文档内容
专题 01 勾股定理及勾股定理逆定理
目录
A题型建模・专项突破
题型一、勾股数的判断...................................................................................................................................1
题型二、求几何图形面积...............................................................................................................................3
题型三、判断能否构成直角三角形...............................................................................................................5
题型四、用勾股定理解三角形.......................................................................................................................8
题型五、勾股定理与网格问题.....................................................................................................................11
题型六、勾股定理的证明方法.....................................................................................................................13
题型七、勾股定理的应用.............................................................................................................................18
题型八、利用勾股定理的逆定理求解.........................................................................................................21
B综合攻坚・能力跃升
题型一、勾股数的判断
1．（25-26八年级上·河南洛阳·月考）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的
数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（ ）
A． ， ， B． ， ， C． ， ， D． ， ，
【答案】C
【分析】本题考查勾股数，三个正整数，两个较小数的平方和等于较大数的平方，这三个正整数构成一组
勾股数，熟练掌握勾股数的定义是解题关键．根据勾股数的定义逐一进行判定即可．
【详解】解：A． ， ， ，故该选项不是勾股数，不符合题意；
B． ， ， ，故该选项不是勾股数，不符合题意；
C． ， ， ，故该选项是勾股数，符合题意；
D． ， ， ，故该选项不是勾股数，不符合题意．
故选：C．
2．（25-26八年级上·上海闵行·月考）在下列四组数中，是勾股数的是（ ）
A．2，1， B．6，8，12 C．7，40，41 D．5，12，13
【答案】D
【分析】本题考查了勾股数的定义，熟练掌握定义是解题的关键．根据勾股数是三个正整数，且满足两较
小数的平方和等于最大数的平方，据此逐项判断即可．
【详解】解：A、含 ，不是正整数，不符合定义，故该选项错误；
B、 ， ， ，不符合定义，故该选项错误；
C、 ， ， ，不符合定义，故该选项错误；
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学科网（北京）股份有限公司D、 ， ，相等且均为正整数，符合定义，故该选项正确；
故选：D．
3．（25-26八年级上·河北张家口·月考）下列四组数中，是勾股数的一组是（ ）．
A．1，1，2 B． ， ，
C．3，4，5 D．3，4，6
【答案】C
【分析】本题考查了勾股数，熟记勾股数的概念是解题关键．根据勾股数的定义（能够成为直角三角形三
条边长的三个正整数，称为勾股数）逐项判断即可得．
【详解】解：A、 ，故此项不是勾股数，不符合题意；
B、 ， ， ，这三个数不是正整数，故此项不是勾股数，不符合题意；
C、 ，且这三个数均为正整数，则此项是勾股数，符合题意；
D、 ，故此项不是勾股数，不符合题意；
故选：C．
4．（25-26八年级上·山西晋中·期末）勾股数，又称毕氏三元数，下列各组数中，是“勾股数”的是（
）
A．6，7，10 B．0.3，0.4，0.5 C．1，1， D．16，30，34
【答案】D
【分析】本题主要考查了勾股数，熟知满足 的三个正整数，称为勾股数是解题的关键．
根据勾股数的定义逐项分析即可解答．
【详解】解： A、 ， ， ，∴6，7，10不是勾股数．故此选项不符
合题意；
B、∵0.3， 0.4，0.5 非整数，∴0.3， 0.4，0.5不是勾股数．故此选项不符合题意；
C、 非整数，∴1，1， 不是勾股数．故此选项不符合题意；
D、 ， ， ，∴16，30，34是勾股数．故此选项符合题
意．
故选：D．
题型二、求几何图形面积
5．（25-26八年级上·河南南阳·月考）如图，以直角三角形各边为边在三角形外部画正方形，每个正方形
中的数字及字母m表示所在正方形的边长，其中m的值为（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A．5 B．25 C．7 D．14
【答案】A
【分析】根据勾股定理可知边长为4和边长为3的正方形的边长的平方和等于边长为 的正方形边长的平
方，据此可得答案．
本题考查了勾股定理，熟练运用勾股定理是解题关键．
【详解】解： 每个正方形中的数及字母 表示所在正方形的边长，
由勾股定理得： ,
则 （负数舍去）．
故选：A．
6．（25-26八年级上·陕西西安·月考）如图， 中， ；分别以这个三角形的三边为边长
作正方形，面积分别记为 、 、 ，若 ，则阴影部分面积为（ ）
A．8 B．12 C．16 D．18
【答案】A
【分析】本题考查勾股定理与正方形面积的关系，运用代数推导思想，解题关键是建立面积与边长平方的
联系．
通过勾股定理将正方形面积转化为直角三角形边长的平方，进而推导阴影部分面积即可．
【详解】解：设 的三边为 ， ， ，
由题意得 ， ， ；由勾股定理 ，
已知 ，即 ，
∴ ，
解得 ，
∵阴影部分是一个三角形，以 等长的边为底，高等于 的长度，
∴阴影面积为 ．
故选：A．
7．（25-26八年级上·河北石家庄·月考）如图，在 中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作
正方形，面积分别记 ， ， ．若 ， ．则图中阴影部分的面积为（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A．6 B．9 C． D．
【答案】D
【分析】由勾股定理可知 ,即可求解．
本题考查了勾股定理，掌握勾股定理是解题关键．
【详解】由勾股定理可知 ,
,
,
由图形可知，阴影部分的面积为 ．
故选: ．
8．（25-26八年级上·河南新乡·月考）如图，分别以 的各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学
史上被称为“希波克拉底月牙”．当 ， 时，“希波克拉底月牙”的面积是（ ）
A．18 B．20 C．24 D．48
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理、三角形和圆的面积公式，根据勾股定理求得 的长度，再根据圆的面积
公式分别计算三个半圆的面积，根据三角形的面积公式计算 的面积，再利用割补法即可求出“希
波克拉底月牙”的面积．
【详解】解：∵在 中， ， ， ，
∴ ，
以 为直径的半圆面积为 ；
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学科网（北京）股份有限公司以 为直径的半圆面积为 ；
以 为直径的半圆面积为 ；
的面积为 ，
∴“希波克拉底月牙”的面积是 ．
故选：C．
题型三、判断能否构成直角三角形
9．（25-26八年级上·甘肃兰州·期末）在 中， 的对边分别是 ．下列条件中，不能
判断 为直角三角形的是（ ）
A． ， ， B．
C． ， ， D．
【答案】A
【分析】本题考查了直角三角形的判断，分别根据有一个角是直角的三角形是直角三角形，勾股定理的逆
定理判断即可．
【详解】解：A． ，
∴ ∵
不是直角三角形，则符合题意；
∴B．∵ ，
，
∴ ，
∵∴ ，
∴ 是直角三角形，则不符合题意；
C．∵ ，
∴
是直角三角形，则不符合题意；
∴D． ，
设∵ ，
∴∴ ，
是直角三角形，则不符合题意．
∴
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学科网（北京）股份有限公司故选：A．
10．（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·期末）在 中，下列条件中，不能判断 是直角三角形的
是（ ）
A． ， ， B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查勾股定理的逆定理和三角形内角和定理，通过计算各选项判断是否能构成直角三角形，
熟练掌握勾股定理的逆定理和三角形内角和定理是解此题的关键．
【详解】解：A、∵ ， ， ，∴ ，故 是直角三角形，不符合题意；
B、∵ ，
∴设 ， 则 ， ，
∵ ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
故 是直角三角形，不符合题意；
C、∵ ，
∴设 ， ， ，
∵ ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
故 不是直角三角形，符合题意；
D、∵ ，且 ，
∴ ，即 ，
∴ ，
故 是直角三角形，不符合题意；
故选：C．
11．（25-26八年级上·河南南阳·月考）满足下列条件的 ，不是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查直角三角形的判定，涉及勾股定理逆定理和三角形内角和定理.通过判断每个选项是否满
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学科网（北京）股份有限公司足直角三角形条件，通过计算得到选项D的角比例计算后均为锐角，因此不是直角三角形，从而得到答案.
【详解】解：A、∵
∴ ，
由勾股定理逆定理， 是以b为斜边的直角三角形.
B、 ∵ ，且 ，
∴ 是直角三角形.
C、 ∵ ，且 ，
代入得 ，
∴ ， 是直角三角形.
D、 设 ，则 ，
解得： ，
∴ ，均小于 ，
∴ 不是直角三角形.
12．（25-26八年级上·浙江台州·期中）在 中， ， ， ．下列条件中：①
，② ，③ ，④ ，⑤ ．能确
定 是直角三角形的有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】C
【分析】本题考查了三角形内角和定理，勾股定理的逆定理，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
根据直角三角形的定义和勾股定理的逆定理解答．
【详解】解：对于条件①：∵ ，且 ，
∴ ，即 ，
∴ 是直角三角形．
对于条件②：设 ，则 ，
∴ ，
∴ ，
∴ 不是直角三角形．
对于条件③：∵ ，
∴由勾股定理逆定理， 是直角三角形．
对于条件④：∵ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ 不是直角三角形．
对于条件⑤：设 ，则 ，
∴ ，
∴ 是直角三角形．
∴能确定 是直角三角形的条件有①、③、⑤，共 3 个．
故选：C
题型四、用勾股定理解三角形
13．（24-25八年级上·四川成都·月考）如图，在 中， ， ，垂足为D．如果
， ，则 的长为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了勾股定理，三角形的面积．根据勾股定理可得 的长，再由
，即可求解．
【详解】解：∵ ， ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
14．（24-25八年级上·江苏南京·期末）如图，枣庄公安监控区域的警示图标中，摄像头的支架由水平、竖
直方向的 两段构成，若 段长度为 ，点A，C之间的距离比 段长 ，则 段的长度为
．
【答案】15
【分析】本题考查勾股定理的应用，设 ，则 ，利用勾股定理求出 的值即可．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】解：由题意， ， ，
设 ，则 ，
由勾股定理，得： ，
∴ ，
解得 ，
∴ ；
故答案为：15．
15．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在 中， ， 平分 交 于点 ，
、 分别是 、 上的动点，连接 、 ，若 ， ，则 的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题考查全等三角形的判定及性质，两点之间线段最短，垂线段最短，勾股定理，正确作出辅助
线是解题的关键．
在 上取点E，使得 ，连接 ， ，证明 ，得到 ，因此
．过点C作 于点H，则 ，根据勾股定理求出 ，进而根据
的面积求出 ，即可解答．
【详解】解：在 上取点E，使得 ，连接 ， ，
∵ 平分 ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司过点C作 于点H，
∴ ，
∵在 中， ， ，
∴ ，
∵ ，
即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的最小值为 ．
故答案为：
16．（24-25八年级下·广西防城港·期末）在 中， ， ， ， ，求：
(1)已知 ， ，求 ；
(2)已知 ， ，求 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查利用勾股定理解直角三角形，已知两边求第三边时，关键要注意所求边是直角边，还是
斜边．
（1）由于所求边 是斜边，所以利用勾股定理直接可得 ，代入 ， 的值即可求得 的值；
（2）由于所求边 是直角边，所以利用勾股定理直接可得 ，代入 ， 的值即可求得 的值．
【详解】（1）解：在 中， ， ， ，
∴ ；
（2）解：在 中， ， ，
∴ ．
题型五、勾股定理与网格问题
17．（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期末）如图，在 正方形的网格中，每个小正方形的边长都为1，
的顶点都在网格线的交点上，下列说法错误的是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A． B．
C．只有两条边长为无理数 D． 边上的高为
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，三角形面积公式．
根据勾股定理可判断A、C，进而根据勾股定理逆定理可判断B，最后根据三角形面积公式判断D即可．
【详解】解： ，A说法正确；
， ，则三边长均为无理数，C说法错误；
则 ，即 ，B说法正确；
设 边上的高为 ，则 ，解得 ，D说法正确；
故选：C．
18．（22-23八年级上·河南南阳·期末）如图，在 的网格中，每个小正方形的边长均为1，点 ， ，
都在格点上，则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． 的面积为10 D．点 到直线 的距离是2
【答案】C
【分析】本题考查的是勾股定理及其逆定理，利用网格图计算三角形的面积，点到直线的距离．熟练掌握
勾股定理及其逆定理是解题的关键．
利用勾股定理及其逆定理、网格求三角形面积，三角形等面积法依次计算判断即可．
【详解】解：A、 ，本选项结论正确，不符合题意；
B、 ， ， ，
，
， 本选项结论正确，不符合题意；
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学科网（北京）股份有限公司C、 ，本选项结论错误，符合题意；
D、点A到 的距离 ，本选项结论正确，不符合题意；
故选：C．
19．（24-25八年级下·云南普洱·期末）如图，在 的网格中，每个小正方形的边长都为1，四边形
的顶点都在格点（网格线的交点）上．
(1)求线段 和 的长．
(2) 是直角吗？请说明理由．
【答案】(1) ，
(2) 是直角，理由见解析
【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理，以及勾股定理的逆定理是解题的
关键．
（1）根据勾股定理解答即可；
（2）根据勾股定理逆定理即可．
【详解】（1）解：根据题意得： ，
；
（2）解： 是直角，理由如下：
如图，连接 ，
根据题意得： ，
∴ ，
∴ 为直角三角形，且 ，
即 是直角．
20．（24-25八年级下·云南昆明·期末）如图，点 ， ， 在边长为 的正方形组成的网格格点上，解答
下列问题：
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学科网（北京）股份有限公司(1)线段 的长为______，线段 的长为______；
(2)连接 ，判断 的形状，并证明你的结论．
【答案】(1) ， ；
(2) 是直角三角形，证明见解析
【分析】本题考查的是勾股定理、勾股定理的逆定理，解题关键是熟练掌握勾股定理的逆定理．
（1）根据勾股定理进行计算即可；
（2）根据勾股定理的逆定理进行判断即可．
【详解】（1）解：由图可知， ， ，
故答案为： ， ；
（2）解： 是直角三角形，
证明：由 知， ， ，
，
，
是直角三角形．
题型六、勾股定理的证明方法
21．（24-25八年级下·四川广元·期末） “赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．在世界数学史
上具有独特的贡献和地位．现用四个全等的直角三角形拼成如图所示的“弦图”．设直角三角形的两条直
角边长分别为a，b（ ），斜边为c，请利用这个图形解决下列问题：
(1)试说明：
(2)如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是3，求 的值．
【答案】(1)见解析
(2)
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学科网（北京）股份有限公司【分析】本题考查了勾股定理的证明，完全平方公式的变形应用．解题的关键在于明确 与面积的关
系．
（1）根据大正方形面积=小正方形面积+四个直角三角形面积计算即可；
（2）由图可得到 和 的值，进而求出 ，代入 ，即可得到
结论．
【详解】（1）证明：∵大正方形面积为 ，直角三角形面积为 ，小正方形面积为 ，
∴
∴ ．
（2）解： 大正方形面积为13，
，
，
，
又 小正方形面积为3，
，
，
，
．
22．（23-24八年级上·四川内江·期末）著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都
为 ，较小的直角边长都为 ，斜边长都为 ），大正方形的面积可以表示为 ，也可以表示为
，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为 ，斜边长为 ，则
．
【结论探究】
（1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理；
【结论应用】
（2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄 ，河边原有两个取水点 ， ，由于某种
原因，由 到 的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点 在同一条
直线上），并新修一条路 ，且 ．测得 千米， 千米，求新路 比原路
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学科网（北京）股份有限公司少多少千米？
【问题拓展】
（3） 中， ，垂足为 ，请求出 的值．
【答案】（1）见解析；（2） 千米；（3）8
【分析】本题考查了勾股定理的证明方法、勾股定理的应用等知识．
（1）利用梯形 的面积的两种表示方法即可证明；
（2）设 千米，在 中，根据勾股定理 得到 ，解
得 ，即 千米，即可得到答案；
（3）在 中， ，在 中， ，则 ，
则 ，解得： ，利用勾股定理即可得出 ．
【详解】（1）解：梯形 的面积为 ，
也可以表示为 ，
，即 ；
（2）设 千米，
千米，
在 中，根据勾股定理得： ，
，
解得 ，即 千米，
(千米)，
答：新路 比原路 少 千米；
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学科网（北京）股份有限公司（3）解：如图，
设 ，
，
， ， ， ，
根据勾股定理：
在 中， ，
在 中， ，
，
即 ，
解得： ，
，
．
23．（24-25八年级下·安徽六安·期末）【背景介绍】
勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，我国最早的数学著作《周髀算经》就有记载．千百年来，人们
对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，我国数学教育工作者向常春老师，在
1994年构造发现了一个简洁优美的新证法．
【证法再现】
如图，把两个全等的直角三角形 和 如图1放置，其三边长分别为a，b，c．显然，
， ．请用a，b，c分别表示出梯形ABCD， ．四边形AECD的面积：
______， ______， ______，探究这三个图形面积之间的关系，可证得勾股定
理，完成以上证明过程；
【知识运用】
如图2，河道上A，B两点(看作直线上的两点)相距160米，C，D为两个菜园(看作两个点)， ，
，垂足分别为A，B， 米， 米，现在菜农要在AB上确定一个抽水点P，使得抽水
点P到两个菜园C，D的距离和最短．
(1)请在图2中确定点P的位置，并说明理由；
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学科网（北京）股份有限公司(2)该最短距离和为多少米？
【答案】证法再现： ， ， 证明见解析；知识运用：（1）见解析（2）200米
【分析】本题考查了用数形结合来证明勾股定理，勾股定理的应用，轴对称-最短路线问题，证明勾股定理
常用的方法是利用面积证明，本题锻炼了同学们数形结合的思想方法．
证法再现：根据三角形的面积和梯形的面积就可表示出．
知识运用：（1）作点C关于 的对称点F，连接 交 于点P，连接 ，点P即为所求．
（2）运用勾股定理求出 ，就是代数式 的最小值，
【详解】证法再现：由题意， ， ，
．
满足关系式： ．
整理得： ；
故答案为： ， ， ．
知识运用：(1)作点 关于 的对称点 ，连接 ， ， ，如图．
∴
又 ,
当 三点共线时， 的最小值为 ，
的最小值为 ，此时点 到两个菜园C，D的距离和最短．
（2）作 交 的延长线于E．
在 中，∵ 米， 米，
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学科网（北京）股份有限公司∴ （米）．
故答案为：200．
题型七、勾股定理的应用
24．（24-25八年级上·陕西西安·期末）梦想科技小组在实践课上制作机器人的零件如图①所示，该零件内
有两个小滑块A，B，由一根连杆连接，滑块A，B分别可以在互相垂直的两个滑道上滑动．滑块大小忽略
不计，将零件图抽象成几何图，如图②所示，开始时，滑块A距O点20厘米，滑块B距O点15厘米．当
滑块A向下滑13厘米至点 处时，滑块B滑动到点 的位置，则 的长为多少厘米？
【答案】 的长为 厘米
【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
在 中，先利用勾股定理求出 ，再结合题意求出 ，然后在 中利用勾股定理求出
即可解决问题．
【详解】解： ，
∴在 中， ；
∵ ， ，
∴在 中， ，
．
25．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）树人学校为防止雨天地滑，在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼
梯台阶完全盖住．已知楼梯台阶侧面图如图所示， ， ， ．
(1)求 的长；
(2)若已知楼梯宽 ，每平方米地毯35元，需要花费多少钱地毯才能铺满所有台阶．（假设地毯在铺的
过程中没有损耗）
【答案】(1) 的长为
(2)需要花费686元地毯才能铺满所有台阶
【分析】本题考查了勾股定理的应用．
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学科网（北京）股份有限公司（1）由勾股定理列式计算即可；
（2）由长方形面积公式计算即可．
【详解】（1）解：∵ ， ， ，
在 中，由勾股定理得： ，
答： 的长为 ；
（2）解：地毯长为： ，
已知楼梯宽 ，每平方米地毯35元，
∴地毯的面积为 ，
∴需要花费 （元），
答：需要花费686元地毯才能铺满所有台阶．
26．（25-26八年级上·全国·期末）如图，小明在某泳池沿泳道l练习游泳，点A处有一个攀梯．游了一段
时间后，在点B处的小明想上岸休息，他决定游至点C处后再向攀梯游去．已知 三点都在直线l
上， ．
(1) 的长是否为攀梯A到泳道l的最短距离？
(2)小明游至点C处后又沿泳道l滑行 到达点D，若从点D游至攀梯A，求 的长度（结果保留根号）．
【答案】(1) 的长是攀梯A到泳道l的最近距离，理由见解析
(2)
【分析】本题考查勾股定理的逆定理，垂线段最短，勾股定理，掌握知识点是解题的关键．
（1）根据勾股定理的逆定理，推导出 ，即 ，由垂线段最短，得到 的长是攀梯A到
泳道l的最近距离，即可解答；
（2）根据勾股定理求解即可．
【详解】（1）解： 的长是攀梯A到泳道l的最近距离．理由如下：
在 中，
，
，即 ，
由垂线段最短，
的长为攀梯A到泳道l的最近距离．
（2） ，
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学科网（北京）股份有限公司．
在 中，
．
答： 的长度为 ．
27．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）小望和小岳学习了“勾股定理”之后，为了得到风筝的垂直高度
的长，他俩合作进行了如下操作：
①用皮尺测得 的长为15米；
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线(线段 )的长为25米；
③小望拉风筝的手到地面的距离(线段 的长)为1.5米．
(1)求风筝的垂直高度(线段 的长)；
(2)如果小望想使风筝沿 下降12米到 处，求他应该往回收线多少米？
【答案】(1)风筝的垂直高度 为21.5米
(2)他应该往回收线8米
【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键．
(1)利用勾股定理求出 的长，即可解决问题；
(2)根据勾股定理求出 的长，即可得到结论．
【详解】（1）解：在 中， 米， 米，
由勾股定理得： （米），
∴ （米），
答：风筝的垂直高度 为 米；
（2）解：如图，设下降到 ，
由题意可知， 米，
20 / 38
学科网（北京）股份有限公司∴ （米），
∴ （米），
∴ （米），
答：他应该往回收线8米．
题型八、利用勾股定理的逆定理求解
28．（24-25八年级上·吉林长春·期末）某工程的测量人员在规划一块如图所示的三角形地时，由于在
上有一处古建筑，使得 的长不能直接测出，于是工作人员在 上取一点 ，测得 米，
米后，又测得 米， 米．
(1)求证： ．
(2)求 的长．
【答案】(1)见解析
(2) 米．
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，熟记勾股定理的逆定理，勾股定理是解题的关键．
（1）根据勾股定理的逆定理即可推出 ；
（2）根据勾股定理求出 的长，据此即可求解．
【详解】（1）解： 米， 米， 米，
，
，
；
（2）解： ，
，
（米），
（米）．
29．（24-25八年级下·河北邢台·期末）如图，为居民饮水方便，某小区设立了两个直饮水自动售卖机 ，
，且 ， 均位于地下管道 的同侧，售卖机 ， 之间的距离为500米，管道分叉口 与 之间的
距离为300米， 于点 ， 到 的距离为240米，假设所有管道的材质相同．
21 / 38
学科网（北京）股份有限公司(1)求 ， 之间的距离；
(2)珍珍认为：从管道 上的任意一处向售卖机 引出的分叉管道中， 是这些分叉管道中最省材料的，
请通过计算判断珍珍的观点是否正确．
【答案】(1)180米
(2)珍珍的观点正确，见解析
【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，熟练掌握定理是解题的关键．
（1）因为 ，故利用勾股定理进行列式，解答即可；
（2）先运算 ，再利用勾股定理及其逆定理，证明 即可．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ．
在 中， ，
由勾股定理得 ，
即B，N之间的距离为180米；
（2）解：珍珍的观点正确，过程如下：
由（1）得 ，
∴ ．
在 中，
由勾股定理得 ．
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ 是垂线段，
∴ 是这些管道中最省材料的，即珍珍的观点正确．
30．（24-25八年级下·陕西安康·期末）为实现核心素养导向的教学目标，走向综合性、实践性的课程教学
变革，某中学推进项目式学习，组织八年级数学研学小组，进行了“测量花园面积”的项目式学习活动．
小组测量方案示意图及测量数据如表所示：
项目主题 为校园空地设计创意花坛
项目背景 “综合与实践”小组的同学为学校一块空地设计创意花坛．
22 / 38
学科网（北京）股份有限公司实践工具 卷尺、铅笔等．
如图，四边形 是校园里的一块空
地，线段 是将该空地分割成两块区
设计说明 域的栅栏（宽度忽略不计），其中
区域内种植矮牵牛， 种植
三色堇．
测量数据 ， ， ， ．
项目任务 分别求种植矮牵牛和种植三色堇的面积．
请你完成项目任务．
【答案】种植矮牵牛的面积为 ，种植三色堇的面积为
【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，由勾股定理求得 ，进而由勾股定理的逆定理可证明
是直角三角形，再根据直角三角形的面积公式即可求解．
【详解】解：∵ ， ，
在 中， ，
由勾股定理可得： ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，则 是直角三角形， ，
∴种植矮牵牛的面积为 ，
种植三色堇的面积为 ．
31．（24-25八年级下·河北保定·期末）综合与实践
问题情境：某小区的社区管理人员计划在临街的拐角建造一块绿化地（阴影部分），现面向小区居民征集
设计方案，欣欣和强强合作一起完成了绿化地和引水灌溉方案的设计．
欣欣设计的绿化地及浇灌点方案如下：如图， ，在 上选取两点
E，F为浇灌点，从水源点G处铺设管道引水．
强强设计的铺设管道方案如下：
方案一：从水源点G处直接铺设管道分别到浇灌点E，F；
方案二：过点G作 的垂线，垂足为H，先从水源点G处铺设管道到点H处，再从点H处分别向浇灌点
E，F铺设管道．
社区管理人员按照欣欣设计的绿化地及浇灌点方案施工，施工人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点
之间的距离，就确定了 ．
23 / 38
学科网（北京）股份有限公司(1)施工人员测量的是点 与点 之间的距离．
(2)若绿化地建造每平方米的费用为100元，求建造绿化地的费用．
(3)若 ， ，管道铺设费用为50元/米，请比较强强设计的两种铺设管道方案
所花的费用，并求出铺设管道所需的最少费用．
【答案】(1)A，C
(2)建造绿化地的费用为11300元
(3)方案一所花的费用700元 方案二所花的费用740元，铺设管道所需的最少费用为700元
【分析】本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理的实际应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）直接运用勾股逆定理进行列式计算，即可作答．
（2）直接运用勾股逆定理进行列式计算，得证 ，再计算 ，
，最后相加，即可作答；
（3）根据勾股定理得到 ，根据三角形的面积公式得到
，求得方案一：铺设管道所花的费用 （元），方案二：铺设
管道所花的费用 （元），于是得到结论．
【详解】（1）解：连接 ，
施工人员测量的是A，C两点之间的距离，
∵
∴ ，
∴ ，
即当测量A，C两点之间的距离为
∴满足勾股逆定理得 ；
24 / 38
学科网（北京）股份有限公司∴ ，
故答案为：A，C；
（2）解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
∴四边形 的面积 ，
∴建造绿化地的费用 （元）；
（3）解：∵ ，
∴
∵ ，
∴ ，
∴
∴求得方案一：铺设管道所花的费用 （元），
方案二：铺设管道所花的费用 （元），
∵
∴铺设管道所需的最少费用为700元．
一、单选题
1．（25-26八年级上·四川成都·月考）下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A． ， ， B．1，1，
C．9，12，15 D．5，7，12
【答案】C
【分析】本题考查三角形三边关系，勾股数的定义，需同时满足正整数和勾股定理两个条件．
根据三角形三边关系判断是否构成三角形，根据勾股数是满足 的三个正整数，需逐一验证各选
项是否符合定义．
【详解】解：勾股数需为正整数且满足勾股定理，
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学科网（北京）股份有限公司对于A： ， ， 不是正整数，故不是勾股数；
对于B： 不是正整数，故不是勾股数；
对于C：9，12，15均为正整数，且 ，满足勾股定理，故是勾股数；
对于D：5，7，12均为正整数，但 ，不能构成三角形，故不是勾股数；
故选：C．
2．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）满足下列条件时， 不是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． ， ， D． ，
【答案】A
【分析】本题主要考查的是三角形内角和定理及勾股定理的逆定理等知识点，掌握有一个角为直角的三角
形为直角三角形和勾股定理逆定理判断直角三角形是解题关键．通过计算角度或验证勾股定理逆定理，判
断每个选项是否构成直角三角形即可得答案．
【详解】解：A．∵ ，
∴最大角为 ，故 不是直角三角形，符合题意，
B．∵ ，
∴设 ， ， ，则 ， ，
∴ ，故 是直角三角形，不符合题意；
C．∵ ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，故 是直角三角形，不符合题意；
D．∵ ， ，
∴ ，
∴ 是直角三角形，不符合题意；
故选：A．
3．（25-26八年级上·全国·假期作业）如图，在四边形 中， ，分别以四边形的
四条边为边向外作四个正方形，若 ，则 ( )
A．184 B．86 C．119 D．81
【答案】B
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学科网（北京）股份有限公司【分析】本题考查与弦图有关的计算，勾股定理，连接 ，利用勾股定理，可以推出 ，进行
求解即可．
【详解】解：由题意可知∶ ，
连接 ，
在直角 和 中， ，
即 ，
∴ ，
故选：B．
4．（25-26八年级上·四川达州·月考）如图，是一个可调节平板支架，其结构示意图如图所示，已知平板
宽度 为 ，支架脚 的长度为 ，当 且 平分 时，则点 到 的距离是
( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了勾股定理，角平分线的性质．过点 分别作 的垂线，垂足分别为 ，根据
勾股定理求得 ，等面积法求得 ，根据角平分线的性质可得 ，即可求解．
【详解】解：如图，过点 分别作 的垂线，垂足分别为 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司∵ 平分 ，
∴ ，
故选：D．
5．（25-26八年级上·甘肃天水·月考）已知一个直角三角形的两边长分别为 ， ，则这个三角形的
第三条边长为（ ）
A． B． C． D． 或
【答案】D
【分析】本题主要考查了勾股定理，分 为直角边和斜边两种情况进行求解即可．
【详解】解：∵ 直角三角形两边长分别为 ， ，
∴ 当 为直角边时，第三边（斜边）为 ，
当 为斜边时，第三边（直角边）为 ，
∴第三边长为 或 ，
故选：D．
二、填空题
6．（25-26八年级上·福建泉州·期末）在 中， ，则 的度数为 ．
【答案】 /90度
【分析】本题主要考查勾股定理逆定理，算术平方根，熟练掌握勾股定理逆定理是解题的关键；由题意易
得 ，然后问题可求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为 ．
7．（25-26八年级上·上海静安·期末）如图，以 的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形，若斜
边 ，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查了等腰三角形的定义和勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题关键．根据等腰直角三角形
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学科网（北京）股份有限公司的性质及勾股定理得出 ， ， ， ，利用三角形面积公式
表示出阴影面积即可得答案．
【详解】解：∵以 的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形，
∴ ， ， ，
∴ ， ， ， ，
∵ ， ， ，
∴阴影部分的面积
，
∵ ，
∴阴影部分的面积 ．
故答案为： ．
8．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）如图，三条直线a，b，c互相平行， 的三个顶点分别在三条
平行线上，已知 ， ，且a，b之间的距离为2，b，c之间的距离为3，则 的面积
为 ．
【答案】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质以及勾股定理．过A作 于D，交直线c于点E，证明
，得出 ，根据勾股定理得出 ，即可得出结果．
【详解】解：过A作 于D，交直线c于点E，如图所示：
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学科网（北京）股份有限公司∵ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的面积为： ．
故答案为： ．
9．（25-26八年级上·四川成都·月考）如图， 与 均为直角三角形，且 ，
， ，点 是 的中点，则 的长为 ．
【答案】 /
【分析】本题考查全等三角形性质和判定、勾股定理，平行线的判定（垂直于同一直线的两直线平行）等
知识点，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
通过延长线构造全等三角形 ，得出 的长度，结合勾股定理先求出 的长度，再求出
的长度，即可得出答案．
【详解】解：延长 交 的延长线于点 ，如下图所示：
30 / 38
学科网（北京）股份有限公司∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵点 为 中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ,
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
10．（25-26八年级上·江西抚州·月考）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形 是长方
形，点A，C的坐标分别为 ， ，点D是 的中点，点P在 上运动，当 是腰长为
5的等腰三角形时，点P的坐标为 ．
【答案】 或 或
【分析】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理的应用，学会分类讨论是解决本题的关键．
根据题意分为三种情况： 或 或 ，进行作图求解即可．
【详解】解：①以O为圆心，以5为半径画弧交BC于P点，此时 ，如图，
在 中， ， ，
31 / 38
学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴P的坐标是 ；
②以D为圆心，以5为半径画弧交 于 和 点，此时 ，如图，过 作
于N，过 作 于M，
由作图可知四边形 和四边形 为长方形，
∴ ， ， ， ，
在 中，设 ，则 ， ， ，
∴ ，
解得 ，
则 的坐标是 ；
设 ，则 ， ， ，
在 中， ，
解得 ，
， ，
即 的坐标是 ；
③假设 ，则由 点向OD边作垂线，交点为 ，如图，
则有 ，
，
此时的 为等边三角形，
∴ ， ， ，
代入 ，
得 ，
∴排除此种可能．
32 / 38
学科网（北京）股份有限公司综上所述，点P的坐标为 或 或 ．
故答案为： 或 或 ．
三、解答题
11．（25-26八年级上·福建泉州·期末）如图，在 中， ， 于点 ，
， ， ．求 的长．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理，先根据勾股定理求出 ，再根据 推出
，再由勾股定理求 的长．
【详解】解： ，
，
由勾股定理得： ，
又 ，
，
由勾股定理得： ，
．
答： 的长为 ．
12．（25-26九年级上·江苏宿迁·月考）在 中， ， 、 、 所对的边分别为 、 、
．
(1)已知 ， ，求 的度数和 、 的值；
(2)已知 ， ，求 的度数和 、 的值．
【答案】(1) ， ，
(2) ， ，
【分析】本题主要考查了直角三角形的性质（两锐角互余、含 角的直角三角形性质、等腰直角三角形
性质）及勾股定理，熟练掌握直角三角形的角与边的关系是解题的关键．
（1）先由直角三角形两锐角互余求 ，再用含 角的直角三角形性质及勾股定理求 、 ；
（2）先由直角三角形两锐角互余求 ，再根据等腰直角三角形的性质求 ，最后用勾股定理求 ．
【详解】（1）解：∵在 中， ， ，
∴ − ，
∵ ， ，
33 / 38
学科网（北京）股份有限公司∴ ，
由勾股定理：
；
（2）解：∵在 中， ， ，
∴ − ，
∵ ，
∴ ，
由勾股定理：
．
13．（25-26八年级上·上海虹口·期末）如图，在四边形 中， ， ， ，
， ．
(1)求 的长；
(2)求四边形 的面积．
【答案】(1)
(2)14
【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键．
（1）根据勾股定理求解即可；
（2）先运用勾股定理的逆定理判定 为直角三角形，再根据四边形 的面积等于 与
的面积之和，即可解答．
【详解】（1）解：∵ ， ， ，
．
（2）解：∵ ， ，
，
∴ 是直角三角形， ，
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学科网（北京）股份有限公司∴
．
14．（25-26八年级上·河北秦皇岛·期末）已知在 中， ， ， ，点D是
上一点， ，点P从B点出发沿射线 方向以每秒2个单位长度的速度向右运动，设点P的运
动时间为 ，连接 ．
(1)当 时，求 的长度；
(2)当 为等腰三角形时，t的值为________；
(3)过点D作 于点E，当P在点C的左侧运动时，要使 ， _______．
【答案】(1)
(2) 或16或5
(3)5
【分析】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理．熟练掌握相关知识点，利用
数形结合和分类讨论的思想，进行求解．
（1）根据动点的运动速度和时间先求出 ，再根据勾股定理即可求解；
（2）分 ， ， 三种情况进行讨论求解即可；
（3）根据勾股定理求出 ， 连接 ，则 ．证明 ， 得到
，则∴ ，再利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：当 时， ， ， ，
在 中，根据勾股定理，得 ．
（2）解：由题意可知， ，
①当 时，
∵ ，
，解得 ；
②当 时，如图
35 / 38
学科网（北京）股份有限公司∵ ，
∴ ，
∴ ；
③若 ，则 ，
在 中， ，
∴
解得： ；
综上所述：t的值 或16或5；
（3）解：∵ ，
∴ ，
∵
∴ ，
如图，连接 ，
∵P在C点的左侧，
∴ ．
又∵ ， ，且 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
解得： ．
15．（25-26八年级上·江苏盐城·月考）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思
想解决问题的最重要工具之一，也是数形结合的纽带之一．它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因
为应用广泛而使人入迷．
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学科网（北京）股份有限公司(1)证明勾股定理
取4个与 （图1）全等的三角形，其中 ， ， ， ，把它们拼成边长为
的正方形 ，其中四边形 是边长为c的正方形，如图2，请你利用以上图形验证勾股定理．
(2)应用勾股定理
①应用场景1：在数轴上画出表示无理数的点．如图3，在数轴上找出表示1的点D和表示4的点A，过点
A作直线l垂直于 ，在l上取点B，使 ，以点D为圆心， 为半径作弧，则弧与数轴在点D右侧
的交点C表示的数是________；
②应用场景2：解决实际问题．如图4，某公园有一秋千，秋千静止时，踏板离地的垂直高度 ，
将它往前推至C处时，水平距离 ，踏板离地的垂直高度 ，它的绳索始终拉直，求绳索
的长．
【答案】(1)见解析；
(2)① ；②绳索 的长为
【分析】本题主要考查勾股定理的证明和应用，等积法是证明勾股定理常用的方法，注意数形结合思想的
应用．
（1）根据正方形 的面积为 ，或 ，即可得到 ，化简即
可证明；
（2）①根据勾股定理求出 ，根据实数与数轴解答即可；
②设秋千的绳索长为 ，根据题意可得 ，利用勾股定理构造方程，求解即可．
【详解】（1）解：由图可得，正方形 的边长为 ，则面积为 ，
又正方形 由正方形 和4个全等的三角形组成，故面积为 ，
∴ ，
即 ，
∴ ．
即在直角三角形中斜边的平方等于两直角边的平方和．
（2）解：①∵在 中， ， ，
∴ ，
∴ ，
37 / 38
学科网（北京）股份有限公司∴点 表示的数是 ，
答案为： ；
②∵ ， ，
∴ ．
设秋千的绳索长为 ，即 ，
∴ ，
∵在 中， ，
∴ ，
解得： ．
∴绳索 的长为 ．
38 / 38
学科网（北京）股份有限公司
