文档内容
20.2（第 1 课时）勾股定理的逆定理（解析版）
目 录
类型一、判断三边能否构成直角三角形..................................................................................................................1
类型二、网格问题....................................................................................................................................................11
类型三、利用勾股定理逆定理求解........................................................................................................................23
类型一、判断三边能否构成直角三角形
1．下列各组数中，能作为直角三角形的三边长的是（ ）
A． B． C． 、 、 D．
【答案】C
【分析】本题考查直角三角形的判定，熟记勾股定理的逆定理是解决问题的关键．
根据勾股定理的逆定理，若三角形两边的平方和等于第三边的平方，则该三角形为直角三角形，结合四个
选项所给边长，逐一验证所给数中两个较小数的平方和是否等于最大数的平方即可得到答案．
【详解】解：A、由 ，可知 不能作为直角三角形的三边长，选项不符合题意；
B、由 ，可知 不能作为直角三角形的三边长，选项不符合题意；
C、由 ，可知 、 、 能作为直角三角形的三边长，选项符合题意；
D、由 ，可知 不能作为直角三角形的三边长，选项不符合题意；
故选：C．
2． 中， ， ， 的对边分别记为 ， ， ，由下列条件能判定 为直角三角形的是
（ ）
A． ， ， B． ， ，
C． ， ， D． ， ，
【答案】A
【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理，若三角形三边满足两边的平方和等于最长边的平方，则该三角
形为直角三角形，准确分析判断是解题的关键．
根据勾股定理逆定理，分别计算各选项中最长边的平方与其他两边平方和是否相等．
【详解】解：由已知可得 ， ， ，最长边是 ，
， ，
， 是直角三角形，故 符合题意；
由已知可得 ， ， ，最长边为 ，
， ，， 不是直角三角形，故 不符合题意；
由已知可得 ， ， ，最长边为 ，
， ，
， 不是直角三角形，故 不符合题意；
由已知可得 ， ， ，最长边为 ，
， ，
， 不是直角三角形，故 不符合题意；
故选 ．
3．满足下列条件的 ，不是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理和勾股定理逆定理，根据三角形内角和定理和勾股定理逆定理，
判断各选项是否表示直角三角形即可．
【详解】A、设 ， ， ，则 ， ， ，
不是直角三角形，符合题意；
B、 ， ， ，是直角三角形，不符合
题意；
C、 ，且 ， ， ，是直角三角形，不符合题意；
D、 ， ，是直角三角形，不符合题意．
故选：A．
4．以下列各数为边长，能构成直角三角形的是（ ）
A．1，2，3 B．1，2， C． ，4，7 D．9，12，20
【答案】B
【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理，三角形的三边关系，熟知如果三角形的三边长 ， ， 满足
，其中c为最长边，那么这个三角形就是直角三角形是解题的关键，根据勾股定理的逆定理进
行解答即可．
【详解】解：A、 ， 不能构成三角形，故此选项不符合题意；
B、 ， 能构成直角三角形，故此选项符合题意；
C、 ， 不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
D、 ， 不能构成直角三角形，故此选项不符合题意，
故选：B．5．下列各组数中，不能组成直角三角形的是（ ）
A．3，4，5 B．9，12，13 C．1， ， D．8，15，17
【答案】B
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，判断三边是否能组成直角三角形，需验证最长边的平方是否等于
另两边的平方和，据此进行分析，即可作答．
【详解】解：A、 ，则能组成直角三角形，故该选项不符合题意；
B、 ，则不能组成直角三角形，故该选项符合题意；
C、 ，则能组成直角三角形，故该选项不符合题意；
D、 ，则能组成直角三角形，故该选项不符合题意；
故选：B．
6．若 的三边长分别是a、b、c，满足下列条件的 不是直角三角形的是（ ）
A． ， ， B． ， ，
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理、三角形的内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题关键．
根据勾股定理的逆定理、三角形的内角和定理逐项判断即可得．
【详解】解：A、∵ ， ， ，
∴ ，
∴ 是直角三角形，此项不符合题意；
B、∵ ， ， ，
∴ ，
∴ 是直角三角形，此项不符合题意；
C、∵ ，
∴设 ，则 ，
∴ ，
∴ 是直角三角形，此项不符合题意；
D、∵ ，
∴最大角 ，
∴ 不是直角三角形，此项符合题意；
故选：D．
7．下列选项中，正确的是（ ）A．在 中，已知两边长分别为6和8，则第三边的长为10
B．若三角形的三边之比为 ，则该三角形是直角三角形
C． 的三边分别为 ，若 ，则 是直角
D．在 中，若 ，则 是直角三角形
【答案】B
【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，以及三角形内角和定理；根据各选项条件逐一判断即可.
【详解】解：对于A：∵在 中，两边长分别为6和8，∴已知的两边6和8可能是两条直角边，或一
条直角边和斜边，∴第三边不一定为10，故A错误；
对于B：设三边为 ，∴满足勾股定理逆定理，该三角形是直角三角形，故B正确；
对于C：∵ ，∴由勾股定理逆定理， （ 对 ），而非 ，故C错误；
对于D：设 ，则 ∴ ，
故不是直角三角形，D错误；
故选：B.
8．若 的三边 、 、 满足 ，则 形状为（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等边三角形 D．等腰三角形或直角三角形
【答案】D
【分析】本题考查因式分解、等腰三角形的判定、勾股定理逆定理的应用，解题的关键是通过代数变形得
到边的关系．
通过因式分解将方程化为 ，结合三角形边长为正，得出 或者 ，
从而判断形状．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 或者 ，
∴ 为等腰三角形或直角三角形
故选：D．
9．下列各组数中，能构成直角三角形的一组是（）
A．1，2，3 B．1，1， C．2，3，4 D．7，5，
【答案】B
【分析】本题考查勾股定理的逆定理，掌握相关知识是解决问题的关键．根据勾股定理的逆定理，判断各
组数是否满足两边平方和等于第三边平方．【详解】解：A： ，故不能构成直角三角形；
B： ，故能构成直角三角形；
C： ，故不能构成直角三角形；
D： ，故不能构成直角三角形．
故选：
10．下列各组线段中，不能构成直角三角形的一组是（ ）
A．3，4，5 B．1， ，2 C．6，8，10 D．4，5，6
【答案】D
【分析】本题考查了勾股定理逆定理．
根据勾股定理逆定理，若三角形三边满足 （c为最长边），则该三角形为直角三角形；分别计
算各组线段是否满足此条件．
【详解】解：选项A： ，能构成直角三角形；
选项B： ，能构成直角三角形；
选项C： ，能构成直角三角形；
选项D： ，不能构成直角三角形；
故选：D．
11．若 的三边 满足 ，则 的形状为（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰或直角或等腰直角三角形
【答案】D
【分析】本题考查因式分解、等腰三角形的判定、勾股定理逆定理的应用，解题的关键是通过代数变形得
到边的关系．
通过因式分解将方程化为 ，结合三角形边长为正，得出 或者 ，
从而判断形状．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 或 或 且 ，
∴ 为等腰或直角或等腰直角三角形．
故选：D．
12．下列各组数中，不能作为直角三角形的三边长的是（ ）A．3，4，5 B．10，6，8 C．4，5，6 D．12，13，5
【答案】C
【分析】本题主要考查勾股定理的逆定理：在一个三角形中，两条边的平方和等于另一条边的平方，那么
这个三角形就是直角三角形．掌握并熟练应用勾股定理的逆定理是解题的关键．
先求出两较短边的平方和，再求出最长边的平方，最后看看是否相等即可判断得出结论．
【详解】解：∵ 选项A： ，能作为直角三角形的三边长，故本选项不符合题意；
选项B： ，能作为直角三角形的三边长，故本选项不符合题意；
选项C： ，不能作为直角三角形的三边长，故本选项符合题意；
选项D： ，能作为直角三角形的三边长，故本选项不符合题意；
故选：C
13．下列条件中，不能确定三角形是直角三角形的是（ ）
A．有一边的中线等于这边的一半 B．三个内角之比为
C．三边之比为 D．三边之比为
【答案】D
【分析】本题考查了直角三角形的判定，涉及等边对等角、三角形内角和定理、勾股定理的逆定理等，熟
练掌握相关知识点是解题的关键．
根据直角三角形的判定，逐项分析判断即可得出答案．
【详解】解：A、如图， 中， 是中线且 ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∴有一边的中线等于这边的一半的三角形是直角三角形，故此选项不符合题意；
B、由题意得，最大的内角度数为 ，
则三个内角之比为 的三角形是直角三角形，故此选项不符合题意；
C、由题意，设三边长分别为 ，
∵ ，∴三边之比为 ，可以组成直角三角形，故此选项不符合题意；
D、设三边长分别为 ，
∵ ，
∴三边之比为 ，不可以组成直角三角形，故此选项符合题意；
故选：D．
14．下列各组数中是勾股数的是（ ）
A．0.3，0.4，0.5 B． ， ， C．4，5，6 D．8，15，17
【答案】D
【分析】本题考查勾股数，勾股数需满足两个条件：均为正整数，且两个较小数的平方和等于最大数的平
方；先排除非正整数选项，再验证平方和关系．
【详解】解：A．0.3，0.4，0.5，不是整数，不是勾股数，不符合题意；
B． ，不是整数，不是勾股数，不符合题意；
C． ，不是勾股数，不符合题意；
D． ，因为 ，是勾股数，符合题意
故选：D．
15．以下列各组数为三角形的三条边长： 1.5，2，3； ； ； 9，40，41．其中能
构成直角三角形的有（ ） ① ② ③ ④
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
【答案】B
【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，
使用勾股定理判断每组边长是否能构成直角三角形，即检查两条较短边的平方和是否等于最长边的平方．
【详解】解：①∵ ，∴不能构成直角三角形；
②∵ ，则 ，∴不能构成直角三角形；
③∵ ，∴能构成直角三角形；
④∵ ，∴能构成直角三角形.
∴只有③和④两组能构成直角三角形.
故选：B．
16．下列条件：① ；② ；③ ；④ ；⑤
，其中能确定 是直角三角形的条件有 （填序号）．
【答案】①③④
【分析】本题考查直角三角形的判定，根据三角形内角和定理和勾股定理的逆定理，判断每个条件是否能使三角形有一个角为 或满足两边平方和等于第三边的平方．
【详解】解：①∵ 且 ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是直角三角形，故①符合题意；
②设 ，则 ，
解得 ，
∴ ，
∴ 不是直角三角形，故②不符合题意；
③∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是直角三角形，故③符合题意；
④∵ ，即 ，满足勾股定理的逆定理，
∴ 是直角三角形，故④符合题意；
⑤设 ，则 ， ，
∵ ，
∴
解得 ，
∴ ，
∴ 不是直角三角形．
故能确定 是直角三角形的条件有①③④．
故答案为：①③④．
17．已知 的三边长分别为 ， ， ，则 的面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理逆定理和三角形面积公式，由三边长度，利用勾股定理逆定理得到三角形是
直角三角形，根据直角三角形面积公式求解即可．
【详解】解：设 ， ， ，
， ，
，
所以 是直角三角形，且 为直角边， 为斜边，故 ，
故答案为： ．
18．阅读下列解题过程：已知a，b，c为 的三边，且满足 ，试判断 的形状．
解：
是直角三角形．
问：①上述解题过程是从哪一步开始出现错误的？请写出该步的代号 ；
②错误的原因是 ；
③本题的正确结论是 ．
【答案】 B 没有考虑到 的情况 是直角三角形或等腰三角形
【分析】本题考查因式分解，勾股定理逆定理，先进行因式分解，再分 和 两种情况进
行讨论求解即可．
【详解】解：①错误的是B；
故答案为B；
②错误的原因是没有考虑到 的情况；
故答案为：没有考虑到 的情况；
③当 时， ，此时三角形为直角三角形；
当 时，则 ，
∵a，b，c为 的三边，
∴ ，
∴ ，此时三角形为等腰三角形；
故答案为： 是直角三角形或等腰三角形．
19．在 中， ， ， ，有下列条件：① ；② ；③
；④ ；⑤ ．其中可以判定 为直角三角形的有
个．
【答案】
【分析】根据勾股定理的逆定理，三角形内角和定理进行计算，逐一判断即可解答．本题考查了勾股定理
的逆定理，三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及三角形内角和定理是解题的关键．
【详解】解：① ，
∴ 是直角三角形；
② ，，
，
，
，
∴ 是直角三角形；
③ ， ，
，
∴ 不是直角三角形；
④ ，
设 ， ， ，
， ，
，
∴ 是直角三角形；
⑤ ，
， ，
，
，
解得： ， ， ，
∴ 不是直角三角形；
综上所述，可以判定 为直角三角形的有3个，
故答案为：3．
20．已知a，b，c是 的三边长，且满足关系式 ，则 的形状为
．
【答案】等腰直角三角形
【分析】本题主要考查勾股定理逆定理以及非负数的性质，解题的关键是掌握勾股定理的逆定理—如果三
角形的三边长a、b、c，满足 ，那么这个三角形就是直角三角形．根据题意可得 ，
，进而得到 ， ，根据勾股定理的逆定理可得 的形状．
【详解】解： ，
， ，
， ，
的形状为等腰直角三角形，
故答案为：等腰直角三角形．类型二、网格问题
21．如图，正方形网格的每个小方格边长均为1， 的顶点在格点上，则 的形状为（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法判断
【答案】B
【分析】本题考查了勾股定理与网格问题、勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题关键．
先利用勾股定理求出 ，再根据勾股定理的逆定理即可得．
【详解】解：由图可知， ，
，
，
∴ ，
∴ 是直角三角形，
故选：B．
22．在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，下面的三角形是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键．
先根据勾股定理求出三角形各边的长，再根据勾股定理的逆定理逐一判断即可．
【详解】解：A、三角形的三边长分别为3， ， ，
∵ ，
∴选项A中的三角形不是直角三角形，故不符合题意；
B、三角形的三边长分别为 ， ， ，
∵ ，∴选项B中的三角形不是直角三角形，故不符合题意；
C、三角形的三边长分别为 ， ， ，
∵ ，
∴选项C中的三角形是直角三角形，故符合题意；
D、三角形的三边长分别为 ， ， ，
∵ ，
∴选项D中的三角形不是直角三角形，故不符合题意；
故选：C．
23．在正方形网格中画格点三角形，下列四个三角形，是直角三角形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查勾股定理，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
利用勾股定理、勾股定理的逆定理即可判断．
【详解】解：A．∵ ， ， ，
∴三角形不是直角三角形；
B．∵ ， ， ， ，
∴三角形不是直角三角形；
C．∵ ， ， ， ，
∴三角形是直角三角形；
D．∵ ， ， ， ,
∴三角形不是直角三角形．
故选：C．
24．如图，已知每个小正方形的边长为1，若A，B，C是小正方形的顶点，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．【答案】B
【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，先结合网格以及勾股定理得
，则 ，故 ，又因为 ，所以运用三角形内角和
性质列式计算，即可作答．
【详解】解：观察网格， ，
∵ ，
即 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故选：B．
25．如图，小明家铺的正方形地砖，连接其中的三个顶点 ， ， 构成一个三角形，则这个三角形是
（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．以上都不对
【答案】A
【分析】考查了勾股定理的逆定理，解答此题要用到勾股定理的逆定理：已知三角形 的三边满足
，则三角形 是直角三角形．根据勾股定理求得 各边的长，再利用勾股定理的逆定理
进行判定，从而不难得到其形状．
【详解】解： 设正方形地砖边长为1，
，
，
，
在 中，
， ，
，
是直角三角形．
故选：A
26．如图，每个小正方形的边长为1， ， ， 是小正方形的顶点，则 的度数为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了勾股定理及逆定理，熟悉掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
连接 ，利用勾股定理求出三角形各边的长度，再用逆定理证明 为直角，再通过等腰三角形的性
质运算求解即可．
【详解】解：连接 ，如图所示：
根据勾股定理可得： ， ， ，
∴ ， ，
∴
∴
∵
∴ ，
故选：B．
27．如图，在 的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点A，B，C都在小正方形的顶点上，则
的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了网格与勾股定理，勾股定理的逆定理，等腰三角形的判定与性质，先分别算出
的三边的长度，再运用勾股定理的逆定理得出 是等腰直角三角形，进而得出 的度数，即可作答．
【详解】解：连接 ，如图所示：
依题意，
∵ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
故选：C
28．如图，在 的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上， 为 的中线，
则 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，直角三角形斜边上的中线．先根据勾股定理的逆定理得到
，然后利用直角三角形的斜边上的中线等于写变得一半解题即可．
【详解】解：依题意， ， ， ，
∴ ，
∴ ，
又∵ 为 的中线，
∴ ，
故答案为：B．
29．如图所示，在 的正方形网格中， 的顶点都在格点上，则下列结论错误的是（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理等知识，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解
题的关键．由勾股定理求出 ， ， ，再由勾股定理的逆定理证明 是直
角三角形，且 ，即可得出结论．
【详解】解：由勾股定理得： ， ， ，
故选项A、B不符合题意，选项D符合题意，
， ，
，
是直角三角形，且 ，
故选项C不符合题意；
故选：D
30．如图是一个 的正方形网格，每个小正方形的顶点都是格点， 的顶点都是图中的格点，其
中点 、点 的位置如图所示，则点 可能的位置共有（ ）．
A．10个 B．9个 C．7个 D．6个
【答案】B
【分析】本题考查了网格中判断直角三角形，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
根据网格的特点求得 的长为 ，分 为直角边和斜边两种情况讨论，进而确定 点的位置．
【详解】由于每个小正方形的边长为1，则 ，
如图，①当 为斜边时，
可以作出 ， ， 三个直角三角形
当 为直角边时，
可以作出 ， 两个直角三角形，
将上述三角以 为对称轴翻折，可得出4个直角三角形，
综上所述，一共有9个直角三角形．
故选：B．
31．如图，在边长为1的正方形网格中，点A、B、C均在格点上，则 的度数为 ．
【答案】 / 度
【分析】本题考查勾股定理与网格问题，勾股定理逆定理，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键．
连接 ，利用勾股定理及其逆定理得到 为等腰直角三角形，即可得出结果．
【详解】解：连接 ，
由勾股定理，得 ，
∴ ，
∴ 为等腰直角三角形， ，∴ ．
故答案为： ．
32．如图，每个小正方形的边长都相等，点 ， ， 均在小正方形的顶点上，则 的度数为 ．
【答案】
【分析】本题考查的是勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，利用网格先计算 ，
， ，再进一步解答即可．
【详解】解：设小正方形边长为1，连接 ，
∵ ， ， ，
∴ 且 ，
∴ 是等腰直角三角形， ．
故答案为： ．
33．如图，在 的正方形网格中，点A，B，C都在正方形网格的格点上，则 ．
【答案】 / 度
【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，先用勾股定理分别计算 ， ， 的长，由此即
可判断 是等腰直角三角形即可．
【详解】解：根据勾股定理，得 ，
，
，
∴ ， ，
∴ ， .
故答案为： ．34．如图，网格内每个小正方形的边长都是1个单位长度， ， ， ， 都是格点， 与 相交于点
，则 ．
【答案】135
【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理是逆定理、三角形内角和定理，等腰三角形的性质，过点 作
，连接 ，根据勾股定理分别求出 ，根据勾股定理的逆定理得到 ，根
据平行线的性质、三角形内角和定理计算即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：如图，过点 作 ，连接 ，
由勾股定理得： ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
35．如图，每个小正方形的边长都相等，A，B，C是小正方形的顶点，则 的度数为 ．
【答案】
【分析】本题考查的是勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，先计算 ， ，
，再进一步解答即可．
【详解】解：设小正方形边长为1，连接 ，由勾股定理可得：， ， ，
∴ 且 ，
∴ 是等腰直角三角形， ．
故答案为：
36．如图，在 的正方形网格中， ．
【答案】
【分析】本题考查了网格与勾股定理及其逆定理的运用，等腰三角形的性质，理解网格的特点，掌握勾股
定理逆定理的运用是解题的关键．连接 ，运用勾股定理可得 ，由勾股定理逆
定理得到 是等腰直角三角形， ，由此即可求解．
【详解】解：如图所示，连接 ，
∴ ， ， ， ， ，
∵ ，即 ， ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
37．如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，则 是 三角形（填直角、锐角或钝角）．【答案】直角
【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理和勾股定理，利用勾股定理得到 ，再根据三
角形中，若两较小边的平方和等于最大边的平方，那么这个三角形是直角三角形即可得到答案．
【详解】解：由网格的特点和勾股定理得 ， ， ，
∴ ，
∴ 是直角三角形，
故答案为：直角．
38．如图，方格中的点A，B称为格点（格线的交点），以 为一边画 ，其中是直角三角形的格点
C的个数为 ．
【答案】4
【分析】此题主要考查了勾股定理逆定理，关键是正确作出图形，不要漏掉任何一种情况．
【详解】解：如图所示， 即为所求，
∴以 为一边画 ，其中是直角三角形的格点C的个数为4，
故答案为：4．
39．如图是由小正方形组成的 网格，每个小正方形的顶点叫做格点， 和 的顶点都是格点，
则 的度数为 ．【答案】 /45度
【分析】连接 ， ，先利用 证明 ，从而可得 ，然后利用勾股定理
的逆定理证明 是直角三角形，从而可得 ，再根据 ，从而可得
，最后利用角的和差关系以及等量代换，即可解答．
【详解】解：如图：连接 ， ，
在 和 中，
，
，
，
由题意得： ，
，
，
，
是直角三角形，
，
，
，
，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，勾股定理的逆定理，根据题目的已知条件并结
合图形添加适当的辅助线是解题的关键．40．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中， 的顶点A，B，C恰好在格点（网格线的交点）上，
则 的周长为 面积为 ．
【答案】 5
【分析】首先根据勾股定理求得 的长度，然后由勾股定理的逆定理判定 是直角三角形，
然后根据三角形的周长、面积公式即可解答．
【详解】解：如图， ，
∴ ．
∴ 是直角三角形且 ．
∴ 的周长为 ，面积为 ．
故答案是： ；5．
【点睛】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，用勾股定理的逆定理判定直角三角形是解题的关键．
类型三、利用勾股定理逆定理求解
41．如图，四边形 中， ．则四边形 的面积是（ ）
A．72 B．66 C．42 D．36
【答案】D
【分析】本题考查勾股定理及直角三角形面积计算，解题的关键是通过连接对角线将四边形分割为两个直
角三角形，利用勾股定理及其逆定理分析三角形形状．
连接 ，先在 中用勾股定理求 ；再通过勾股定理逆定理判断 为直角三角形；最后分
别计算两个直角三角形的面积并求和，得到四边形面积．
【详解】解：连接 ，如图：在 中，
，
，
，
在 中，
，
，
，
∴ 是直角三角形，
，
∴四边形 的面积为 ．
42．在 中， 的对边分别是a，b，c，且 则（ ）
A． B．
C． D． 不是直角三角形
【答案】A
【分析】本题主要考查勾股定理逆定理的运用，理解题意，掌握勾股定理的逆定理的计算是关键．
将给定等式变形后，应用勾股定理的逆定理判断直角．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
由勾股定理的逆定理， 表示边 所对的角为直角，即 ，
故选：A．
43．在 中， ，P为边 上一动点， 于E， 于F，则 的
最小值为（ ）A． B． C．2 D．3
【答案】B
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，本题综合运用了勾股定理的逆定理、矩形的判定及性质、根据矩
形的性质得到 是解题的关键．连接 ，先根据勾股定理逆定理可得 ，可得到四边形
是矩形，从而得到 ，进而得到当 的值最小时， 值最小，即 的最小值为直角三角
形 斜边上的高，再根据三角形的面积公式计算，即可求解．
【详解】解：连接 ，
∵在 中， ，
∴ ，
即 ．
又∵ ，
∴ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
∴当 的值最小时， 值最小，
∵当 为直角 斜边上的高时， 的值最小，
∴ 的最小值即为直角 斜边上的高，
设直角 斜边上的高为h，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
∴ 的最小值为 ，
故选：B．
44．如图，在 中，对角线 ， 相交于点O， 过点O，交 于点F，交 于点E．若
， ， ，则图中阴影部分的面积是（ ）A．12 B．6 C．3 D．1.5
【答案】C
【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理等．证明
，可得 ，再根据勾股定理的逆定理证明 是直角三角形，
据此即可解决问题．
【详解】解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：C．
45．小智用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先将活动学具制成为如图①所示的菱形，
并测得 ，接着将活动学具制成为如图②所示的正方形，并测得图②中的对角线 ，则
图①中的对角线 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了正方形的性质、菱形的性质、勾股定理、含 角的直角三角形的性质，在正方形中，
连接 ，由正方形的性质得出 ，在菱形中连接 、 交于点 ，利用菱形的性质、勾股定理、含 角的直角三角形的性质，勾股定理求出 ，即可得出答案．
【详解】解：如图，连接 ，
，
∵四边形 为正方形， ，
∴ ，
如图，连接 、 交于点 ，
，
∵四边形 是菱形， ， ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：C．
46．如图，在 中， 的平分线 交 于点 ，点 ， 分别为线段
，边 上的动点．则 的最小值为（ ）
A．2 B．2.4 C．2.5 D．2.6
【答案】B
【分析】本题考查了勾股定理逆定理，角平分线的性质定理，垂线段最短，轴对称的性质，熟练掌握知识
点，利用轴对称性质求解最值问题是解题的关键．
先由勾股定理逆定理得到 ，作 交 于点 ，根据角平分线性质定理得到 ，再
由等面积法求出 ，作点 关于 的对称点 ，则在点 在 上，则 ，过点 作
交 于点H，那么 ，故当点 、 、 三点共线且点 与点 重合时，
最小， 为最小值，再由等面积法即可求解．【详解】解：∵
，
是直角三角形， ，
作 交 于点 ，
，
又 是 的平分线，
．
，
即 ，
，
是 的平分线，点 为 上动点，作点 关于 的对称点 ，则在点 在 上，
．
过点 作 交 于点H，
∴
当点 、 、 三点共线且点 与点 重合时， 最小， 为最小值．
由（1）可知， 是直角三角形，
，
解得： ．
故选：B．
47．如图，一块三角形木板，测得 ， ， ，则三角形木板 的面积为（ ）A．15 B．24 C．30 D．不能确定
【答案】B
【分析】本题考查勾股定理逆定理的应用，根据勾股定理的逆定理，得 为直角三角形，故可求出面
积．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
即 是直角三角形，
∴ ，
故选：B．
48．已知：如图，在 中， 于点D， ，下列结论中，正确的是
（ ）
①当 时，则 ．
②当 时，则 ．
③当 时，则 ．
④当 时，则 ．
A．①② B．①②④ C．①③④ D．①②③④
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理以及逆定理，以及三角形的面积，掌握勾股定理是解题的关键．
利用勾股定理和勾股定理逆定理，以及等面积法得到 进行求解．
【详解】解：①当 时，则 ，正确，故①符合题意；
②当 时， ，则 ，
∵ ， ，
不成立，故②不符合题意，④符合题意；③∵ 于点D， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故④正确，符合题意，
∴正确的有①③④，
故选：C．
49．已知A，B，C三地的位置及两两之间的距离如图所示．若D地位于A，C两地的中点处，则B，D两
地之间的距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，根据勾股定理得出 是直角三角形是解题的关键．根据勾股
定理得出 是直角三角形，再利用直角三角形的性质解答即可．
【详解】解： ， ，
，
是直角三角形，
地位于 、 两地的中点处，
，
故选：C
50．在 中， ， ， ，则 的面积为（ ）
A．15 B．30 C．60 D．78
【答案】B
【分析】此题考查了勾股定理逆定理的应用．根据 ， ， ，证明 是直角三角形，
根据三角形面积公式计算即可．
【详解】解： ， ， ，
， ， ，
，，
为直角三角形，
，
故选：B．
51．如图， ，则阴影部分的面积（ ）
A．12 B．16 C．20 D．24
【答案】D
【分析】此题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理，利用勾股定理逆定理判断出 为直角三角形是解
题的关键．先利用勾股定理求出 ，再利用勾股定理的逆定理判断出 是直角三角形，然后分别求
出两个三角形的面积，相减即可求出阴影部分的面积．
【详解】解： ， ，
， ，
， ，
，
为直角三角形， ，
，
阴影部分的面积为 ．
故选：D．
52．如图，在 中，对角线 相交于点 ， ，则 的面积
是（ ）
A．12 B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查求平行四边形面积，涉及平行四边形的性质、勾股定理的逆定理等知识，先由平行四边形性质得到 , ，进而在 中，由勾股定理的逆定理确定 是直角三角形，且
，即 ，再由平行四边形的面积公式代值求解即可得到答案，熟记平行四边形性质及
勾股定理的逆定理是解决问题的关键．
【详解】解：在 中，对角线 相交于点 ， ，
， ，
在 中， ， , ，则 ， , ，即 ，
是直角三角形，且 ，即 ，
，
故选：C．
53．如图， ， 分别是 和 中垂线， ， 分别交 于点 ， ．若 ， ，
，则△ 的面积为 ．
【答案】24
【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，三角形的面积，勾股定理的逆定理，关键是由线段垂直平分线
的性质推出 ， ，由勾股定理的逆定理推出 ．连接 ， ，由线段垂直平
分线的性质推出 ， ，由勾股定理的逆定理得到 ，求出 ，即
可求出△ 的面积 ．
【详解】解：连接 ， ，
， 分别是 和 中垂线，
， ，
，
，
，
，
，△ 的面积 ．
故答案为：24．
54．已知三角形的三边长为 、 、 ，如果 ，则 的面积为
．
【答案】30
【分析】本题考查了非负数的性质，勾股定理的逆定理．
根据非负数的性质，求出 、 、 的值，再根据勾股定理的逆定理判断三角形为直角三角形，并计算面积，
即可求解．
【详解】解：因为 ，且 ， ， ，
所以 ， ， ，
解得 ， ， ．
因为 ， ，
所以 ，
因此 是以 为斜边的直角三角形．
直角边为 和 ，面积 ．
故答案为：30．
55．如图，在四边形 中， ，若 ，则 的度数为 ．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理以及勾股逆定理，三角形内角和性质，等边对等角，先结合 ，
得 ， ，又因为 ，故 ，所以
，即可计算出 的度数，即可作答．
【详解】解：连接 ，如图所示：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
则
即 ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：
56．如果 的三边长分别是 ，则这个三角形中最大的内角的度数是 ．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键．
根据勾股定理的逆定理，判断三角形是否为直角三角形，即可求解．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，满足勾股定理的逆定理，
∴ 是直角三角形，
∴最大内角为 ．
故答案为： ．
57． 中，O是两内角平分线的交点， ，O到 的距离是 ．
【答案】
【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理、角平分线的性质，连接 ，过点O作 于D，
于E， 于F，根据勾股定理的逆定理得到 ，根据角平分线的性质得到
，再根据三角形面积公式计算即可．【详解】解：如图，连接 ，过点O作 于D， 于E， 于F，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵O是两内角平分线的交点， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
则O到 的距离是2，
故答案为：2．
58．如图， 中， ，垂足为D，E为 边的中点， ， ， ，则
．
【答案】 /30度
【分析】先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出 ，再利用勾股定理的逆定理
得出 ，从而由三角形的面积求得 ，从而可证明 是等边三角形，得
，即可由 求解．
【详解】解：∵ ，E为 边的中点， ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，∴ 是直角三角形，且 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了直角三角形的性质，勾股定理的逆定理，等边三角形的判定与性质，三角形的面积，证明
是直角三角形是解题的关键．
59．如图所示，在 中， ，且周长为 ，点P从点A开始沿 边向B点以每
秒 的速度移动；点Q从点B沿 边向点C以每秒 的速度移动（Q运动到点C停止），如果同时出
发，则过7秒时，点B到 的距离为 ．
【答案】 /
【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，以及等积法求线段的长．通过勾股定理逆定理得到 是直角
三角形，是解题的关键．
先求出的长 ， ， 利用勾股定理逆定理得到 ，根据题意，求出 ， 的长，勾股定理求
出 的长，利用等积法进行求解即可．
【详解】解：设 ，则 ， ，
∵周长为 ，
∴ ，
解得： ，
∴ ， ， ，
过7秒时， ， ，
∴ ，Q运动到C点停止运动，即 ，
连接 ，过B作 ，交 于点D，∵ ，即 ，
∴ 是直角三角形， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ = ．
60．如图，在 中，点D为 边上的中点， ， ， ，则 边上的高
的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足 ，那么这个
三角形就是直角三角形是解答此题的关键．
先根据勾股定理的逆定理判断出 的形状，再根据点D为 边上的中点即可得出 是等腰三角
形，故可得出 的长；再根据三角形的面积公式即可得出结论．
【详解】解：∵点D为 边上的中点， ，
∴ ，
∵ 中， ， ，
∴ ，
∴ 是直角三角形，即 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
故答案为： ．
61．如图，在 中，D为边 上的一点， ．
(1)请说明 ．
(2)求 的面积．
【答案】(1)说明见解析
(2) 的面积为84
【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，求三角形的面积，
对于（1），根据 ，可知 为直角三角形，即可得出答案；
对于（2），先根据勾股定理求出 ，即可得出 ，然后根据 的面积 得出答案．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，
即 ，
∴ 为直角三角形，
∴ ；
（2）解：∵ 为直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的面积 ．
62．已知 、 、 是一个三角形的三边长，如果满足 ，求这个三角形的面积．
【答案】
【分析】本题考查了非负数的性质，勾股定理的逆定理．根据非负数的性质，平方、绝对值和平方根均为
非负数，它们的和为零则每项均为零，由此求出 、 、 的值；再根据勾股定理的逆定理判断三角形为直
角三角形，并计算面积．
【详解】解： ， ， ，且 ，， ， ，
， ， ，
， ，
，
该三角形是直角三角形，且两直角边为 和 ，
这个三角形的面积 ．
63．如图， ， ， ， ， ，请你连接 ．求：
(1) 的长；
(2)四边形 的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了勾股定理与逆定理，根据勾股定理的逆定理判定 是直角三角形是解题的关键．
（1）根据勾股定理得出 即可；
（2）先根据勾股定理的逆定理得出 是直角三角形，再根据三角形的面积公式解答即可．
【详解】（1）解：如图，
， ， ，
；
（2）解： ， ，
，
是直角三角形，
，
在 中， ，
在 中， ，．
64．如图，在四边形 中， ， ， ， ，且 ．求四边形 的
面积．
【答案】18.5
【分析】本题主要考查勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键；连接 ，由
题意易得 ，然后可得 ，则有 是直角三角形，即
，进而问题可求解．
【详解】解：连接 ，如图所示：
∵ ， ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ 是直角三角形，即 ，
∴ ．
65．定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形．
(1)如图1，在 中， ， 垂直平分 交 于点 ，垂足为 ，且 ， ， 为上一点，求证：四边形 是邻余四边形；
(2)如图2，在邻余四边形 中，（ 和 均为钝角）， 为 的中点， ，
， 时，求 的长．
【答案】(1)见详解
(2)
【分析】（1）先结合垂直平分线的性质，得 ，再结合 ， ，运用勾股逆定理得
是直角三角形，则根据直角三角形的两个锐角互余，得 是直角三角形，即可作答．
（2）先理解题意，运用倍长中线法证明 ，根据邻余四边形的定义，得出 ，
根据勾股定理，得 ，又因为 ，证明 ，即可作答．
【详解】（1）证明：连接 ，如图所示：
∵ 垂直平分 交 于点 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是邻余四边形；
（2）解：延长 至 点，使得 ，连接∵ 为 的中点，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∵四边形 是邻余四边形，且 和 均为钝角，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，勾股逆定理，新定义，垂直平分线的性质，直
角三角形的两个锐角互余，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
66．如图，在四边形 中，已知， ， ， ， ，点 为 的中点．
(1)求四边形 的面积；
(2)若 ，求 的长．
【答案】(1)4
(2)
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理的应用，能正确作辅助
线是解此题的关键．
（1）延长 交 的延长线于F，证明 ，将四边形 的面积转化为三角形
的面积来解答；
（2）连接 ，由垂直平分线的性质得到 ，设 ，根据勾股定理列方程可解答．【详解】（1）解：如图1，延长 交 的延长线于F，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 中， ， ， ，
，
是直角三角形， ，
∴
；
（2）如图2，连接 ，
∵ ，
∴ ，
设 ，则 ，
在 中，由勾股定理得： ，
，解得： ，
∴ ．
67．如图，把一块直角三角形 （其中 ）土地划出一个三角形 后，测得 米，
米， 米， 米．判断 的形状，并说明理由．
【答案】 是直角三角形，理由见解析
【分析】本题考查了勾股定理的应用以及勾股定理的逆定理，先由勾股定理求出 米，再由勾股定理
的逆定理证出 即可．
【详解】解： 是直角三角形，理由如下：
因为 ，
所以 ，
，
又因为 ，
所以 ，
所以 是直角三角形．
68．如图，一张三角形纸片 ，已知， ， ， ，将该纸片折叠，若折叠后点 与点
重合，折痕 与边 交于点 ，与边 交于点 ．
(1)求 的面积．
(2)求折痕 的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查的是勾股定理以及勾股定理逆定理，勾股定理与折叠问题，熟知折叠的性质是解答此题
的关键．
（ ）先根据勾股定理逆定理，判断 为直角三角形，然后根据三角形的面积公式解答即可；
（ ）连接 ，根据折叠的性质可知， ， ，设 ，则 ，在中利用勾股定理即可求出 的长，同理，在 中利用勾股定理即可求出 的长．
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：连接 ，设 ，
∵折叠后点 与点 重合，折痕 与边 交于点 ，与边 交于点 ．
∴ ， ，
∴ ，
设 ，则 ，
在 中， ，
即 ，
解得， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
69．如图，在四边形 中， ， ， ， ．连接 ．
(1)求 的长度；(2)求 的度数．
【答案】(1)2
(2)
【分析】本题考查勾股定理，勾股定理逆定理，等腰直角三角形性质，角度计算等．
（1）根据题意利用勾股定理即可得到本题答案；
（2）根据题意利用勾股定理逆定理可得 ，继而得到本题答案．
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴ ；
（2）解：∵ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ 为直角三角形，即 ，
∵ ， ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ．
70．如图，在 中，作 的垂直平分线，交 于点E，交 于点
(1)当 ， 时，求点E到点C之间的最短距离；
(2)若 时，试说明：
【答案】(1)10
(2)见解析
【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质、勾股定理的逆定理，熟记如果三角形的三边长a，b，c满
足 ，那么这个三角形就是直角三角形是解题的关键．
（1）连接EC，根据线段垂直平分线的性质得到 ，再根据勾股定理计算即可；
（2）根据勾股定理的逆定理证明．
【详解】（1）解：如图，连接 ，是 的垂直平分线，
，
由勾股定理得： ，
，
点E到点C之间的最短距离为10；
（2）证明： ，
，
，
，
∴
71．五根小木棒的长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，下列图形正确的是（
）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用．欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两
小边的平方和等于最长边的平方即可．
【详解】解：A． ， ，故A不正确；
B． ， ，故B正确；
C． ， ，故C不正确；
D． ， ，故D不正确．
故选：B．
72．如图，在 中， ， P为 上一动点， 于点G， 于点
H，M是 的中点，点P在运动过程中，当 为最小值时，四边形 周长为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先根据勾股定理逆定理，得到 ，易得四边形 是矩形，得到 ，当
时， 的值最小，即 的值最小，进行求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ 是直角三角形， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴四边形 是矩形，
连接 ，则， 相等且平分，
∵M是 的中点，
∴点M在 上，且 ，
∴当 的值最小时， 的值最小，
∵垂线段最短，
∴ 时， 的值最小，如图：
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 的周长为：
故选：D．
【点睛】本题考查勾股定理逆定理，矩形的判定和性质．熟练掌握勾股定理逆定理，证明四边形为矩形，
是解题的关键．
73．如图，在三角形 ， ， ， 是 上中点， 是射线 上一点． 是
上一点，连接 ， ， ，点 在 上，连接 ， ， ，
，则 的长为（ ）
A． B． C． D．9
【答案】D
【分析】延长 到K，使得 ，连接 ，先由勾股定理的逆定理可以得到 是等腰直角三角
形， ， ，由 ，得到 ，设 ，则
，然后证明 ，得到 ， ，则
， 即可证明 ，推出
；设 ，证明 ，得到
， ，即可推出
，得到 ，则 ，由此即可得到答案．
【详解】解：延长 到K，使得 ，连接 ，∵在三角形 ， ，且 ，
∴ 是等腰直角三角形， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
设 ，则 ，
∵H是 上中点， 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ 是线段 的垂直平分线，
∵F是射线 上一点，
∴ ，
∴ ，
∵
∴
∴ ，
∵
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
∴ ，设 ，
∵ ， ， ，
∴
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性
质与判定，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理等等，熟知相关知识是解题的关键．
74．如图，在等腰直角三角形 中， ，O是 内一点， ， ， ，
为 外一点，且 ，则四边形 的面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查了全等三角形的性质，勾股定理与逆定理，根据全等三角形的性质得出 ，
， ，根据等式的性质得出 ，在 中，根据勾
股定理求出 ，在 中，根据勾股定理的逆定理得出 ，然后根据
求解即可．
【详解】解：连接 ．，
， ， ，
，即 ，
在 中， ，
， ， ，
，
，
．
故答案为： ．
75．如图， 和 都是等腰直角三角形， ， ， ．
(1)求证： ；
(2)若 ， ， ，求 的度数；
(3)在（ ）的条件下，求 的面积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（ ）由 得 ，进而由 即可求证；
（ ）由全等三角形的性质得 ，由勾股定理得 ，进而由勾股定理的逆
定理得 是直角三角形， ，据此即可求解；
（ ）延长 到 ，使 ，连接 ，可得 为等腰直角三角形，即得
，得到 三点共线，同理（ ）可证 ，得 ，，即得 ，利用勾股定理求得 ，得到
，进而得到 ，即得 ，据此即可求解；
本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理及其逆定理，正确作出辅
助线是解题的关键．
【详解】（1）解：∵
∴ ，
即 ，
∵ ， ，
∴ ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∵ ， 是等腰直角三角形，
∴ ， ，
在 中， ， ，
∴ ，
∴ 是直角三角形， ，
∴ ；
（3）解：延长 到 ，使 ，连接 ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 三点共线，
同理（ ）可证 ，
∴ ， ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
1．如图， 中， ， ，垂足为 ，在下列说法中：
① 为长度的线段首尾相连能够组成一个三角形；
② 为长度的线段首尾相连能够组成一个三角形；
③以 为长度的线段首尾相连能够组成一个直角三角形；
④ ， ， 为长度的线段首尾相连能够组成一个直角三角形；
其中正确的说法有 ．（填写正确说法的序号）
【答案】②③④
【分析】本题考查理勾股定理及其逆定理，根据勾股定理可得 ，再根据勾股定理的逆定
理逐项判断即可求解，掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∴
∴以 为长度的线段首尾相连不能够组成一个三角形，故①错误；∵ ，
∴ ，
∴以 为长度的线段首尾相连能够组成一个三角形，故②正确；
， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴以 为长度的线段首尾相连能够组成一个直角三角形，故③正确；
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴以 ， ， 为长度的线段首尾相连能够组成一个直角三角形，故④正确；
综上，正确的说法有②③④，
故答案为：②③④．
2．如图，在 中， ， ， ， ， ， 都是等边三角形，下列结论
中：① ；②四边形 是平行四边形；③ ；④ ．正确的是
（填序号）．
【答案】①②③④
【分析】由 ，得出 ，故①正确；再由 证得 ，得
，同理得 ，则四边形 是平行四边形，故②正确；然后由平行四边形
的性质得 ，则③正确；最后求出 ，故④正确；即可得出答案．【详解】解： ， ， ， ，
，
是直角三角形， ，
，故①正确；
， 都是等边三角形，
， ，
，
和 都是等边三角形，
， ， ，
，
在 与 中，
，
，
，
∴ ，
同理可证： ，
∴四边形 是平行四边形，
故②正确；
，
故③正确；
过A作 于G，如图所示：
则 ，
∵四边形 是平行四边形，
，
，
∴ ，
故④正确；
∴正确的是①②③④，故答案为：①②③④．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理的逆定理、全等三角形的判定与性质、等边三角
形的性质、含 角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明
是解题的关键．
1．如图，已知在 中， ， ， ，动点 从点 出发，沿着 的三条
边逆时针走一圈回到 点，速度为 ，设运动时间为 秒．
(1)求 边上的高；
(2) 为何值时， 为等腰三角形？
(3)另有一点 ，从点 开始，按顺时针走一圈回到 点，且速度为每秒 ，若 两点同时出发，当
中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当 为何值时，直线 把 的周长分成相等的两部
分？
【答案】(1)
(2)当 秒或6秒或 秒或 秒时， 为等腰三角形
(3)t的值为4秒或12秒时，直线 把 的周长分成相等的两部分．
【分析】（1）根据勾股定理的逆定理判断 是直角三角形，根据三角形的面积公式计算 的长；
（2）分情况讨论：①动点 在边 上时，有一种情况；②动点 在边 上时，有三种情况；③动点
在边 上时，不能构成三角形；
（3）分情况讨论：根据点P在 边上讨论，根据周长平分进行列方程可得结论．
【详解】（1）解：∵已知在 中， ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是直角三角形，
如图1，过C作 于D，
∴
∴
∴
则 边上的高是 ；
（2）解：①当点P在 上，如图2，
当 时，
∵
∴ ，
∵动点 从点 出发，沿着 的三条边逆时针走一圈回到 点，速度为 ，设运动时间为 秒．
则 ，
②当点P在 上，如图3， 时，过C作 于D，
在 中，
∵ ， 为 边上的高，
∴ ，
则 ，
解得 ，当 时， ，
解得 ，
当 时，
如图4，作 于H，
则 ， ，
∴
∵ ，
∴ ，
∵
∴
∴
∵
∴
∴ ，
解得 ，
故当 秒或6秒或6.5秒或5.4秒时， 为等腰三角形；
（3）解：如图5，当 时，P在 上，Q在 上，
由题意得： ，
则 ，
解得 ；
如图6，当 时，P在 上，Q在 上，由题意得： ， ，
则 ，
解得 ，不符合题意；
当 时，P、Q在 上，
直线 与 重合，直线 不可能把 的周长分成相等的两部分；
如图7，当 时，P在 上，Q在 上，
由题意得： ，
则 ，
，
解得 ，
综上，t的值为4秒或12秒．
【点睛】本题是三角形的综合题，考查的是等腰三角形的判定和性质、勾股定理的应用、三角形的周长和
几何动点问题，掌握等腰三角形的判定定理和性质定理、分类讨论的思想和数形结合的思想是解题的关键．
2．如图，已知 中， ，
(1) ______ 填“是”或“不是” 直角三角形，如图1，过点A作 于点H，则线段 的长度为______；
(2)如图2，以A为直角顶点，作等腰直角 ， ，点B，D，E在同一条直线上，连接 ，
请求出 线段长，并说明 与 的位置关系；
(3)在同一平面内有一点P，满足 ，且 ，设点A到直线 的距离为h，请直接写出h的值．
【答案】(1)是
(2) ，
(3)
【分析】本题主要考查了勾股定理及逆定理、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等
内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．
（1）根据勾股逆定理即可判断出 是等腰直角三角形，进而由三线合一可知 ，再根据
是等腰直角三角形，即可得解；
（2）由（1）思路过A作 于点L，易得 ，再证 ，即可得 ，
，据此求解；
（3）由（2）思路可构造手拉手全等，并利用等腰直角三角形斜边的高等于斜边的一半得解．
【详解】（1）解： ，
，
是等腰直角三角形，
，
，
， 是等腰直角三角形，
；
故答案为：是， ；
（2） ，
，
过A作 于点L，
则 ，在 中， ，
，
由题可知 ，
，
在 和 中，
，
∴ ，
， ，
记 交点为O，
则 ，
，
；
（3）在 中， ，
当点P在 下方时，如图，
连接 ，将 逆时针旋转 得到线段 ，连接 ，
则 ，
，
在 和 中，
，
，
， ，
在四边形 中， ，
，
，、C、G三点共线，
为等腰直角三角形，
过A作 于点H，则 ，
即h的值为 ；
当点P在 上方时，如图，
同理可得 ，
，
；
综上，h的值为
3．如图1，已知平行四边形 中， 于 于 相交于点 ．
(1)求证： ；
(2)如图2，连接 ，求证： ；
(3)如图3，若 ，且以 、 、 为边构成的三角形的面积为10，此时平行四边形 的面
积为 ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)35
【分析】（1）根据题意可知 是等腰直角三角形，得 ，再利用直角三角形两锐角互余可证
，进而可证 ，得 ，结合平行四边形的性质即可证得结论；
（2）过点 作 ，交 于 ，可知 ， ， ，得 ，可证，得 ，在 中， ，在 中，
，求得得 ，结合在 中，
，即可证明结论；
（3）结合平行四边形的性质，由（1）可知， ， ， 得 ，
，设 ，则 ， ，根据勾股定理得 ， ， ，可知以
、 、 为边构成的三角形为直角三角形，且 为斜边，结合其面积得 ，即 ，进而
可得平行四边形的面积．
【详解】（1）证明：∵ ， ，
∴ ， ，
∴ 是等腰直角三角形， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，则
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ；
（2）证明：过点 作 ，交 于 ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
在 中， ，
在 中， ，∴
，
即： ；
（3）解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
由（1）可知， ， ，
∴ ， ，
设 ，则 ， ，
在 中， ，即 ，
在 中， ，即 ，
在 中， ，
∴ ，则以 、 、 为边构成的三角形为直角三角形，且 为斜边，
∴ ，
∴ ，即： ，
∴平行四边形 的面积为 ，
故答案为：35．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形
的判定及性质，构造直角三角形，利用勾股定理进行求解是解决问题的关键．
