文档内容
八下期末真题百题大通关（113 题 6 题型）（压轴版）
选填小压轴 解答压轴
题型一 面积问题 题型五 几何证明与计算大综合
题型二 多解问题 题型六 坐标系中的综合题
题型三 最值问题
题型四 多结论问题
题型一 面积问题
1．（22-23八年级下·安徽芜湖·期末）如图1，四边形 中， ， ，点 从点 出
发，以每秒 个单位长度的速度，沿路线A-B-C-D运动.设 点的运动时间为 ， 的面积为 ，当 运
动到 的中点时， 的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】动点问题的函数图象、求一次函数解析式、用勾股定理解三角形、(等腰)梯形的定义
【分析】首先结合图形和函数图像判断出 的长和 的长，进而可得 的长，从而可得 点坐标，然
后再计算出当 时直线解析式，然后再代入 的值计算出 即可．
【详解】解：四边形 中， ， ，
∴ ，
∵点 从点 出发，以每秒 个单位长度的速度，
当点 从 运动到 处需要 秒，则 ，
根据图像：当 时，点 运动到 点， 的面积为 ，
∴ ，∴ ，
根据图像：当点 运动到 点时， 面积为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是梯形，
又∵ ，
∴四边形 是直角梯形，
∵ ，点 的速度是每秒 个单位长度，
∴运动时间为 秒，
∴ ，
设当 时，函数解析式为 ，
∴ ，
解得： ，
∴当 时，函数解析式为 ，
如图 ，过点 作 于点 ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ， ，
∴ ，
在 中， ，
∴当 运动到 的中点时的时间 ，
∴ ，
∴当 运动到 的中点时， 的面积为 ．
故选：A．【点睛】本题考查动点问题的函数图像，三角形面积公式，直角梯形的判定，矩形的判定和性质，勾股定
理，用待定系数法确定一次函数的解析式，函数图像上的点的坐标特征．利用数形结合的思想方法是解题
的关键．
2．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）某同学类比勾股定理的证明过程，利用三个含有 的全等三角形
纸片（如图① ）拼成一个正三角形 （如图②），即 ．
连接 ， ， ，若 长是2， 的面积是 ，则 的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质、用勾股
定理解三角形
【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、
勾股定理，正确得出 与 的面积相等是解题关键．过点 作 于点 ，过点 作
，交 延长线于点 ，先求出 和 ，根据含30度角的直角三角形的性
质可得 ， ，从而可得 ，根据三角形的面积公式可得 ，再证出
，根据全等三角形的性质可得
，然后根据等边三角形的性质和勾股定理求出
，由此即可得．
【详解】解：如图②，过点 作 于点 ，过点 作 ，交 延长线于点 ，∵ ， ，
∴ ， ， ， ， ，
∴ ，
∴在 中， ，
∵ 是等边三角形，
∴ ，
∴
，
∴在 中， ，
∴ ，
∴ ，
同理可得： ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
同理可证： ，
∴ ， ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ 是等边三角形，如图②，过点 作 于点 ，
则 ，
∴ ，
∴ ，
∵ 的面积是 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：A．
3．（24-25八年级上·甘肃武威·期末）如图， 中， ．分别以
为边在 的同侧作正方形 ，四块阴影部分的面积分别为
，则 等于 ．
【答案】12
【知识点】全等三角形综合问题、根据正方形的性质求面积
【分析】本题考查正方形和直角三角形，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的性质与判定，平行四边形
判定和性质，矩形判定和性质，是解题关键．
过F作 的垂线交 于D，连接 ，证明 得到 ，再证明
，得到 ，进一步证明 ， ，则可证明
，由此求解即可．
【详解】解：过F作 于点D，连接 ，则 ，
设 和 的交点为T， 和 的交点为K，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，∴ ，
∵
∴ ，
∴ ．
由 ，可得： ，
∵ ，
∴ ，
即 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵
∴四边形 是平行四边形，
∵ ，
∴ 是矩形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
同理可证 ， ，
∴ ， ，
∴
．
故答案为：12．4．（24-25八年级上·山东威海·期末）如图， 的面积为12，将 沿 方向平移到 处，
使点 与C重合，连结 交 于点D，则 的面积为 ．
【答案】6
【知识点】根据三角形中线求面积、利用平行四边形的判定与性质求解、利用平移的性质求解
【分析】本题考查了平移的性质、与三角形中线有关的面积的计算，连接 ，由平移的性质可得：
， ， ，从而得出四边形 为平行四边形，由平行四边形的性质
可得 ，即可得解．
【详解】解：如图：连接 ，
，
由平移的性质可得： ， ， ，
∴四边形 为平行四边形，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
5．（24-25八年级上·重庆·期末）如图，在 中，过 上的点 作 ， ， 、 、
、 均在平行四边形的边上，且 ， ，则四边形 的面积为 ．【答案】6
【知识点】利用平行四边形的判定与性质求解
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，先证明四边形 都是平行四边
形，然后证明 ，根据 ， 求出 即可求解．
【详解】解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ．
∵ ， ，
∴四边形 都是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：6．
6．（24-25八年级上·山东烟台·期末）如图，在六边形 中，已知 ， ，
， ，六边形 的面积
为 ．
【答案】
【知识点】根据平行线判定与性质证明、根据矩形的性质与判定求面积
【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质．注意求不规则图形的面积可以分割成规则图形，根据面积公式进行计算．连接 交 于G， 交 于H，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，
得平行四边形 和 ．易得 ．计算该六边形的面积可以分成3部分计算，即
平行四边形 的面积 三角形 的面积 三角形 的面积．
【详解】解：如图，连接 交 于G， 交 于H，
平行且等于 ， 平行且等于 ，
∴四边形 是平行四边形，四边形 是平行四边形，
，
，
，
∴四边形 是矩形，
，
，
．
∴六边形 的面积 平行四边形 的面积+三角形 的面积 三角形 的面积
，
故答案为：
7．（23-24八年级下·广西河池·期末）如图，在正方形 中， ， ， ，
则 ．
【答案】
【知识点】用勾股定理解三角形、根据正方形的性质证明【分析】设正方形 的边长为x,由 可得 ，由此可求
出正方形的边长x，进而可求出 ，再根据 即可求出 的长．
本题主要考查了勾股定理和正方形的性质，根据 ，利用面积法求出正方形的边长是解题
的关键．
【详解】解：设正方形 的边长为x,
则 ，
，
，
，
解得 ，
，
，
又 ，
解得 ．
故答案为： ．
8．（24-25八年级下·重庆·期末）如图，在正方形 中，E是边 上一点，F是边 延长线上一点，
连接 ， ， ，若 ， ， ，则 的面积为
【答案】4
【知识点】利用二次根式的性质化简、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三
角形、根据正方形的性质证明
【分析】本题考查了正方形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质，由正方形的性质得出
，证明 ，得出，由勾股定理得出 ， ，得出 ，即可
得解．
【详解】解：∵四边形 是正方形，
，
，
，
，即 ，
，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
，
故答案为：4．
9．（24-25八年级上·重庆·期末）如图， ，射线 交线段 于点
于点 于点 平分 交 的延长线于点 ，连接 并延长交 的延长线于点 ．
若将点 沿 翻折，点 刚好落在 点处，此时 ，连接 ，则 的面积为
．
【答案】
【知识点】全等三角形综合问题、根据等角对等边证明边相等、用勾股定理解三角形、折叠问题
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、勾股定理、翻折性质等知识，熟
练掌握全等三角形的判定与性质，利用等角对等边证明 是解答的关键．先利用同角的余角相等得到 ，再证明 得到 ， ，然后证明 ，
得到 ，进而利用等角对等边得到 ，设 ， ，结合翻折性质得到
， ， ，然后利用勾股定理求得 ，最后由
求解即可．
【详解】解：∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
∵ 平分 交 的延长线于点 ，
∴ ，又 ， ，
∴ ，
∴ ，又 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴设 ， ，则 ，
∵将点 沿 翻折，点 刚好落在 点处，
∴ ，则 , ，
在 中， ， ， ，
由勾股定理得 ，则 ，
解得 ，
∴，
即 的面积为 ．
故答案为： ．
10．（23-24八年级上·四川成都·期末）如图 ，在平面直角坐标系中，等腰 在第一象限，且
轴，直线 从原点 出发沿 轴正方向平移，在平移过程中，直线被 截得的线段长度 与直线在
轴上平移的距离 的函数图象如图 所示，那么 的面积为
【答案】
【知识点】二次根式的乘除混合运算、一次函数图象平移问题、三线合一、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查了一次函数图像的平移，等腰三角形的性质，勾股定理，过点 作 于点 ，根
据图形 可得到 ， ，由直线 与 轴的夹角为 ，得到 ，利用勾股定理即可
求出 ，进而得到 ，再得到 ，根据三角形面积公式计算即可
求解，从函数图像上获取信息，并掌握直线 与 轴的夹角为 是解题的关键．
【详解】解：如图 ，过点 作 于点 ，则
由图 可得，当直线 经过点 时， ， ，
当直线 向右平移经过点 时，与 相交于点 ，此时，由图 可得， ， ，
∴ ， ，
∵直线 与 轴的夹角为 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的面积 ，
故答案为： ．
11．（23-24八年级下·四川乐山·期末）如图，点 在直线 上，过点 作 轴，交直线
于点 ，以点 为直角顶点， 为直角边在 的右侧作等腰直角 ，再过点 作
轴，分别交直线 和 于 、 两点，以点 为直角顶点， 为直角边在 的右侧
作等腰直角 ，…，按此规律进行下去．
（1）等腰直角 的面积为 ，
（2）等腰直角 的面积为 ．
【答案】
【知识点】一次函数的规律探究问题、一次函数与几何综合、等腰三角形的定义
【分析】先根据点 的坐标及 轴求出 的坐标，进而得到 的长及 的面积，再根据 的坐标及 轴求出 的坐标，进而得到 的长及 的面积，根据变换规律 的长得到
的面积，依次类推即可找出规律，进而可得到 的面积．
【详解】解：(1)∵ ， 轴，且 点在直线 上，
， ，
，
，
∵ 是等腰直角三角形，
，
．
故答案为：
（2） ，
，
∵ 轴，且 点在直线 上，
，
，
，
，
，
∵ 轴，且 点在直线 上，
，
，
，，
，
，
依次类推， ．
故答案为： ．
【点睛】此题考查一次函数的性质，图像上点的坐标特点，等腰直角三角形的性质，根据图像依次计算得
到点的坐标规律是计算面积的关键.
题型二 多解问题
12．（24-25八年级上·河南郑州·期末）在直角三角形 中， ， ， ， ，
点 是 边上的一点（不与 、 重合），连接 ，将 沿 折叠，使点 落在点 处．当
是直角三角形时， 的长为 ．
【答案】 或2
【知识点】用勾股定理解三角形、折叠问题
【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），勾股定理，直角三角形的性质，解题的关键是根据勾股定理
得到 ，根据已知条件得到当是直角三角形时 或 ①
当时，则 ，根据折叠的性质得到 ，于是得到 ，
②当 时，根据折叠的性质得到 ， ， ，
，推出点E在 上，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：在 中， ， ，
∴ ，
点D是 边上的一点，
∴ ，
∴当 是直角三角形时， 或 ，
①当 时，则 ，
将 沿AD折叠，使点C落在点E处，∴ ，
∴ ，
②当 时，
将 沿AD折叠，使点C落在点E处，
∴ ， ， ，
∴
∴点E在 上，如图，
∴ ， ， ，
∴ ，
∵
∴ ，即
解得： ，
综上所述， 的长为 或2
故答案为∶ 或2．
13．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）若一个三角形有一边上的中线与这边的长相等，则称这个三角形为
该边上的“完美三角形”．如图在直角坐标系中，正方形ABCO的两边 分别在坐标轴上，点 的
坐标是 ．在正方形 的边上找一点 ，使得 是 边上的“完美三角形”，点P的坐标为
．
【答案】 或 或
【知识点】用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长、坐标与图形综合【分析】本题主要考查了正方形的性质、勾股定理等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键．
利用正方形的性质得到 ，进而得到 中点D的坐标为 ，再分当点P在 上时、当
点P在 上时、当点P在 上时三种情况，分别利用勾股定理建立方程求解即可．
【详解】解：∵四边形 是正方形，点B的坐标是 ，
∴ ，
∴ 中点D的坐标为 ，
如图所示，当点P在 上时，设 ；
∵ 是 边上的“完美三角形”，
∴ ，
∴ ，解得 ．
∴点P的坐标为 ．
如图2所示，当点P在 上时，设 ；
∵ 是 边上的“中线三角形”，
∴ ，
∴ ，解得 （负值舍去），
∴点P的坐标为 ，
如图3所示，当点P在 上时，设 ；∵ 是 边上的“中线三角形”，
∴ ，
∴ ，解得 （负值舍去），
∴点P的坐标为 ；
综上所述，点P的坐标为 或 或 ．
故答案为： 或 或 ．
14．（22-23八年级上·江西吉安·期末）如图，直线 与 轴和 轴分别交与A、 两点，射线
于点A，若点 是射线 上的一个动点，点 是 轴上的一个动点，且以 、 、A为顶点的三
角线与 全等，则 的长为 ．
【答案】3或
【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形
【分析】根据一次函数解析式可求出A点和B点坐标，从而求出 的两条直角边，并运用勾股定理求
出 ．根据已知可得 ，分别从 或 时，即当 时，
，或 时， ，分别求得 的值，即可得出结论．
【详解】解：∵直线 与x轴和y轴分别交与A、B两点，
当 时，即 ，
解得： ．
当 时， ，
∴ ．
∴ ．∴ ．
∵ ，点C在射线 上，
∴ ，即 ．
∵ ，
∴ ．
若以C、D、A为顶点的三角形与 全等，则 或 ，即 或
．
如图1所示，当 时， ，
∴ ；
如图2所示，当 时， ，
∴ ．
综上所述， 的长为3或 ．
故答案为：3或 ．
【点睛】此题考查了一次函数的应用、全等三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，掌握一次函数的图
象与性质是解题的关键．
15．（23-24八年级上·贵州贵阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线 ： 与直线 ：
交于点A，直线 与x轴交于点B，直线 ： 过点 ，点C是横轴上任意一点，满
足： 是等腰三角形的点C坐标是 ．【答案】 或 或 或
【知识点】已知两点坐标求两点距离、一次函数与几何综合、利用平方根解方程
【分析】本题考查了一次函数与几何的综合应用，先求得 两点的坐标，再根据 是等腰三角形，
分情况讨论求解即可．
【详解】解：由直线 ： 过点 可得：
，即 ，
直线 ： 与x轴交于点B，
则 时， ，即 ，
联立直线 ： 和直线 ： 可得
，
解得 ，即 ，
点C是横轴上任意一点，设 ，
由勾股定理可得： ， ，
是等腰三角形，则 或 或 ，
当 时，即 ，
解得 或 （舍去），
即 ；
当 时， ，
解得
即 ；
当 时， ，
解得 或 ，
即 或 ，
故答案为： 或 或 或 ．
16．（23-24八年级上·四川成都·期末）在平面直角坐标系 中，已知点 ， ，
．给出如下定义：若点 先向上平移 个单位（若 ，即向下平移 个单位），再向右平移3个单位后的对应点Q在 的内部或边上，则称点P为 的“平移关联点”．若直线
上的一点P是 的“平移关联点”，且 是等腰三角形，则点P的坐标为 ．
【答案】 或
【知识点】由平移方式确定点的坐标、用勾股定理解三角形、一次函数与几何综合、坐标与图形
【分析】本题考查一次函数的综合应用，等腰三角形的性质，坐标与图形，设 ，根据平移规
则，得到 ，进而得到点 在直线 上，根据 是等腰三角形，分 ，
两种情况讨论，求出 点坐标，进而求出 点坐标，本题的难度较大，掌握数形结合和分类讨论的思想进
行求解，是解题的关键．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ， ，
设 ，则： ，
∴点 在直线 上，
当 是等腰三角形，分两种情况：
①当 时，过点 作 ，则： ，
∵ ，
∴ 两点重合，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
②当 时，过点 作 ，则： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴故答案为： 或 ．
17．（23-24八年级下·山东日照·期末）如图，在平面直角坐标系 中，菱形 的四个顶点都在坐标
轴上，其中 ， ，对角线 相交于原点 ，若一次函数 的图象将菱形
分成面积之比为 的两个平行四边形，则直线的解析式为 ．
【答案】 或 或 或
【知识点】求一次函数解析式、利用平行四边形的性质求解、利用菱形的性质求线段长
【分析】本题考查了菱形的性质，平行四边形的性质，一次函数的性质，解题关键是掌握菱形的性质及分
类讨论．根据菱形的特征求出四个顶点坐标，及对角线长度，然后分别求出直线 、直线 的解析式，
根据菱形 分成面积之比为 的两个平行四边形，得一次函数分别平行于 或 ，然后分类讨论
分别求出一次函数k，b，即可得出函数解析式
【详解】解：菱形 的四个顶点都在坐标轴上 ， ，
∴ ， ，
， ， ，
设直线 的解析式 为，将 ， 代入得
解得： ，设直线 的解析式 ；
设直线 的解析式 为，将 ， 代入得
解得： ，
设直线 的解析式 ；
∵一次比例函数 的图象将菱形分成两个平行四边形，
∴一次函数 的图象平行于 或 ，
当一次函数 图象平行于 时，交 、 于点M，N交y轴于点Q，
，
菱形分成 两个平行四边形，
， ，
，
∴ ；
或 ，
，
，
，∴ ；
当一次函数 图象平行于 时，
同理可知： 或 ，
或 ，
综上所述一次函数解析式为 、 、 或 ．
18．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在 中， ， ，点D是直线
上一点，连接 ， ，点E是线段 的中点，连接 ，以 为边作正方形 （点
C，E，F，G按逆时针方向排列），则 的面积为 ．
【答案】 或
【知识点】根据正方形的性质求线段长、用勾股定理解三角形、等边三角形的判定和性质、二次根式的混
合运算
【分析】分当点D在 上时，当点D在 延长线上时，两种情况分别过点E，G作 的垂线，垂足分
别为M、N， ，再根据图形面积之间的关系求解即可．
【详解】解：如图所示，当点D在 上时，分别过点E，G作 的垂线，垂足分别为M、N，
∵ 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵点E是线段 的中点，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ；
由正方形的性质可得 ，
∴ ，
∴ ，
∴
如图所示，当点D在 延长线上时，分别过点E，G作 的垂线，垂足分别为M、N，
同理可得 ，
∴
；
综上所述， 的值为 或 ，
故答案为： 或 ．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，等边三角形的性质与判定，直角三角形的性质等等，
利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
题型三 最值问题
19．（22-23八年级下·福建福州·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 分别交 轴、
轴于 、 两点，若 为 轴上的一动点，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、垂线段最短、含30度角的直角三角形、等边三角形的判定
和性质
【分析】先求出点 ，点 坐标，由勾股定理可求 的长，作点 关于 的对称点 ，连接 ， ，
过点 作 于 ，可证 是等边三角形，由直角三角形的性质可得 ，则
，即当点 ，点 ，点 三点共线时， 有最小值，即 有最小
值，再利用等积法可求解．
【详解】解：∵一次函数 分别交 轴、 轴于 、 两点，
当 时， ，
当 时， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
如图，作点 关于 的对称点 ，连接 ， ，过点 作 于 ，∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴点 ，点 三点共线时， 有最小值 ，即 有最小值，
此时 ， 是等边三角形，
∵ ，
∴
∴ ，
∴ 有最小值为 ，
∴ 的最小值为 ，
故选：D．
【点睛】本题是胡不归问题，考查了一次函数的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，确
定点 的位置是解题的关键．
20．（23-24八年级上·广东深圳·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线 与 轴交于点 ，与
轴交于点 ，点 是线段 的中点，点 是 轴上的一个动点，连接 ，以 为直角边，点 为直角
顶点作等腰直角 ，连接 ．则 长度的最小值是（ ）A．1 B．2 C． D．3
【答案】D
【知识点】用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定、全等三角形综合问题、一次函数与几何综合
【分析】作 轴且 ，连接 ，延长 交 轴于 ，求出 点坐标为 ， 点坐标
为 ，得出 ，得出点 ，设点 ，则 ，证明 得出
， ，得出 ， ， 三点共线，从而得到 ，得出 ，
再由勾股定理表示出 ，即可得出答案．
【详解】解：如图，作 轴且 ，连接 ，作 轴于 ，
， 直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，
令 ，则 ，解得 ，令 ， ，
点坐标为 ， 点坐标为 ，
，
轴，
， ，
点坐标为 ，
设点 ，则 ，
是等腰直角三角形，
， ，
，
，
在 和 中，，
，
， ，
，
，
， ， 三点横坐标相同，都为 ，
， ， 三点共线，
，
，
点 是线段 的中点，
，
，
，
当 即 时， 最小，为 ，
的最小值为 ，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判
定与性质，勾股定理等知识点，综合程度较高，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解
此题的关键．
21．（24-25八年级上·四川达州·期末）如图，桌上有一个圆柱形盒子（盒子厚度忽略不计），高为 ，
底面周长为 ，在盒子外壁离上沿 的点 处有一只蚂蚁，此时，盒子内壁离底部 的点 处有
一滴蜂蜜，蚂蚁沿盒子表面爬到点 处吃蜂蜜，求蚂蚁爬行的最短距离（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解、求最短路径(勾股定理的应用)【分析】本题考查了平面展开之最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解
题的关键．将容器侧面展开，得到 关于 的对称点 ，根据两点之间线段最短可知 的长度即为所
求，再利用勾股定理求解即可．
【详解】解：如图是侧面展开图的一半，作点 关于 的对称点 ，连接 ，作 交 的延
长线于点 ，由题意可知， 为所求
高为 ，底面周长为 ，在盒子外壁离上沿 的点 处有一只蚂蚁，此时，盒子内壁离底部
的点 处有一滴蜂蜜
， ， ，
故选：D．
22．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，已知 和 四点在同一条直线上，
，且 ，现将 沿直线 方向左右平移，则平移过程中
的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定、已知两点坐标求
两点距离、利用平移的性质求解
【分析】如图所示，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，设 交于点 ，证明
，得出 ，以直线 为 轴， 为 轴建立平面直角坐标
系，勾股定理求得 的长，进而转化为 到 和 的距离的和，作 关于 轴的对称点 ，求得 的长，即可求解．
【详解】解：如图所示，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，设 交于点 ，则
，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
以直线 为 轴， 为 轴建立平面直角坐标系，如图所示，
依题意， ，则 ，
，则 ，
设 ，∵
∴
∴
即 到 和 的距离的和
如图所示，作 关于 轴的对称点
∴ 的长为 的最小值，最小值为 ．
故选：D ．
【点睛】本题考查了等腰三角的性质，全等三角形的性质，勾股定理的应用，轴对称的性质求线段和的最
值问题，坐标与图形，转化线段的长为 的长是解题的关键．
23．（24-25八年级上·四川眉山·期末）如图，在 中， ， ， ．如果D、E
分别为 、 上的动点，那么 的最小值是（ ）
A． B．5 C． D．6
【答案】A
【知识点】垂线段最短、线段垂直平分线的性质、用勾股定理解三角形、折叠问题
【分析】延长 到点F，使得 ，则直线 是线段 的垂直平分线，连接 ，于是得到
， ，于是 就变成了 ，根据点到直线的距离以垂线段最短原理，得到
的最小值就是 的高，过点F作 于点G，求 即可．
此题考查了轴对称最短路径问题，垂线段的性质，勾股定理，根据三角形的面积求高等，熟练掌握以上性质是解本题的关键．
【详解】解：延长 到点F，使得 ，
∵ ，
∴直线 是线段 的垂直平分线，
连接 ，
∴ ， ，
∴ 就变成了 ，
根据点到直线的距离以垂线段最短原理，得到 的最小值就是 的高，
过点F作 于点G，
∵ ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故选：A．
24．（24-25八年级上·河南驻马店·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线 与x轴交于点
A，点 在第一象限，线段 上有一点 ，点P为x轴上一动点，连接 ， ，当
的值最小时，点P的坐标为 ，此时 的最小值为 ．【答案】
【知识点】一次函数与几何综合
【分析】本题考查一次函数与轴对称最短距离和问题，先根据点在直线上求出点的坐标，在根据对称性点
B的对称点 ，求出 解析式，即可求出点P及距离即可得到答案．
【详解】解：当 时， ，
∴ ，
当 时， ，
解得： ，
∴ ，
∴点B关于x轴对称点 的坐标为： ，
连接 交x轴于一点即为最小距离和点P，
，
设 的解析式为： ，
，
解得： ，
∴ ，
当 时，
，
∴ ，此时 最小， ，
故答案为： ， ．
25．（23-24八年级上·江苏宿迁·期末）如图，直线 分别与x轴、y轴相交于点M，N．点P在平面
内． ，点 ，则 长度的最大值是 ．
【答案】5
【知识点】斜边的中线等于斜边的一半、用勾股定理解三角形、一次函数与几何综合
【分析】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，一次函数的图象和性质，勾股定理；
取 的中点E，连接 ，根据直角三角形斜边中线的性质可得 ，则点P在以点E
为圆心， 为半径的圆上，然后求出点M、N的坐标，利用中点坐标公式求得 ，利用勾股定理
求出 、 ，根据点C与点N重合可知，当P与M重合时， 取最大值，最大值为 即
可求解．
【详解】解：如图，取 的中点E，连接 ，
∵点 在平面内， ，
∴在 中， ，
∴点P在以点E为圆心， 为半径的圆上，
在直线 中，当 时， ；
当 时， ，∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ,
∵ ，
∴ ,
∴点C与点N重合， 取最大值，最大值为 ，
∴当P与M重合时， 不成立，
故答案为：5．
26．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，等腰 的底边 ，面积为189，点 在边 上，
且 ， 是腰 的垂直平分线，若点 在 上运动，则 周长的最小值为 ．
【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质、三线合一、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查轴对称 最短问题、线段的垂直平分线的性质、勾股定理的应用，等腰三角形的性质；
如图作 于 ，连接 ， ．由 垂直平分线段 ，推出 ，推出
，可得当 、 、 共线时， 的值最小，最小值就是线段 的长；进而勾
股定理求得 ，即可求解．
【详解】解：如图作 于 ，连接 ， ．
垂直平分线段 ，
，
，
当 、 、 共线时， 的值最小，最小值就是线段 的长，， ，
∴ ，
， ，
，
，
，
，
的最小值为 ．
周长的最小值为 ；
故答案为 ．
27．（24-25八年级上·广东揭阳·期末）如图，在 中， ， ， 平分 ，
若 、 分别是 、 上的动点，则 的最小值是 ．
【答案】
【知识点】三线合一、用勾股定理解三角形、根据成轴对称图形的特征进行求解
【分析】本题考查了轴对称的性质，等腰三角形的三线合一性质，勾股定理,熟练掌握轴对称的性质及等腰
三角形的三线合一性质是解题的关键．作点N关于 的对称点 ，连结 ， ，过点B作
于点H，则 ，所以 ，当 与点H重合时，点M为 与 的
交点， 取最小值 ，再根据等腰三角形的三线合一性质，得到 ， ，根
据勾股定理求出 ，最后根据三角形的面积，即可求得答案．
【详解】解：作点N关于 的对称点 ，连结 ， ，过点B作 于点H，
则 ，
，
当 与点H重合时，点M为 与 的交点， 取最小值 ，
， 平分 ，
， ，，
，
，
解得 ．
故答案为： ．
28．（23-24八年级上·四川成都·期末）在 中， ， ， ， ， 分别为射
线 与射线 上的两动点，且 ，连接 ， ，则 最小值为 ； 的最
大值为 ．
【答案】
【知识点】用勾股定理解三角形、全等的性质和SAS综合（SAS）
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理；过点 作 ，使得 ，过点
作 于点 ，连接 ，证明 得出 ，则当 在
线段 上时， 取的最小值，最小值为 的长，延长 至 使得 ，连接 ，则
进而勾股定理，即可求解；
【详解】解：如图，过点 作 ，使得 ，过点 作 于点 ，连接 ，在 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，则当 在线段 上时， 取的最小值，最小值为 的长，
∵ ， ， ，
∴
∵ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
如图所示，延长 至 使得 ，连接 ，则 ，
，∴ ，
故答案为： ， ．
29．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，在 中， ， ， ，点 是
边 上两动点，连接 ，CE．若 ，则 周长的最小值为 ．
【答案】 /7.2
【知识点】三角形三边关系的应用、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的判定与性质求解、根据成轴
对称图形的特征进行求解
【分析】作点C关于线段AB的对称点 交于点H，连接 和 ，过点 作 ，且 ，
连接 ，则 ，根据轴对称得 和 ，那么 ， 周长为
，当点C、点E和点F三点共线时， 周长最小为 ，
利用勾股定理求得 ，等面积法求得 ，则有 ，在 中求得 即可．
【详解】解：作点C关于线段AB的对称点 交于点H，连接 和 ，过点 作 ，且
，连接 ，如图，
则四边形 为平行四边形，
∴ ，∵点C关于线段AB的对称点 ，
∴ ， ，
∴ ，
则 周长为 ，
当点C、点E和点F三点共线时， 周长最小为 ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴
在 中， ，
则， 周长最小为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查勾股定理、轴对称的性质、平行四边形的判定和性质和三角形三边关系的应用，解
题的关键是熟悉轴对称的性质和平行四边形的性质．
30．（24-25八年级上·山东潍坊·期末）如图，在菱形 中， ， ，E，F分别为边
和 的中点，连接 ，点P是 上一动点，则 的最小值为 ．
【答案】4
【知识点】最短路径问题、全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的判定和性质、利用菱形的性质求
线段长
【分析】本题考查了菱形的性质、等边三角形的性质与判定、最短路径问题，熟练掌握以上知识点，利用
等边三角形的性质证出 是解题的关键．连接 、 ，连接 交 于点 ，由菱形 的
性质和 可得出 是等边三角形，进而得出 垂直平分 ，得到 ，则有
，再证出 ，利用全等三角形的性质求出 的长，即可解答．【详解】解：如图，连接 、 ，连接 交 于点 ，
菱形 ， ， ，
， ， ， ，
是等边三角形，
，
又 E，F分别为边 和 的中点，
， 垂直平分 ，
点P是 上一动点，
，
在 和 中，
，
，
，
，
当 三点共线时， 有最小值4．
故答案为：4．
31．（24-25八年级上·广东潮州·期末）如图，对折长方形纸片 ，使 与 重合，得到折痕 ，
把纸片展平后再次折叠，使点A落在 上的点 处，得到折痕 ， 与 相交于点N．若直线
交直线 于点O， ， ，点Q是折痕 上的一个动点，则 的最小值为 ．
【答案】
【知识点】二次根式的混合运算、含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质、矩形与折叠问题【分析】连接 ，由折叠的性质及题意易得 ，则有 是等边三角形，进而可得
；设 ， ，然后利用含30度角的直角三角形的性质和勾
股定理求得可得 ，则求得 ， ，进而求得 ，根据对称性得到
，当 、Q、E共线时取等号，进而可求解．
【详解】解：连接 ，如图所示：
∵对折矩形纸片 ，使 与 重合，得到折痕 ，
∴ ， ， ，
∵把纸片展平后再次折叠，使点A落在 上的点 处，得到折痕 ，
∴ ， ， ，
∴ ，即 是等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴设 ， ，
则在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∵在 中， ，又
∴ ，
解得 ，
∴ ， ，∴ ，
∵点Q是折痕 上的一个动点，点A与点 关于 对称，
∴连接 ，则 ，
∴ ，当 、Q、E共线时取等号，此时点Q在N处，
∴ 的最小值为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理及二次根式的运算、
含30度角的直角三角形的性质、最短路径问题，熟练掌握折叠的性质、等边三角形的判定与性质、利用轴
对称性质求最短路径是解题的关键．
32．（24-25八年级上·山东泰安·期末）如图，在平行四边形 中， ， ， ，点
、 分别是边 、 上的动点．连接 、 ，点 为 的中点，点 为 的中点，连接 ，
则 的最小值为 ．
【答案】
【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解、与三角形中位线
有关的求解问题
【分析】连接 ，过点A作 交于点M．即可得 ，结合图形可得当 时 最
小，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：如图，连接 ， ，过点A作 交于点M．
∵四边形 是平行四边形， ，
∴ ， ，
∵点E为 的中点，点F为 的中点，
∴ 是 的中位线，∵要使线段 最小，
∴ 最小即可，
则当 时最小，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
，
在 中，由勾股定理得 ，
∴ 的最小值为 ，
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查三角形中位线定理，勾股定理，含 的直角三角形的性质，平行四边形的性质等知识
点，添加辅助线构造中位线是解题的关键．
33．（24-25八年级下·重庆·期末）如图，在平面直角坐标系中，点 ， ，C为平面内一点且
，连接 ，点P为 的中点，则 的最大值为 ．
【答案】
【知识点】用勾股定理解三角形、已知两点坐标求两点距离、与三角形中位线有关的求解问题、斜边的中
线等于斜边的一半
【分析】本题考查勾股定理，直角三角形斜边中线，三角形中位线，连接 ，取 中点 ，连接 ，
，根据勾股定理求出 ，利用斜边中线得到 ，利用 为 中
位线，得到 ，最后根据 求最大值即可．
【详解】解：连接 ，取 中点 ，连接 ， ，∵在平面直角坐标系中，点 ， ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∵ 为 斜边中点，
∴ ，
∵点P为 的中点，
∴ 为 中位线，
∴ ，
∵ ，
∴当 、 、 三点共线时， 最大，
故答案为： ．
34．（23-24八年级下·青海西宁·期末）如图，在平行四边形 中， ， ，点 是 边
上的动点，连接 ， ， 是 的中点， 是 的中点，则 的最小值是 ．
【答案】
【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解、与三角形中位线
有关的求解问题
【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，直角三角形的性质，由三角形中位线定理可
得 ，当 时， 有最小值，即 有最小值，由直角三角形的性质可求解．
【详解】解：如图，过点A作 于N，∵四边形 是平行四边形， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵E、F分别为 、 的中点，
∴ ，
∴当 时， 有最小值，即 有最小值，
∴当点P与点N重合时， 的最小值为 ，
∴ 的最小值为 ．
故答案为： ．
35．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系 中，平行于x轴的直线 ， 分别交
轴于 ， 两点．若 的三个顶点分别在 和 轴三条直线上，且满足 ，
，则线段 的最大值为 ；当点 在 轴上时，取 的中点 ，点 的坐标为 ，
连接 ，则 的最小值为 ．
【答案】
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三
角形
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、轴对称最短路线等内容，熟
练掌握相关知识是解题的关键．
（1）由题意知 是等腰直角三角形，所以 ，再结合图形很容易发现当点 在 轴上，会有最大值，此时 也最大，利用一线三垂直全等求解即可；
（2）看见求线段和，优先考虑“将军饮马模型”，所以需要找点 的运动轨迹，由题易得点 在的直线
上运动，因此作对称点，求解即可．
【详解】解：(1)由题意得 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴当 有最大值时，则 亦有最大值，
如图，当点 在 轴上， 会有最大值，
过 作 轴于点 ，过 作 轴于点 ，
∵直线 ， 分别交 轴于 ， 两点，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
在 中，
，
∴ ；
如图，设点 在 上，点 在 上，∴ ， ，
∵点 为 中点，
∴ ，
∴点 在 的直线上，
作点 关于 的对称点 ，则 ，
∴ ，
连接 ，
∴ ，当且仅当 三点共线时取等，
∵ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ 最小值为 ；
故答案为： ， ．
36．（23-24八年级下·福建厦门·期末）如图，若点 是某个正方形的两个对角顶点，则称 互
为“正方形关联点”，这个正方形被称为 的“关联正方形”，已知点 ，点 在直线
上，正方形 是点 的“关联正方形”， 顶点 到直线 的距离分别为
，则 的最小值为 ．【答案】 /
【知识点】一次函数与几何综合、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、
根据正方形的性质求线段长
【分析】过 作 于点 ， 于点 ，可得 ，证明 ，根据全
等三角形的性质得 ， ，则 ，求 最小，则求
最小，则 ，即求出 最小值即可，求出直线 解析式为 ，联立方
程 ，得 ，然后用两点间的距离公式求出 ，从而得解．
【详解】如图，过 作 于点 ， 于点 ，
∴
∴ ，∴ ，
∵四边形 是正方形，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
求 最小，则求 最小，
∵ ，
∴求出 最小值，
根据垂线段最短可知，当 时， 最小，即 最小，
设此时直线 解析式为 ，
∴ ，解得 ，
∴直线 解析式为 ，
联立 ，解得： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 最小值为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了新定义，利用待定系数法求直线的解析式，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，
垂线的性质，两点间的距离公式，两条直线交点坐标的求法等知识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
37．（23-24八年级下·广东河源·期末）如图，在 中， 是
的平分线．若点 是线段 上的一个动点，连接 ，则 的最小值是 ．【答案】
【知识点】三角形角平分线的定义、用勾股定理解三角形、含30度角的直角三角形、三角形内角和定理的
应用
【分析】由题意知， ， ，如图，过 作 于 ，过 作
于 ，则 ， ， ， ，可知当 三点共线，
且 时， 的值最小，为 ，由勾股定理得， ，计算求解，然后作答即
可．
【详解】解：由题意知， ， ，
如图，过 作 于 ，过 作 于 ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴当 三点共线，且 时， 的值最小，为 ，
由勾股定理得， ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，角平分线，含 的直角三角形，勾股定理等知识．明确线段和
最小的情况是解题的关键．
38．（24-25八年级上·四川宜宾·期末）如图， 为等边三角形，点P为 边上一动点，以 为边在
的右侧作等边 ，连接 ，点 是边 的中点，连接 ．若 ，则 的最小值为
．【答案】
【知识点】利用二次根式的性质化简、含30度角的直角三角形、等边三角形的性质、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查了等边三角形的性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理、含30度角的直角三角形的
性质等知识，正确得出点 的运动轨迹在射线 上是解题关键．先求出 ，再证出 ，
根据全等三角形的性质可得 ，从而可得在点 运动过程中，点 的运动轨迹在射线
上，然后根据垂线段最短可得当 时， 取得最小值，最后利用含30度角的直角三角形的性质
和勾股定理求解即可得．
【详解】解：∵点 是边 的中点， ，
∴ ，
∵ 和 都是等边三角形，
∴ ，
∴ ，即 ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴在点 运动过程中，始终有 ，
∴在点 运动过程中，点 的运动轨迹在射线 上，
由垂线段最短可知，当 时， 取得最小值，
此时 ，
∴在 中， ，
∴ 的最小值为 ，故答案为： ．
39．（24-25八年级上·全国·期末）如图， ，以 为斜边作直角 ，以 的各边为边分别
向外作正方形， 于M， 于N，则图中阴影面积和的最大值为 ．
【答案】
【知识点】通过对完全平方公式变形求值、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理
解三角形
【分析】本题考查全等三角形的判定及性质，勾股定理，完全平方公式的应用．
向两端延长 ，交 于点P，交 于点Q，过点C作 于点O，证明 ，得
到 ， ，同理得到 ， ，从而
．设 ， ，则 ，
根据完全平方公式可得 ，再根据 的面积得到 ，即可解答．
【详解】解：向两端延长 ，交 于点P，交 于点Q，过点C作 于点O，
由题意可得， ， ， ， ，
，
∵ ，
，
∴ ，
∴在 和 中，
∴ ，
∴ ， ，
同理可证 ，
∴ ， ，
∴
∴当 取得最大值时，阴影面积和为最大．
设 ， ，
∵在 中， ，
∴ ，
∵ ，即 ，
∴
∵ ，
∴ ，
∴ 的最大值为 ，
此时阴影面积的和最大为 ．
故答案为：
40．（22-23八年级下·四川广安·期末）如图，矩形 中， ， ， 为 上一点，以
为边构造等边 （ 、 、 按逆时针方向排列），连接 、 ，则 的最小值为
．【答案】
【知识点】根据矩形的性质求线段长、用勾股定理解三角形、等边三角形的判定和性质、全等的性质和
SAS综合（SAS）
【分析】先根据矩形的性质、勾股定理、直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，证明 是等边
三角形，利用等边三角形性质即可证明 ，由全等三角形性质可得 ，推
得 是 的垂直平分线，则有 ，推得当 、 、 三点共线时， 最小值为 长，
即可求解．
【详解】解：如图，连接 ，取 的中点 ，连接 、 ，
矩形 中， ， ， ，
，
点 是 的中点， ，
，
，
是等边三角形，
，
是等边三角形，
， ，
，
在 和 中，
，
，
，
是 的垂直平分线，，
，
当 点、 点、 点三点共线时， 的最小值为 的长，
即 的最小值为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查的知识点是矩形的性质、勾股定理、直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半、等边
三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的判定与性质，解题关键是证明三角形
全等．
41．（23-24八年级下·山东菏泽·期末）如图，正方形 边长为1， 为对角线 上的一个动点，过
作 的垂线并截取 ，连接 ， 周长的最小值为 ．
【答案】
【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长、根据正方
形的性质证明
【分析】过 作 交 于 ，连结 、 ，证四边形 为矩形，得 ，据此知
，再求出 ，当 时， 取得最小值，此
时 ，从而得出答案．
【详解】解：过 作 交 于 ，连结 、 ，如图所示：
， ，
，
，
，
，
， ，，
四边形 为平行四边形，
，
四边形 为矩形，
，
，
在 中， ，则由勾股定理可得 ，
当 时， 取得最小值此时 ，
周长的最小值 ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查轴对称 最短路线问题，涉及等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、正方形的
性质、矩形的判定与性质、轴对称 最短路线问题，解题的关键是掌握矩形的判定与性质及轴对称的性质．
42．（24-25八年级下·全国·期末）如图，在 中， ，P为 上任意一点，
于F， 于E，则 的最小值是 ．
【答案】 /
【知识点】垂线段最短、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长
【分析】本题主要考查了矩形的性质和判定、勾股定理、垂线段最短等知识点，是确定出何时 最短是
解题的关键．
根据已知得出四边形 是矩形得出 ，要使 最小，只要 最小即可，再根据勾股定理求得
，最后根据垂线段最短即可解答．
【详解】解：如图：连接 ，
∵ ， 于F， 于E，
∴ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，∴要使 最小，只要 最小即可，即当 时， 最小，
在 中， ，
由勾股定理得： ，
由三角形面积公式得： ，
∴ ，即 的最小值是 ．
故答案为： ．
43．（23-24八年级下·全国·期末）如图，点A是y轴正半轴上的动点，点B在x轴的正半轴上， ，
以 为边在第一象限作正方形 ，连接 ，则 的最大值为 ．
【答案】
【知识点】两点之间线段最短、用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半、根据正方形的性质求
线段长
【分析】取 中点M，连接 ， ，利用勾股定理，两点之间线段最短原理解答即可．
【详解】解：取 中点M，连接 ， ，
∵ ， ，正方形 ，
∴ ， ，
由勾股定理可得 ，
∵ ，
当O，M，C三点共线时， 最大，且最大值为 ，
故答案为： .
【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，两点之间线段最短，熟练掌握相关知识是解题的关键．
44．（23-24八年级下·陕西西安·期末）如图，矩形 中， ， ，点 从 点沿 向 点
移动，若过点 作 的垂线交 于 点，过点 作 的垂线交 于 点，则 的长度最小为
．
【答案】 / /
【知识点】垂线段最短、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长
【分析】本题考查矩形的判定与性质、垂线段最短及面积法求直角三角形斜边上的高，正确作出辅助线是
解题关键．连接 、 ，依据 ， ， ，可得四边形 为矩形，借助矩形
的对角线相等，将求 的最小值转化成求 的最小值，再结合垂线段最短，将问题转化成求 斜
边上的高，最后利用面积法即可得解．
【详解】解：如图，连接 、 ，
， ，
．
四边形 是矩形，
，
四边形 为矩形，
，
要求 的最小值就是要求 的最小值．
点 从 点沿着 往 点移动，
当 时， 取最小值．
在 中，
， ， ，
．
，
，的长度最小为： ．
故答案为： ．
45．（24-25八年级上·湖北恩施·期末）如图，将长方形ABCD沿对角线BD折叠， ， ．
点 是线段BD上一点．则 的最小值为 ．
【答案】
【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题、折叠问题
【分析】本题考查折叠的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，两点之间线段最短，垂线段最
短．解题的关键是理解两点之间线段最短，以及点到直线垂线段最短，添加辅助线构造特殊三角形．
过点 作 于点 ，连接 过点 作 于点 ，，根据含30度角的直角三角形的性质，
得到 ，进而得到 ，进而得到当当 三点共线时，
的值最小为 的长，再根据点到直线，垂线段最短，得到当 时， 最小，即点 与点 重合，
再利用含30度角的直角三角形的性质进行求解即可．
【详解】解：∵在长方形 中， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵将长方形 沿对角线 折叠，得 ，
∴ ，
∴ ，
过点 作 于点 ，连接 过点 作 于点 ，则： ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴当 三点共线时， 的值最小为 的长，
∵点到直线，垂线段最短，
∴当 时， 最小，即点 与点 重合，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即： 的最小值为 ．
题型四 多结论问题
46．（22-23八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在正方形 中，对角线 和 相交于点O，点E
在 上，连接 ，过点E作 的垂线交 于点F，连接 ，过点E作 垂足为点H，以
为边作等边三角形 ，连接 交 于点M，下列四个命题或结论：① ；② ；③
；④若 ，则四边形MEDG的面积是 ．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D
【知识点】一次函数与几何综合、全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质与判定
证明
【分析】如图所示，过点E作 于N，证明四边形 是正方形，得到 ，
则 ，证明 得到 ，即可判断①；证明 ，推出
，由三线合一定理即可判断②；设 交于T，证明四边形 是矩形，再证明
，同理可得 ，得到 ，再由 ，即可得到
，即可判断③；如图所示，以B为原点，以 所在的直线
为x轴，y轴建立坐标系，先求出直线 的解析式为 ；再求出 ， ，则
，进一步求出 ，再根据 求解即可判断④．
【详解】解：如图所示，过点E作 于N，
∵四边形 是正方形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，四边形 是矩形，
∴四边形 是正方形，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，故①正确；
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，故②正确；
设 交于T，
∵ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
同理可得 ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，故③正确；
如图所示，以B为原点，以 所在的直线为x轴，y轴建立坐标系，
∵ ，四边形 是正方形，
∴ ，
设直线 解析式为 ，
∴ ，
∴ ，
∴直线 的解析式为 ；
∵ 是等边三角形， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
同理可得直线 的解析式为 ，
联立 ，解得 ，
∴ ，
∴，故④正确；
故选D．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质与判定，勾股定理，等边三角形的性质，一次函数与几何综合，全
等三角形的性质与判定等等，灵活运用所学知识是解题的关键．
47．（22-23八年级下·天津红桥·期末）关于函数 （ 为常数），有下列结论：①当 时，
此函数是一次函数；②无论 取什么值，函数图像必经过点 ；③若图像经过二、三、四象限，则
的取值范围是 ；④若函数图像与 轴的交点始终在正半轴，则 的取值范围是 ．其中，正确
结论的个数是（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】求不等式组的解集、已知函数经过的象限求参数范围、一次函数图象与坐标轴的交点问题
【分析】①根据一次函数定义即可求解；② ，即可求解；③图像经过二、三、
四象限，则 ， ，解关于 的不等式组即可；④函数图像与 轴的交点始终在正半轴，则 ，
即可求解．
【详解】解：①根据一次函数定义：形如 的函数为一次函数，
，
，
故①正确；
② ，
无论 取何值，函数图像必经过点 ，
故②正确；
③ 图像经过二、三、四象限，，
解不等式组得： ，
故③正确；
④令 ，则 ，
函数图像与 轴的交点始终在正半轴，
，
，
经分析知： ，
解这个不等式组得 ，
故④正确．
①②③④都正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数与不等式的相关知识，是难点和易错点．解答此题的关键是熟知一次函数图
像上点的坐标特征，确定函数与系数之间的关系．
48．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）甲、乙两位同学周末相约去游玩，沿同一路线从A地出发前往B地，
甲、乙分别以不同的速度匀速前行乙比甲晚 出发，并且在中途停留 后，按原来速度的一半继续前进．
此过程中，甲、乙两人离A地的路程s（ ）与甲出发的时间t（ ）之间的关系如图．下列说法：①A，
B两地相距 ；②甲比乙晚到B地 ；③乙从A地刚出发时的速度为 ；④乙出发 与甲第三
次相遇．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】从函数的图象获取信息、行程问题(一次函数的实际应用)、分式方程的行程问题
【分析】本题考查一次函数的实际应用，以及分式方程的实际应用，根据函数与图象中的信息，结合时间、路程、速度三者之间的关系和追击问题的等量关系，对上述说法一一分析，即可解题．
【详解】解：由图知甲、乙两位同学最终停下来时，离A地的路程s（ ）最大为 ，
①正确，
由图知乙到B地时 ，甲到B地时 ， （ ），
②正确，
乙比甲晚 出发，并且在中途停留 后，按原来速度的一半继续前进．
设乙从A地刚出发时的速度为 ，则停留后的速度为 ，
由图知乙在中途停留前已走 ，则停留后行驶路程为 （ ），总的行驶时间为
（ ），
有 ，解得 ，
乙从A地刚出发时的速度为 （ ），
③正确，
根据图象可知，甲的速度为
乙在途中停留 后，二者第三次相遇， 乙中途停留前运动时间为
乙的第二个拐点时间为 （ ），
由图知第三次相遇在第二个拐点之后，即第三次相遇时间大于第二个拐点时间，
设乙继续前进t小时后二者相遇， 根据题意得：
解得
故第三次相遇为乙出发后
④正确．
综上所述，正确的有①②③④，共4个．
故选：D．
49．（23-24八年级下·安徽淮南·期末）如图①， 中， ， ，两动点M，N同时
从点A出发，点M在边 上以 的速度匀速运动，到达点B时停止运动，点N沿A→D→C→B的路径
匀速运动，到达点B时停止运动． 的面积 与点N的运动时间t（s）的关系图象如图②所示．
有下列说法：
①点N的运动速度是 ；
② 的长度为 ；③a的值为7；
④当 时，t的值为 ．其中正确的个数（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】动点问题的函数图象
【分析】本题主要考查函数图象问题，涉及平行四边形的性质，由点 的速度和路程可知， 时，点
和点 重合，过点 作 于点 ，求出 的长，进而求出 的长，得出 点的速度；由图2
可得当 时，点 和点 重合，进而可求出 的长；根据路程除以速度可得出时间，进而可得出 的
值；由图2可知，当 时，有两种情况，根据图象分别求解即可得出结论，熟练掌握各图形的性质，
分别列出关于t的方程是解题的关键．
【详解】解： ，点 的速度为 ，
当点 从点 到点 ，用时 ，
当 时，过点 作 于点 ，
，
，
在 中， ，
， ，
，
点的运动速度是 ；故①正确；
点 从 到 ，用时 ，
由图2可知，点 从 到 用时 ，
，故②正确；
，故③正确；
当点 未到点 时，过点 作 于点 ，
，
解得 ，负值舍去；
当点 在 上时，过点 作 交 延长线于点 ，此时 ，
，
，
解得 ，
当 时， 的值为 或9．故④错误；
故选：C．
50．（23-24八年级下·四川德阳·期末）如图， ， ，点 在边 上（与 ， 不重
合），四边形 为正方形，过点 作 ，交 的延长线于点 ，连接 ， 交 于点 ，
以 为原点建立如图所示的平面直角坐标系，点 坐标为 ，点 坐标为 ，给出以下结论：①四
边形 为矩形；② ；③ ；④点 的坐标 ；⑤ ．
其中正确的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【知识点】一次函数与几何综合、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、已知两点坐标求两点
距离、根据正方形的性质证明
【分析】由正方形的性质得到 ， ，证明 ，得到
， ，再证明 ，即可证明四边形 是矩形，故①正确；则
，再由 ，可得 ，故②错误；在 中，由
勾股定理得 ，则 ，在 中，由勾股定理得 ，，故③正确；如图所示，过点E作 轴于T，同理可证明 ，可得
；求出直线 解析式为 ，可得 ，故④错误；则 ，
故⑤正确．
【详解】解：∵点 坐标为 ，点 坐标为 ，
∴ ；
四边形 为正方形，
， ，
，
，
，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
又∵ ，
∴四边形 是矩形，故①正确；
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，故②错误；
在 中，由勾股定理得 ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得 ，
∴ ，故③正确；
如图所示，过点E作 轴于T，
同理可证明 ，
∴ ，∴ ，
∴ ；
设直线 解析式为 ，
∴ ，
∴ ，
∴直线 解析式为 ，
在 中，当 时， ，
∴ ，故④错误；
∴ ，故⑤正确；
∴正确的有3个，
故选B．
【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，正方形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，矩
形的性质与判定，正确利用一线三垂直模型证明三角形全等是解题的关键．
51．（23-24八年级下·重庆铜梁·期末）定义一种新运算： ，例如： ，
，给出下列说法：
；
的解集为
若点 函数 的图象上一点，则点 到 轴的距离最小值是 ．
以上说法中正确的个数为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】新定义下的实数运算、比较一次函数值的大小
【分析】本题考查了实数的新定义运算，根据新定义运算法则并结合一次函数的性质即可判断求解，理解
新定义运算是解题的关键．
【详解】解：由题意可得， ，故 正确；
当 ，即 时，
由 得， ，
解得 ，
∴不等式无解，该情况不存在；
当 ，即 时，
由 得， ，
解得 ，
∴ ，故 正确；
当 ，即 时，
，
当 时， ，
∵ ，
∴ 随 的增大而增大，
又∵ ，
∴点 到到 轴的距离大于 ；
当 ，即 时，
，
当 时， ，
∵ ，
∴ 随 的增大而减小，
又∵ ，
∴点 到到 轴的距离大于 ；
∴点 到到 轴的距离大于 ，故 正确；
∴说法中正确的个数为 个，
故选： ．
52．（23-24八年级下·重庆巫山·期末）关于 的新函数定义如下：（1）当 时，
（2）当 是正整数， 是整数， ，且 ， 不含除1以外的公因数）时， ；
（3）当 为无理数时， ．
例：当 时， ；当 时， ．
以下结论：①当 时， ；
②若 、 是互不相等且不为0的有理数，当 时，函数值记为 ，当 时，函数值记为 ，当
时，函数值记为 ，则一定有
③若 ，则对应的自变量 有且只有四种不同的取值；
④若 ，则满足 的自变量 的取值共有5个．
正确的个数有（ ）
A．①③④ B．②④ C．①④ D．②③
【答案】C
【知识点】不等式的性质、函数解析式、求自变量的取值范围
【分析】本题考查函数的概念，弄清所给的函数的概念，结合不等式的知识进行推断是解题的关键．
①根据函数的定义求值即可；
②举一个反例说明即可；
③根据定义，由 的值求出相应的 值即可；
④根据 的范围，设 ，求出 ，再由 的可能取值，确定 的所有可能取值即可．
【详解】解：① 是无理数，
当 时， ；
故①符合题意；
② 、 是互不相等且不为0的有理数，
设 ，则 ，
设 ，则 ，
，则 ，
故②不符合题意；
③ 时， 或 或 ，故③不符合题意；
④ ，
一定是有理数，且 ，
设 ，则 ，
，
，
的可能取值为1，2，3，
当 时， 可以取2023，2024，共2个，
当 时， 可以取4047，共1个，
当 时， 可以取6070，6071，共2个，
的自变量 的取值共有5个，
故④符合题意；
故选：C
53．（23-24八年级下·浙江台州·期末）直线 与 的图象交于点 ，下列判断①关
于 的方程 的解是 ②当 时，关于 的不等式 的解集是 ③设
直线 ，则直线 一定经过定点 ④当原点到直线 的距离最大时，则 ．正确的是
（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③ D．①④
【答案】A
【知识点】求一次函数解析式、根据一次函数增减性求参数、根据两条直线的交点求不等式的解集、用勾
股定理解三角形
【分析】根据两条直线交点与对应方程组的关系可判断①；把点 代入两个函数关系式，可求出 ，
结合 可求出 的范围，进而可判断②③；当 时，原点到直线 的距离最大，结合勾股定理即
可判断④．
【详解】解：∵直线 与 的图象交于点 ，
当 时， ，
∴当 时， ，
∴关于 的方程 的解是 ，故①正确；
∵直线 与 的图象交于点 ，
∴ ， ，∴ ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 过一、二、三象限， 随 的增大而增大，
由直线 与 的图象交于点 ，作图如下：
由图可知，不等式 的解集是 ，故②正确；
∵ 与 的图象交于点 ，
∴当 时， ，
∴直线 一定经过定点 ，故③正确；
如图，当 时，原点到直线 的距离最大
∵ ，
∴当 时， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
解得 ；故④错误；综上，正确的结论是①②③；
故选： ．
【点睛】本题考查了勾股定理，一次函数与不等式，一次函数的图象和性质，坐标与图形，属于常考题型，
熟练掌握一次函数图象上点的坐标特点是解题的关键．
54．（23-24八年级下·河北石家庄·期末）等腰 中， ，记 ，周长为y，定义 为
这个三角形的坐标，如图所示，直线 将第一象限划分为4个区域．下面四个结论中，
所有正确结论的序号是（ ）
①对于任意等腰 ，其坐标不可能位于区域Ⅰ中；
②对于任意等腰 ，其坐标可能位于区域Ⅳ中
③若 是等腰直角三角形，其坐标位于区域Ⅲ中；
④图中点M所对应的等腰三角形的底边比点N所对应的等腰三角形的底边要长．
A．①③④ B．①②③ C．②③④ D．①④
【答案】A
【知识点】不等式的性质、一次函数与几何综合、三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义
【分析】设 ，则 ．根据 ，利用不等式的性质得出 ，即可判断①；根据三角形
任意两边之和大于第三边，得出 ，利用不等式的性质得到 ，即可判断②；③根据等腰直角三
角形的性质、不等式的性质得出 ，即可判断③；分别求出点 、点 所对应等腰三角形的底边
范围，即可判断④．
【详解】解：如图，等腰三角形 中， ，记 ，周长为 ，
设 ，则 ，
①∵ ，
，
∴对于任意等腰三角形 ，其坐标位于直线 的上方，不可能位于区域I中，故结论①正确，符合
题意；②∵三角形任意两边之和大于第三边，
，即 ，
，
∴对于任意等腰三角形 ，其坐标位于直线 的下方，不可能位于区域IV中，故结论②错误，不
符合题意；
③若三角形 是等腰直角三角形，则 ，
，
，
，
即 ，
∴若三角形 是等腰直角三角形，其坐标位于区域III中，故结论③正确，符合题意；
④由图可知，点 位于区域III中，此时 ，
，
，
点N位于区域Ⅱ中，此时 ，
，
，
∴点 所对应等腰三角形的底边比点 所对应等腰三角形的底边长，故结论④正确，符合题意．
故选：A．
【点睛】本题是一次函数综合题，涉及到一次函数的图象与性质，三角形三边关系定理，等腰三角形、等
腰直角三角形的性质，不等式的性质，难度适中．理解三角形的坐标的意义，利用数形结合思想是解题的
关键．
55．（24-25八年级上·山东济宁·期末）如图，已知 是边长为3的等边三角形，点 是边 上的一
点，且 ，以 为边作等边 ，过点 作 ，交 于点 ，连接 ，则下列结论中①
；② ；③四边形 是平行四边形；④ ；⑤
．其中正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B【知识点】化为最简二次根式、等边三角形的性质、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的判定与性质
求解
【分析】本题考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾
股定理等知识，连接 ，作 于 ，由等边三角形的性质可判断①；证明 ，
是等边三角形，可得 ，求解 ，可得判断③，可得 ，
可判断②，可得 ，如图，过 作 于点 ，则 ，进一步可
判断④⑤不符合题意．
【详解】解：连接 ，作 于 ，
∵ ， 都是等边三角形，
∴ ， ， ，
∴ ，故①符合题意；
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴在 中，由勾股定理得： ，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形，故③符合题意，
∵ ， ， ，
∴ ，故②符合题意，
∴ ，如图，过 作 于点 ，则 ，
∵ 是边长为 的等边三角形，
∴ ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得 ，
∴ ，故④不符合题意；
∵ ， ，
∴ ， 而 ， ，
∴ ，
∴ ；故⑤不符合题意，
综上①②③符合题意，共 个，
故选：B．
56．（24-25八年级上·山东东营·期末）如图，在 中， ， ， ， ， ，
都是等边三角形，下列结论中：① ；② ；③四边形 是平行四边形；
④ ；⑤ ．正确的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【知识点】全等三角形综合问题、等边三角形的判定和性质、判断三边能否构成直角三角形、利用平行四
边形性质和判定证明
【分析】由 ，得出 ，故①正确；再由 证得 ，得，同理 ，得 ，则四边形 是平行四边形，故
②③正确；然后由平行四边形的性质得 ，则④错误；最后求出 ，故⑤错误；
即可得出答案．
【详解】解： ， ， ，
是直角三角形，
，故①正确；
， 都是等边三角形
和 都是等边三角形
， ，
在 与 中
，故②正确；
同理可证：
四边形 是平行四边形，故③正确；
，故④错误；
过 作 于 ，如图所示：
则
四边形 是平行四边形
，故⑤错误．综上所述，正确的是①②③，共3个．
故选：B
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理的逆定理、全等三角形的判定与性质、等边三角
形的性质、含 角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明
是解题的关键．
57．（24-25八年级上·湖北宜昌·期末）用一张正方形的纸片 按如下方式折叠：如图，先将纸片对折
得到折痕 ，再沿过点C的直线翻折纸片，得到折痕 ，使点D落在 上的点H处，连接
与 交于点I．则下列结论中正确的个数为（ ）
① ；② 为等边三角形；③ ；④ ．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【知识点】含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、正方形折叠问题
【分析】由折叠得： ， 垂直平分 ， ，故 ，那么 为等边三角形，
即可判断①②；由四边形是正方形得到 ，那么 ，由三角形内角
和定理可得 ，故③正确；对于 和 ，通过勾股定理计算说明不相等即
可．
【详解】解：由折叠得： ， 垂直平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ；
故①②正确，
∵四边形 是正方形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故③正确；
∵ 为等边三角形， ， ，∴ ， ，
设 ，则 ，
由勾股定理得： ，
∵四边形 是正方形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴四边形 为矩形，
∴ ，
∴ ，
∴在 中， ，
而 ，
∴ ，故④错误，
故选：B．
【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，折叠的性
质，三角形的内角和定理等知识点，综合性较强，难度较大．
58．（24-25八年级下·全国·期末）如图，在矩形 中， 的平分线 交 于点E，且
， 于点H，连接 并延长，交 于点F，连接 ．下列结论：① ；②
；③ ；④ ．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三
角形、利用矩形的性质证明
【分析】证明 为等腰直角三角形，得到 ，根据 ，判断①；根据等边对等角，结
合角的和差关系，三角形的内角和定理，推出 ，判断②；证明 判断③；
角平分线的性质，得到 ，根据线段的和差关系，推出 ，判断④即可．
【详解】解：∵矩形 ，
∴ ，
∵ 的平分线 交 于点E，∴ ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ， ；故①正确；
∵ ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；故②正确；
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ， ；故③正确；
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；故④正确；
故选D．
【点睛】本题考查矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，角平分
线的性质等知识点，熟练掌握相关知识点，理清角度，线段之间的关系，是解题的关键．
59．（24-25八年级上·山东泰安·期末）如图，在 中，对角线 ， 相交于点 ， ，
， ， 分别是 ， ， 的中点，连结 、 、 ， 交 于点 ．以下结论：①
；② ；③ 平分 ；④ ．其中正确的个数是（ ）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】C
【知识点】利用平行四边形性质和判定证明、与三角形中位线有关的证明、斜边的中线等于斜边的一半、
根据菱形的性质与判定求角度
【分析】连接 ， ，证明 ，由等腰三角形的性质得出 ，再由直角三角形的性质得出
，可判定①；证明四边形 是菱形，由菱形的性质得出 ，可判定②；四边形
为平行四边形， 是对角线，所以 不一定平分 ，可判定③；证明四边形 是平行四
边形，得出 ，可判定④．
【详解】解：①连接 ，
∵四边形 为平行四边形，
∴ ， ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∵E是 的中点，
∴ ，
∴ ，
∵G是 的中点，
∴ ，故①错误；
②连接 ，
∵E是 的中点，F是 的中点，∴ ， ，
∴ ，即 ，
∴
∵G是 的中点，
∴
∴
∴四边形 是菱形，
∴ ，故②正确；
∵四边形 为平行四边形， 是对角线，
∴ 不一定平分 ，故③错误；
④∵ ，
∴
∵ ，即 ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，故④正确；
∴正确的有②④关，共2个，
故选：C．
【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，直角 三角
形的性质，三角形中位线的性质，本题属四边形综合题目，熟练掌握相关判定与性质是解题的关键．
60．（22-23八年级上·四川达州·期末）如图，正方形 中，在 的延长线上取点E，F，使 ，
，连接 分别交 于H，G下列结论，下列结论：① ；② ；
③ ；④图中有8个等腰三角形．其中正确的是（ ）
A．①③ B．②④ C．①④ D．②③
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理的应用、等腰三角形的性质和判定、利用平行四边形的性质证明、根据正方
形的性质证明
【分析】本题主要考查对三角形的内角和定理，等腰三角形的性质和判定，正方形的性质，平行四边形的
性质和判定等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．
根据正方形的性质和已知推出四边形 是平行四边形，得到 ，无法证出G为的中点； ，推出 ，求出 ，得到 ，求出
即可；根据三角形的面积公式推出 和四边形 的面积相等；可得有9个等腰
三角形．
【详解】解：∵正方形 ， ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
要使 ，只要G为 的中点即可，
但 ，
∴ ，
即 和 不全等，
∴G不是 中点，
∴①错误；
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴②正确；
∵ ，
，
∴ ，
∴ ，
要使 和四边形 的面积相等，只要 和 的面积相等即可，根据已知条件
，
∴③ ；正确，等腰三角形有 ；
∴④错误；
故选：D．
61．（24-25八年级上·北京西城·期末）如图， 于点D， 交 于
点E，延长 交 于点F．有以下结论：① ；② ；③ ；④ ．其中
所有正确结论是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①④
【答案】B
【知识点】角平分线的性质定理、含30度角的直角三角形、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角
形
【分析】根据平行线的性质结合题意可证 ，即得出 ，故①正确；由平行线的
性质结合题意可证 ，又可求出 ，即得出 ，结合勾股定理即可求出
，故②错误；过点C作 于点G，根据角平分线的性质定理得出 ，再由
，即得出 ，故③正确；由题意可求 ，即得出 ，根据
，即 ，可证 ，故④错误．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故①正确；
∵ ， ，
∴ ，即 ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，故②错误；
如图，过点C作 于点G，∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，故③正确；
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，即 ，
∴ ，故④错误．
综上可知正确结论是①③
故选B．
【点睛】本题考查平行线的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，角平分线的性质定理，等腰
三角形的判定和性质，三角形外角的性质等知识，熟练掌握上述知识是解题关键．
62．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）如图，在 中， ， ， 平分 ，点
是 的中点，过点 作 的垂线与 的延长线相交于点 ，则下列结论中正确的个数 ；
； ； ．
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【答案】C
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三
角形、三角形角平分线的定义
【分析】由 ， ，得 ，由 平分 得 ，所以，则 ，而 ，所以 ，可证明 ，得
，可判断 正确；由 ，可判断 正确；求得
，可证明 ，可判断 错误；由
，且 ，推导出 ，可判断 正确，
于是得到问题的答案．
【详解】解： ， ， 平分 ，
， ，
，
，
，
点 是 的中点，
，
，
交 的延长线于点 ，
，
，
在 和 中，
，
，
，故 正确；
， ，
，故 正确；
， ，
，
不是等腰直角三角形，
，故 错误；
，，
，
，故 正确；
故选：C．
【点睛】此题考查直角三角形中 所对的直角边等于斜边的一半、角平分线的定义、全等三角形的判定
与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
63．（24-25八年级上·辽宁丹东·期末）甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行
米，先到终点的人原地休息，已知甲先出发 分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离 （米）
与甲出发的时间 （分）之间的关系如图所示，下列结论： 甲步行的速度为 米/分； 乙走完全程用
了 分钟； 乙用 分钟追上甲； 乙到达终点时，甲离终点还需要走 分钟．其中正确的结论有 ．
（填序号）
【答案】
【知识点】行程问题(一次函数的实际应用)
【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题所需要的条件，利用数形
结合的思想解答．
根据题意和函数图象中的数据可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．
【详解】解：由题意可得：甲步行速度 （米/分），故 正确；
设乙速度为： 米/分，
由题意得： ，
解得： ，
乙的速度为 米/分，
乙走完全程的时间 （分），故 正确；
由图可知，乙追上甲的时间为： （分），故 错误；
乙到达终点时，甲离终点的距离是： （米）,甲离终点还需要走： （分
钟），故 正确；
正确的结论有 ，
故答案为： ．64．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）公路旁依次有 、 、 三个村庄，小明和小红骑自行车分别从
村， 村同时出发匀速前往村（到了 村不继续往前骑行，也不返回），如图所示， 、 分别表示小明
和小红与 村的距离 和骑行时间 之间的函数关系，下列结论：① ， 两村相距 ；②小明
每小时比小红多骑行 ；③出发 后两人相遇；④图中 ．其中正确的是 ．（填序号）
【答案】①③
【知识点】行程问题(一元一次方程的应用)、从函数的图象获取信息
【分析】本题考查了从函数图象中获取信息、一元一次方程的应用，根据函数图象即可判断①；求出小明、
小红的速度即可判断②；设二人出发 后相遇，根据题意列出一元一次方程，解方程即可判断③；求出
小明到达 村所用时间即可判断④；采用数形结合的思想是解此题的关键．
【详解】解：由图象可得， ， 两村相距 ，故①正确；
小明的骑行速度为： ，
小红的骑行速度为： ，
小明每小时比小红多骑行 ，故②错误；
设二人出发 后相遇，
由题意可得： ，
解得： ，
故出发 后两人相遇，故③正确；
小明到达 村所用时间为 ，
∴ ，故④错误；
综上所述，正确的有①③；
故答案为：①③．
65．（24-25八年级上·山东青岛·期末）小亮家、小刚家、体育馆顺次在同一条直线上，周末小亮从家匀速
步行去体育馆打羽毛球．小亮出发4分钟经过小刚家时，小刚跟随小亮一起前往体育馆，两人走了4分钟
后，小刚发现自己忘记带装备，于是小刚加速返回家，取了装备后（取装备用了一段时间）又以返回家时
的速度赶往体育馆；小亮仍以原速度前行，结果小刚比小亮提前1分钟到达体育馆．若小亮与小刚两人和
体育馆之间的距离 （米）与小刚出发的时间 （分钟）之间的函数图象如图所示，则以下说法正确的是
（填写序号）．①小刚返回家的速度为250米/分钟； ②小亮与小刚家相距600米；
③小亮用了24分钟到达体育馆； ④小刚回家后用了0.6分钟取装备；
⑤小刚取了装备后追上小亮时距离小亮家2725米．
【答案】①②③④
【知识点】从函数的图象获取信息、动点问题的函数图象
【分析】本题考查从函数图象获取信息，根据题意和图象中的数据，可以分别计算出各个小题中的说法是
否正确，从而可以判断哪个小题符合题意．
【详解】解：由图象可得，
小刚返回家的速度为：
（米/分钟），
故①正确，符合题意；
小亮与小刚家相距为：
（米），
故②正确，符合题意；
小亮到体育馆用的时间为： （分），
故③正确，符合题意；
小刚从家到体育馆用的时间为：
（分），
小刚回家后取装备用的时间为：
（分），
故④正确，符合题意；
小刚取了装备后追上小亮时用的时间为 分钟，
，
解得 ，
∴小刚取了装备后追上小亮时距离小亮家距离为：
（米），
故⑤错误，不符合题意；
故答案为：①②③④．
66．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）如图，在等腰 中， ， ， 是 边上中线，点D、E分别在 边上运动，且保持 ．连接 ．在此运动变化的过程中，
下列结论：① 是等腰直角三角形；②四边形 的面积保持不变；③ 长度的最小值为2；④
．其中正确结论的序号是 ．
【答案】①②④
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，以及等腰直角三角形的判定与性质．①连接 ，证明
，可以得出结论正确；②根据两三角形全等时面积也相等得： ，利用割补法知：
， 是定点，所以△ 的面积是定值，即四边形 的面积保持不变；③由于
是等腰直角三角形，因此当 最小时， 也最小，可以得出结论正确；④根据
，判断即可．
【详解】解：连接 ，
， ，
，
是 边上的中点，
， ， ，
，
，
在 和 中，
，
，
， ，
，即 ，
是等腰直角三角形；故①正确；
∴ ，
，
，
．
四边形 的面积保持不变；故②正确；
∵ 是等腰直角三角形，
∴ ，
当 时， 的值最小，此时 的值最小，
∵ ， ， ，
∴ ， 为等腰直角三角形，
∴ ，
∴ 的最小值为 ，故③错误；
④∵ ，且 ，
∴ ．故④正确；
故答案为：①②④．
67．（24-25八年级上·北京顺义·期末）如图，在 中， ， ， 是 的中点，
， 分别是线段 ， 上的动点（点 不与点 ， 重合），且满足 ，给出下面四个结论：
① ；
② ；
③四边形 的面积为 ；
④点 到点 距离的最小值为 ．
上述结论中，所有正确结论的序号是 ．
【答案】
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、与三角形中位线有关的求解问题、根据正方
形的性质与判定求线段长
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形的中位线定理，正方形的判定与性质等知识点，
熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．取 、 中点 、 ，连接 ， ，利用 可证得 ，然后根据全等三角形的性质
即可判断结论①；根据 是 的中点，得到 ，进而可推出 ，据此即可判断
结论②；根据 ，可求出四边形 的面积，于是可判断结论③；根据 ，即可求
得点 到点 距离的最小值，进而可判断结论④；综上，即可得出答案．
【详解】解：取 、 中点 、 ，连接 ， ，
， 为 的中位线，
， ，
， ，
， ，
，
，
， ，
，
， ， ，
，
，故结论①正确；
四边形 为正方形，
，
是 的中点， ，
，
，故结论②正确；
，
，故结论③错误；
， ，
当 点移动到 ， 移动到点 时， 达到最小值，
，
，故结论④正确；
综上，正确的结论有： ，故答案为： ．
68．（24-25八年级上·山东烟台·期末）如图，在菱形 中， ， ，对角线 相
交于点O，P是对角线 上的一动点，则① ；② ；③若M为 上的一个动点，则
的最小值为 ；④若 于点M， 于点N，则 ．
其中正确的有 （填序号）．
【答案】①②③④
【知识点】用SAS间接证明三角形全等（SAS）、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、利用菱
形的性质证明
【分析】利用菱形的性质可证明 为等边三角形，以及 ，则可得到 ，
再利用等边三角形的性质可判断①；利用勾股定理可判断②；在 上截取 ，连接 ，可
证明 得到 ，则可推出当 三点共线，且 时 有最小
值，即此时 有最小值，最小值为 的长，据此可判断③；根据含30度角的直角三角形的性质得
到 ， ，据此可得判断④；．
【详解】解：∵四边形 是菱形， ，
∴ ， ， ， ，
∴ 为等边三角形， ，
∴ ，故①正确；
∵ ，
∴ ，故②正确；
如图所示，在 上截取 ，连接 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴当 三点共线，且 时 有最小值，即此时 有最小值，最小值为 的长，
∴ ，
∴ ，∴ 的最小值为 ，故③正确；
∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，故④正确，
∴正确的有①②③④，
故答案为：①②③④．
【点睛】本题考查菱形的性质、等边三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理、三
角形的内角和定理等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．
69．（23-24八年级下·吉林长春·期末）如图，在矩形 中， ， ．点E、F分别在边 、
上（点E不与A、D重合）且 ， 于点P，交 于点Q， 于点M，交 于
点N．给出下面四个结论：① ；② ；③四边形 是矩形；④ 平分四边形
的周长．上述结论中，所有正确结论的序号是 ．
【答案】①③④
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、利用矩形的性质证明
【分析】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握矩形的性质，证明三角
形全等是解题的关键．由勾股定理判断①，由反证法判断②，由矩形定义判断③，由三角形全等判断④即
可．
【详解】解：① ，故①正确；
②若 ，
∵ ， ， ，
∴ ，
又∵ 是矩形，
∴ ， ，∴ ，
∴
∴ ，
∴ ，与已知矛盾，故②错误；
③∵ ，
∴ 是矩形，故③正确；
④∵ ， ，
∴ ，
在矩形 中， ， ，
又∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
如图，设 、 分别交 于点J、K，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵四边形 是矩形，
∴ ， ，
∴ 平分四边形 的周长，
故④正确；
正确的序号为①③④．
故答案为：①③④．
70．（22-23八年级下·湖北武汉·期末）直线 为常数， ，且 与直线
为常数，且 交于点 ．下列四个结论：① ；
②关于 的方程 的解为 ；
③ 随着 的增大而减小；
④直线 沿 轴平移后得到直线 ，直线 交直线 于点 ，若点 的纵坐标为 ，则不等式 的解
集是 ．
其中正确的结论是 ．（填写序号）
【答案】①③④
【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集、已知直线与坐标轴交点求方程的解、一次函数图象平移
问题、一次函数图象与坐标轴的交点问题
【分析】根据一次函数的图象性质，一次函数与方程，一次函数与不等式，对每一项判断即可解答．
【详解】解：∵直线 为常数，且 经过点 ，
∴ ，
故①正确；
∵交点为 ，
∴关于 的方程 的解为 ，
故②错误；
∵直线 过 和 ，
∴ 随着 的增大而减小，
故③正确；
∵ ， ，
∴ ，
∴由图象可知：不等式 的解集是 ，
故④正确；故答案为：①③④．
【点睛】本题考查了一次函数的图象性质，一次函数与方程，一次函数与不等式，掌握一次函数图象及性
质是解题的关键．
71．（22-23八年级下·湖北武汉·期末）小明同学在研究函数 （ 为常数）时，得到
以下四个结论：①当 时， 随 的增大而增大；②当 时， 有最小值0，没有最大值；③该
函数的图象关于 轴对称；④若该函数的图象与直线 （ 为常数）至少有3个交点，则 ．其
中正确的结论是 ．（请填写序号）
【答案】①③④
【知识点】判断一次函数的增减性、求一次函数解析式
【分析】由题意知，当 时， ， 随 的增大而减小，当 时，
， 随 的增大而增大，当 时， ， 随 的增大而减小，
当 时， ， 随 的增大而增大，画出函数图象如图所示，然后对各选项进行判断
求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴当 时， ， 随 的增大而减小，
当 时， ， 随 的增大而增大，
当 时， ， 随 的增大而减小，
当 时， ， 随 的增大而增大，
∴函数图象如下：∴当 时， 随 的增大而增大；①正确，故符合要求；
当 时， 有最大值，②错误，故不符合要求；
函数的图象关于 轴对称，③正确，故符合要求；
当 时， ，
∴函数图象与 轴的交点坐标为 ，
由图象可知，若该函数的图象与直线 （ 为常数）至少有3个交点，则 ，④正确，故符合要
求；
故答案为：①③④．
【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，一次函数解析式．解题的关键在于正确的去绝对值得到函数
的解析式．
72．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）如图，在平面直角坐标系 中，菱形 的边长为 ，
． 点 是边 上一动点，点 在 上，且 ．有下列结论：
①点 的坐标为 ；
② ；
③四边形 的面积为定值；
④当 为 的中点时， 的面积和周长最小．
其中正确的有 ．（把你认为正确结论的序号都填上）
【答案】①②③
【知识点】利用菱形的性质求线段长、等边三角形的判定和性质、含30度角的直角三角形、全等的性质和
ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）
【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性
质，等腰三角形的性质，过点 作 ，垂足为点 ，由菱形的性质可得 ， ，即
得 ，可得 ，即可得 ，进而可得 ，，即可判断①；证明 可得 ，可得 ，即可判断②；
由全等三角形的性质得 ，可得 ，即可判断③；
由全等三角形的性质可得 为等边三角形，当 为 的中点时，可得 ，此时 最小，则
最小， 进而可得 最大，由 的周长 ，可
得此时 的周长最小，即可判断④；正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：①过点 作 ，垂足为点 ，则 ，
∵四边形 为菱形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴点 的坐标为 ，故①正确；
②连接 ，
∵四边形 为菱形，
∴ ， ，
∴ 和 是等边三角形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
即 ，故②正确；
③∵ ，
∴ ，
∴ ，故③正确；
④∵ ，
∴ ，
∵ ，∴ 为等边三角形，
当 为 的中点时，
∵ ，
∴ ，此时 最小，则 最小，
由③知 定值，可得 最大，
∵ ， 最小，
∴ 最小，
∵ 的周长 ，
∴此时 的周长最小，故④不正确；
综上，正确的有①②③，
故答案为：①②③．
73．（22-23八年级下·四川宜宾·期末）如图，矩形纸片 ， ， ，点 、 分别在矩形
的边 、 上，将矩形纸片沿直线 折叠，使点 落在矩形的边 上，记为点 ，点 落在 处，
连接 ，交 于点 ，连接 ．下列结论：①四边形 是菱形；②点 与点 重合时， ；
③ 的面积 的取值范围是 ．其中所有正确结论的序号是 ．
【答案】①③
【知识点】用勾股定理解三角形、根据菱形的性质与判定求线段长
【分析】本题主要考查了折叠问题与菱形的判定与性质、勾股定理的综合应用等知识，解题的关键是学会
利用参数，构建方程解决问题．
先判断出四边形 是平行四边形，再根据翻折的性质可得 然后根据邻边相等的平行四边形
是菱形证明，判断出①正确； 点 与点 重合时，设 表示出 利用勾股定理列出方
程求解得 的值，进而用勾股定理求得 ，判断出②错误； 当 过 点时，求得四边形 的最
小面积，进而得 的最小值，当 与 重合时， 的值最大，求得 最大值，即可判断③正确．
【详解】∵ ，
，，
，
，
，
，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
，
∴四边形 是菱形，故①正确；
，
，
点 与点 重合时，如图1所示：
设 则 ，
在 中，
即 ，
解得
，
，
，
，故②错误；
当 过点 时，如图 所示：此时， 最短，四边形 的面积最小，则 最小为
当 点与 点重合时， 最长，四边形 的面积最大，则 最大为 ，
∴ 故③正确．
故答案为： ①③．
74．（22-23八年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图，点 是正方形 的对角线 上一个动点，
于点 ， 于点 ，连接 ，有下列5个结论：① ；② ；③ 一
定是等腰三角形；④ ；⑤ 的最小值等于 ．其中正确结论的序号是 ．
【答案】①②④⑤
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定、根据矩形的性质与判定求线段长、
根据正方形的性质与判定证明
【分析】延长 交 于点N，延长 交 于点M，证明 得到 ，
即可判断①④；根据三角形的内角和定理即可判断②；根据P的任意性可以判断③；根据 ，当
最小时， 有最小值，即可判断⑤．
【详解】解：延长 交 于点N，延长 交 于点M，
∵四边形 是正方形．
∴ ， ，
又∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴四边形 是正方形， ，四边形 是矩形，∴ ，
∴ ，
在 与 中，
，
∴ ，
∴ ，故①④正确；
在 与 中， ，
∴ ，
∴ ，故②正确；
∵P是 上任意一点，
∴ 的长不确定，即 是等腰三角形不一定成立，故③错误；
∵ ，
∴当 时， 有最小值，即 有最小值，
∵ ，
∴此时P为 的中点，
又∵ ，
∴ ，即 的最小值为 ，故⑤正确；
故正确的是：①②④⑤．
故答案为：①②④⑤．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质，三角形内角和定理，等腰直角三角形的性质，
正确证明 ，以及理解P的任意性是解决本题的关键．
75．（23-24八年级下·安徽黄山·期末）如图，矩形 中， ，连接 ，分别以点 为圆心，
以大于 的长为半径画弧，两弧交于点 ，直线 分别交 于点 ，连接 ．
下列四个结论：
①四边形 是菱形；② ；③ ； 若 ， 则 ．
其中正确的结论是 ．（填序号）
【答案】 /
①④ ④①【知识点】线段垂直平分线的性质、利用矩形的性质证明、利用菱形的性质求面积、证明四边形是菱形
【分析】利用矩形的性质和线段垂直平分线证明 ，进而可得出四边形 是菱形，
无法证明 或 是 平分线，即不可得出 ，由菱形的面积公式可得出
，由菱形和矩形的性质即可证明 ，则 过点E作
交于点H，利用勾股定理即可求得 ，则 为等边三角形，即可判定．
【详解】解： 根据作图可得 是线段 的垂直平分线，
∴ ，
∵四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ 垂直平分 ，
∴ ，
∴四边形 是菱形，故①正确．
∵无法证明 或 是 平分线，
∴无法确定 ，故②错误．
由菱形的面积可得 ，故③错误．
∵四边形 是菱形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
设 ，则 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴
过点E作 交于点H，如图，则 ，
∴ ，
∴ 为等边三角形，
∴
则 ．故 正确．
综上：①④正确．
故答案为：①④．
【点睛】本题主要考查了菱形的判定以及性质，矩形的性质，全等三角形的判定以及性质，线段垂直平分
线的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质等知识，掌握这些性质是解题的关键．
题型五 几何证明与计算大综合
76．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）【问题背景】
如图 ，在四边形 中， ， ， ， ， 分别是 ， 上的点，
且 ，试探究图 中线段 ， ， 之间的数量关系．
【初步探索】
（1）小亮同学认为解决此问题可以用如下方法：如图 ，延长 到点 ，使 ，连接 ，先证
明 ，再证明 ，则可得到线段 ， ， 之间的数量关系是________．
（2）如图 ，在等腰直角三角形 中， ， ，点 ， 在边 上，且 ，
请写出 ， ， 之间的关系，并说明理由．
【结论应用】
如图 ，在四边形 中， ， ， ，在边 和 分别有一点 和点 ，
使 的周长恰好是 长的 倍，求此时 的度数．【答案】
【 初步探索 】
（1）
（2） ，理由见解析
【 结论应用 】
的度数是
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和HL综合（HL）、利用勾股定理证明线段平方关
系、多边形内角和问题
【分析】【 初步探索 】
（1）延长 到点 ，使 ，连接 ，即可证明 ，可得 ，再证明
，可得 ，即可得到线段 ， ， 之间的数量关系；
（2）过点 作 ，取 ，连接 ， ，即可证明 ，可得 ，
再证明 ，可得 ，又可证明 为直角三角形，则利用勾股定理即可得出
， ， 之间的关系．
【 结论应用 】
连接 ，延长 至点 ，使 ，连接 ，证明 ， ，
，从而最终得出 的度数．
【详解】解：【 初步探索 】
（1） ，理由如下：
如图 ，延长 到点 ，使 ，连接 ，
，，
在 和 中，
，
，
， ，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
，
；
（2） ， ， 之间的关系是： ，理由如下：
如图 ，过点 作 ，取 ，连接 ， ，
，
，
，
即 ，
， ，
，
在 和 中，
，，
， ，
，
，
， ，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
．
【 结论应用 】
如图 ，连接 ，延长 至点 ，使 ，连接 ，
在 和 中，
，
，
，
，
，
在 和 中，
，，
， ，
的周长恰好是 长的 倍，
，
，
在 和 中，
，
，
，
，
，
，
，
，
且 ， ，
，
，
所以， 的度数是 ．
【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了全等三角形的性质和判定，四边形的内角和定理，勾股定理，
等腰直角三角形的性质等知识点，运用类比的方法作辅助线构建全等三角形是解题的关键．
77．（23-24八年级上·福建宁德·期末）验证勾股定理：
课本原题：1876年，美国总统伽菲尔德（ ）利用图1验证了勾股定理，你能利用它验
证勾股定理吗？(1)小明在验证完后，突发灵感，用两个全等的直角三角形纸片（ ， ，
（ ）， ）拼出如图2能验证勾股定理的图形（顶点A，E重合，顶点F在
边上，连接 ， ）
解：用两种方法计算四边形 的面积，
方法1：四边形 的面积 _______，
方法2：四边形 的面积 _______，
因为这两种方法都表示四边形 的面积，可得等式：_______．
化简可得： ．
(2)请你仿造小明的思路，用两个全等的直角三角形纸片拼出一个不同于图1，图2的能验证勾股定理的图
形，画出示意图，写出验证过程．如果你没有思路，请利用图1进行验证．
【答案】(1) ， ，
(2)见解析
【知识点】勾股定理的证明方法
【分析】本题考查的是勾股定理的证明方法的探究，掌握探究的方法是解本题的关键；
（1）根据三角形的面积公式直接解答即可；
（2）先构建图形，如图所示，由全等的性质推出 ， ， ，求得
；可得 ；结合 且 ，可
得 ，即可证明勾股定理．
【详解】（1）解：用两种方法计算四边形 的面积，
方法1：四边形 的面积 ，
方法2：四边形 的面积 ，
因为这两种方法都表示四边形 的面积，可得等式： ．
化简可得： ．
（2）如图，将两个全等的直角三角形 和 ，如图所示那样摆放，且 ．
点F落在 上，点C与点E重合，斜边 与斜边 交于点M，连接 ．求证： ，
证明：由题意得 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ．
∵ ，
即 且 ，
∴
=
，
∴ ，即 ．
78．（24-25八年级上·江苏泰州·期末）已知， 点D在直线 右侧．
(1)如图1，若 请直接写出 和 之间的数量关系：
(2)如图2，若 则 和 有怎样的数量关系？证明你的结论．
(3)如图3，若 ，点E为 的中点，连接 并延长交 的延长线于点F，连接 ．
①若 ，求 的长；② ，求 的长．
【答案】(1) ，证明见解析
(2) ，证明见解析；
(3)① ，②
【知识点】全等三角形综合问题、线段垂直平分线的判定、三线合一、用勾股定理解三角形
【分析】（1）先证明 ， ，再证明 ，从而可得结论；
（2）如图，记 的交点为 ，设 ，求解 ，证明
，可得 ， ，从而可得结论；
（3）①如图，过 作 于 ，作 于 ，求解 ，证明 是 的垂直
平分线，可得 ，证明 ， 为等腰直角三角形，可得 ，再进一步
求解即可；
②如图，过 作 于 ，交 于 ，设 ，而 ， ， ，可得
，证明 ， ，可得 ，而 ，可得
，再进一步求解即可．
【详解】（1）解： ，理由如下：
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解： ，理由如下：如图，记 的交点为 ，
设 ，
∵ ，
∴ ，∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
（3）解：①如图，过 作 于 ，作 于 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， 是 的中点，
∴ ，
∴ 是 的垂直平分线，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
②如图，过 作 于 ，交 于 ，
设 ，而 ， ， ，
∴ ，∵ 是 的中点， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
而 ，
∴ ，
解得： ，
∴ ．
【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，线段的垂直平分
线的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键．
79．（23-24八年级下·陕西安康·期末）【问题提出】
（1）如图 ，在 中， ， ， ， 为边 的中点，连接 ，则 的长
为____________．
【问题探究】
（2）如图 ，在四边形 中， ， ， ， ，且 为 的中点，连接 ，
求线段 的最大值．
【问题解决】
（3）为了落实国家关于劳动实践教育的政策，使同学们掌握劳动技能和科学知识，体验劳动的快乐，某
学校计划利用学校内一块四边形空地 规划建立劳动教育综合实践基地．如图 ， 是 的中点，
把四边形分成了两部分，其中四边形 内种植油葵， 内种植豌豆， 是步行通道．为方便
种植，要让步行通道 最长．若 米， ， ，且 ，修建步行通道
每米花费 元，则学校修建步行通道 最多需要花费多少钱？（参考数据： ）
【答案】（1） ；（2） ；（3） 元【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关
的求解问题、斜边的中线等于斜边的一半
【分析】（1）用勾股定理可得 ，根据直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，即可求得 ；
（2）连接 ，取 中点为点 ，连接 ， ，用勾股定理可得 ，用中位线定理和直角三角形中，
斜边上的中线等于斜边的一半可得 ， 的值，根据图象即可得出 的最大值为 ．
（3）连接 ， ，延长 交于点H，根据 ，得 ；证明 ，
得 ，根据 ， ， ， ，又因为
， 所处的位置为 的垂直平分线，此时 取最大值；设 ，根据勾股定理可得，
， ，在直角 中由勾股定理求得 ，在直角 中，由勾股定理建
立方程求得 ，代入 中可求出 ，从而得出 最长为 米，则求出学
校修建步行通道 最多需要花费的钱数．
【详解】解：（1）∵ ， ， ，
，
∵ 为边 的中点，
∴ ，
∴ ，
故答案为 ．
（2）连接 ，取 中点为点 ，连接 ， ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∵ 中点为点 ，且点 为 的中点， ，
∴ ，
∵ ， 中点为点 ，
∴ ，
由图象可得， 的最大值为 ，故线段 的最大值为 ．
（3）如图，连接 ， ，延长 ， 相交于H点，
∵ ，E为 中点，
∴ ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 为 中点，
∴ ；
∵ ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
即当 时， 最大，从而 最大，此时 垂直平分 ，
故 ；
设 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，∵ ，
即 ，
化简可得 ，
∴ ，
∴ 最长为 米，
∴则学校修建步行通道 最多需要花费 （元）．
【点睛】本题考查了勾股定理解直角三角形，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形中位
线定理，平行线的性质和判定，垂直平分线的性质等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键．
80．（23-24八年级下·内蒙古通辽·期末）已知 和 都是等腰直角三角形， ，
绕着顶点A旋转．
(1)如图1，若D点恰好落在 边上，连接 ．
①求证： ；
②若G为 中点，连接 ，当点D在直线 上运动时，若 ，求线段 的最小值；
(2)若D不在 边上， 交 于点F，且 ， ．当 是直角三角形时，求 长．
（图2，图3是备用图）
【答案】(1)①见解析；②
(2) 或2
【知识点】根据旋转的性质求解、用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定、全等的性质和SAS综
合（SAS）
【分析】（1）①由 ，得 ，根据全等三角形的判定，即可证得结论；
②由 ，得 ，即知点E的运动路径是过点C与 垂直的一条直线，故当
时， 最小，此时 是等腰直角三角形，从而得到答案；（2）先证明 ，可得 ，然后分两种情况：
①当 时，证明 是等腰直角三角形，可得 ，从而 ，即可求得答案；
②当 时，过点A作 于点H，证明B、D、F三点共线，求出 ， ，根
据勾股定理求得 ， 即得答案．
【详解】（1）①证明： ，
，
， ，
，
；
②如图，
由①知 ，
，
，
，
点 E的运动路径是过点C与 垂直的一条直线，
当 时， 最小，此时 是等腰直角三角形，
，
G为 中点， ，
，
，
最小值为 ；
（2） ,
,
, ,
,
,
①当 时，如图，是等腰直角三角形，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
；
②当 时，过点A作 于点H，如图，
，
，
，
，
，
，
B，D，F三点共线，
是等腰直角三角形， ， ，
， ，
，
；
综上所述， BD的长为 或2．
【点睛】本题考查几何变换的综合应用，涉及全等三角形判定与性质，等腰直角三角形性质及应用，二次
根式的化简，勾股定理及应用等知识，解题的关键是分类讨论思想的应用．
81．（23-24八年级上·吉林长春·期末）解答（1）方法原型：如图①点B、A、C在同一条直线上， ， 且 ， ，
则 ．
（2）问题解决：（1）中的 之间的数量关系为 ．
（3）拓展延伸：如图②， 中， ， ，点D为射线 上一点，以 为
直角边在 的右侧作等腰 ，使 ．
i．如图②，连结 ，当 时，求 的面积．
ii．如图③，当 时，请直接写出点E到边 的距离．
【答案】（1）证明见解析；（2） ；（3）i． ；ii．
【知识点】用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者
AAS）
【分析】此题主要考查了等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，正
确的添加辅助线构造全等三角形是解题的关键．
（1）由 ， ，得到 ，由 得到 ，又由已
知 ，即可证明 ；
（2）由全等三角形的性质得到 ，则 ，又由 ，即可证明
结论；
（3）i．作 于点M， 交 的延长线于点N，依次求出 ， ，则
，由 是等腰直角三角形，且 ，得到 ，由（1）可得
，则 根据三角形面积公式即可得到答案；
ii．连接 ，作 于点G， 交 的延长线于点H，依次求出 ，
，由（1）可得， ，则 得到 ，则 ，
即可证明 是等腰直角三角形，进一步得到 ，即可 ，根据勾股定理求出
即可．
【详解】（1）证明：如图①，∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，∴ ；
（2）如图①，∵ ，
∴
∴
∵ ，
∴ ，
故答案为：
（3）i．如图②，作 于点M， 交 的延长线于点N，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 是等腰直角三角形，且 ，
∴ ，
由（1）可得 ，
∴
∴ ，
即 的面积为 ．
ii．如图③，作 于点G， 交 的延长线于点H，
∵ ，
∴ ，∴ ，
由（1）可得， ，
∴
∴ ，
∴
∵
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴点E到边 的距离为 ．
82．（23-24八年级上·四川成都·期末）在 和 中，点D在 边上， ，
．
(1)若 ．
ⅰ）如图1，当 时，连接 ，证明： ；
ⅱ）如图2，当 时，过点A作 的垂线，交 边于点F，若 ， ，求线段 的长；
(2)如图3，已知 ，作 的角平分线交 边于点H，若 ， ，当 时，
求线段 的长．
【答案】(1)ⅰ）证明过程见详解；ⅱ） ；
(2)
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、含30度角的直角三角形、等腰三角形的性质和判定、用勾股
定理解三角形
【分析】（1）ⅰ）用 证明 ，进而证得 是直角三角形，即可得结论；
ⅱ）连接 ，作 交 的延长线于点G，用 证明 ，得 ，
都是等边三角形，再利用等边三角形的性质及勾股定理建立方程即可求解；（2）延长 至N，使 ，连接 ，交 的延长线于点M，连接 ，
作 于P，用 证明 ，再利用等腰三角形的性质及勾股定理建立方程即可求解；
【详解】（1）ⅰ）证明： ，
，
在 和 中，
，
，
， ，
，
，
；
ⅱ）解：连接 ，作 交 的延长线于点G，
， ， ，
， 都是等边三角形，
在 和 中，
，
，
， ，
，
，
，
， ，
，，
，
是 的垂直平分线，
，
设 ，则 ，
在 中， ，
即 ，
解得 ，
即线段 的长为 ．
（2）解：延长 至N，使 ，连接 ，交 的延长线于点M，连接 ，
作 于P，
，
，
，
，
，
，
在 和 中，
，
，
， ，
，
，
，中， ， ，
，
，即 ，
，
，
，
，
，
，
是 的角平分线， ，
是线段 的垂直平分线，
，
设 ，则 ， ，
在 中， ，
即 ，
解得， ，
所以线段 的长为 ．
【点睛】本题是三角形的综合题，考查的是全等三角形的判定和性质、勾股定理、以及线段垂直平分线的
性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
83．（23-24八年级上·四川成都·期末）在四边形 中， ， ，点E是 边上一点，
连接 ，将 沿直线 翻折得到 ，射线 交边 于点G．
(1)如图1，求证： ；
(2)当 时．
（i）如图2，若四边形 的面积为24，且当点G与D重合时， ，求 的长；
（ⅱ）在 边上取一点H，连接 ，使得 ，若 的面积是 的面积的2倍，求
的长．
【答案】(1)见解析(2)（i） ；（ⅱ） 或
【知识点】折叠问题、用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定、全等的性质和HL综合（HL）
【分析】（1）根据折叠得出 ，根据平行线的性质得出 ，证明
，根据等腰三角形的判定得出 ；
（2）（i）根据四边形 的面积为24得出 ，求出 ，设 ，
则 ， ，根据勾股定理得出 ，即 ，求出
即可得出答案．
（ⅱ）证明 ，得出 ，根据 的面积是 的面积的2倍，
， ，得出 ，设 ，则 ，分两种情况：当点H在
点E的左侧时，当点H在点E的右侧时，画出图形，求出结果即可．
【详解】（1）证明：根据折叠可知， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：（i）∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
设 ，则 ，
∴ ，
根据折叠可知， ， ，
∴ ，
在 中，根据勾股定理得：
，
即 ，解得： ，
∴ ．
（ⅱ）根据题意得： ， ， ，
由（1）得： ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中 ，
∴ ，
∴ ，
∵ 的面积是 的面积的2倍， ， ，
∴ ，
设 ，则 ，
当点H在点E的左侧时，如图所示：
∴ ，
∴ ，
根据折叠可知， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得： ，负值舍去，
∴ ；
当点H在点E的右侧时，如图所示：∴ ，
∴ ，
根据折叠可知， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得： ，负值舍去，
∴ ；
综上分析可知，当 的面积是 的面积的2倍时， 或 ．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，平行线的性质，
折叠的性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质，注意分类讨论．
84．（23-24八年级上·江西抚州·期末） 的 所对边分别是a，b，c，若满足 ，
则称 为类勾股三角形，边c称为该三角形的勾股边．
【特例感知】如图1，若 是类勾股三角形， 为勾股边，且 ， 是中线，求
的长；
【深入探究】如图2， 是 的中线，若 是以 为勾股边的类勾股三角形，①分别过A，B
作 的垂线，垂足分别为E，F，求证
②试判断 与 的数量关系并证明；【结论应用】如图3，在四边形 中， 与 都是以 为勾股边的类勾
股三角形，M，N分别为 的中点，求线段 的长．
【答案】【特例感知】CM的长为6；【深入探究】①证明见解析；②AB与CM相等，理由见解析；【结
论应用】MN的长为5．
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三
角形
【分析】（1）根据 是类勾股三角形， 为勾股边，有 ，得到 ，根据
， 是中线，可得 ，即可求解；
（2）①根据 ，得到 ，再根据 即可求
证；②根据 ，可得 ， ，再根据
，可得 ，进而得到 ，最后根据 ，
，可得 ；
（3）连接 ，由【深入探究】可得： ，进而得到 ，根据 为
的中点，可得 ，进而求解.
【详解】（1）解： 是类勾股三角形， 为勾股边，
，
，
，
，
， 是中线，
，
（2）①证明： ，
，
，
．
② 与 相等，理由如下，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
（3）解：连接 ，
与 都是以 为勾股边的类勾股三角形，
为 的中点，
由【深入探究】可得： ，
，
为 的中点，
，
，
【点睛】本题考查的是类勾股三角形的定义、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、勾股定理的
应用，正确理解类勾股三角形的定义，灵活运用勾股定理是解题的关键．
85．（23-24八年级上·上海长宁·期末）已知在 ， ，点P在边 上，连接 ．(1)如图1，如果点P在线段 的垂直平分线上，求证： ；
(2)过点P作 ，交边 于点D，
①如图2，如果点P是线段 的中点，且 ，求 的度数；
②填空：如果 ， ，且 是以 为腰的等腰三角形，那么 的长等于 ．
【答案】(1)见解析
(2)① ；② 或
【知识点】用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定、线段垂直平分线的性质、全等三角形综合问
题
【分析】（1）由线段垂直平分线的性质得 ，则 ，再证 ，得 ，即
可得出结论；
（2）①取 的中点E，连接 ，由直角三角形斜边上的中线性质得 ，再证
，得 ，则 ，即可解决问题；
②分两种情况，a、 时，b、 时，由直角三角形的性质和勾股定理分别求出 的长即
可．
【详解】（1）证明：∵点P在线段 的垂直平分线上，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：①如图2，取 的中点E，连接 ，
则 ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，∵ ，
∴ ，
∵ ，点P是线段 的中点，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
即 的度数为 ；
②∵ ， ， ，
∴ ，
分两种情况：
a、如图3， 时，
由（1）可知， ，
过点P作 于点M，
则 ，
∴ ，
设 ，则 ，
在 和 中，由勾股定理得： ，
即 ，
解得： ，∴ ，
∴ ；
b、如图4， 时， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
在 中，由勾股定理得： ，
即 ，
解得： ，
∴ ；
综上所述， 的长等于 或 ，
故答案为： 或 ．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与
性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握全等三角
形的判定与性质、等腰三角形的性质以及勾股定理是解题的关键，属于中考常考题型．
86．（23-24八年级上·四川成都·期末）如图1，在 中， ， ，点 为
内部一点， ，连接 ，将 绕点 逆时针旋转 得到 ，连接 交 于点 ，连接
．(1)求证： ；
(2)如图2，当点 落在 上时，求 的度数；
(3)如图3，若 为 的中点， ，求 的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【知识点】用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定、全等三角形综合问题、三角形内角和定理的
应用
【分析】（1）利用等腰三角形性质，结合全等三角形的判定定理，即可得证 ；
（2）过点 作 于点 ，连接 ，过点 作 ，交 于点 ，如图所示，利用三角形
全等的判定得到 、 ，再由（1）中 ，利用全等
性质，结合三角形内角和定理即可得到 ，设 ，列方程求解即可得到答案；
（3）过点 作 ，交 于点 ，如图所示，由三角形全等的判定得到 、
，再由（1）中 ，利用全等性质，结合等腰直角三角形判定与性质及
勾股定理求解即可得到答案．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（2）解：过点 作 于点 ，连接 ，过点 作 ，交 于点 ，如图所示：
在 和 中，构成了“ ”字形，由于 ，对顶角 ，则，
， ，
，则 ，
，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵由（1）中 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
设 ，则 ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：过点 作 ，交 于点 ，如图所示：
则 ， ，
∵ ，
∴ ，∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵由（1）中 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴在 中，由勾股定理可得 ，
∴ ．
【点睛】本题考查全等综合，涉及全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识，
熟记三角形全等的判定与性质是解决问题的关键．
87．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图1，在四边形 中， ，点E在 上， 平分
， 平分 ， ．
(1)求证：四边形 是平行四边形；
(2)如图2，四边形 对角线交于点O，连接 ，
①探究 之间的等量关系，并说明理由；②若 ， ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)① ；理由见解析；②
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定、利用平行四边形
的判定与性质求解、斜边的中线等于斜边的一半
【分析】（1）根据角平分线的定义得出 ， ，根据
，得出 ，根据平行线的判定得出 ，
根据 ，即可证明结论；
（2）①延长 交 于点F，证明 ，得出 ， ，证明 ， ，
得出 ，根据直角三角形的性质得出 ， ，证明
，即可证明结论；
②过点E作 于点M，过点O作 于点N，根据中位线性质得出 ， ，
证明 ，得出 ，求出 ，证明四边形 为平行四边形，得出
，证明 ，得出 ，求出 ，根据勾股定理得出
， ，根据
，求出 ，最后求出结果即可．
【详解】（1）证明：∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 为平行四边形；
（2）解：① ；理由如下：
延长 交 于点F，如图所示：∵四边形 ，
∴ ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
同理得： ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴点F为 的中点，
∵ 为直角三角形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ；
②过点E作 于点M，过点O作 于点N，如图所示：∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴四边形 为平行四边形，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴在 中，根据勾股定理得： ，
∴在 中，根据勾股定理得： ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，负值舍去．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，
勾股定理，直角三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质．
88．（23-24八年级下·辽宁丹东·期末）问题背景：
（1）数学活动课上，老师提出了一个问题：如图1，点E为 的边 上一点，连接 ， ，请探究 的面积与 面积的关系？“领航”学习小组在数学活动中发现： 的面积等于
面积的2倍．请你写出完整的解答过程．
尝试应用：
（2）如图2，长方形 中，点E为 边上一点，点F为 右侧一点， ，若
， ， ，则 的长为______；
深入思考：
（3）如图3， 中，点E为 边上一点，点F为 边上一点，连接 ， 交于点G，连接 ，
若 ，求证： 平分 ；
拓展创新：
（4）如图4， 和 中， 为锐角，点D在 边上，点B在 边上， ，垂足为
F，且 ，若 ， ， ，求 的长．
【答案】（1）证明见解析； （2） ；（3）见解析；（4）
【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解、根据矩形的性质与判定求线段长
【分析】（1）过点E作 于点F，根据题意得到 ； ，进而求解即
可；
（2）过点D作 ，连接 ，首先证明出四边形 是矩形，得到 ，然后利用勾股
定理求出 ，设 ，则 ，然后利用 列
方程求解即可．
（3）连接 ， ，过点A作 于M，作 于N，得到 ，
，得到 ，进而求解即可；
（4）作 ，连接 ，过点H作 于点G， 于点Q，过点E作 于M，由
（3）知 平分 ，然后根据勾股定理求解即可．
【详解】（1）证明：过点E作 于点F
∴ ； ；
∴（2）如图所示，过点D作 ，连接
∵
∴四边形 是矩形
∴
∵ ，
∴
∴
∴
∵四边形 是矩形
∴ ， ，
∴设 ，则
∴
∴
∴
∴
∴
∴ ；
（3）连接 ， ，过点A作 于M，作 于N，
由（1）知∴ ，即
∵
∴
∴点A在 的平分线上，即 平分 ；
（4）作 ，连接 ，过点H作 于点G， 于点Q，过点E作 于M，
∵ ，
∴由（3）知 平分
∵ ，
∴
∴ ，
∵ ， ，由勾股定理得，
∵ ， ，
∴ ，
∴在 中，由 可得 ，
∴
在 中，∵ ， ，
∴ ，
在 中，
∵
∴ ，
∴ ．
【点睛】此题考查了矩形的性质，平行四边形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是添加辅助线构造平
行四边形．
89．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）综合与实践
【性质探究】
（1）如图1，在四边形 中，对角线 ， 交于点 ，且 ，求证：
．【性质运用】
（2）如图2，在 中， ， ， ，分别以 的边 ， 为直角边
向外作等腰 和等腰 ．连接 ， ， ， 与 交于点 ，求线段 的长．
【拓展迁移】
（3）如图3，在锐角三角形 中， ， ， ，分别以 的边 ， 为边向
外作等边三角形 和等边三角形 ．连接 ， ， ， 与 交于点 ．试通过计算写出
与 之间的等量关系．
【答案】（1）见解析；（2） ；（3）
【知识点】二次根式的乘法、等腰三角形的性质和判定、利用勾股定理求两条线段的平方和（差）、根据
矩形的性质与判定求线段长
【分析】（1）由勾股定理得 ， ， ， ，
即可得出结论；
（2）连接 、 交于点 ， 交 于 ，先证 ，得 ，再证
，则 ，然后求出 ， ， ，代入计算即可求出
的长；
（3）过点 作 ，过点 作 ，垂足分别为 ，连接 ，过点 作 ，交
于点 ，交 于点 ，过点 作 于点 ，交 于点 ，证明 ，四边形
是矩形，则 ，分别求得 ，进而即可求解．
【详解】（1）证明： ，
，
， ， ， ，
， ，
．
解： 和 是等腰直角三角形，
， ， ，
，
即 ，
，，
， ，
，
，
，
由（1）得： ，
在 中， ，
，
在 中， ，
，
在 中， ， ， ，
，
解得： ；
（3）如图所示，过点 作 ，过点 作 ，垂足分别为 ，连接 ，过点 作
，交 于点 ，交 于点 ，过点 作 于点 ，交 于点 ，
∴
∵ ，等边三角形 和等边三角形
∴ ， ，
∴四边形 是矩形， ，
∴
∵
∴ ，
又∵
∴
∴∴ ， ，
∵ ，
∴四边形 是矩形，则 ，
在 中， ，则
∴ ，
∴ ，
在 中， ；
∵ ，
∴四边形 是矩形， ，
∴ ， ，
在 中， ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了矩形的性质与判定，对角线互相垂直的四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等
边三角形的性质、勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
90．（23-24八年级下·吉林长春·期末）教材呈现：
如图是华师版八年级下册数学教材第101页的部分内容，
如图，点 是矩形 的边 上的一个动点，矩形的两条边长 分别为8和
15，求点 到矩形的两条对角线 和 的距离之和．问题解决：
如图①，过点 分别作 ，分别交 于点 、 ，设 与 相交于点 ，
连结 ，利用 与 的面积之和是矩形面积的 ，可知点 到矩形的两条对角线 和 的距
离之和(即 )为______．
实践应用：
（1）如图②，在 中， 为底边 上的任意一点，过点 作
，垂足分别为 ，求 的值．
（2）如图③，在矩形 中，点 分别在边 上，将矩形 沿直线 折叠，使点 恰
好与点 重合，点 落在点 处．点 为 上一动点(不与 重合)，过点 分别作直线 的垂
线，垂足分别为点 和 ，以 为邻边作平行四边形 ． ，直接写出
的周长______．
【答案】问题解决： ；（1） ；（2）8
【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解、矩形与折叠问
题【分析】问题解决：根据勾股定理求得 ，利用“ 与 的面积之和是矩形面积的
”列出方程，即可求解；
（1）作 于D，利用三线合一性质求出 、再用勾股定理求出 ，再用等面积法求解即可；
（2）证明 是等腰三角形， ，再用等面积法得到 ，
从而求出 ，继而得解．
【详解】解：问题解决：
∵在矩形 中， ， ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∵ 与 的面积之和是矩形面积的 ，即
∴ ，
∴ ；
（1）作 于D，连接 ，
又∵在 中， ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
（2）8，理由如下：
∵四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
∵将矩形 沿直线 折叠，使点 恰好与点 重合，
∴ ，
∴
∴ 是等腰三角形， ，
连接 ，与（1）同理得： ，
即
∵ ，
∴ ，
∴平行四边形 的周长为 ．
故答案为：8．
【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质，
熟练掌握题中给定的方法是解题的关键．
91．（23-24八年级下·浙江金华·期末）如图1，在矩形 中， ，点 ， 分别是 ， 的
中点，连结 ，交 于点 ．
(1)当 且 时，如图2，求 的面积．
(2)若 ，求此时 的值．
(3)连结 ，请问 能否为等腰三角形，若能，求出 的值，若不能，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)能， 的值为 或
【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的求解问题、根据矩形的
性质与判定求线段长
【分析】（1）连接 ，根据中点、矩形的性质、三角形的面积公式，推出 ，，根据 ，当 且 时，则 ，得出 ，计算
，计算 ，最后根据 ，计算得出答案即可；
（2）过点 作 于点 ，和 相交，连接 ，根据矩形的性质、等腰三角形三线合一的性质，
证明 是 的中位线， 是 的中位线， 是 的中位线，根据中位线的性质，得出
， ，推出 ，证明三角形 是等边三角形，根据等边三角形
的性质，推出 ，根据含 角的直角三角形的性质，得出 ，结合勾股定理计算
，根据 ，计算得出答案即可；
（3）分“当 时”、“当 时”和“当 时”三种情况讨论．情况一，当
时，在（2）辅助线基础下，过点 作 于点 ，交 于点 ，根据矩形的性质与判定，证明四边
形 是矩形，由（2）得：点 是 中点，直线 和 相交于点 ， ，
，推出 是 的中位线，得出 ，推出
，结合勾股定理计算 ，得出
，根据 ，计算得出答案即可；情况二，当 时，在
（2）辅助线基础下，过点 作 于点 ，由（2）得： ，推出 ，由情况一得：
， ，推出 ，结合勾股定理计算
，根据 ，计算得出答案即可；情况三，当 时，根据矩形的性质、等腰
三角形三线合一的性质，推出 ，根据当 时，推出点 是 的中点，得出此时 是
的中位线，则 ， ，根据点 是 和 相交所得，故 和 平行的情况不
存在，故 的情况不存在．
【详解】（1）解：如图，连接 ，
∵在矩形 中， ，点 ， 分别是 ， 的中点，∴ ， ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
当 且 时，则 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：如图，过点 作 于点 ，和 相交，连接 ，
∵四边形 是矩形，
∴ ， ，
∴点 是 中点， 平分 ，
∵ 和 是对顶角，
∴直线 平分 ，
∴直线 和 相交于点 ，
∵点 ， 分别是 ， 的中点，
∴ ， 是 的中位线， 是 的中位线， 是 的中位线，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴三角形 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：能，
情况一，如图，当 时，在（2）辅助线基础下，过点 作 于点 ，交 于点 ，
∴ ， ，
∴四边形 是矩形，
∴ ， ，
∴ ，
∵由（2）得：点 是 中点，直线 和 相交于点 ， ， ，
∴ ， ， ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵点 是 的中点，
∴ ，
∴点 是 的中点，
∴ 是 的中位线， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
情况二，如图，当 时，在（2）辅助线基础下，过点 作 于点 ，
∴ ， ，
∵由（2）得： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵由情况一得： ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
情况三，当 时，
如图，连接 ，
∵四边形 是矩形，
∴ ， ，
∵点 是 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，当 时，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即点 是 的中点，
∵点 是 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ，
∴ ，
∵点 是 和 相交所得，
∴ 和 平行的情况不存在，
∴ 的情况不存在；
综上所述， 能为等腰三角形， 的值为 或 ．
【点睛】本题主要考查了矩形的判定与性质、三角形中位线的定义与性质、等边三角形的判定与性质、含
角的直角三角形的性质、勾股定理等知识，灵活运用知识点推理证明、数形结合、分类讨论是解题的
关键．
92．（23-24八年级下·山西长治·期末）实践与探究
【问题情境】
数学课活动课上，老师提出了一个问题：图①是华东师大版八年级下册教材中我们研究过的图形，正方形
的对角线相交于点 ，点 又是另一个正方形． 的一个顶点，如果两个正方形的边长相等，
那么正方形 绕点 无论怎样旋转，两个正方形重叠部分的面积总等于一个正方形面积的四分之一．
理由如下：
证明：如图②，分别作 于点 ，
，
又 ，
，
又∵ ，
且 ，
，，
【初步感知】
（ ）请你补全以上证明过程；
（ ）我们知道正方形是中心对称图形，受图①启发，成功小组画出了图③，直线 经过正方形
的对称中心 ，直线 分别与 交于点 ，直线 分别与 交于点 ，且 若
正方形 的面积是 ，则四边形 的面积为______；
【深入探究】
（ ）受图③的启发，探究组做了图④，若 ，求四边形
的面积；
【拓展应用】
（ ）如图④，请写出线段 与 之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（ ）证明见解析；（ ） ；（ ） ；（ ） ，理由见解析．
【知识点】同(等)角的余(补)角相等的应用、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理
解三角形、根据正方形的性质证明【分析】（ ）根据题意补全证明过程即可；
（ ）根据（ ）的结论即可求解；
（ ）如图 ，构造正方形 ，点 为正方形对角线的交点，可得 ，即得
，由 即可根据（ ）的结论求解；
（ ）证明 可得 ，即得 ，在 中利用勾股定
理即可求解；
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，余角性质，勾股定理，掌握正方形的性质是解题的
关键．
【详解】（ ）证明：如图②，分别作 于点 ，
，
又 ，
，
又∵ ，
且 ，
，
∴ ，
∴ ，
即正方形 绕点 无论怎样旋转，两个正方形重叠部分的面积总等于一个正方形面积的四分之一；
（ ）由（ ）的结论可得， ，
故答案为： ；
（ ）如图 ，构造正方形 ，点 为正方形对角线的交点，
则 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
由（ ）可得， ；（ ） ，理由如下：
∵四边形 是正方形，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ．
93．（23-24八年级下·江苏淮安·期末）定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形称为“等补四边形”．
(1)下列选项中一定是“等补四边形”的是______．
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
(2)如图1，在边长为4的正方形 中， 为 边上一动点（ 不与 重合）， 交 于点 ，
过 作 交 于点 ．
①试判断四边形 是否为“等补四边形”，并说明理由；②如图2，连接 ，求 的周长；
③若四边形 是“等补四边形”，求 的长．
【答案】(1)D
(2)①四边形 是等补四边形，见解析；② ；③ 或者
【知识点】全等三角形综合问题、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质证
明
【分析】（1）在平行四边形、矩形、正方形、菱形中，只有正方形的邻边相等且对角互补，符合等补四
边形的定义，即可得到问题的答案；
（2）①先证A、B、H、F四点共圆，利用圆周角定理可得 ，进而求出
，利用等角对等边得出 ，最后利用“等补四边形”的定义即可证明；
②将 绕A点逆时针旋转 得到 ，证明 ，再证 ，得出
，即可求出 的周长；
③根据 ，四边形 是“等补四边形”可得四边形 有一组邻边相等，然后分
、 、 、 四种情况讨论即可．
【详解】（1）解：在平行四边形、矩形、正方形、菱形中，只有正方形的邻边相等且对角互补，
∴正方形是等补四边形，
故选：D．
（2）解：①四边形 是“等补四边形”，理由如下：
∵ 为正方形 的对角线，
∴ ，
又 ， ，
∴A、B、H、F四点共圆，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又 ，
∴四边形 是“等补四边形”．
②将 绕A点逆时针旋转 得到 ，∴ ， ，
∴E、D、L三点共线，
由①得 ，
∴ ，
在 和 中
∴ ，
∴ ，
∴ 的周长 ；
③∵ ，四边形 是“等补四边形”，
∴还需要一组邻边相等，分以下四种情况讨论：
情况1： ，
连接 ，
由题意知∶ ， ，
又 ，
∴ ，
∴ ，
则 为正三角形，
∴ ，
∴ ，∴ ， ；
情况2： ，则 ，
∴ ，
同情况1， ；
情况3： ，由②得 的周长 ．
设 ，则 ，有 ，
∴ ，
即 ；
情况4： ，
连接 ，
则 ，
则HF垂直平分AE，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
又 ， ，
∴ ，
∴ ，这不可能，故这种情况不存在．
综上： 或者 ．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质等知
识，目前题意，理解新定义，找出所求问题需要的条件是解题的关键．94．（23-24八年级下·吉林长春·期末）【问题呈现】如图是李老师在一节课中的例题内容．
已知：如图，在 中，E、F是对角线 上的两点，并且 ．求证： ．
证明：∵四边形 是平行四边形，
， ．
．
又 ，
．
．
【结论应用】
如图①，在平行四边形 中，E、F是对角线 上的两点，且 ， ，连接 、 ，
请判断四边形 的形状，并证明．
【拓展提升】
如图②，点G、H是正方形 对角线 上的两点，且 ， ；E、F分别是 、
的中点，连接 与 相交于点O．
（1）则四边形 的形状为______；
（2）若 ，则 的面积为______．
【答案】【结论应用】见解析；【拓展提升】（1）矩形，（2）
【知识点】利用平行四边形性质和判定证明、根据矩形的性质与判定求线段长、根据正方形的性质证明
【分析】[结论应用]先证 ，则可得 ，进而可得 ，则 ∥ ，
再结合 ，即可得四边形 是平行四边形．
[拓展提升]
（1）先证四边形 是平行四边形，再证 ，则可得四边形 是矩形．
（2）过E点作 于M点．由（1）得 ， ， ，则可
得 ．又由 ，可得 ，则可得 ．再求出 的长，则可
求出 的面积．【详解】［结论应用］
解 ：四边形 是平行四边形，理由如下：
∵四边形 是平行四边形，
，
又 ， ，
，
，
，
，
，
∴四边形 是平行四边形．
［拓展提升］
（1）∵四边形 是正方形，
， ，
，
∵E、F分别是 、 的中点，
∴ ，
又 ，
，
， ，
，
，
∴四边形 是平行四边形，
， ，且E、F分别是 、 的中点，
， ，
∴四边形 是平行四边形，
又 ，
∴四边形 是矩形，
，
，
又 ，
，
∴四边形 是矩形．
故答案为：矩形
（2）过E点作 于M点，由（1）知 ，
又∵E点是 的中点，
，
∵四边形 是矩形，
∴ ， ， ，
由（1）四边形 是矩形，
，
，
，
， ，
，
．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质、矩形的判定和性质、正方形的性质，熟练掌握以上知
识是解题的关键．
95．（23-24八年级下·河南许昌·期末）综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展教
学活动．
操作一：对折边长为6的正方形纸片 ，使 与 重合，得到折痕 ，把纸片展平；
操作二：在 上选一点P，沿 折叠，使点A落在正方形内部点M处，把纸片展平．
【数学思考】
（1）如图①，当点M落在 上时，则 的度数为_________.
【猜想证明】
（2）如图②，在（1）的条件下，延长 交 于点N，猜想 与 的数量关系为_________，并证
明你的猜想；
【拓展延伸】
（3）小华在以上操作的基础上继续探究，连接 ，当点M落在 上时（如图③），过点P作
于点I，请直接写出 的长．【答案】（1） ；（2） ，理由见解析；（3）
【知识点】全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质证明、折叠问题
【分析】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的性质和判定，折叠的性质，勾股定理，熟练掌握性质
定理是解题的关键．
（1）证明 是等边三角形，即可得到答案；
（2）连接 ，证明 ，即可证明结论；
（3）连接 ，设 ，则 ，根据勾股定理计算即可．
【详解】解：（1）由题意得，点 是 的中点，且 ，
又 ，
故 是等边三角形，
是 角平分线， ，
；
（2）连接 ，
，
，
由折叠可知， ，
，
，
，
；
（3）连接 ，正方形纸片 ， ，
则 ，
四边形 是矩形，
，
在 中， ，
设 ，则 ，
由折叠得 ，
， ，
在 中， ，
在 中， ，
，
解得 ，
．
．
96．（23-24八年级下·河南濮阳·期末）王老师带领同学们研究解决课本上的一个习题：
【课本再现】
人教版八年级下册 ．
如图，四边形 是正方形，点E是边 的中点， ，且 交正方形外
角的平分线 于点F．求证： ．（提示：取 的中点G，连接 ．）
（1）取 的中点G，连接 ，证明如下：
在正方形 中，∵E是边 的中点，G是边 的中点
∴
∴
∵ 是正方形外角的平分线
∴
又∵
∴∴
∴ （ ）（填写全等的理由）
∴
解决完这个问题后，王老师问同学们，若点E是边 任意一点会如何呢？因此导出了下面的问题：
【问题解决】
（2）如图（1），四边形 是正方形，点E是边 的一点， ， 交正方形外角的平分
线 于点F， 与 是否仍然相等，请给出你的证明．
【拓展探究】
（3）如图（2），四边形 是正方形，点E是直线 上一点， ，EF交正方形外角的平
分线 于点F．若 ， ，直接写出 的长．
【答案】（1）135， ；（2） ，见解析；（3）5或
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三
角形、根据正方形的性质证明
【分析】（1）取 的中点G，连接 ，求出 ，根据 即可证明
，然后根据全等三角形的对应边相等即可证得；
（2）在 上取一点 ，使 ，连接 ，同（2）根据 即可证明 ，然后根
据全等三角形的对应边相等即可证得．
（3）分两种情况：当点 在边 上时，当点 是线段 上的一点时，根据（ ）问的结论，当 是边
延长线上的任意一点，连接 ，过点 作 ，交 延长于 ，在 上截取 ，连接
，证明 ，得 即可．利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）取 的中点G，连接 ，
证明如下：
在正方形 中，∵E是边 的中点，G是边 的中点
∴∴ ，
∵ 是正方形外角的平分线
∴
又∵
∴
∴
∴
∴ ；
（2）解： 成立．
证明：如图，在 上截取 ，连接 ，
∵四边形 是正方形，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ．
∵ 是正方形的外角平分线，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ．（3）解：分两种情况：当点 在边 上时，如图1，
∵四边形 是正方形，
∴ ， ，
∴ ，
由勾股定理，得
，
由（2）知， ；
当点 是直线 上的一点时，如图4，
∵四边形 是正方形，
∴ ， ，
∴ ，
由勾股定理，得
，
连接 ，过点 作 ，交 延长于 ，在 上截取 ，连接 ，如图 ，
∵四边形 是正方形，
∴ ， ，∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是正方形的外角平分线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ；
综上， 的长为5或 ．
【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形判定与性质，熟
练掌握正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理是解题的关键．注意分类讨论思想的应用．
97．（23-24八年级下·河北秦皇岛·期末）已知：如图（1），在正方形 中，点E为边 上一点，把
沿 翻折，使点B落在点 的位置，连接 ．
(1)若点E是边 的中点，①求证： ；
②如图（2），若点F为边 的中点，沿 将正方形纸片 折叠，点D的对应点 ， 与 交
于点H， 与 交于点G．求证：四边形 为矩形；
(2)某兴趣小组根据上面的结论，进行了如下的实践操作：
如图（3），正方形 的边长为4，点E、点F分别为 边上的点，将正方形纸片 沿
折叠，使得点B落在对角线 上的点 处，点D落在对角线 上的点 处， 与对角线
的交点为点M， 与对角线 的交点为点N，分别连接 ．则四边形 的面积为
________．
【答案】(1)①见解析；②见解析
(2)
【知识点】全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质与判定证明、折叠问题
【分析】题目主要考查折叠的性质，正方形的判定和性质，勾股定理解三角形，全等三角形的判定和性质
等，理解题意，结合图形，综合运用这些知识点是解题关键．
（1）①根据折叠的性质得出 ，再由等量代换及等边对等角确定 ，
结合图形即可证明；②根据正方形的性质及全等三角形的判定得出 ，再由其性质及各角之间
的关系确定 ，即可证明；
（2）连接 ，则 ，根据正方形的性质及全等三角形的判定确定 ，
，得出 ， ， ，确定四边形 是正方形，
再由菱形的判定和正方形的性质得出四边形 为菱形，设 ，根据勾股定理
求解即可．
【详解】（1）证明：①：∵ 与 关于 对称，
，
，
，
，
，
，
∴ ；
②∵正方形 ，
， ，
，
，
，
， ，， ，
，
，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
，
∴四边形 为矩形；
（2）连接 ，则 ，
∵正方形 ，
，
， ，
，
，
，
∴ ，同理 ，
， ，
，
，
，
，
∴四边形 是矩形，
∵ ，
∴四边形 是正方形，
∴ ， ，
∴ ，
∴四边形 为平行四边形，∵ ，
∴四边形 为菱形，
∴ ，
设 ,
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵正方形 的边长为4，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得： 或 （舍去），
∴四边形 的面积为 ，
故答案为： ．
98．（23-24八年级下·海南省直辖县级单位·期末）如图 ，在正方形 中，点 是线段 上一个动点
（与点 、 不重合），过点 作线段 于点 ，且 ，连接 ，过点 作 ，交
于点 ，交 于点 ，连接 ．
(1)求证：
① ；
②四边形 是平行四边形；
(2)如图 ，点 是 延长线上一点，当点 在线段 上运动时，求证：点 始终在 的角平分线
上．
【答案】(1)①证明见解析；②证明见解析
(2)证明见解析
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用平行四边形性质和判定证明、根据矩形
的性质与判定求线段长、根据正方形的性质与判定证明
【分析】本题考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质，正确掌握相
关性质内容是解题的关键．
（1）①先根据正方形的性质得 ，证明 ；②由①得出，结合 以及 ，即可证明四边形 是平行四边形；
（2）过点 作 于点 ， 于点 ，证明四边形 是矩形．然后根据 证明
，得出 ，证明四边形 是正方形，即可作答．
【详解】（1）证明： 四边形 是正方形，
， ．
， ，
，
，
，
．
由 ，可知 ．
，
．
，
四边形 是平行四边形．
（2）解：如图，过点 作 于点 ， 于点 ，则 ，
，
四边形 是矩形．
，
，
，
．
， ，
， ．
，
，
，
，
∵四边形 是矩形．∴四边形 是正方形
点 始终在 的角平分线上．
99．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）如图，M为正方形 内一点， ，连接 ， ．
(1)如图1，求 的度数；
(2)过点B作 于点G，连接 ．
①如图2，试探究 和 的数量关系，并证明；
②如图3，连接 交 于点E，若 ， ，请直接写出 的长为________．
【答案】(1)
(2)① ，证明见解析；②
【知识点】二次根式的除法、等腰三角形的性质和判定、利用平行四边形性质和判定证明、根据正方形的
性质证明
【分析】（1）根据四边形 为正方形，得出 ，得出 ，设
，在四边形 中，根据四边形内角和即可解得 ，
即可求解；
（2）①过 作 ， 且 ， 连接 交 于点 ， 连接 ．根据四边形 为正
方形，得出 结合 ， 且 ，证出四边形 为平行四边形，得
出 ， 且 ，由（1）知 ，得出 ，证明 ，得出
，即 ，在等腰 中 ，根据勾股定理得出
，即可证出 ；
②根据题意以及①可得 ，得出 ，根据勾股定理得出 ，根
据 ，得出 垂直平分线段 ，根据等面积法得出 ，根据直角三角形的
性质得出 ，勾股定理算出 ，再算出
，由①得 ，证明 ，根据勾股定理即可求解；
【详解】（1）解：∵四边形 为正方形，，
，
，
∴可设 ，
在四边形 中， ，
解得： ，
则： ；
（2）解：①过 作 ， 且 ， 连接 交 于点 ， 连接 ．
∵四边形 为正方形，
∴
∵ ， 且 ，
∴四边形 为平行四边形，
∴ ， 且 ，
， ，
，
，
由（1）知 ，
，
，
，
，
，
，
，
即 ，在等腰 中 ， ，
；
②根据题意以及①可得 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 垂直平分线段 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
由①得 ，
∴ ，
由①得 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】该题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，平行四边形的性质和判定，勾股定理，
等腰直角三角形的性质和判定，直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质和判定等知识点，解题的关键是掌握以上知识点并正确作出辅助线．
100．（23-24八年级下·浙江金华·期末）如图1，正方形 的边长为4，点 在 上（不与 重
合），点 在 上（不与 重合）且满足 ，连接 并交于点 ．
(1)请问：线段 与 满足怎样的数量关系和位置关系？请说明理由．
(2)如图2，连结 ，若点 为 的中点，求 的周长．
(3)如图3，延长 至点 使 ，连结 ， ．若 ，求 的面积．
【答案】(1)线段 与 的数量关系是 、位置关系是 ，理由见解析
(2)
(3)
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、线段垂直平分线的判定、用勾股定理解三角形、根据正方形的
性质证明
【分析】（1）由正方形性质及三角形全等的判定与性质即可得到线段 与 的数量关系是 ，
再由 ， ，即可得到线段 与 的位置关系是 ；
（2）过点 作 ，如图所示，利用正方形性质、勾股定理及等面积法分别求出 即可
得到 的周长；
（3）连接 ，过 作 ，如图所示，由中垂线的判定与性质得到 ，进而由等腰三
角形的判定与性质，结合勾股定理求出 ，过点 作 ，延长 ，过
作 于 ，如图所示，运用等面积法及勾股定理求出 ，进而利用梯形面积公式、三角
形面积公式求出面积，数形结合，由 的面积为 代值求解即可得到答案．
【详解】（1）解：线段 与 的数量关系是 、位置关系是 ，
理由如下：
在正方形 中， ， ，
在 和 中，
，，
，
，
，
，则 ；
（2）解：过点 作 ，如图所示：
正方形 的边长为4，
，且 ，
由（1）知 ，
在 中， ， ，
点 为 的中点，
，则由勾股定理可得 ，
在 中，由等面积法可知 ，则 ，
在 中， ， ，则由勾股定理可得 ，
在 中，由等面积法可知 ，则 ，
，
在 中， ， ，则由勾股定理可得 ，
，
在 中， ， ，则由勾股定理可得 ，
，
，
， ，
，的周长为 ；
（3）解：连接 ，过 作 ，如图所示：
由（1）知 ，
，
是线段 的垂直平分线，则 ，
，即 是等腰三角形，
，则由勾股定理可得 ，
过点 作 ，延长 ，过 作 于 ，如图所示：
在 中，由等面积法可得 ，则 ，
在 中， ， ，则由勾股定理可得 ，
，
； ，
的面积为 ．
【点睛】本题考查几何综合，综合性强，难度较大，涉及正方形性质、三角形全等的判定与性质、勾股定
理、等面积法求线段长、三角形周长公式、垂直平分线的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、梯形面
积公式等知识，熟记相关几何判定与性质，灵活运用勾股定理及等面积法求线段长，准确作出辅助线求解
是解决问题的关键．
题型六 坐标系中的综合题
101．（24-25八年级上·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形 的边长为6，两边 、在坐标轴上， 为线段 上一点，且 ，连接 、 ．
(1)点D的坐标为 ；
(2)若点 从点 出发以每秒2个单位的速度沿折线 的方向运动，当与点 重合时运动停止设
点 的运动时间为 秒，连接 ，将 的面积记为 ，请用含 的式子表示 ；
(3)在（2）的条件下，当 为等腰三角形时，请直接写出点M的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3) ， ， ，
【知识点】化为最简二次根式、函数解析式、用勾股定理解三角形、等腰三角形的定义
【分析】（1）根据正方形 的边长为6，得到 ，结合 ，得到 ，
结合点 在y轴的正半轴，计算坐标即可．
（2）根据题意，得 ，分点M在 上运动和在 上运动，两种情况解答即可．
（3）根据题意，分 ， ， 三种情况解答即可．
【详解】（1）解：∵正方形 的边长为6，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵点 在y轴的正半轴，
∴ ．
（2）解：根据题意，得 ，
当点M在 上运动时，
；当点M在 上运动时，
；
故 ．
（3）解：∵正方形 的边长为6，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
当 时，点M一定在 上，此时点M记作 ，
此时 ，
根据勾股定理，得 ，
∴ ，
故 ；
当 时，点M一定在 上，此时点M记作 ，
设 ，则 ，
根据勾股定理，得 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得 ，此时 ；
当 时，点M可能在 上，也可能在 上，当点M在 上记作 ，当点M在 上记作 ，
过点D作 于点G，
则 ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
此时 ；
根据题意，得 ，
此时 ；
综上所述，符合题意的M的坐标为 ， ， ， ．
【点睛】本题考查了正方形的性质，图形与坐标，等腰三角形的性质，矩形的判定和性质，等腰三角形的
分类计算，勾股定理的应用，直角三角形的性质，化为最简二次根式，熟练掌握相关知识是解题的关键．
102．（22-23八年级下·河北沧州·期末）如图，已知平行四边形 ， 轴， ，点A的坐标为 ，点D的坐标为 ，点B在第四象限，点P是平行四边形 边上的一个动点．
(1)点B的坐标为_________；点C的坐标为________；
(2)点G是 与y轴的交点，求点G的坐标；
(3)若点P在 上，点P关于坐标轴对称的点Q落在直线 上，求点P的坐标；
(4)若点 在折线 上，过点 作 轴的平行线 ，过点 作 轴的平行线 ，它们交于点 ，
将 沿直线 翻折，点 的对应点恰好落在坐标轴上，直接写出此时点 的坐标．
【答案】(1) ，
(2)
(3) 或
(4) 或
【知识点】一次函数与几何综合、已知两点坐标求两点距离、利用平行四边形的性质求解、坐标与图形变
化——轴对称
【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，平行四边形的性质，正方形的性质与判定，折叠的性质，
等腰直角三角形的性质与判定，坐标与图形变化—轴对称等等，灵活运用所学知识是解题的关键．
（1）利用平行四边形的性质对边平行且相等进行求解即可；
（2）利用待定系数法求出直线 的解析式，进而求出点D的坐标即可；
（3）设出点P的坐标，然后分P、Q关于x轴对称和关于y轴对称两种情况，分别求出点Q的坐标，再根
据点Q在直线 进行求解即可；
（4）分两种情况讨论：当点P在 上时，由折叠的性质可得 ， ，
证明 是等腰直角三角形，进而证明四边形 是正方形，从而得到 三点共线，则
，即可求出 ．当点P在 上时，证明 ，再利用两点距离公式求出点M
坐标即可解题．
【详解】（1）解：∵ 轴， ，点A的坐标为 ，
∴ ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ 轴，∵D的坐标为 ，
∴ ，
故答案为： ， ；
（2）解：设直线 的解析式为 ，
把 ， 带入 中得 ，
解得 ，
∴直线 的解析式为 ，
在 中，当 时， ，
∴点G的坐标为 ；
（3）解：设 ，且 ，
若点P关于x轴的对称点 在直线 上，
∴ ，
解得 ，
此时 ．
若点P关于y轴的对称点 在直线 上时，
∴ ，解得 ，
此时
综上所述，点P的坐标为 或 ．
（4）解：当点P在AB上时，如解图1
由折叠的性质可得 ， ，
∵ 轴， 轴，
∴ ， ，
∴ ，∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴四边形 是正方形，
∴ ，即 轴，
∴ 三点共线，
∴ ，
∴ ．
当点 在 上时，设直线 的解析式为 与x轴交点为 ，则 ，
如解图2，点 落在 轴上，
由折叠的性质可得 ， ，
∵ 轴，
∴
∴ ，
∴ ，
设点 且 ，则 ，
∵ ， ，
∴ ，
解得： ，
∴点
综上所述：点 的坐标 或
103．（23-24八年级下·云南普洱·期末）如图，在平面直角坐标系中，点 、 分别在x轴、y轴上，线段
OA、OB的长（ ）是方程组 的解，点C是直线 与直线 的交点，点 在线段上， ．
(1)求点 的坐标．
(2)求直线 的解析式．
(3)当点P在直线 上运动时，在平面内是否存在点 ，使以 、 、 、 为顶点的四边形是菱形？若
存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3) 或 或 或 ；
【知识点】化为最简二次根式、一次函数与几何综合、利用菱形的性质求线段长、根据正方形的性质与判
定求线段长
【分析】（1）根据解方程组，可得A、B的坐标，根据待定系数法，可得函数解析式，根据解方程组，可
得点C的坐标；
（2）根据D在 上，求解 ，利用勾股定理建立方程，可得D点坐标，根据待定系数法，可得
的函数解析式；
（3）结合菱形的性质，分情况讨论：若P在x轴上方，若P在x轴下方，进行讨论即可得到答案．
【详解】（1）解：∵ ，即 ，
解得 ，
∴ ，
即 、 ．
设直线 的解析式 ，
把A、B点的坐标代入函数解析式，得 ，
解得 ．
直线 的解析式 ，由点C是直线 与直线 的交点，
得 ，
解得 ，
∴C点的坐标是 ；
（2）解：由点D在线段 上，C点的坐标是
∴ ，
∵ ，
∴ ，
设 ，
∴ ，
解得 （不符合题意的根舍去），
即D点坐标是 ；
设 的函数解析式为 ，
把A、D点的坐标代入，得 ，
解得 ．
∴ 的函数解析式为 ；
（3）解：过D作 轴，由（2）中D，A的坐标可知， ，
∴ ，
∵以O、A、P、Q为顶点的四边形是菱形，分情况讨论如下：
若P在x轴上方， 是菱形， 则 ， ，
如图所示，
过P作 轴，∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
结合平移的性质可得： ；
当 是菱形，记对角线的交点为 ，
∴ ， ， ，
由 可得 ，
∴ ，
∴ ；
如图，当四边形 为菱形时，
此时 ， ，
∴ 为 与 轴的交点，
∴ ，四边形 是正方形，
∴ ；
当 在 轴下方，四边形 为菱形时，则 ， ．过P作 轴，
如图所示，同理可得： ，
∴ ，
结合平移可得： ，
综上： 或 或 或 ；
【点睛】本题考查一次函数、利用了待定系数法求函数解析式、利用平方根的含义解方程，菱形的性质，
正方形的判定与性质，勾股定理的应用，清晰的分类讨论，数形结合的方法的运用是解题的关键．
104．（23-24八年级下·吉林·期末）如图①，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象 与x，y
轴分别交于A，B两点，正比例函数 的图象 与 交于点 ．
(1)求n、k的值；
(2)已知点D是直线 ： 上的一个动点．
①过点D作 轴，交直线 于点P，当点D，P关于x轴对称时，则点D的横坐标为______；
②连接 ，当 的面积是 面积的2倍时，求点D的坐标；
(3)如图②，设点E的坐标为 ，且 ，连接 ，以 为边向下作正方形 ．
①用含t的式子表示点M的坐标为(______，______)；
②连接 ，若 落在 的内部（含边上），则t的取值范围是______．
【答案】(1)n、k的值分别为 、 ；
(2)① ；② 或
(3)① ；②【知识点】一次函数与几何综合、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据正方形的性质求
线段长
【分析】此题考查了一次函数的图象和性质，正方形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，数形结合
是解题的关键．
（1）把点 分别代入函数解析式即可得到答案；
（2）①由（1）可知，直线 ： ，直线 ： ，设点D的坐标为 ，得到点P的
坐标是 ，点D，P关于x轴对称，则 ，解得 ，即可得到答案；②求出点A的坐标
是 ，点B的坐标是 ，设点D的坐标为 ，则 ， ，根据
的面积是 面积的2倍得到 ，解得 值，即可得到答案；
（3）①点C作 轴于点F，过点M作 于点H，则 ，证明
，则 ，得到 ，则
，即可得到点M的坐标为 ；②连接 ， 相交于点K，则点K是
的中点，也是 的中点，根据中点坐标公式求出点 的坐标是 ，求出 ，当 时，
即 时， ，此时 满足题意，当 时，即 时，
，此时无解，即可得到答案．
【详解】（1）把点 代入 得，
，
解得， ，
把点 代入 得， ，
解得 ，
即n、k的值分别为 、 ；
（2）①由（1）可知，直线 ： ，直线 ： ，
设点D的坐标为 ，
∵过点D作 轴，交直线 于点P，
∴点P的坐标是 ，∵点D，P关于x轴对称，
∴
解得 ，
∴ ，
∴点D的坐标为
故答案为：
②当 时，
当 时， ，解得 ，
∴点A的坐标是 ，点B的坐标是 ，
设点D的坐标为 ，则
，
，
∵ 的面积是 面积的2倍
∴ ，
解得 ，
∴当 时， ，
当 时， ，
∴点D的坐标为 或
（3）①点C作 轴于点F，过点M作 于点H，则 ，∵四边形 是正方形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵点E的坐标为 ，
∴
∴ ，
∴ ，
∴点M的坐标为 ，
故答案为：
②连接 ， 相交于点K，则点K是 的中点，也是 的中点，
∵ ．点E的坐标为 ，点M的坐标为 ，
∴ ，∴ ，
∴点 的坐标是 ，
当 时， ，解得 ，
当 时， ，解得 ，
∴ ，解得 ，
当 时，即 时， ，此时 满足题意，
当 时，即 时， ，此时无解，
综上可知，
故答案为：
105．（23-24八年级下·北京西城·期末）在平面直角坐标系 中，对于线段a，给出如下定义：直线 ：
经过线段a的一个端点，直线 ： 经过线段a的另一个端点．若直线 与 交于点
P，且点P不在线段a上，则称点P为线段a的“双线关联点”．
(1)如图，线段a的两个端点分别为 和 ，则在点 ， ， 中，线段a的“双
线关联点”是 ；
(2) ， 是直线 上的两个动点．
①点P是线段 的“双线关联点”，且点P的纵坐标为4，求点P的横坐标；
②正方形 的四个顶点的坐标分别为 、 、 、 ，其中 ，当点A，B
在直线上运动时，不断产生线段 的“双线关联点”，若所有线段 的“双线关联点”中，恰有两个点
在正方形 上，直接写出t的取值范围．
【答案】(1) ，
(2)①点P的横坐标为 或 ；②
【知识点】求一次函数解析式、求一次函数自变量或函数值、两直线的交点与二元一次方程组的解
【分析】本题考查了新定义，一次函数与图形的运动，待定系数法求一次函数解析式，两条直线的交点，熟练掌握知识点，正确理解新定义，运用数形结合的思想是解决本题的关键．
（1）分类讨论：若直线 经过点 ，直线 经过点 ，求得直线 ： ，直线 ：
，联立得： ，解得： ，故点 是线段a的“双线关联点”； 若直线 经过点
，直线 经过点 ，同上可求点 是线段a的“双线关联点”；
（2）①：将点A、B代入 得， ，则 ，当直线 经过
点 ，直线 经过点 时，求得直线 ： ，直线 ： ，
联立得： ，解得： ，故 ，解得： ，因此 ；
当直线 经过点 ，直线 经过点 时，同上可求 ，综上所述，点P的横坐
标为 或 ；
②：设线段 的“双线关联点”为M，N，则 ，由①得： ，
消去m可得： ，则点M在直线 上运动，同理可求点N在直线 上运
动，将问题转化为正方形 与直线 和直线 恰有2个交点，当 且t很小时，
此时正方形与两条直线无交点，随着t增大，当点E落在直线 上， 则 ，解得： ，当t继
续增大，此时 ，则直线 与正方形有2个交点，当t继续增大，直至点 落在直线 ，则
，解得 ，此时有3个交点，因此满足2个交点，则 ，当 时，此时有4个交
点，不符合题意， 综上所述： ．
【详解】（1）解：若直线 经过点 ，直线 经过点 ，
则代入得： ，
∴直线 ： ，直线 ： ，
联立得： ，解得： ，
∴点 是线段a的“双线关联点”；
若直线 经过点 ，直线 经过点 ，
则同理可求：直线 ： ，直线 ： ，
联立得： ，
解得： ，
∴点 是线段a的“双线关联点”，
故答案为： ， ；
（2）解：①将点A、B代入 得， ，
∴ ，
当直线 经过点 ，直线 经过点 时，
则代入得： ， ，
解得： ， ，
∴直线 ： ，直线 ： ，
联立得： ，
解得： ，
∴ ，解得： ，
∴ ；
当直线 经过点 ，直线 经过点 时，同上可求： ： ，直线 ： ，
联立得： ，
解得： ，
∴ ，解得： ，
∴ ，
综上所述，点P的横坐标为 或 ；
②设线段 的“双线关联点”为M，N，则 ，
由①得： ，
消去m可得： ，
∴点M在直线p： 上运动，
同理可求点N在直线l： 上运动，
∵线段 的“双线关联点”中，恰有两个点在正方形 上，
∴正方形 与直线 和直线 恰有2个交点，
当 且t很小时，此时正方形与两条直线无交点，不符合题意，如图：随着t增大，当点E落在直线 上，此时1个交点，不符合题意，如图：
则 ，解得： ，
当t继续增大，此时 ，则直线 与正方形有2个交点，符合题意，如图：
当t继续增大，直至点 落在直线 ，则 ，解得 ，此时有3个交点，不符合题意，如
图：
∴满足2个交点，则 ，
当 时，此时有4个交点，不符合题意，如图：综上所述： ．
106．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线 ： 与x轴，y轴
分别交于点A，D，直线 与直线 平行，交x轴于点 ，交 于点C．
(1)求直线 的解析式及点C的坐标；
(2)若点P是线段 上动点，当 时，在x轴上有两动点M、N（M在N的左侧），且 ，
连接 ，当四边形 周长最小时，求点M的坐标；
(3)在（2）的条件下，将 绕O点顺时针旋转 得到 ，点E是y轴上的一个动点，点F是直线 上
的一个动点，是否存在这样的点F，使以G，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点F
的坐标；若不存在，请说明理由
【答案】(1)直线 的解析式为 ，点C的坐标为
(2)
(3) 、 、
【知识点】一次函数图象平移问题、一次函数与几何综合、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质
求解
【分析】（1）根据直线的关系，设直线 的解析式为 ，代入点的坐标即可求得，联立直线
与直线 ，即可求得点的坐标；（2）求出点P坐标，将四边形 周长转化为线段的长度，构造等量线段，进行求解即可；
（3）分别以 为边或对角线进行讨论，根据平行四边形的性质，即可求解．
【详解】（1）解： 直线 与直线 平行，
设直线 解析式为 ，
将 代入得： ，
解得：
直线 的解析式为
联立直线 与直线 得：
，解得
点C的坐标为 ；
（2）解：设点P ，
由 得：
解得： ，
则点
由题意可知 ， ，
作点D关于x轴的对称点E，再将E向右平移两个单位，得到点F，连接 ，如下图：则 ， ， ，
由题意可知： ，
∴四边形 为平行四边形，
∴
四边形 周长为
∵ 定长
∴四边形 周长最小，即 最小，也就是 最小
得到：P、N、F三点共线时最小，
设直线 所在直线的解析式为
将 、 代入得
，解得
，令 ，
解得 ，即
∴ ；
（3）解： ， 绕O点顺时针旋转 得到 ，
过点 作 于点 ，如下图：
则 ，
∴
∴ ，
G点坐标为 ，
设直线 的解析式为： ，
则 解得： ，直线 的解析式为： ，
∴ ， ，
以 为邻边时，则 ，如下图：
又∵ ，F是直线 上的一个动点
∴点E为直线 上，即点E与点D重合，
点M到点G是向上平移 个单位，再向右平移一个单位，则将点E向上平移 个单位，再向右平移一个
单位，即得点F坐标为 ；
以 为邻边时，如下图：
由上述可得，点E为直线 上，即点E与点D重合，
点G到点M是向下平移 个单位，再向左平移一个单位，则将点E向下平移 个单位，再向左平移一个
单位，即得点F坐标为
以 为对角线时，则 的中点 ，
设 ，
由平行四边形的性质可得：点E、F关于点N对称，
则 ，解得点F的坐标为 ；
综上所述、点F的坐标为 、 、 ．
【点睛】此题主要考查了一次函数与几何的综合应用，熟练掌握一次函数、平行四边形等有关性质是解题
的关键．
107．（23-24八年级下·辽宁铁岭·期末）定义：我们把一次函数 （ ）与正比例函数 的
交点称为一次函数 （ ）的“亮点”．例如求 的“亮点”，联立方程： ，
解得 ，则 的“亮点”为（ ，1）．
(1)由定义可知，一次函数 的“亮点”为________．
(2)一次函数 的“亮点”为 ，求p，q的值．
(3)若直线 （ ）与x轴交于点A，与y轴交于点B，且直线 上没有“亮点”．
①点P在x轴上，使 ，求满足条件的点P的坐标．
②点Q在直线 （ ）上，若点Q与 边上的三点能构成平行四边形，请直接写出n的取
值范围．【答案】(1)
(2)
(3)① 或 ；② 或 ；
【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、两直线的交点与二元一次方程组的解、一次函数与几何综
合、利用平行四边形的判定与性质求解
【分析】（1）联立一次函数解析式 与正比例函数 ，解二元一次方程组即可；
（2）将“亮点”为 ，代入 求得 ，进而代入 求得 即可；
（3）①根据题意可得 ，进而设 ，根据三角形面积公式求解即可．②由点Q与 边上的
三点能构成平行四边形，如图， 的临界位置为： ， ，再由直线 （ ）过临
界点求解 的值即可得到答案；
【详解】（1）解：由定义可知，一次函数 的“亮点”为一次函数解析式 与正比例函数
的交点，即
解得 ，
一次函数 的“亮点”为 ；
（2）解：根据定义可得，点 在 上，
，
解得 ，
点 又在 上，
，
又 ，
，
解得 ，
；（3）① 直线 上没有“亮点”，
直线 与 平行，
，
，令 ， ，
令 ，则 ，
，
，
设 ，
，
，
，
，
即 或 ，
解得 或 ，
或 ；
②由①得： ，
而点Q与 边上的三点能构成平行四边形，
如图， 的临界位置为： ， ，∵点Q在直线 （ ）上，
∴当 过 时，
∴ ，
解得： ；
当 过 时，
∴ ，
解得： ，
∴ 的取值范围为： 或 ；
【点睛】本题考查了一次函数的性质，一次函数与坐标轴围成的三角形的面积，两直线交点问题，平行四
边形的性质，熟练的利用数形结合的方法解题是关键．
108．（23-24八年级下·山西吕梁·期末）如图，平面直角坐标系中，一次函数 的图象与y轴交于
点A，点B是第二象限一次函数 的图象上一点，且 ，点C的坐标为 ．
(1)求A，B的坐标；
(2)若点D是线段 上一点，且三角形 的面积是三角形 的一半，求 的面积和点D的坐标；
(3)在（2）的条件下，x轴是否存在一点P，使得 为等腰三角形．若存在，请求出点P的坐标．若不
存在，请说明理由．
【答案】(1)点 的坐标为 ，点 的坐标为：
(2) 的面积是12；点 的坐标为
(3) 或 或 或 或
【知识点】一次函数与几何综合、已知两点坐标求两点距离、等腰三角形的定义
【分析】（1）先求点A的坐标，根据三角形面积公式可知： ，可得 的横坐标为： ，因
为点 是第二象限一次函数 的图象上一点，可得 的坐标；
（2）根据 可得面积；利用三角形中线的性质：将面积分为相等的两部分，反
之，可知：D是 的中点，利用中点坐标公式或构建直角三角形得点 的坐标；（3）分为三种情况分类讨论即可求解；
【详解】（1）解：∵一次函数 的图象与 轴交于点 ，
∴当 时， ，
∴点 的坐标为 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵点 是第二象限一次函数 的图象上一点，
∴ 的横坐标为： ，
则 ，
∴点 的坐标为： ；
（2）解：如图，过点 作 轴，过点 作 轴于点 ，交 于点 ，
∵点 的坐标为 ，
，
，
∵点 是线段 上一点，且三角形 的面积是三角形 的一半，
∴点 是 的中点，
∴点 的坐标为： ；
（3）解：设 ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ 为等腰三角形，
当 时， ，解得： 或 ，则 或 ；
当 时， ，解得： 或 ，
则 或 ；
当 时， ，解得：
则 ；
综上， 或 或 或 或 ．
【点睛】本题是一次函数的综合题，考查了一次函数与坐标轴的交点、三角形面积、等腰三角形的性质、
勾股定理、中点坐标公式，第三问有难度，利用分类讨论的思想，与方程相结合，是解决问题的关键．
109．（23-24八年级下·广西玉林·期末）已知点O为原点，矩形 的边 、 分别在y轴、x轴上，
， ，点B在第一象限，直线 分别交线段 及x轴、y轴于点D，E，F．
(1)求点D、E的坐标及三角形 的面积；
(2)如图1，P为线段 （不包括端点）上一动点，连接 ，设点P的横坐标为t， 的面积为S，求
S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
(3)如图2，M是线段 上一动点，点N在第一象限，且在直线 上，若 是以 为直角边
的等腰直角三角形，求出点N的坐标．
【答案】(1) ， ， ；
(2) ， ；
(3) 或 或 ．
【知识点】坐标与图形、一次函数与几何综合、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三
角形的性质和判定
【分析】（1）根据一次函数与坐标轴的交点进行求点的坐标，再计算三角形面积即可.
（2）过点P作 于点H，设点 ，然后根据三角形的面积公式
，进一步即可得出t的取值（３）设 ， ，然后分当以M为直角顶点时和当以N为直角顶点时，二种情况讨论 .分
别画图图形，结合等腰三角形的性质得出全等三角形，有全等三角形的性质得出对应边相等，列出关于
m,n的二元一次方程组，求解即可得出答案.
【详解】（1）解：∵直线 分别交线段 及x轴、y轴于点D，E，F，
∴当 时， ，
解得： ，
当 时， ，
解得： ，
当 时， ，
∴ ， ， ，
三角形 的面积 ；
（2）过点P作 于点H，如图1，
∵点P在直线 上，
∴设点 ，
则 ，
∵ ，
∴ ，
∵点P在线段DF上，且不包括端点，
∴ ．
（3）设 ， ，且 ， ，
①当以M为直角顶点时，如图2，过点M作 轴交y轴于点G，过点N作 于点H，
则 ， ， ， ， ，
∵ 是以MN为直角边的等腰直角三角形，
∴ ， ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
解得： ，
∴ ；
②当以N为直角顶点时，如图3，过点N作 轴交y轴于点G，交BC于点H，
则 ， ， ， ，
，
∵ 是以MN为直角边的等腰直角三角形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ 或 ，
解得： 或 ，
∴ 或 ；综上所述，点N的坐标为 或 或 ．
【点睛】本题是一次函数综合题,考查了一次函数的图象和性质，一次函数图象上点的特征，等腰直角三角
形性质，全等三角形的判定和性质，三角形面积以及二元一次方程组的应用等，添加辅助线构造直角三角
形，运用分类讨论思想是解题关键.
110．（23-24八年级下·湖南长沙·期末）如图1，平面直角坐标系 中，正方形 的边 在 轴上，
点 是 的中点，直线 过定点 ，交 轴于点 ．
(1)求点 的坐标；
(2)如图2，当 时， 过点C作 ，交 于点F，在直线 上是否存在点 ，使得 是等
腰直角三角形，若存在，请求出所有满足条件的点P；若不存在，请说明理由．
(3)点N在直线 上，且 ，连接 ，点M为 的中点，连接 ．求线段 的长度的最大值，
并直接写出此时点N的坐标．
【答案】(1)
(2)存在， 或
(3) ，
【知识点】一次函数与几何综合、用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的求解问题、根据正方形的
性质求线段长
【分析】（1）根据 ，得到直线过定点 ，即可；
（2）先求出点 的坐标、正方形的边长，过点 作 ，证明 ，推出 为等腰直角三角形，得到当点 与点 重合时，满足题意，再根据对称性求出点 在 点上方时，点 的坐标即可；
（3）取点 ，连接 ，易得 为 的中点，得到 ，进而得到 最大时， 最
大，根据 ，得到 三点共线时， 有最大值为 的长，进行求解即可．
【详解】（1）解：∵ ，
∴当 时， ，
∴直线 过定点 ，
∴ ；
（2）存在：
当 时，直线 为： ，
当 时， ，
∴ ，
∵正方形 的边 在 轴上，点 是 的中点， ，
∴ ， ，
∴ ，
过点 作 ，则： ， ，
∵过点C作 ，交 于点F，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 为等腰直角三角形，
∵点在直线 上，且 是等腰直角三角形，
∴当点 与点 重合时，满足题意，
此时： ；
当点 在 点上方时，则： 时，满足题意，
即点 为 的中点，
∴ ，
综上： 或 ；（3）取点 ，连接 ，
则： ，
∴ 为 的中点， ，
∵点M为 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴当 三点共线时，即 在 的延长线上时， 有最大值为 的长，此时 的值最大，
如图：
∵ ，
∴ 的最大值为 ，
∴ 的最大值为： ；
过点 作 轴，则： ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查坐标与图形，一次函数的综合应用，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三
角形的判定和性质，勾股定理，三角形的中位线等知识点，综合性强，难度较大，属于压轴题，熟练掌握
相关知识点，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．
111．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在 中，点B在x轴上，直线 经过点 ，
且与x轴交于点C，直线 与x轴相交于点B，与 相交于点D．
(1)求直线 的表达式；
(2)在y轴上是否存在一点E，使 是等腰三角形，若存在，求出点E坐标；若不存在，请说明理由；
(3)点P在直线 上，在直线 上是否存在点Q，使以点O，D，P，Q为顶点的四边形是平行四边形．
若存在，求出点Q的坐标：若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2) 或 或 或
(3) 或
【知识点】一次函数与几何综合、已知两点坐标求两点距离、利用平行四边形的性质求解、等腰三角形的
定义
【分析】（1）由直线 ： 经过点 ，再利用待定系数法可得答案；
（2）设 ，先求解 ，可得 ， ， ，结合 是等
腰三角形，再分类讨论即可；
（3）如图，设 ， ，当 为对角线时，如图，当 为对角线时，如图，当
为对角线时，再利用平行四边形的性质建立方程求解即可；
【详解】（1）解：∵直线 ： 经过点 ，
∴ ，解得： ，
∴直线 为 ；
（2）解：如图，设 ，
∵ ，
解得： ，
∴ ，
∴ ， ， ，
∵ 是等腰三角形，
当 时， ，
解得： ，
∴ 或 ，
当 时， ，
解得： ，
∴ ，
当 时， ，
解得： （舍去）， ，
∴ ，
综上： 或 或 或 ；
（3）解：如图，∵点P在直线 上，Q在直线 上，
∴设 ， ，当 为对角线时，
∴ ，
解得： ，
∴ ；
如图，当 为对角线时，
∴ ，
解得： ，
∴ ；
如图，当 为对角线时，∴ ，
解得： ，
∴ ，
综上： 或 ；
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数的解析式，勾股定理的应用，等腰三角形的性质，平
行四边形的性质，一次函数的几何应用，清晰的分类讨论是解本题的关键.
112．（23-24八年级下·甘肃武威·期末）如图1，过点 作 轴于点 ，作 轴于点 ，连
接 ，点 是线段 上的一点，连接 ，过点 作 ，交 轴于点 ，点 在射线 上，且
，连接 ，设点 坐标为 ．
(1)若点 的坐标为 ，求 所在直线的解析式；
(2)求 ；
(3)如图2，延长 与直线 交于点 ，当 为等腰三角形时，求点 坐标．
【答案】(1)
(2)(3)点 的坐标为 或
【知识点】坐标与图形、求一次函数解析式、等腰三角形的性质和判定、根据正方形的性质求线段长
【分析】（1）过点 作 于点 ，根据题意易得 ，根据等腰三角形的性质可得
，进而可得 ，设 所在直线的解析式为 ，利用待定系数法，求解
直线 的表达式即可；
（2）过点 作 于点 ，作 ，交 于点 ，交 轴于点 ，由题意得， ，
， ，证明 为等腰三角形，可得 ，然后根据
三角形面积公式求解即可；
（3）分两种情况讨论：当点 在边 上时，解得 ，进而可得 ，即可确定点
坐标；当点 在 的延长线上时，同理可得 ，进而确定 ， 的值，即可确定点 坐标．
【详解】（1）解：如下图，过点 作 于点 ，
∵ ，且过点 作 轴于点 ，作 轴于点 ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
设 所在直线的解析式为 ，
将点 ， 代入，
可得 ，解得 ，
∴直线 的表达式为 ；
（2）解：过点 作 于点 ，作 ，交 于点 ，交 轴于点 ，
由题意得，四边形 为正方形， 为矩形，
∵ ， ，
∴ ， ， ，
根据正方形 的对称性，则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴
∴ ；
（3）当点 在边 上时，如下图，∵ 为等腰三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴在 中， ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
则 ，
则点 ；
当点 在 的延长线上时，如下图，
同理可得： ，
∴在 中， ，
∴ ，
∴ ，则 ．
综上所述，点 的坐标为 或 ．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形、等腰三角形的判定与性质、待定系数法求一次函数解析、全等三角
形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理等知识，综合性强，难度较大，综合运用相关
知识是解题关键．
113．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线 与x轴交于点
A，与y轴交于点B，且 ，点C的坐标为 ．
(1)直接写出点A的坐标以及直线 的解析式；
(2)如图1，点D在x轴上，连接 ，使 ，求点D的坐标；
(3)如图2，已知点 在第四象限内，直线 交y轴的负半轴于点P，过点A作直线
，交y轴于点Q，当m的值发生改变时，线段 的长度是否会变化？若不变，求其值；若变化，
求变化范围．
【答案】(1) ，
(2) 或
(3)不变，
【知识点】求一次函数解析式、一次函数与几何综合、全等三角形综合问题、坐标与图形变化——轴对称
【分析】本题主要考查了一次函数的综合运用，全等三角形的判定以及性质，点的对称轴等知识．
（1）先分别求出点A，B的坐标，再根据 ，即可求出k值，则可求出直线 的解析式．
（2）先得出 ，然后分两种情况①当点D在点A的左边 处，作 交 于点
E，作 轴于点F，证明 ，利用全等的性质得出 ，进一步可求出点E，然
后用待定系数法求出直线 的解析式，然后另 ，求出x，即可求出 ．②当点D在点A的右边 处，
连接 并延长交 于点G，得出 ，根据等角对等边可得出 ，则 ，根据对称性求出点G的坐标，再用待定系数法求出直线 的解析式，进一步即可得出 ．
（3）用待定系数法求出直线 的解析式，再求出点P的坐标，再求出CM的解析式，根据平行的性质再
求出 的解析式，进而求出点Q的坐标，根据两点之间的距离即可得出 的值．
【详解】（1）解：∵直线 与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴当 时， ，
当 时， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴直线 的解析式为 ．
（2）由（1）知： ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
①当点D在点A的左边 处，
∵ ，
∴ ，
作 交 于点E，作 轴于点F，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
设直线 的解析式为 ，
则 ，解得：
∴直线 的解析式为 ，
当 时， ，
∴ ．
②当点D在点A的右边 处，
连接 并延长交 于点G，
∵ ， 轴，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴点G与点E关于点A对称，
∴ ，
∵ ，
设直线 的解析式为 ，
则 ，
解得： ，
∴ 的解析式为 ，
当 时， ，
∴ ．
综上所述，点D的坐标为 或 ．
（3）不变．
∵ ， ，
设直线 的解析式为 ，则 ，
解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
∴ ，
∵ ，
同理求出直线CM的解析式为 ，
∵ ，
∴直线 的解析式为 ，
∴ ，
∴ ．
