文档内容
20.2 勾股定理的逆定理及其应用(第 2 课时)教学设
计
一、内容和内容解析
1. 内容
本节课是在学习勾股定理的逆定理的基础上，应用勾股定理及其逆定理解决问题．
2. 内容分析
本节课是勾股定理及其逆定理知识的综合应用阶段，核心是实现“判定直角三角形”与“计算边长”
的双向结合。课程内容聚焦实际场景和数学背景，通过“先判定直角→再计算边长”或“先计算边长→再
判定直角”的逻辑链，解决方位判断、面积计算等问题。其本质是培养学生的模型思想和综合推理能力，
让学生体会两个定理“性质与判定”的互补价值。
基于以上分析，确定本节课的教学重点为：应用勾股定理及其逆定理解决数学问题和实际问题。
二、目标和目标解析
1. 目标
（1）应用勾股定理的逆定理解决实际问题，发展应用意识。
（2）进一步加深对勾股定理与其逆定理之间关系的认识，发展推理能力。
2. 目标解析
（1）学生能从实际问题中抽象出三角形或四边形模型，通过逆定理判定直角三角形，再用勾股定理
计算未知边长，解决实际问题，形成“实际场景→数学模型→定理应用→实际结论”的解题思路。
（2）学生能清晰区分勾股定理（已知直角三角形求边长）与逆定理（已知三边长判定直角三角形）
的适用场景，在综合问题中灵活切换使用两个定理，理解二者“互逆互补”的逻辑关系，提升综合推理和
问题解决能力。学生能将四边形等复杂图形转化为直角三角形组合，通过分割法计算面积，培养图形转化
和化归思想。
三、教学问题诊断分析
可能出现的问题：
（1）综合应用两个定理时，混淆适用场景，如该用逆定理判定直角时误用勾股定理，或该用勾股定
理计算边长时不知先判定直角。
（2）处理四边形问题时，缺乏“分割为直角三角形”的转化意识，难以找到解题突破口。
应对策略：
（1）通过对比表格明确两个定理的适用场景，在例题中标注“判定直角（逆定理）”“计算边长
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学科网（北京）股份有限公司（勾股定理）”的关键步骤，强化学生对逻辑链的认知；设计“定理选择”专项辨析题，帮助学生精准区
分应用场景。
（2）针对四边形问题，引导学生观察图形中的直角条件，示范“连接对角线分割为直角三角形”的
方法，通过板书展示分割过程和面积计算逻辑，培养转化思想。
基于以上分析，确定本节课的教学难点为：灵活应用勾股定理及其逆定理解决问题。
四、教学过程设计
（一）复习引入
勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2.
勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.
利用勾股定理的逆定理，可以解决一些实际问题.
设计意图：快速回顾两个核心定理的内容，明确二者的“性质与判定”关系，为综合应用奠定基础；
以“解决实际问题”引出本节课主题，直接点明学习目标，自然过渡到例题探究。
（二）合作探究
例2 如图，港口P位于东西方向的海岸线上.“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固
定方向航行，“远航”号每小时航行16 n mile，“海天”号每小时航行12 n mile.它们离开港口1.5 h后分
别位于点Q，R处，且相距30 n mile.如果“远航”号沿东北方向航行，那么“海天”号沿什么方向航行?
分析 在图中可以看到，由于“远航”号的航向已知，如果能求出两艘轮船的航向所成的角，就能知
道“海天”号的航向了.
解：根据题意，
PQ=16×1.5=24，PR=12×1.5=18，QR=30.
因为242+182=302，即PQ2+PR2=QR2，
所以∠QPR=90°.
由“远航”号沿东北方向航行可知，
∠1=45°.因此∠2=45°,即“海天”号沿西北方向航行.
5 13
例3 如图，在四边形ABCD中，AB=5，BC=3，AD= ，DC= .如果AC⊥BC，判断AC与AD是否
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也垂直，并说明理由.
分析 若能求出AC的长，就可以根据勾股定理或其逆定理判断△ACD是不是直角三角形，从而判断
AC是否垂直于AD.
解：因为AC⊥BC，所以∠ACB=90°.
在Rt△ABC中，根据勾股定理，AC²=AB²−BC²=5²−3²=16.所以AC=4.
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学科网（北京）股份有限公司在△ACD中，AC²+AD²=4²+(5)²=169，CD²=(13)²=169
C
，
3 9 3 9
D
所以AC²+AD²=CD².
A B
因此△ACD是直角三角形，即AC⊥AD.
设计意图：例 2 选取航海方位问题，贴近生活实际，考查“先算边长→用逆定理判定直角→求方向
角” 的逻辑链，培养学生的模型抽象和方位判断能力；例 3 聚焦四边形转化，考查“先用勾股定理求边
长→再用逆定理判定直角”的综合应用，培养图形转化思想。两个例题覆盖“实际问题”和“几何图形问
题”，全面展示定理的综合应用场景，为学生提供清晰的解题范例。
（三）典例分析
1. A，B，C三地的两两距离如图所示，A地在B地的正东方向，C地在B地的什么方向?
解：根据题意，AB=12，BC=5，AC=13.
因为AB2+BC2=AC2，即122+52=132，
所以∠B=90°.
∴C地在B地的正北方向.
2. 如图，在四边形ABCD中，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，∠B=90°.求四边形ABCD的面积.
解：根据勾股定理得，AC2=AB2+BC2=32+42=25，∴AC=5，
∴AC2+CD2=25+122=169，∵AD2=132=169，
∴AC2+CD2=AD2，∴∠ACD=90°.
AB×BC AC×CD
∴S =S +S = + =
四边形ABCD △ABC △ACD
2 2
3×4 5×12
+ =36.
2 2
设计意图：典例 1 是例 2 的变式，强化“方位判断”的解题思路；典例 2 强化“四边形分割为直
角三角形” 的转化方法，巩固面积计算的技巧。通过同类变式训练，帮助学生固化解题思路，提升知识
迁移能力。
（四）巩固练习
1．如图是王叔叔建房时所挖地基的平面图，按标准，四边形ABCD四个角都应是直角，他在挖完后测
量发现AB=CD=6m，AD=BC=8m，AC=BD=10m，则他挖的地基 合格 ．（填“合格”或“不合
格”）
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学科网（北京）股份有限公司2．如图，有一块三角形空地，它的三条边线分别长30m,40m和50m，已知40m长的边线为南北向，则
30m长的边线方向为（ A ）
A．东西向 B．东北向 C．东南向 D．西北向
3．甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行速度都是400m/min，甲客轮用30min到达A处，乙客轮用
40min到达B处．若A，B两处的直线距离为20000m，甲客轮沿着北偏东30°的方向航行，则乙客轮的航行
方向可能是（ C ）
A．北偏西30° B．南偏西30° C．南偏东60° D．南偏西60°
4．我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一题：“问有沙田一块，有三斜，
其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”其大意是：有一块三角形沙田，三条边分别
为5里，12里，13里，问这块沙田的面积为（ A ）
A．30平方里 B．32.5平方里 C．60平方里 D．65平方里
5. 高师傅有5根长度(单位：dm)分别为a=6，b=8，c=10，d=24，e=26的钢条，准备选3根焊接一个
直角三角形钢架.请你帮高师傅找出所有可能的钢条组合.
答：组合1：a，b，c. 组合2：c，d，e.
6．如图，在四边形ABCD中，已知AB=20m，BC=15m，CD=7m，AD=24m，∠B=90°．
(1)求证：∠ADC=90°；
(2)求四边形ABCD的面积．
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学科网（北京）股份有限公司解：（1）如图：连接AC，
在Rt△ABC中，AB=20，BC=15，∠B=90°，
∴AC=√AB2+BC2=√202+152=√625=25，
∵CD2=72=49，AD2=242=576，AC2=252=625，
∴CD2+AD2=AC2，
∴△ACD为直角三角形，∠ADC=90°.
（2）∵在Rt△ABC中，AB=20，BC=15，在Rt△ADC中，CD=7，AD=24，
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∴S =S +S = ×20×15+ ×7×24=234，
四边形ABCD △ABC △ADC 2 2
∴四边形ABCD的面积为234m2．
设计意图：巩固练习题型丰富，梯度分明：第 1-3 题聚焦实际问题，强化模型抽象和方位判断；第
4-6 题聚焦几何图形，强化三角形面积计算和四边形转化。练习覆盖不同应用场景，既能强化学生对“定
理综合应用”的掌握，又能及时反馈学习效果，帮助学生查漏补缺。
（五）归纳总结
（六）感受中考
1．（湖南长沙）我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：“问有沙田
一
块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形
沙田，三条边长分别为5里，12里，13里，问这块沙田面积有多大？题中“里”是我国市制长度单位，1
里=500米，则该沙田的面积为（ A ）
A．7.5平方千米 B．15平方千米 C．75平方千米 D．750平方千米
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学科网（北京）股份有限公司2．（2021广西玉林）如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，甲、乙
轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，甲、乙轮船每小时分别航行12
海里和16海里，1小时后两船分别位于点A，B处，且相距20海里，如果知道
甲船沿北偏西40°方向航行，则乙船沿 北偏东 50° 方向航行．
3．（2020年山西）阅读与思考：下面是小宇同学的数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务．
没有直角尺也能作出直角
今天，我在书店一本书上看到下面材料：木工师傅有一块如图所示的四边形木板，他已经在木板上
画出一条裁割线AB，现根据木板的情况，要过AB上的一点C，作出AB的垂线，用锯子进行裁割，然而手
头没有直角尺，怎么办呢？如图，可利用一把有刻度的直尺
在AB上量出CD=30cm，然后分别以D，C为圆心，以50cm与
40cm为半径画圆弧，两弧相交于点E，作直线CE，则∠DCE
必为90°．
填空；“办法一”依据的一个数学定理是 勾股定理的逆定理 .
设计意图：引入中考真题，让学生感受定理在中考中的考查形式，涵盖实际计算、方位判断、原理分
析等题型，明确学习重点；通过真题练习，检验学习成果，提升应考能力和解题信心，激发学习动力。
（七）小结梳理
（八）布置作业
1.必做题：习题20.2 第3，4题.
2.探究性作业：习题20.2 第5题.
五、教学反思
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