文档内容
专题 01 勾股定理的应用的五类题型
类型一：勾股定理解决路径问题
类型二：勾股定理解决折叠问题
类型三：勾股定理解决实际问题
类型四：勾股定理探究动点问题中的直角三角形存在问题
类型五：对角线垂直的四边形（垂美四边形）
类型一：勾股定理解决路径问题
1．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD＝8，AD⊥BC．若P、Q分别是AD和AC上的动点，
则PC+PQ的最小值是 ．
2．如图，高速公路的同一侧有A，B两城镇，它们到高速公路所在直线MN的距离分别为AC＝2km，BD
＝4km，CD＝8km．要在高速公路上C，D之间建一个出口P，使A，B两城镇到P的距离之和最小，则
这个最短距离为 ．
3．如图，OA和OB是两条互相垂直的轨道，点P是两条轨道形成的直角内部一定点．现有 M，N两个可
以自由运动的小球，分别位于轨道OA和OB上，已知定点P到轨道OA的距离为3m，到轨道OB的距
离为4m，则P，M，N三点距离和的最小值为（ ）
A．1m B．5m C．7m D．10m
4．在△ABC中，∠ABC＝60°，BC＝8，AC＝10，点D、E在AB、AC边上，且AD＝CE，则CD+BE的最
小值 ．5．为筹备迎新生晚会，同学们设计了一个圆筒形灯罩，底色漆成白色，然后缠绕红色油纸．如图，已知
圆筒高108cm，其圆筒底面周长为36cm，如果在表面缠绕油纸4圈，应裁剪油纸的最短为
cm．
6．如图，圆柱形玻璃杯高为16cm，底面周长为40cm，在杯内壁离杯底4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一
只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm且与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离
为（ ）cm．（杯壁厚度不计）
A．20 B．25 C．30 D．40
7．叶老师在与学生研究“蚂蚁怎样爬最近”的课题时设计了以下问题．请你根据下面所给的条件分别求
出蚂蚁需要爬行的最短路程（结果保留根号）．
（1）如图①，正方体的棱长为5cm，一只蚂蚁欲从正方体底面上的点A处沿着正方体表面爬到点C 处；
1
（2）如图②，长方体的长和宽都为5cm，高为6cm，一只蚂蚁从长方体底面上的点A处沿着长方体表
面爬到点C 处；
1
（3）如图③，长方体的长、宽、高分别是6cm、5cm和3cm．一只蚂蚁要从顶点A处沿着长方体的表
面爬到长方体上和A相对的顶点B处．
类型二：勾股定理解决折叠问题
1．如图，在△ABC中，AB＝10cm，AC＝6cm，BC＝8cm，若将AC沿AE折叠，使得点C与AB上的点D重合，则△AEB的面积为 cm2．
2．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，将△ADE沿DE翻折，使点A与点B重合，则AE的
长为（ ）
7 25 25
A． B．3 C． D．
8 4 8
3．如图，在等腰△ABC中，AC＝BC＝5，AB＝6，D，E分别为AB，AC边上的点，将边AD沿DE折叠，
使点A落在CD上的点F处．当点F与点C重合时，AD＝ ．
4．如图，Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，现将△ABC沿BD进行翻折，使点A刚好落在BC上，
则CD＝ ．
5．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，点E为BC上一点，把△CDE沿DE翻折，点C恰好落在AB
边上的F处，则CE的长是（ ）
4 3 5
A．1 B． C． D．
3 2 3
6．如图，已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于E，AD＝8，AB＝4，则
DE的长为（ ）A．3 B．4 C．5 D．6
7．如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直
角边长分别为a，b，斜边长为c．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了
勾股定理a2+b2＝c2．
（1）现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2．若a＝4，b＝6，则空白部分的面积为 2 8
．
（2）如图3，长方形ABCD沿AE折叠，使点D落在边BC上的点F处．若AD＝5，AB＝3，求EF的长．
类型三：勾股定理解决实际问题
1．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为 0.7米，顶端距
离地面2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面 2米．则小巷的宽度为（ ）
A．0.7米 B．1.5米 C．2.2米 D．2.4米
2．如图，是一扇半开的窗户，（图 2为图1的平面示意图），当推开双窗，双窗间隙 CD的距离为
10cm，点C和点D距离窗台AB为DE、CG都是25cm，则AB的长是 cm．
3．在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五
尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几．”此问题可理解为：如
图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离AB长度为1尺．将它往前水平推送10尺，即A′C＝10
尺，则此时秋千的踏板离地距离A′D就和身高5尺的人一样高．若运动过程中秋千的绳索始终拉得很
直，则绳索OA长为 尺．
4．物理课上，老师带着学习小组进行物理实验．同学们将一根长度固定的绳子绕过定滑轮 A，一端拴在滑
块B上，另一端拴在物体C上，滑块B放置在水平轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升
降．实验初始状态如图1所示，物体C静止在水平轨道上，物体C到滑块B的水平距离是30厘米，物
体C到定滑轮A的垂直距离是40厘米．（定滑轮A、滑块B和物体C的形状和大小忽略不计）
（1）求绳子的总长度是多少厘米；
（2）如图2，若滑块B水平向左滑动45厘米，则此时物体 C
上升了 厘米．
5．如图，一架无人机旋停在空中点A处，点A与地面上点B之间的距离AB＝15米，点A与地面上点C
（点B，C处于同一水平面上）的距离AC＝17米，且BC＝8米．
（1）求∠ABC的度数；
（2）现这架无人机沿AB所在直线向下飞行至点D处，若点D恰好在边AC的垂直 平
分线上，连接CD，求这架无人机向下飞行的距离（AD的长）．类型四：勾股定理探究动点问题中的直角三角形存在问题
1．如图，点A是射线BM外一点，连接AB，若AB＝5cm，点A到BM的距离为3cm，动点P从点B出发
沿射线BM以2cm/s的速度运动．设运动的时间为t秒，当△ABP为直角三角形时，t的值为 ．
=2．如图，在△ABC中，AB＝BC＝8，AO＝BO，点M是射线CO上的一个动点，∠AOC＝60°，则当
△ABM为直角三角形时，AM的长为 ．
3．如图，点C为直线l上的一个动点，AD⊥l于D点，BE⊥l于E点，点E在点D右侧，并且点A、B在
直线l同侧，AD＝DE＝8，BE＝2，当CD长为 时，△ABC为直角三角形．
4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝20cm，AC＝12cm，动点P从点B出发沿射线BC以2cm/s的速
度移动，设点P运动的时间为t秒．
（1）当点P运动到线段AB的垂直平分线上时，求BP的长．
（2）当△ABP为直角三角形时，求出t的值．5．如图（1），在等边△ABC中，BC＝15厘米，点E以2厘米/秒的速度从点B出发向点A运动（不与点
A重合），点F以1厘米/秒的速度从点A出发向点C运动（不与点C重合），设点E，F同时运动，运
动时间为t秒．
（1）在点E，F运动过程中，经过几秒时△AEF为等边三角形？
（2）在点E，F运动过程中，△AEF的形状能否为直角三角形？若能，请求出时间t的值；若不能，请
说明理由．
类型五：对角线垂直的四边形（垂美四边形）
1．对角线互相垂直的四边形叫作“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC，
BD相交于点O．若AD＝2，BC＝4，则AB2+CD2的值为（ ）A．20 B．16 C．18 D．25
2．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC，
BD交于点O．若AD＝4，BC＝2，则AB2+CD2＝ ．
3．阅读与思考
下面是小敏同学写的一篇数学日记，请认真阅读并完成相应学习任务：
对角线互相垂直的四边形的性质探究
在平行四边形一章中，我们已经学习过平行四边形、矩形、菱形及正方形的性质，那么对于对角线互相
垂直的四边形，它有哪些特殊的性质呢？
容易发现：对角线互相垂直的四边形，两组对边的平方和相等．
推理证明：
已知：如图1，在四边形ABCD中，对角线AC，BD
相交于点O，且AC⊥BD．
求证：AB2+CD2＝AD2+BC2
证明：……
学习任务：
（1）请完成上述证明过程．
（2）要测量池塘两岸A，D两点的距离，小敏同学绘制了如图2所示的示意图，在四边形ABCD中，对
角线AC，BD相交于点O，且AC⊥BD．并测量得AB＝7米，BC＝4米，CD＝8米，请直接写出AD的
长为 米．
4．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC，
BD交于点O．
（1）若AO＝2，BO＝3，CO＝4，DO＝5，请求出AB2，BC2，CD2，DA2的值；
（2）若AB＝6，CD＝10，求BC2+AD2的值；
（3）请根据（1）（2）题中的信息，写出关于“垂美”四边形关于边的一条结论．5．我们把对角线互相垂直的四边形定义为垂美四边形．
（1）如图1，四边形ABCD为垂美四边形，若AB＝a，BC＝b，CD＝c，DA＝d，求证：a2+c2＝b2+d2；
（2）如图2，在长方形ABCD中，AB＝10，AE⊥BD分别交BD、BC于点F、E，AD：BE＝4：1，求
BE的长；
（3）在（2）的条件下求AF的长．
