文档内容
专题 01 勾股定理的应用的五类题型
类型一：勾股定理解决路径问题
类型二：勾股定理解决折叠问题
类型三：勾股定理解决实际问题
类型四：勾股定理探究动点问题中的直角三角形存在问题
类型五：对角线垂直的四边形（垂美四边形）
类型一：勾股定理解决路径问题
1．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD＝8，AD⊥BC．若P、Q分别是AD和AC上的动点，
48
则PC+PQ的最小值是 ．
5
48
【答案】
5
【解答】解：如图，连接BP，
在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD＝8，
∴BD＝DC，
∴BP＝PC，
∴PC+PQ＝BP+PQ＝BQ，
∴当B，P，Q共线时，PC+PQ的值最小，
∴当BQ⊥AC时，BQ的值最小，
令AQ'＝a，则CQ'＝10﹣a，
∵BQ'⊥AC，
∴AB2﹣AQ'2＝BC2﹣CQ'2，即102﹣a2＝122﹣（10﹣a）2，
14
解得a= ，
5
48
∴BQ'=❑√102−a2=
，
5
48
∴PC+PQ的最小值为 ，
5
48
故答案为： ．
5
2．如图，高速公路的同一侧有A，B两城镇，它们到高速公路所在直线MN的距离分别为AC＝2km，BD
＝4km，CD＝8km．要在高速公路上C，D之间建一个出口P，使A，B两城镇到P的距离之和最小，则
这个最短距离为 1 0 km ．
【答案】10km．
【解答】解：如图所示：作A点关于直线MN的对称点A′，再连接A′B，交直线MN于点P，
则此时AP+PB最小，过点B作BE⊥CA交延长线于点E，
∵AC＝2km，BD＝4km，CD＝8km．
∴AE＝4﹣2＝2km，AA′＝4km，
∴A′E＝6km，BE＝CD＝8km，
在Rt△A′EB中，
A′B=❑√62+82=10km，
则AP+PB的最小值为10km．
故答案为：10km．
3．如图，OA和OB是两条互相垂直的轨道，点P是两条轨道形成的直角内部一定点．现有 M，N两个可
以自由运动的小球，分别位于轨道OA和OB上，已知定点P到轨道OA的距离为3m，到轨道OB的距
离为4m，则P，M，N三点距离和的最小值为（ ）A．1m B．5m C．7m D．10m
【答案】D
【解答】解：如图，定点P到轨道OA的距离为3m，到轨道OB的距离为4m，过点P作关于OA的对称
点P ，关于OB的对称点P ，连接P P 、P M、P N，
1 2 1 2 1 2
∴PP ＝6m，PP ＝8m，
1 2
∴当P 、M、N、P 四点共线时，P，M，N三点距离和的最小值，
1 2
此时最小值为P P ，
1 2
∵OA和OB是两条互相垂直的轨道，
∴PP ∥OB，
1
∴PP ⊥PP ，
2 1
由勾股定理得：P P =❑√PP2+PP2=❑√62+82=10（m），
1 2 1 2
∴P，M，N三点距离和的最小值为10m，
故选：D．
4．在△ABC中，∠ABC＝60°，BC＝8，AC＝10，点D、E在AB、AC边上，且AD＝CE，则CD+BE的最
小值 2❑√61 ．
【答案】2❑√61
【解答】解：如图作CK∥AB，使得CK＝CA．作BG⊥KC交KC的延长线于G．∵CK∥AB，
∴∠KCE＝∠A，
∵CK＝CA，CE＝AD，
∴△CKE≌△CAD，
∴CD＝KE，
∵CD+BE＝EK+EB≥BK，
∴CD+BE的最小值为BK的长，
在Rt△BCG中，∵∠G＝90°，BC＝8，
1
∴CG= BC＝4，BG＝4❑√3，
2
在Rt△KBG中，BK=❑√GK2+BG2=❑√142+(4❑√3) 2=2❑√61．
故答案为2❑√61．
5．为筹备迎新生晚会，同学们设计了一个圆筒形灯罩，底色漆成白色，然后缠绕红色油纸．如图，已知
圆筒高108cm，其圆筒底面周长为 36cm，如果在表面缠绕油纸 4圈，应裁剪油纸的最短为 180
cm．
【答案】180
【解答】解：将圆筒展开后成为一个矩形，如图，整个油纸也随之分成相等4段只需求出AC长即可，
在Rt△ABC中，
108
∵AB＝36，BC= =27cm，
4
∴AC2＝AB2+BC2＝362+272，
∴AC＝45cm，
∴应裁剪油纸的最短＝45×4＝180（cm）．
故答案为：180．6．如图，圆柱形玻璃杯高为16cm，底面周长为40cm，在杯内壁离杯底4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一
只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm且与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离
为（ ）cm．（杯壁厚度不计）
A．20 B．25 C．30 D．40
【答案】B
【解答】解：把玻璃杯的侧面展开，如图，把点 A向上平移6cm到点C，连接BC，过点B作BD⊥AD
于D，
1
由已知得：BD= ×40=20(cm)，AD＝16﹣4﹣3＝9（cm），CD＝9+6＝15（cm），
2
在Rt△CDB中，由勾股定理得：BC=❑√BD2+CD2=❑√202+152=25(cm)，
则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为25cm．
故选：B．
7．叶老师在与学生研究“蚂蚁怎样爬最近”的课题时设计了以下问题．请你根据下面所给的条件分别求
出蚂蚁需要爬行的最短路程（结果保留根号）．
（1）如图①，正方体的棱长为5cm，一只蚂蚁欲从正方体底面上的点A处沿着正方体表面爬到点C 处；
1
（2）如图②，长方体的长和宽都为5cm，高为6cm，一只蚂蚁从长方体底面上的点A处沿着长方体表
面爬到点C 处；
1
（3）如图③，长方体的长、宽、高分别是6cm、5cm和3cm．一只蚂蚁要从顶点A处沿着长方体的表
面爬到长方体上和A相对的顶点B处．【答案】（1）蚂蚁需要爬行的最短路程为5❑√5 cm；
（2）蚂蚁爬行的最短路程为2❑√34 cm；
（3）蚂蚁爬行的最短路程是10cm．
【解答】解：（1）将正方体的右侧面翻折，使它与前面在同一平面内，连接AC ，
1
如图所示，
AC =❑√AC2+CC2=❑√(5+5) 2+52=5❑√5(cm)；
1 1
（2）分两种情况讨论：
①将长方体的右面翻折，使它与前面在同一平面内，连接AC ，
1
两点之间线段最短，AC 是最短路径，
1
如图所示，AC =❑√136(cm)．
1
②将长方体的上面翻折，使它与前面在同一平面内，连接AC ，
1
两点之间线段最短，AC 是最短路径，
1
如图所示AC =❑√AB2+BC2=❑√52+112=❑√146(cm)．
1 1
∵❑√146＞❑√136，
∴最短路程为❑√136cm，即最短路程为2❑√34cm．（3）将长方体按下列三种方案展开：
第一种；如图④，
，
∵AD＝5+3＝8（cm），DB＝6（cm），
∴AB=❑√AD2+DB2=❑√82+62=10(cm)；
第二种：如图⑤，
∵CB＝6+5＝11（cm），AC＝3cm，
∴AB=❑√112+32=❑√130(cm)；
第三种：如图⑥，
∵CB＝3+6＝9（cm），AC＝5cm，
∴AB=❑√92+52=❑√106(cm)，
∵10＜❑√106＜❑√130，
∴蚂蚁爬行的最短路程是10cm．
类型二：勾股定理解决折叠问题
1．如图，在△ABC中，AB＝10cm，AC＝6cm，BC＝8cm，若将AC沿AE折叠，使得点C与AB上的点D
重合，则△AEB的面积为 1 5 cm2．【答案】15．
【解答】解：∵AC2+BC2＝62+82＝100，AB2＝100，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形．
∵将AC沿AE折叠，使得点C与AB上的点D重合，
∴EC＝DE，AC＝AD＝6cm，∠ADE＝∠C＝∠BDE＝90°，
∴DB＝AB﹣AD＝4cm，
设EC＝DE＝xcm，
在Rt△BDE中，DE2+BD2＝BE2，
∴x2+42＝（8﹣x）2，
解得x＝3．
∴BE＝BC﹣EC＝8﹣3＝5cm，
1 1
∴S△ABE =
2
×BE×AC =
2
×5×6＝15（cm2）．
故答案为：15．
2．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，将△ADE沿DE翻折，使点A与点B重合，则AE的
长为（ ）
7 25 25
A． B．3 C． D．
8 4 8
【答案】D
【解答】解：设AE＝BE＝x，则CE＝4﹣x，
在Rt△BCE中，BE2＝CE2+BC2，
即x2＝（4﹣x）2+32，
25
解得x= ，
8
故选：D．
3．如图，在等腰△ABC中，AC＝BC＝5，AB＝6，D，E分别为AB，AC边上的点，将边AD沿DE折叠，25
使点A落在CD上的点F处．当点F与点C重合时，AD＝ ．
6
25
【答案】
6
【解答】解：由题意可知，当C和F重合时，如图：
由于AD沿DE折叠至CD，故DE为AC（F）的中垂线，
过C作CG垂直于AB交AB于G点，
设AD＝x，由中垂线性质可得，CD＝AD＝x，
则BD＝6﹣x；
∵AC＝5，CG为等腰△ABC底边AB上的高，
∵AB＝6，
1
∴AG＝BG= AB＝3，CG＝4，
2
∴DG＝BG﹣BD＝x﹣3，
在Rt△CDG中，由勾股定理，得：CG2+DG2＝CD2，
即：42+（x﹣3）2＝x2
解得：16+x2﹣6x+9＝x2；
25
x= ．
6
25
故答案为： ．
6
4．如图，Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，现将△ABC沿BD进行翻折，使点A刚好落在BC上，
5
则CD＝ ．
25
【答案】
2
【解答】解：设CD＝x，则AD＝A′D＝4﹣x．
在直角三角形ABC中，BC=❑√AB2+AC2=5．则A′C＝BC﹣AB＝BC﹣A′B＝5﹣3＝2．
在直角三角形A′DC中：AD2+AC2＝CD2．
即：（4﹣x）2+22＝x2．
5
解得：x= ．
2
5．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，点E为BC上一点，把△CDE沿DE翻折，点C恰好落在AB
边上的F处，则CE的长是（ ）
4 3 5
A．1 B． C． D．
3 2 3
【答案】D
【解答】解：设CE＝x，则BE＝3﹣x．
由折叠性质可知，EF＝CE＝x，DF＝CD＝AB＝5．
在Rt△DAF中，AD＝3，DF＝5．
∴AF＝4．
∴BF＝AB﹣AF＝1．
在Rt△BEF中，BE2+BF2＝EF2．
即（3﹣x）2+12＝x2．
5
解得x= ．
3
故选：D．
6．如图，已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于E，AD＝8，AB＝4，则
DE的长为（ ）A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【解答】解：∵Rt△DC′B由Rt△DBC翻折而成，
∴CD＝C′D＝AB＝4，∠C＝∠C′＝90°，
设DE＝x，则AE＝8﹣x，
∵∠A＝∠C′＝90°，∠AEB＝∠DEC′，
∴∠ABE＝∠C′DE，
在Rt△ABE与Rt△C′DE中，
{∠A=∠C′=90°
)
AB=C′D ，
∠ABE=∠C′DE
∴Rt△ABE≌Rt△C′DE（ASA），
∴BE＝DE＝x，
在Rt△ABE中，AB2+AE2＝BE2，
∴42+（8﹣x）2＝x2，
解得：x＝5，
∴DE的长为5．
故选：C．
7．如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直
角边长分别为a，b，斜边长为c．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了
勾股定理a2+b2＝c2．
（1）现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2．若a＝4，b＝6，则空白部分的面积为 2 8
．
（2）如图3，长方形ABCD沿AE折叠，使点D落在边BC上的点F处．若AD＝5，AB＝3，求EF的长．【答案】（1）28；
5
（2）EF= ．
3
1
【解答】解：（1）空白部分的面积＝边长为c的正方形的面积﹣2个直角三角形的面积=c2−2× ab，
2
∵a＝4，b＝6，
1
∴空白部分的面积=42+62−2× ×4×6=28；
2
故答案为：28；
（2）∵长方形ABCD沿AE折叠，使点D落在边BC上的点F处．
∴AF＝AD＝5，在Rt△ABF中，AF＝5，AB＝3，
由勾股定理得：BF=❑√AF2−AB2=4，
∴CF＝BC﹣BF＝AD﹣BF＝5﹣4＝1，
设EF＝x，则DE＝EF＝x，CE＝CD﹣DE＝3﹣x，
在Rt△CEF中，由勾股定理得：EF2＝CE2+CF2，
∴x2＝（3﹣x）2+12，
5
解得：x= ，
3
5
即EF= ．
3
类型三：勾股定理解决实际问题
1．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距
离地面2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面 2米．则小巷的宽度
为（ ）
A．0.7米 B．1.5米 C．2.2米 D．2.4米
【答案】C
【解答】解：如图，∠ACB＝∠ACB＝90°，CB＝0.7m，AC＝2.5m，DE＝2m．
在Rt△ABC中，AB=❑√AC2+BC2=❑√2．42+0．72=2.5（m）．
∵AB＝BE，∴BE＝2.5（m），
∴BD=❑√BE2−DE2=❑√2．52−22=1.5（m），
∴CD＝CB+BD＝0.7+1.5＝2.2（m），即小巷的宽度为2.2米．
故选：C．
2．如图，是一扇半开的窗户，（图 2为图1的平面示意图），当推开双窗，双窗间隙 CD的距离为
10cm，点C和点D距离窗台AB为DE、CG都是25cm，则AB的长是 13 0 cm．
【答案】130．
【解答】解：如图，取AB的中点O，
∵双窗间隙CD的距离为10cm，点C和点D距离窗台AB为DE、CG都是25cm，
1
∴OA＝OB＝AD＝BC，OE= CD=5cm，
2
设OA＝OB＝AD＝BC＝xcm，则AE＝OA﹣OE＝（x﹣5）cm，AB＝2xcm，
在Rt△DEA中，
∵AD2＝AE2+DE2，
∴x2＝（x﹣5）2+252，
解得x＝65，
∴AB＝2×65＝130（cm）．
故答案为：130．
3．在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五
尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几．”此问题可理解为：如
图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离AB长度为1尺．将它往前水平推送10尺，即A′C＝10
尺，则此时秋千的踏板离地距离A′D就和身高5尺的人一样高．若运动过程中秋千的绳索始终拉得很
直，则绳索OA长为 14. 5 尺．【答案】14.5．
【解答】解：设秋千的绳索长为x尺，则CA′＝10尺，OA′＝x尺，OC＝x﹣（5﹣1）＝（x﹣4）尺，
在Rt△OCA′中，由勾股定理得：OC2+CA′2＝OA′2，
∴（x﹣4）2+102＝x2，
解得：x＝14.5，
∴OA＝14.5尺．
故答案为：14.5．
4．物理课上，老师带着学习小组进行物理实验．同学们将一根长度固定的绳子绕过定滑轮 A，一端拴在滑
块B上，另一端拴在物体C上，滑块B放置在水平轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升
降．实验初始状态如图1所示，物体C静止在水平轨道上，物体C到滑块B的水平距离是30厘米，物
体C到定滑轮A的垂直距离是40厘米．（定滑轮A、滑块B和物体C的形状和大小忽略不计）
（1）求绳子的总长度是多少厘米；
（2）如图2，若滑块B水平向左滑动45厘米，则此时物体C上升了 3 5 厘米．
【答案】（1）90厘米；
（2）35．
【解答】解：（1）根据题意可知，AC⊥BC，AC＝40cm，BC＝30cm，
则根据勾股定理得，AB=❑√AC2+BC2=❑√402+302=50cm，
故绳子的总长度是AB+AC＝50+40＝90cm．
答：绳子的总长度是90厘米；
（2）∵滑块B向左滑动了45厘米，
∴B B＝45cm，B C＝B B+BC＝45+30＝75cm，
1 1 1
∴根据勾股定理得，AB =❑√B C2+AC′2=❑√752+402=85cm，
1 1
据（1）知绳子总长为90cm，
∴AC＝90﹣85＝5cm，∴物体C上升高度为CC′＝40﹣5＝35cm．
故答案为：35．
5．如图，一架无人机旋停在空中点A处，点A与地面上点B之间的距离AB＝15米，点A与地面上点C
（点B，C处于同一水平面上）的距离AC＝17米，且BC＝8米．
（1）求∠ABC的度数；
（2）现这架无人机沿AB所在直线向下飞行至点 D处，若点D恰好在边AC的垂直平分线上，连接
CD，求这架无人机向下飞行的距离（AD的长）．
【答案】（1）90°；
289
（2） 米．
30
【解答】解：（1）∵AB2+BC2＝152+82＝289，AC2＝172＝289，
∴AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC是直角三角形，∠ABC＝90°；
（2）设AD＝x米，若点D恰好在边AC的垂直平分线上，则CD＝AD＝x米，BD＝（15﹣x）米，
在Rt△BDC中，DC2＝BD2+BC2，
∴x2＝（15﹣x）2+82，
289
解得x= ，
30
289
答：这架无人机向下飞行的距离（AD的长）为 米．
30
类型四：勾股定理探究动点问题中的直角三角形存在问题
1．如图，点A是射线BM外一点，连接AB，若AB＝5cm，点A到BM的距离为3cm，动点P从点B出发
25
沿射线BM以2cm/s的速度运动．设运动的时间为t秒，当△ABP为直角三角形时，t的值为 2 或
8
．
25
【答案】2或 ．
8【解答】解：过点A作AH⊥BM，
由条件可知AH＝3cm，
∵AB＝5cm，
根据勾股定理，得BH=❑√AB2−AH2=4cm，
当∠APB＝90°时，如图所示：
此时点P与点H重合，则BP＝BH＝4cm，
根据题意得2t＝4，
解得t＝2；
当∠BAP＝90°时，如图所示：
∵AB＝5cm，BP＝2tcm，AH＝3cm，BH＝4cm，
∴HP＝（2t﹣4）cm，
根据感觉到了可得：
AP2＝BP2﹣AB2＝4t2﹣25，AP2＝AH2+HP2＝9+（2t﹣4）2，
∴4t2﹣25＝9+（2t﹣4）2，
25
解得t= ；
8
25
综上所述，t的值为2或 ，
8
25
故答案为：2或 ．
8
2．如图，在△ABC中，AB＝BC＝8，AO＝BO，点M是射线CO上的一个动点，∠AOC＝60°，则当
△ABM为直角三角形时，AM的长为 4❑√7 或 4❑√3 或 4 ．
【答案】4❑√7或4❑√3或4．
【解答】解：如图一，当∠AMB＝90°时，
∵O是AB的中点，AB＝8，∴OM＝OB＝4，
又∵∠AOC＝∠BOM＝60°，
∴△BOM是等边三角形，
∴BM＝BO＝4，
∴Rt△ABM中，AM=❑√AB2−BM2=4❑√3；
如图二，当∠AMB＝90°时，
∵O是AB的中点，AB＝8，
∴OM＝OA＝4，
又∵∠AOC＝60°，
∴△AOM是等边三角形，
∴AM＝AO＝4；
如图三，当∠ABM＝90°时，
∵∠BOM＝∠AOC＝60°，
∴∠BMO＝30°，
∴MO＝2BO＝2×4＝8，
∴Rt△BOM中，BM=❑√MO2−OB2=4❑√3，
∴Rt△ABM中，AM=❑√AB2+BM2=4❑√7．
综上所述，当△ABM为直角三角形时，AM的长为4❑√3或4❑√7或4．
故答案为：4❑√3或4❑√7或4．
3．如图，点C为直线l上的一个动点，AD⊥l于D点，BE⊥l于E点，点E在点D右侧，并且点A、B在
13
直线l同侧，AD＝DE＝8，BE＝2，当CD长为 6 或 4 或 时，△ABC为直角三角形．
2
13
【答案】6或4或 ．
2
【解答】解：作BF⊥AD于F，则四边形DEBF为矩形，
∴BF＝DE＝8，DF＝BE＝2，
∴AF＝AD﹣DF＝6，
由勾股定理得，AB2＝AF2+BF2＝100，
AC2＝64+CD2，
BC2＝（CD+8）2+4＝CD2+16CD+64+4，
当△ABC为直角三角形时，AB2+AC2＝BC2，
即100+64+CD2＝CD2+16CD+64+4，
16CD＝96，
解得，CD＝6；
同理可得：当∠ABC＝90°时，
由勾股定理得，AB2＝AH2+BH2＝100，
AC2＝64+CD2，
BC2＝（8﹣CD）2+4＝CD2﹣16CD+64+4，
∴AC2＝AB2+BC2，
∴64+CD2＝100+CD2﹣16CD+64+4，
16CD＝104，
13
解得：CD= ；
2
当∠ACB＝90°时，
由AB2＝AC2+BC2得：100＝64+CD2+CD2﹣16CD+64+4，
解得：CD＝4，
13
综上：CD的长为：6或4或 ．
2
13
故答案为：6或4或 ．
24．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝20cm，AC＝12cm，动点P从点B出发沿射线BC以2cm/s的速
度移动，设点P运动的时间为t秒．
（1）当点P运动到线段AB的垂直平分线上时，求BP的长．
（2）当△ABP为直角三角形时，求出t的值．
25
【答案】（1） cm；
2
25
（2）8或 ．
2
【解答】解：（1）如图，连接AP．
因为点P在AB的垂直平分线上，
所以AP＝BP．
设BP的长为xcm，则AP＝xcm，PC＝（16﹣x）cm．
在Rt△ACP中，根据勾股定理可得CP2+AC2＝AP2，即（16﹣x）2+122＝x2，
25
解得x= ，
2
25
所以BP的长为 cm；
2
16
（2）当∠APB＝90°时，点P和点C重合，t= =8；
2
如图，当∠BAP＝90°时，BP＝2tcm，BC＝16cm，
∴PC＝（2t﹣16）cm，
在Rt△ACP中，（2t﹣16）2+122＝AP2①．
在Rt△ABP中，AP2+202＝（2t）2②．
结合①和②得（2t﹣16）2+122+202＝（2t）2，25
解得t= ．
2
25
综上所述，当△ABP为直角三角形时，t的值为8或 ．
2
5．如图（1），在等边△ABC中，BC＝15厘米，点E以2厘米/秒的速度从点B出发向点A运动（不与点
A重合），点F以1厘米/秒的速度从点A出发向点C运动（不与点C重合），设点E，F同时运动，运
动时间为t秒．
（1）在点E，F运动过程中，经过几秒时△AEF为等边三角形？
（2）在点E，F运动过程中，△AEF的形状能否为直角三角形？若能，请求出时间t的值；若不能，请
说明理由．
【答案】（1）经过5s时，△AEF为等边三角形
15
（2）当运动时间为 s或6s时，△AEF为直角三角形
4
【解答】解：（1）由题意得：AF＝t，AE＝15﹣2t，
则，当AE＝AF时，△AEF是等边三角形，
∴15﹣2t＝t，解得：t＝5，
∴经过5s时，△AEF为等边三角形；
（2）△AEF的形状能为直角三角形．
分两种情况，理由如下：
①如图1，当∠AFE＝90°时，
因为，∠A＝60°，
所以，∠AEF＝30°，1
因为，AF= AE，
2
15−2t
所以， =t，
2
15
所以，t= ；
4
②如图2，当∠AEF＝90°时，∠AFE＝30°，
1
所以，AE= AF，
2
1
所以，15−2t= t．
2
所以，t＝6，
15
∴当运动时间为 s或6s时，△AEF为直角三角形．
4
类型五：对角线垂直的四边形（垂美四边形）
1．对角线互相垂直的四边形叫作“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC，
BD相交于点O．若AD＝2，BC＝4，则AB2+CD2的值为（ ）
A．20 B．16 C．18 D．25
【答案】A
【解答】解：∵AC⊥BD，
∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，
由勾股定理得：AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2，
AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2，
∴AB2+CD2＝AD2+BC2，
∵AD＝2，BC＝4，
∴AB2+CD2＝22+42＝20．故选：A．
2．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC，
BD交于点O．若AD＝4，BC＝2，则AB2+CD2＝ 2 0 ．
【答案】20．
【解答】解：∵AC⊥BD，
∴AB2+CD2
＝OA2+OB2+OD2+OC2
＝AD2+BC2
＝42+22
＝20．
故答案为：20．
3．阅读与思考
下面是小敏同学写的一篇数学日记，请认真阅读并完成相应学习任务：
对角线互相垂直的四边形的性质探究
在平行四边形一章中，我们已经学习过平行四边形、矩形、菱形及正方形的性质，那么对于对角线互相
垂直的四边形，它有哪些特殊的性质呢？
容易发现：对角线互相垂直的四边形，两组对边的平方和相等．
推理证明：
已知：如图1，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC⊥BD．
求证：AB2+CD2＝AD2+BC2
证明：……
学习任务：
（1）请完成上述证明过程．
（2）要测量池塘两岸A，D两点的距离，小敏同学绘制了如图2所示的示意图，在四边形ABCD中，对
角线AC，BD相交于点O，且AC⊥BD．并测量得AB＝7米，BC＝4米，CD＝8米，请直接写出AD的
长为 ❑√97 米．【答案】（1）见解析；
（2）❑√97．
【解答】（1）证明：∵AC⊥BD于点O，
∴在Rt△AOB中，AB2＝OA2+OB2，在Rt△AOD中，AD2＝OA2+OD2，
在Rt△COD中，CD2＝OC2+OD2，在Rt△BOC中，BC2＝OB2+OC2，
∴AB2+CD2＝（OA2+OB2）+（OC2+OD2）
＝（OA2+OD2）+（OC2+OB2）
＝AD2+BC2，
即：AB2+CD2＝AD2+BC2；
（2）由（1）可知，AB2+CD2＝AD2+BC2，
∵AB＝7米，BC＝4米，CD＝8米，
∴72+82＝AD2+42，
解得AD=❑√97米，
故答案为：❑√97．
4．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC，
BD交于点O．
（1）若AO＝2，BO＝3，CO＝4，DO＝5，请求出AB2，BC2，CD2，DA2的值；
（2）若AB＝6，CD＝10，求BC2+AD2的值；
（3）请根据（1）（2）题中的信息，写出关于“垂美”四边形关于边的一条结论．
【答案】（1）AB2＝13，BC2＝25，CD2＝41，AD2＝29；
（2）BC2+AD2＝136；
（3）“垂美”四边形的两组对边的平方和相等．
【解答】解：（1）∵AC⊥BD，
∴△ABO是直角三角形，
∴AB2＝AO2+BO2，
同理，可得：BC2＝BO2+CO2，CD2＝CO2+DO2，AD2＝AO2+DO2，
∵AO＝2，BO＝3，CO＝4，DO＝5，
∴AB2＝13，BC2＝25，CD2＝41，AD2＝29；
（2）由（1）得：BC2+AD2＝（BO2+CO2）+（AO2+DO2）
＝（BO2+AO2）+（CO2+DO2）
＝AB2+CD2，
即：BC2+AD2＝AB2+CD2，
∵AB＝6，CD＝10，
∴BC2+AD2＝62+102＝136；
（3）结论：“垂美”四边形的两组对边的平方和相等．
5．我们把对角线互相垂直的四边形定义为垂美四边形．
（1）如图1，四边形ABCD为垂美四边形，若AB＝a，BC＝b，CD＝c，DA＝d，求证：a2+c2＝b2+d2；
（2）如图2，在长方形ABCD中，AB＝10，AE⊥BD分别交BD、BC于点F、E，AD：BE＝4：1，求
BE的长；
（3）在（2）的条件下求AF的长．
【答案】（1）∵四边形ABCD为垂美四边形，
∴AC⊥BD，
在直角三角形AOB中，由勾股定理得：OA2+OB2＝AB2＝a2，
在直角三角形COD中，由勾股定理得：OD2+OC2＝CD2＝c2，
∴a2+c2＝OA2+OB2+OD2+OC2；
同理：b2+d2＝OA2+OB2+OD2+OC2，
∴a2+c2＝b2+d2；
（2）5；
（3）4❑√5．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为垂美四边形，
∴AC⊥BD，
在直角三角形AOB中，由勾股定理得：OA2+OB2＝AB2＝a2，
在直角三角形COD中，由勾股定理得：OD2+OC2＝CD2＝c2，
∴a2+c2＝OA2+OB2+OD2+OC2；
同理：b2+d2＝OA2+OB2+OD2+OC2，
∴a2+c2＝b2+d2；（2）解：如图2，在长方形ABCD中，AB＝10，连接DE，
∴CD＝AB＝10，BC＝AD，∠C＝90°，
∵AD：BE＝4：1，
设BE＝x，则AD＝BC＝4x，EC＝BC﹣BE＝3x，
∵AE⊥BD，
∴四边形ABED是垂美四边形，
∴AB2+DE2＝BE2+AD2，
∵DE2＝CD2+EC2，
∴102+102+（3x）2＝x2+（4x）2，
解得：x＝5（舍去负值），
即BE＝5；
（3）解：∵BE＝5，AD：BE＝4：1，
∴AD＝20，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：BD=❑√AB2+AD2=10❑√5，
1 1
∵S = AB⋅AD= BD⋅AF，
△ABD 2 2
AB⋅AD 10×20
∴AF= = =4❑√5．
BD 10❑√5
