，再根据三角形面积
计算公式求解即可．
【详解】（1）解：∵ ， 米， 米，
∴ (米)，
答：小路 的长为25米．
（2）解：∵ 的 边长为20米， 边长为15米， 边长为25米，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ (平方米) ．
答： 的度数为 ，蔬菜区 的面积为150平方米．
,
33．某文化创意工作室为打造具有特色的旅游纪念品，开展手工饰品制作项目，其中一款饰品的部件形状
是一个不规则四边形，工作室需要确定这个部件平面图的面积，以便估算材料用量．如图所示，四边形
是该饰品部件的平面图，通过高精度测量仪器测量得出：
，请根据以上数据求出该饰品部件平面图的面积．【答案】
【分析】本题考查了勾股定理的应用，勾股定理的逆定理，解答本题的关键是作出辅助线，构造直角三角
形．连接 ．由勾股定理得出 ，再由勾股定理逆定理得出 是直角三角形且
．再根据该饰品部件平面图的面积 ，计算即可得出答案．
【详解】解：如图，连接 ．
在 中， ， ， ，
由勾股定理得： ，
∵ ， ，
在 中， ， ，
∴ ，
∴ 是直角三角形， ．
∴该饰品部件平面图的面积
，
答：该饰品部件平面图的面积为 ．
34．如图，一架无人机旋停在空中点A处，点A与地面上点B之间的距离 米，点A与地面上点C
（点B，C处于同一水平面上）的距离 米，且 米．(1)求 的度数；
(2)现这架无人机沿 所在直线向下飞行至点D处，若点D恰好在边 的垂直平分线上，连接 ，求
这架无人机向下飞行的距离（ 的长）．
【答案】(1)
(2) 米
【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，线段垂直平分线的性质，熟练的掌握勾股定理的逆定理和
线段垂直平分线的性质是解题的关键．
（1）根据勾股定理的逆定理即可解答；
（2）设 米，则 米，由线段垂直平分线的性质得到 米，在 中，
根据勾股定理建立方程求解即可．
【详解】（1）解： ， ，
，
∴ ；
（2）解：设 米，则 米，
∵点 恰好在边 的垂直平分线上，
∴ 米，
在 中，由勾股定理得 ，
，
解得
答：这架无人机向下飞行的距离 的长）为 米．
35．【阅读与思考】勾股定理神秘而美妙，它的证法多种多样，其巧妙各有不同．在进行《勾股定理》一
章学习时，老师带领同学们进行探究活动：如图1，这是用纸片剪成的四个全等的直角三角形（两条直角
边长分别为a， ，斜边长为c）和一个边长为c的正方形，请你将它们拼成一个图形，该图形能验证
勾股定理．【任务】
(1)如图2，这是小敏同学拼成的图形．请你利用图2验证勾股定理．
(2)一个零件的形状如图3所示，按照规定，零件中 和 都是直角，才是合格零件．如图4所示，
工人师傅测得零件 ， ， ， ， ，这个零件符合要求
吗？请判断并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)这个零件符合要求，理由见解析
【分析】本题主要考查勾股定理的证明、勾股定理逆定理的应用等知识点，掌握勾股定理逆定理的作用是
解题的关键．
（1）①根据图2用两种方法表示出大正方形的面积，然后进行整理即可解答；
（2）根据勾股定理的逆定理验证和是否为直角即可判断这个零件是否符合要求．
【详解】（1）解：∵根据图2：大正方形面积可表示为： 或 ，
∴ ，即 ，
∴ ．
（2）解：这个零件符合要求，理由如下：
在 中，根据勾股定理，可得：
，
在 中，
∴ ．
∴ 是直角三角形， 是直角．且
∴这个零件符合要求．
36．如图，在边长都为1的小正方形组成的方格中，线段 、 、 的端点均在格点（即小正方形的
顶点），判断线段 、 、 能否围成一个直角三角形，并说明理由．【答案】能围成一个直角三角形,理由见详解
【分析】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理的逆定理．
利用勾股定理分别求得 ， ， ，然后可得 ，即可得出结论．
【详解】解：能围成一个直角三角形,理由如下：
根据网格和勾股定理可求，
， ，
而 ，
，
根据勾股定理的逆定理可得，线段 、 、 能围成一个直角三角形．
37．劳动教育能够提升学生的智力与创造力，强壮学生的体格，实验中学为了给学生提供合适的劳动教育
场地，在校园规划了一片劳动基地（四边形 ）用来种植蔬菜和花卉．如图，花卉区和蔬菜区之间用
一条长 （ ）的小路隔开（小路的宽度忽略不计）．经测量，花卉区的 边长 ， 边
长 ，蔬菜区的 边长 ，
(1)求蔬菜区边 的长；
(2)求劳动基地（四边形 ）的面积．
【答案】(1)蔬菜区边 的长为
(2)劳动基地（四边形 ）的面积为
【分析】本题主要考查勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键；
（1）根据勾股定理可进行求解；
（2）由题意易得 ，则有 ，然后根据三角形面积公式可进行求解即可．
【详解】（1）解： ，
∴在 中，由勾股定理得 ，
答：蔬菜区边 的长为 ．（2）解： ，
是直角三角形， ，
，
答：劳动基地（四边形 ）的面积为 ．
1．小明准备用一段长30米的篱笆围成一个三角形状的小圈，用于饲养家兔．已知第一条边长为 米，由
于受地势限制，第二条边长只能是第一条边长的2倍多2米．
(1)问第一条边长可以为7米吗？为什么？请说明理由．
(2)求出 的取值范围．
(3)能否使得围成的小圈是直角三角形状，且各边长均为整数？若能，说出你的围法：若不能，请说明理由．
【答案】(1)第一条边长不可以为7米，理由见解析
(2)
(3)能围成满足条件的小圈，它们的三边长分别6米，14米，10米，
【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的实际应用，三角形三边的关系，勾股定理的逆定理，熟知相
关知识是解题的关键．
（1）用含a的式子表示出第二边和第三边的长，再根据构成三角形的条件列出不等式组求出a的取值范围
即可得到结论；
（2）由（1）即可得到答案；
（3）根据（2）所求确定整数a的值，进而求出该三角形的三边长，再利用勾股定理的逆定理求解即可．
【详解】（1）解：第一条边长不可以为7米，理由如下：
由题意得，第二边长为 米，
∴第三边长为 米，
由构成三角形的条件可知 ，
解得 ，
∴第一条边长不可以为7米；
（2）解：由（1）可得 ；
（3）解：∵ 且a是整数，∴ 或 ，
当 时，围成的三角形的三边长分别为5米，12米，13米，
∵ ，
∴此时围成的三角形是直角三角形，符合题意；
当 时，围成的三角形的三边长分别为6米，14米，10米，
∵ ，
∴此时围成的三角形不是直角三角形，不符合题意；
综上所述，能围成满足条件的小圈，它们的三边长分别6米，14米，10米．
2．一个零件的形状如图所示，按规定这个零件中 为直角，工人师傅量得零件各边尺寸为 ，
， ， ．请计算这个零件的面积．
【答案】144
【分析】本题考查了勾股定理及逆定理，关键是根据勾股定理的逆定理判断 的形状．连接 ，根
据勾股定理的逆定理，可判断 的形状，再由 即可得出结论．
【详解】解：连接 ，
是直角， ， ，
，
在 中， ， ， ，
，
是直角三角形，
．3．【再读教材】：我们八年级下册数学课本第16页介绍了“海伦—秦九韶公式”：如果一个三角形的三
边长分别为a，b，c，记 ，那么三角形的面积为 ．
【解决问题】：已知在 中， ， ， ．
(1)请你用“海伦—秦九韶公式”求 的面积．
(2)除了利用“海伦—秦九韶公式”求 的面积外，你还有其它的解法吗？请写出你的解法．
【答案】(1)15
(2)有，见解析
【分析】（1）直接用海伦—秦九韶公式计算面积即可；
(2)计算得到AC2+BC2=AB2，即△ABC为直角三角形，直接两直角边的积除以2求面积，
【详解】（1）∵ ， ，
∴
∴
（2）证明：∵ ， ，
∴ ， ，
∴
∴
所以∆ABC为直角三角形；
∴
【点睛】本题考查了代数式求值，勾股定理逆定理，准确计算是解题关键．
1．在平面直角坐标系中，点O为原点，点 ，点C在x轴正半轴上，连接 ，
．(1)如图1，求点C的坐标；
(2)如图2，点P在第一象限，连接 ，线段 与 相交于点G，且 ，点E在线段
上，点F在线段 上，且 ，连接 ，若 ，求 的度数；
(3)如图3，在（2）问条件下，若点E为线段 中点，求线段 的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】对于（1），作 ，根据勾股定理求出 ，再说明 是等边三角形，可得答案；
对于（2），连接 ，根据等边三角形的性质得 ，再根据三角
形内角和定理得 ，结合“边角边”证明 ，可知 是等边三角形，然后根
据勾股定理的逆定理说明 是直角三角形，最后根据 得出答案；
对于（3），延长 交于点T，连接 ， ，作 ，得 ，在 上取点R，使
，由 ，得 即可证明 ，可得 是
等边三角形，接下来说明 ，然后证明 ，可得 ，再设 ，
则 ，可表示 ， ，最后根据勾股定理求出m，可得答案．
【详解】（1）解：如图所示，过点A作 ，交x轴于点B，
∵点 ，
∴ ．
根据勾股定理，得 ，
∵ ，
∴ ，
∴ .
根据勾股定理，得 ，
即 ，
解得 ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，∴点 ；
（2）解：如图所示，连接 ，
∵ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ．
在 中， ，
即 ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ 是直角三角形，
即 ，
∴ ．
（3）解：如图所示，延长 交于点T，连接 ， ，
过点A作 于点H，得 ，在 上取点R，使 ，
由（2）得 ， ，
∴ ．∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ．
由（2）得 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ．
∵点E是 的中点，
∴ ．
又 ，
∴ ，
∴ ．
在 中， ，
∴ ．
设 ，则 ，
在 中， ，
∴ ， ．
在 中， ，
即 ，
解得 ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，勾股定理及其逆定理，特殊角的三角函数值，作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
2．定义：若a，b，c是 的三边，且 ，则称 为“方倍三角形”．
(1)对于①等边三角形②直角三角形，下列说法一定正确的是 ．
A．①一定是“方倍三角形” B．②一定是“方倍三角形”
C．①②都一定是“方倍三角形” D．①②都一定不是“方倍三角形”
(2)如图， 中， ， ，P为 边上一点，将 沿直线 进行折叠，点A
落在点D处，连接 ， ．若 为“方倍三角形”，且 ，求 的面积．
【答案】(1)A
(2)
【分析】本题考查了翻折变换、等边三角形的性质，解决本题的关键是掌握等边三角形的性质．
（1）根据“方倍三角形”定义可得，等边三角形一定是“方倍三角形”，直角三角形不一定是“方倍三
角形”进而可以判断；
（2）根据题意可得 ，根据“方倍三角形”定义可得 为等边三角形，从而证明
为等腰直角三角形，可得 ，延长 交 于点 ，根据勾股定理求出 的长，根据
为等腰直角三角形，可得 ，进而可以求 的面积．
【详解】（1）解：对于①等边三角形，三边相等，
设边长为 ，
则 ，
根据“方倍三角形”定义可知：
等边三角形一定是“方倍三角形”；
对于②直角三角形，三边满足关系式：
，
根据“方倍三角形”定义可知：
直角三角形不一定是“方倍三角形”；
故答案为： ；
（2）由题意可知：
，
， ，根据“方倍三角形”定义可知：
，
，
为等边三角形， ，
，
，
，
，
，
， ，
，
，
为等腰直角三角形，
，
，
延长 交 于点 ，如图，
，
， ，
，
，
，
为等腰直角三角形，
，
．
3．【问题初探】勾股定理神奇而美妙，它的证法多种多样，在学习了教材中介绍的拼图证法以后，小华
突发灵感，给出了如图①的拼图：两个全等的直角三角板 和直角三角板 ，顶点F在 边上，
顶点C、D重合，连接 ．设 交于点G． ， ，， ．请你回答以下问题：
（1） 与 的位置关系为______．
（2）填空： ______（用含c的代数式表示）．
（3）请尝试利用此图形证明勾股定理．
【问题再探】平移直角三角板 ，使得顶点B、D重合，这就是大家熟悉的“K型图”，如图②，此时
三角形 是一个等腰直角三角形．
请你利用以上信息解决以下问题：
已知直线 及点P，作等腰直角 ，使得点A、B分别在直线a、b上且 ．（尺规作图，
保留作图痕迹）
【问题拓展】请你利用以上信息解决以下问题：
已知 中， ， ， ，则 的面积 ______．
【答案】问题初探：（1） ；（2） ；（3）见解析；问题再探：见解析；问题拓展：9
【分析】本题是四边形的综合题，考查了勾股定理的证明，三角形的面积的计算，全等三角形的性质．
问题初探：（1）根据全等三角形的性质得到 ，求得 ，得到
，根据垂直的定义得到 ；
（2）根据三角形的面积公式即可得到结论；
（3）根据三角形的面积和梯形的面积公式用两种方法求得四边形 的面积，于是得到结论．问题再探：如图，过点P作 直线 于点F交直线a于点E，截取 ， ，连接
即可；
问题拓展：过点B作 交 延长线于点E，过点C作 于点D，证明
，得 ，根据勾股定理得
，然后代入三角形面积公式即可解决问题．
【详解】解：问题初探：（1） ；
证明： ，
，
，
，
，
，
，
故答案为： ；,
（2）∵ ，
，
故答案为： ；,
（3）证明：∵四边形 的面积
，
∴四边形 的面积，
∴ ，
即 ．
问题再探：解：如图， 即为所求；
问题拓展：解：如图，过点B作 交 延长线于点E，过点C作 于点D，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
在 和 中，，
，
，
，
，
，
，
，
的面积
．
故答案为：9．
