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20.2 勾股定理的逆定理及其应用
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1. 理解勾股定理的逆定理；
2. 能用勾股定理逆定理判定三角形是否为直角三角形，以及一些实际应用问题。
【题型1】判断三个数是否为勾股数
1.（25-26八年级上·广东深圳·期中）下列四组数中，是勾股数的是（）
A．10，8，6 B． ， ，
C． ， ， D．0.3，0.4，0.5
【答案】A
【分析】本题考查勾股数，勾股数是指能成为直角三角形三边长的三个正整数，据此逐项判断即可．
【详解】解：A、∵ ，
∴10，8，6能成为直角三角形的三边长，且它们均为正整数，
∴10，8,6是一组勾股数．
B、∵ ，
∴ ， ， 不能成为直角三角形的三边长，
∴ ， ， 不是一组勾股数．
C、∵ ， ， 不是正整数，
∴ ， ， 不是一组勾股数．
D、∵0.3，0.4，0.5不是正整数，
∴0.3，0.4，0.5不是一组勾股数．
故选：A．
2．（25-26七年级上·湖南·期末）下列各组数中不是勾股数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查勾股数定义，熟记勾股数概念是解决问题的关键．
勾股数需为正整数，且满足较小两数的平方和等于最大数的平方，由此逐项验证即可得到答案．【详解】解：A：由 ， ，可知 是勾股数，不符合题意；
B：由 ， ，可知 是勾股数，不符合题意；
C：由 ， ，可知 是勾股数，不符合题意；
D：由 ， ， ，可知 不是勾股数，符合题意；
故选：D．
3．（25-26八年级上·江苏常州·期中）当n为正整数时，下列各组数：① ， ， ；②5，6，7；③ ，
， ，其中是勾股数的是（ ）
A．① B．①② C．①③ D．①②③
【答案】C
【分析】本题考查了勾股数：两个较小数的平方和等于最大数的平方的三个正整数，掌握勾股数的定义是
解决本题的关键．
根据勾股数的定义判断即可．
【详解】解：①：∵ ，
∴①是勾股数．
②：∵ ， ， ，
∴②不是勾股数．
③：∵ ， ，∴ ，
∴③是勾股数．
综上，是勾股数的有①和③．
故选C．
4．（25-26八年级上·全国·随堂练习）有一组勾股数，已知其中的两个数分别是20和15，则第三个数是
．
【答案】25
【分析】本题主要考查勾股数，勾股定理，分第三个数是直角边和斜边两种情况解答求出第三个数，再根
据勾股数判定即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键．
【详解】解：设第三个数为x，
分两种情况：当x为直角边时，有 ，
解得 ，
不是正整数，需舍去；
当x为斜边时，
有 ，
解得 ．
综上所述，第三个数为25．
故答案为：25．
5.（24-25八年级下·山东潍坊·期中）满足 的三个正整数组成的数组 叫做勾股数组．《周
髀算经》中记载的“勾三股四弦五（古人将直角三角形中较短边称为勾，另一直角边称为股，斜边称为
弦）”就是一组最简单的勾股数组 ，在《九章算术》中给出了更多的勾股数组： ，
等．上述勾股数组的规律，可以用下面表格呈现：
勾股数组 …
股与弦的和： 9 25 49 …
股 …
弦 …
通过观察分析，回答下列问题：
(1)根据上述勾股数组的特点，写出勾股数组（11，______，______）；（______，______，145）
(2)猜想：若 表示比1大的奇数，则上述勾股数组可以表示为（ ，______，______）；
(3)请证明（2）中的猜想．
【答案】(1)60；61；17；144
(2) ，
(3)见解析【分析】本题考查了勾股数的概念，正确理解题意是解题关键．
（1）观察表格可知 ， ，据此求解即可；
（2）根据题意可得股和弦的和，再求出股和弦即可；
（3）求出 的结果，看是否与 相等即可．
【详解】（1）解：由表格可知 ， ，
∴当 时， ，
∴ ；
当 时，则 ，
∴ ，
∴ 或 （舍去）， ；
（2）解：∵m为最小的数，
∴另外两个数的和为 ，
∴股为 ，弦为 ；
（3）证明：，
∴ 是勾股数组．
【题型2】判断三角形是否为直角三角形
6.（25-26八年级上·江西萍乡·期中）以下列各组数为边长，能够组成直角三角形的是（ ）
A． ， ， B．7，25，24 C．12，18，22 D．2，2，4
【答案】B
【分析】此题考查了三角形三边关系，勾股定理的逆定理：较小的两边的平方和等于第三边的平方时，则
三角形为直角三角形，熟记勾股定理逆定理的判定方法是解题的关键．利用勾股定理的逆定理和三角形三
边关系计算、判断即可．
【详解】解：A． ，故不能组成直角三角形，不符合题意；
B． ，故能组成直角三角形，符合题意；
C． ，故不能组成直角三角形，不符合题意；
D． ，故不能组成三角形，不符合题意；
故选：B．
7．（25-26八年级上·山东枣庄·月考） 中，若 ，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，根据题意可得 为直角三角形， ．
【详解】解： 中，
，
为直角三角形，
，
如图：故答案为： ．
8．（25-26八年级上·河南平顶山·期中）下列说法正确的是（ ）
A． 的两边长 ， ，则
B． 中 ， ，则
C．在 中，若 ，则 是直角三角形
D．在 中，若三边长分别为9，40，41，则 是直角三角形
【答案】D
【分析】本题主要考查三角形性质，勾股定理的应用，
根据三角形三边的关系，及勾股定理判断即可．
【详解】解：∵选项A： 中 ，但未指定 为直角，∴ 不一定为10，故A错误；
∵选项B： 中， ，若以a、b为直角边，∴斜边 ，若以b为斜边，则
，所以 或 ，故B不正确；
∵选项C： ，内角和 ，∴ ，无 ，故C错误；
∵选项D：三边9， ， ，∵ ，为直角三角形，故D
正确．
故选：D．
9．（25-26八年级上·陕西咸阳·月考）若 的三边长为 、 、 ，并且满足
，则 的形状是 ．
【答案】直角三角形
【分析】此题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长 满足 ，那么这个三角形就是
直角三角形．也考查了非负数的性质，解本题的关键是求出 的值．
根据非负数的性质解得各边的长，再根据勾股定理的逆定理判定是否直角三角形．【详解】解： 为直角三角形，理由如下：
由题意得 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
∴ 为直角三角形．
故答案为：直角三角形．
10．（24-25八年级上·河北·期末）如图，三角形 ， 、 、 分别是以 、 、 为直径的半
圆的面积，若 ，则三角形 是 ．
【答案】直角三角形
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，先根据圆的面积公式求出， 、 、 ，然后结合 可
求出 ，最后根据勾股定理的逆定理判断即可．
【详解】解：∵ 、 、 分别是以 、 、 为直径的半圆的面积，
∴ ， ， ，
又 ，
∴ ，
∴ ，
∴三角形 是直角三角形，
故答案为：直角三角形．【题型3】证明一个三角形为直角三角形
11.（23-24八年级上·贵州贵阳·月考）如图，在 中， 的垂直平分线 分别交 、 于点D、
E，且 ．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的面积
【答案】(1)见解析
(2)16
【分析】本题主要考查勾股定理及其逆定理、线段垂直平分线的性质定理，熟练掌握勾股定理及其逆定理、
线段垂直平分线的性质定理是解题的关键．
（1）利用线段垂直平分线的性质可得 ，然后利用勾股定理逆定理可得结论；
（2）首先确定 的长，进而可得 的长，再利用勾股定理求出 ，最后根据三角形面积公式求解即
可．
【详解】（1）证明：连接 ，
∵ 的垂直平分线 分别交 、 于点 、 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是直角三角形，且 ；
（2）解：∵ ， ，且 ，
∴ ， ，∴ ，
∴ ．
∴ ．
12．（24-25八年级下·广东东莞·月考）如图，在四边形 中， ， ， ， ，
．
(1)求证：
(2)求四边形 的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了勾股定理与逆定理，解题的关键是：
（1）根据勾股定理求出 ，然后计算得出 ，最后根据勾股定理的逆定理即
可得证；
（2）根据割补法求解即可．
【详解】（1）解：∵ ， ， ， ，
∴ ，
又 ， ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：．
13．（25-26八年级上·浙江湖州·期中）如图，已知 中， ， ， 是 上一点，连结
，且 ， ．
(1)求证： ．
(2)求 的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）直接利用勾股定理逆定理求解即可；
（2）证明 是等腰直角三角形即可求解．
【详解】（1）证明： ， ，
是直角三角形，且 ，
；
（2）解： ， ，
，
， ，
是等腰直角三角形，
．
14．（22-23八年级下·陕西渭南·期末）如图，在 中， ， ， 是 上一点，且 ，
，求证： ．【答案】见解析
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，理解勾股定理的逆定理是解题的关键．根据勾股定理的逆定理证
明 是直角三角形，再证明 即可．
【详解】证明： 在 中， ， ， ，
，
，
是直角三角形，且 ，
．
又 ，
，
，
是直角三角形，即 ．
15．（25-26八年级上·广东梅州·月考）如图，已知在 中， ， ， 边上的中线 ．
求证：
【答案】详见解析
【分析】本题考查了勾股逆定理，垂直平分线的定义，垂直平分线的性质，先结合 ， ，
边上的中线 ，得出 ，即 ，再结合 是 边上的中线，
故 是 的垂直平分线，即可作答．
【详解】解：∵ ， 边上的中线 ．
∴ ，∵ ，
∴ ，
则 ，
∴ ，
∵ 是 边上的中线，
∴ 是 的垂直平分线，
∴ ．
【题型4】直角坐标系（网格）中直角三角形的判断
16.（19-20八年级·上海静安·课后作业）已知A( ， )，B(4， )，C(1，2)，判定 ABC的形状．
【答案】 ABC是等腰直角三角形，见解析
【分析】利用两点间距离公式，分别计算AB、AC、BC的长，再根据勾股定理逆定理判断三条边的关系
即可解题．
【详解】利用两点的距离公式，可得
AB= ，
AC= ，
BC= ，
所以AC=BC，AB2=AC2+BC2
所以△ABC是直角三角形，
综上所述，△ABC是等腰直角三角形．
【点睛】本题考查两点间距离公式、勾股定理及逆定理、等腰直角三角形的判定，是常见考点，难度较易，
掌握相关知识是解题关键．
17．（18-19八年级·全国·课后作业）点 在 轴上， 、 ，如果 是直角三角形，求点
的坐标．
【答案】点 的坐标为 或
【分析】本题考查的是两点距离与勾股定理，根据A、B坐标构造直角三角形，运用勾股定理与两点间距
离公式，分类讨论即可求出点P坐标
【详解】设点 的坐标为 ，分两种情况：①当点 为直角顶点时，点 在 轴正半轴，
作 轴于 ， 轴于 ， 轴于 ，如图所示：
由勾股定理，得 ，
即 ，解得 ，
∴点 的坐标为 ．
②当点 为直角顶点时，点 在 轴负半轴，作 轴于 ， 轴于 ，如图所示：
由勾股定理，得 ，
即 ，解得 ，
∴点 的坐标为 ．
综上所述，如果 是直角三角形，那么点 的坐标为 或 ．
【点睛】本题的关键是分类讨论点P的情况，并灵活运用勾股定理和两点间距离公式
18．（24-25八年级上·河南平顶山·期中）已知，点 ， ， 、(1)在这个坐标平面内画出
(2)计算 的面积；
(3)若点P在y轴上，且 与 的面积相等，求点 P 的坐标．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)点 的坐标是 或
【分析】本题主要考查的是点的坐标与图形的性质，在网格中判断直角三角形，以及三角形的面积等知识．
（1）确定出点 、 、 的位置，连接 、 、 即可；
（2）先判断 是直角三角形，然后根据三角形的面积公式求解即可；
（3）设点 ，然后根据 与 的面积相等得出 求解即可．
【详解】（1）如图所示．（2）因为 ，
所以 ，
所以 是直角三角形，
所以 ．
（3）设点 ，
∵ 与 的面积相等，
∴ ，
∴ ，
所以 或 ，
所以点 的坐标是 或 ．
19.（24-25八年级下·云南临沧·期末）如图，网格图中每个小正方形的边长都是1． 的三个顶点都在
网格线的交点上．求证： ．
【答案】证明见详解
【分析】本题考查了勾股定理的应用及勾股定理逆定理证明．通过勾股定理求出 、 、 的长度，
再根据勾股定理的逆定理来证明结论．
【详解】证明：在网格图中， 在一个直角边分别为2和2的直角三角形的斜边上，
根据勾股定理可得： ，
同理， 在一个直角边分别为3和3的直角三角形的斜边上，
根据勾股定理可得： ，
在一个直角边分别为1和5的直角三角形的斜边上，
根据勾股定理可得： ，∵ ，
∴根据勾股定理的逆定理可知， 是直角三角形，且 ，
∴ ．
20.．（24-25八年级上·福建宁德·月考）如图所示，图中每个小正方形的边长都为1，点A，B，C，D在格
点上．
(1)四边形 的周长为_______，面积为_______；
(2)若 是以 为斜边的直角三角形，则满足条件的格点E有_______个．
【答案】(1) ，
(2)6
【分析】本题考查割补法求面积，勾股定理，勾股定理的逆定理，掌握相关知识是解决问题的关键．
（1）利用勾股定理求出各边长，然后相加即得四边形 的周长；用割补法求四边形 的面积；
（2）根据勾股定理的逆定理找到满足条件的点即可．
【详解】（1）解：如图，
由勾股定理得： ，
，
，
，∴四边形 的周长为： ；
四边形 的面积为： ；
故答案为： ， ；
（2）解：如图所示，
以 为例：
由勾股定理可得：
，
，
，
，
，
∴ 是以 为斜边的直角三角形，
同理可证得其他5个点满足题意，
故满足条件的格点E有6个，
故答案为：6．
【题型5】已知三边长求三角形的高（面积）
21.（25-26八年级上·江苏徐州·期中）四边形 的面积是 ．【答案】
【分析】本题考查了三角形的面积，勾股定理和勾股定理的逆定理，利用勾股定理的逆定理判断三角形是
直角三角形是解题关键．根据勾股定理，先计算 的长，再根据勾股定理的逆定理，判断 是直角
三角形， 最后利用三角形的面积公式求解即可．
【详解】解：观察图形可知， ， ， ，
，
， ， ，
，
是直角三角形，
四边形 的面积为 ．
22.（25-26八年级上·浙江杭州·月考）如图，在四边形 中， ， ， ，
，四边形 的面积为 ．
【答案】16
【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的运用，掌握勾股定理及其逆定理的计算是关键．
根据勾股定理得到 ，则 是直角三角形， ，由图形面积的计算即可
求解．
【详解】解：如图所示，连接 ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是直角三角形， ，
∴
，
故答案为：16 ．
23.（24-25八年级下·江西上饶·月考）如图，已知在△ABC中，CD⊥AB于点D，BD＝9，BC＝15，AC＝
20．
(1)求CD的长；
(2)求AB的长；
(3)判断△ABC的形状．
【答案】（1）CD长为12；（2）AB的长为25；（3）△ABC是直角三角形
【详解】解：在△BCD中，∵CD⊥AB，
∴BD2＋CD2＝BC2
∴CD2＝BC2－BD2＝152－92＝144．
∴CD＝12．
（2）在△ACD中，∵CD⊥AB，
∴CD2＋AD2＝AC2∴AD2＝AC2－CD2＝202－122＝256．
∴AD＝16．
∴AB＝AD＋BD＝16＋9＝25．
（3）∵BC2＋AC2＝152＋202＝625，AB2＝252＝625，
∴AB2＝BC2＋AC2
∴△ABC是直角三角形．
24.（25-26八年级上·陕西汉中·期中）如图，在 中， ，D为 上一点，连接 ，若
， ， ．
(1)判断 的形状，并说明理由；
(2)求 的面积
【答案】(1)直角三角形；理由见解析
(2)
【分析】本题考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
（1）根据勾股定理的逆定理进行判断即可；
（2）由（1）可证得 是直角三角形，根据勾股定理，求出 的长度，再根据三角形的面积公式进
行计算即可．
【详解】（1）解： 是直角三角形，理由如下：
在 中， ， ，
则 ，即
因此 是直角三角形；
（2）解：由（1）可知
在 中， ，
根据勾股定理得，即
解得
因此
答： 的面积为 ．
25.（25-26八年级上·湖南·期末）阅读下列内容，设 ， ， 是一个三角形的三条边的长，且 是最长边，
我们可以利用 ， ， 三边长间的关系来判断这个三角形的形状：①若 ，则该三角形是直角三
角形；②若 ，则该三角形是钝角三角形；若③ ，则该三角形是锐角三角形．
例如：若一个三角形的三边长分别是 ， ， 则最长边是 ，由于 ，故由上面③可知该三
角形是锐角三角形，请解答以下问题．
（1）若一个三角形的三条边长分别是 ， ， 则该三角形是 三角形（填“锐角”、“直角”或
“钝角”）；
（2）若一个三角形的三条边长分别是 ， ， 且这个三角形是直角三角形，则 的值为 ．
【答案】 锐角 或
【分析】（1）先确定最长边，计算最长边的平方与另外两边平方和的大小，根据材料中的规则判断三角
形形状；
（2）分 “ 是最长边” 和 “ 是最长边” 两种情况，利用勾股定理列方程求解 ．
【详解】解：（1）由 ，
可知 ，
∴该三角形是锐角三角形；
故答案为：锐角；
（2）∵三边长分别为 ，且这个三角形是直角三角形，
∴ 或 ，
解得 或 .
故答案为： 或 .【点睛】本题考查三角形形状的判断（勾股定理的拓展），涉及的知识点是勾股定理、三角形三边关系．
解题中用到的方法是分类讨论法（第二问需考虑最长边的不同情况）．解题关键是准确确定最长边，避免
漏解（第二问易忽略 “ 是最长边” 的情况）．易错点是第二问漏算其中一种情况，导致答案不完整．
【题型6】动点问题——能否构成直角三角形
26.（24-25八年级上·浙江·期末）如图， ，点A是 延长线上的一点， ，动点P
从点A出发沿 以 的速度移动，动点Q从点O出发沿 以 的速度移动，如果点 同时
出发，用 表示移动的时间，当 s时， 是等腰三角形；当 s时，
是直角三角形．
【答案】 或5 4或10
【分析】根据 是等腰三角形，分两种情况进行讨论：点 在 上，或点 在 上；根据 是
直角三角形，分两种情况进行讨论： ，或 ，据此进行计算即可．
【详解】解：如图，当 时， 是等腰三角形，
， ，
当 时， ，
解得 ；如图，当 时， 是等腰三角形，
， ，
当 时， ，
解得 ；
如图，当 时， 是直角三角形，且 ，
， ，
当 时， ，
解得 ；
如图，当 时， 是直角三角形，且 ，
， ，
当 时， ，
解得：t=10．
故答案为： 或5；4或10．27.（25-26八年级上·四川·月考）如图，在 中， ，点 在线段 上以每秒
个单位的速度从 向 移动，连接 ，当点 移动 秒时， 与 的边垂直．
【答案】 或 或 ．
【分析】设运动时间为 然后分当 、 和 三种情况运用勾股定理解答即可．
【详解】解：设运动时间为
则 ，
当 时，如图1所示，
过点 作 于点
，
中有 ，
，
中， ，
中， ，
，
，
解得： ；
当 时，如图2所示，由 可知，
又
；
当 时，如图3所示，
过点 作 于点
由 知 ，
中有 ，
中有 ，
，
又
当 点移动 秒或 秒或 秒时， 与 边垂直．
故答案为： 或 或 ．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，灵活运用勾股定理列方程以及分类讨论思想是解答本题的关键．
28.（24-25八年级下·吉林四平·期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，AC=4cm，动点P从点B
出发沿射线BC以3cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒．(1)求BC边的长；
(2)当△ABP为直角三角形时，求t的值；
(3)当△ABP为等腰三角形时，请直接写出此时t的值．
【答案】(1)3cm
(2)t=1或
(3)t= 或2或
【分析】（1）根据题意，在 △ABC中，利用勾股定理求解即可；
（2）由题意可知，分两种情况：① ；② ，代值求解即可；
（3）由题意可知，分三种情况：① ；② ；③ ，分别结算求解即可．
【详解】（1）解：∵在 △ABC中， ， ， ，
∴BC= ；
（2）解：由题意可知，分两种情况：① ；② ，
设BP=3tcm，∠B≠90°：
①当∠APB=90°时，易知点P与点C重合，
∴BP = BC，即3t=3，
∴ ；
②当∠PAB=90°时，如下图所示：∴CP=BP－BC=（3t－3）cm，
∵AC2＋CP2=AP2=BP2－AB2，即42＋（3t－3）2=（3t）2－52，解得：t= ，
综上所述：当 为直角三角形时，t=1或 ；
（3）解：由题意可知，分三种情况：① ；② ；③ ，
①当 时，如图所示：
；
②当 时，如图所示：
根据等腰三角形“三线合一”可知， 是 边 上的中线，
，
；
③当 时，如图所示：设 ，则 ，
在 中， ， ， ， ，则由勾股定理可得 ，即
，解得 ，
，
，
综上所述：t= 或2或 ．
【点睛】本题考查三角形中的动点问题，涉及到勾股定理求线段长、三角形为直角三角形的讨论和三角形
为等腰三角形的讨论等知识，熟练掌握相关知识点及分类情况是解决问题的关键．
29.（2023·浙江温州·二模）在直角坐标系中，我们把横纵坐标都为整数的点叫作整点，顶点都是整点的三
角形称为整点三角形．如图，已知整点 ， ，请在所在的网格区域（含边界）画出符合要求的
整点三角形．
(1)在图1中画一个 ．
(2)在图2中画一个 ，使点Q的横纵坐标相等，且 的面积等于3．【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）分类讨论 分别为直角边和斜边时，共3种情况；
（2）根据点Q的横纵坐标相等，可得点Q在第一象限的角平分线上，选择合适的点即可；
【详解】（1）解：如图，当 分别为直角边和斜边时，
（2）解：如图：
点Q的横纵坐标相等，
点Q在直线 上，
根据割补法依次计算可得：点Q的位置如上图．
【点睛】本题考查了直角三角形的判定，割补法求面积，根据面积确定点坐标等知识点，直角坐标系性质
的熟练运用是解题关键．
【题型7】勾股定理的应用——判断是否是直角
30.（2025八年级上·全国·专题练习）如图是王叔叔建房时所挖地基的平面图，按标准，四边形 四个
角都应是直角，他在挖完后测量发现 ，则他挖的地基
．（填“合格”或“不合格”）【答案】合格
【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理的应用，掌握运用勾股定理逆定理判定三角形是直角三角形的方
法成为解题的关键．
通过勾股定理逆定理判定三角形是直角三角形可得 ，即可判断是否
合格．
【详解】解：∵ ，
∴ ，即 ，
同理： ，
∴他挖的地基是合格的．
故答案为：合格．
31.（25-26八年级上·山西运城·期中）某旅游景区导览图的框架结构示意图如图所示．现测得 ，
， ， ， ．根据安全标准需满足 ，请你通过计算说
明该框架结构是否符合安全标准．
【答案】符合安全标准
【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，解题的关键是通过勾股定理求出 的长度，再利用勾股定理的
逆定理判断 与 是否垂直．先在 中，根据勾股定理 求出 ，再计算
与 的值，根据勾股定理的逆定理判断 是否为直角．
【详解】解：因为 ，
所以在 中，根据勾股定理，得 ．
因为 ， ，
所以 ．因为 ， ，
所以 ．
所以 ．
所以 是直角三角形，且 ．
所以 ．
答：该框架结构符合安全标准．
32.（25-26八年级上·全国·课后作业）如图是一个机器零件的示意图， 是这种零件合格的一项
指标．现测得 ， ， ， ， ．根据这些条件，能否知道
？
【答案】能；理由见解析
【分析】此题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满
足 ，那么这个三角形就是直角三角形．在 中，由勾股定理求出 的长，然后在
中，根据勾股定理的逆定理即可判断 是直角三角形，进而求出 的度数即可．
【详解】解：能；
∵ ， ， ，
∴在 中，
由勾股定理得： ，
在 中，
∵ ，
∴ 是直角三角形，
即： ．
33.（24-25八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）如图，某港口 位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海
天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航
行12海里．它们离开港口一个半小时后分别位于点 处，且相距30海里．已知“远航”号沿东北方向
航行，则“海天”号沿 方向航行．【答案】西北方向
【分析】本题考查了勾股定理逆定理的应用和方向角，解题的关键是能够根据勾股定理的逆定理发现直角
三角形进行解答．
根据题意，得出 的三边长，再利用勾股定理的逆定理推出 是直角三角形，再求解即可．
【详解】解：由题知， 海里， 海里， 海里， ，
，
，
是直角三角形，且 ，
，
“海天”号沿西北方向航行．
故答案为：西北方向
34.（25-26八年级上·重庆·期中）某校劳动基地的形状是类似如图所示的四边形 ，测得 ，
， ， ，且 ，现需将菜地分成两块，分别种上白菜和萝卜．为了
区分两块区域，劳动老师决定沿对角线 修一条仅供一个人走的小路（小路的宽度忽略不计），小路上
方种白菜，下方种萝卜．
(1)求小路 的长；
(2)通过计算说明种白菜和萝卜的菜地哪块大？大多少？
【答案】(1) 的长为 ；
(2)种白菜的菜地大，大 ．
【分析】本题考查勾股定理的应用、勾股定理的逆定理以及三角形面积，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键．
（1）利用勾股定理求出 的长即可；
（2）利用勾股定理的逆定理证明 是直角三角形，且 ，再计算两个直角三角形的面积，
然后比较即可解决问题．
【详解】（1）解：在 中， ， ， ，
由勾股定理得： ，
答： 的长为 ；
（2）解：在 中， ， ， ，
，
是直角三角形，且 ，
，
， ， ，
，
， ，
种白菜的菜地大，大 ，
答：种白菜的菜地大，大
【题型8】判断线段是否为最短路径
35.（25-26八年级上·江苏无锡·月考）在一条东西走向的河流一侧有一村庄A，河边原有两个取水点B，
C，其中 ，由于某种原因，由A到B的路现在已经不通，A村为方便村民取水决定在河边新建一
个取水点D（B、C、D在一条直线上），并新修一条路 ，测得 千米， 千米，
千米．
(1)问 是否为从村庄A到河边的最近路？请通过计算加以说明；
(2)求原来的路线AB的长．
【答案】(1) 为从村庄A到河边最近的路，见解析
(2) 千米【分析】本题主要考查了勾股定理及勾股定理的逆定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理及勾股定
理的逆定理．
（1）根据勾股定理的逆定理解答即可；
（2）根据勾股定理解答即可．
【详解】（1）解： 是从村庄A到河边最近的路，理由如下：
∵ 千米， 千米， 千米，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ 为从村庄A到河边最近的路；
（2）解：设 千米，
∵ ，
∴ 千米，
∵ 千米，
∴ 千米，
∵ ，
∴在 中， ，
即 ，
解得： ，
∴ 的长为 千米．
36.（25-26八年级上·全国·月考）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，常在周围几百千米的范围
内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向 由点 向点 移动，已知点 为
一海港，且点 与 ， 两点之间的距离 ， 分别为 ， ， ，以台风中心为
圆心周围 以内（包括 ）为受影响区域．
(1)海港 受台风影响吗？为什么？
(2)若海港 受台风影响，且台风中心移动的速度为 ，台风影响海港 持续的时间有多长？（若海港 不受台风影响，则忽略此问）
【答案】(1)海港 受台风影响，理由见解析
(2)
【分析】本题考查勾股定理，利用直角三角形的等面积法求高．找到台风影响海港的临界位置是解题关键．
（1）用勾股定理的逆定理证 是直角三角形，再用等面积法求 到 的距离，将该距离与 进
行比较，判断海港是否受影响．
（2）以“台风中心到海港的距离等于 ”为临界状态，确定台风移动路径上的两个临界位置 、 ，
结合（1），用勾股定理算出临界位置到 的距离 ，由对称性得 ，最后用“影响路
段长度 台风移动速度”得到持续时间．
【详解】（1）解：海港 受台风影响，理由如下：
如图，过点 作 于点 ，
， ， ， ，
是直角三角形， ，
由三角形面积相等可得： ，
即 ，
，
以台风中心为圆心周围 以内（包括 ）为受影响区域，
海港 受台风影响．
（2）解：如图，设台风中心移动到点 ， 处时刚好影响海港 ，连接 ， ，则 ，
根据勾股定理， ，
， ，
，
，
台风中心移动的速度为 ，，
台风影响海港 持续的时间为 ．
答： ．
37.（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图，在一条东西方向铁路的北边有一鸟类巢穴C，铁路上有A、B
两处观测点，观测点A距离鸟类巢穴 ，观测点B距离鸟类巢穴 ，两观测点A、B相距 ．火车
行驶时会对周围半径 范围造成噪声污染．
(1)证明 为直角三角形，并求点C到铁路 的距离；
(2)当一列长度为 的火车以 的速度经过铁路时会对鸟类巢穴造成噪声污染吗？若不会造成噪
声污染，请说明理由；若会造成噪声污染，求出火车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长．
【答案】(1)证明见解析，点C到铁路 的距离为 ；
(2)会对鸟类巢穴造成噪声污染，火车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长为 ．
【分析】本题考查了勾股定理的应用以及勾股定理的逆定理等知识，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题
的关键．
（1）由勾股定理的逆定理证明 是直角三角形，且 ；过点C作 于点D，再由面
积法求出 的长即可；
（2）以点C为圆心，以52米为半径画圆弧，分别交 于点E、F，连接 、 ，则 ，
，由勾股定理求得 ，得出 ，再根据火车长度与速度即可得出答案．
【详解】（1）证明：由题意可知 ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是直角三角形，且 ；
如图1，过点C作 于点D，∴ ，
∴ ，
即点C到铁路 的距离为 ；
（2）解：∵ ，
∴当一列长度为 的火车以 的速度经过铁路时会对鸟类巢穴造成噪声污染，
如图2，以点C为圆心，以 为半径画圆弧，分别交 于点E、F，连接 、 ，
则 ，
∵ ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得： ，
∴ ，
∴火车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长为： ，
答：当一列长度为 的火车以 的速度经过铁路时会对鸟类巢穴造成噪声污染，火车对鸟类巢
穴造成噪声污染的时长为 ．
