文档内容
20.2 勾股定理的逆定理及其应用
第1课时
一、教学目标
【知识与技能】
1.理解并能证明勾股定理的逆定理.
2.会认识并判断勾股数,掌握勾股定理的逆定理,并能灵活应用逆
定理判定一个三角形是否为直角三角形.
【过程与方法】
1.通过对勾股定理的逆定理的探索,经历知识发生、发展和形成的
过程.
2.通过用三角形的三边的数量关系来判断三角形的形状,体验数形
结合方法的应用.
【情感态度与价值观】
1.通过用三边之间的数量关系来判断三角形的形状,体验数与形的
内在联系,感受定理与逆定理之间的和谐辩证统一的关系.
1 / 132.在对勾股定理的逆定理的探索中,培养了学生的交流、合作的意
识和严谨的学习态度,同时感悟勾股定理和逆定理的应用价值.
二、课型
新授课
三、课时
第1课时 共2课时
四、教学重难点
【教学重点】
勾股定理的逆定理的应用.
【教学难点】
勾股定理的逆定理的证明.
五、课前准备
教师：课件、三角尺、直尺等.
学生：三角尺、绳子、铅笔、直尺、练习本.
六、教学过程
（一）导入新课（出示课件2）
古埃及人曾用下面的方法得到直角：
2 / 13用13个等距的结,把一根绳子分成等长的12段,然后以3个结，4
个结，5个结的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角
便是直角.按照这种做法真能得到一个直角三角形吗？这就是今天我
们探究的问题！
（二）探索新知
1.出示课件4-9，探究勾股定理的逆定理
教师问：据说，古埃及人曾用如图所示的方法画直角. 这种方法
对吗？
3 / 13学生答：三边分别为3，4，5，满足关系：32+42=52，则该三角
形是直角三角形．
教师问：完成下面的问题：
下列各组数中的两数平方和等于第三数的平方，分别以这些数
为边长画出三角形(单位：cm).
① 5，12，13； ② 7，24，25； ③ 8，15，17．
师生一起解答如下：
教师问：用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？
师生一起解答：如下图所示， 它们都是直角三角形.
4 / 13教师问：下面有三组数分别是一个三角形的三边长a, b, c:
①5,12,13; ②7,24,25; ③8,15,17.
这三组数在数量关系上有什么相同点？
教师找三名学生回答.
学生1答：① 5,12,13满足52+122=132,
学生2答：② 7,24,25满足72+242=252,
学生3答：③ 8,15,17满足82+152=172.
教师问：如果用字母a，b，c代替上面每一组的数字，你能得到
a，b，c之间什么关系式呢？
学生答：a2+b2=c2.
教师问：古埃及人用来画直角的三边满足这个等式吗？
学生答：∵32+42=52，∴满足.
教师问：根据上面的式子你有什么猜想呢?
学生答：一个三角形的两边的平方和等于另一边的平方，这个三
5 / 13角形是直角三角形.
教师总结如下：由上面几个例子，我们猜想：
如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角
三角形.
教师问：你觉得这个猜想严谨吗？为什么？
学生1答：我觉得这个猜想不准确，因为测量结果可能有误差.
学生2答：我也觉得猜想不严谨，前面我们只取了几组数据，不
能由部分代表整体.
教师：试着完成下面的题目.
展示问题：已知：如图，在△ABC中，AB=c，BC=a，CA=b，
并且a2+b2=c2 .求证：∠C=90°.
师生共同解答如下：
6 / 13证明：作∆A B C , 使∠C =90°，B C =a，C A =b. 根据勾股定理，
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则有A B 2=B C 2+C A 2=a2+b2. ∵a2+b2=c2, ∴A B =c.
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∴AB=A B .
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在△ABC和△A B C 中，
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BC=B C ,
1 1
CA=C A ,
1 1
AB=A B .
1 1
∴∆ABC≌∆A B C .
1 1 1
∴∠C=∠C =90°.
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教师总结归纳：（出示课件10）
勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足 a2 + b2
= c2，那么这个三角形是直角三角形.
教师追问：你能利用符号语言描述一下上面的定理吗？
师生一起总结如下：
7 / 13符号语言：
在△ABC中，若a2+b2=c2
则△ABC是直角三角形.
教师总结点拨：（出示课件11）
勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知三角形的三
边长，且满足两条较小边的平方和等于最长边的平方，即可判断此
三角形为直角三角形 ，最长边所对应的角为直角.
考点1：利用勾股定理的逆定理判断直角三角形
下面以a,b,c为边长的三角形是不是直角三角形？如果是,
那么哪一个角是直角？（出示课件12）
(1) a=8 ， b=15 ，c=17; (2) a=14 ，b=13 ，c=15.
教师找两名学生解答.
学生1解：
8 / 13(1)∵82+152=289，172=289，
∴82+152=172.
根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形，且∠C是直
角.
学生2解：
(2)∵142+132=365，152=225，
∴142+132≠152，不符合勾股定理的逆定理.
∴这个三角形不是直角三角形.
师生总结点拨：根据勾股定理的逆定理，判断一个三角形是不是
直角三角形，只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平
方.
出示课件13，学生自主练习后口答，教师订正.
考点2：利用勾股定理的逆定理和乘法公式判断三角形的形状
若△ABC的三边a,b,c，且a+b=4,ab=1,c=√14，试说明△ABC是
直角三角形.（出示课件14）
学生独立思考后，师生共同解答.
解：∵a+b=4,ab=1,
9 / 13∴a2+b2=(a+b)2-2ab=16-2=14.
又∵c2=14,
∴a2+b2=c2,
∴△ABC是直角三角形.
出示课件15，学生自主练习，教师给出答案.
2.出示课件16，探究勾股数
教师问：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2那么这个三
角形是直角三角形.你能找到满足a2+b2=c2的三个数均为正整数吗？
教师找两名学生回答.
学生1答：可以找到，例如3，4，5.
学生2答：可以找到，例如5，12，13.
教师问：如果满足a2+b2=c2的三个数均为正整数，我们把具有这
种性质的一组数叫作勾股数.你能举出实际的例子吗？
教师找四名学生回答.
学生1答：3，4，5. 5，12，13
学生2答：6，8，10. 7，24，25.
学生3答： 8，15，17. 9，40，41.
10 / 13学生4答：10，24，26
教师问：勾股数有很多，那么如何快速找勾股数呢？
师生共同解答如下：一组勾股数，都扩大相同倍数k(k为正整数)，
得到一组新数，这组数同样是勾股数.
出示课件17，学生自主练习后口答，教师给出答案.
教师：学了前面的知识，接下来做几道练习题看看你掌握的怎么
样吧。
（三）课堂练习（出示课件18-22）
练习课件第18-22页题目，约用时20分钟
（四）课堂小结（出示课件23）
师生共同回顾本节课所学主要内容:
(1)已知一个三角形的三边长,利用勾股定理的逆定理来判定这个
三角形是不是直角三角形.
(2)三个数满足勾股数的两个条件:①三个数必须满足较小的两个
数的平方和等于最大的一个数的平方;②三个数必须都是正整数.
(3)解题时,注意勾股定理与其逆定理的区别.勾股定理是在直角三
11 / 13角形中运用的,而勾股定理的逆定理是判断一个三角形是不是直角三
角形的.
（五）课前预习
预习下节课（20.2第2课时）的相关内容.
知道利用勾股定理的逆定理解决实际问题的方法
七、课后作业
1、教材第36页练习第1，2题.
2、培优练习20.2第1，2，3，5题.
八、板书设计
勾股定理的逆定理及其应用
第1课时
1.勾股定理的逆定理
考点1 考点2
2.勾股数
3.例题讲解
九、教学反思
成功之处：
12 / 131.本节课以“提出问题——解决问题”为主线,以学生的自主探索
学习为中心,从解决问题的完成情况看,知识目标完全达到,能力目标
基本实现,情感目标基本实现.
2.在本节课教学中,充分发挥学生在教学中的主体作用,教师不能
一味地“讲知识”,而是应用启发式的原则,给学生指明学习目标和方
向,让学生去自主探究,注重了知识上的及时巩固,也侧重了学生各方
面的素质的培养.
不足之处：
1.在重难点的突破上,还应加一些递进的习题,降低题的难度,使优
生学好,中等生也能跟上.同时,缺少了板书示范,不利于学生养成良好
的书写习惯.
2.本节课内容较多,由于时间紧,还是不敢放手,总是牵着学生走,结
果学生的积极性没有充分调动起来,还需要注意教师精讲,留足时间让
学生探究.
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