文档内容
专题 01 勾股定理（七大题型）
【题型1 用勾股定理解三角形】...........................................................................................1
【题型2 勾股数问题】..........................................................................................................3
【题型3 以直角三角形三边为边长的图形面积】.................................................................4
【题型4 勾股定理的证明方法】...........................................................................................5
【题型5 以弦图为背景的计算题】........................................................................................7
【题型6 用勾股定理构造图形解决问题】............................................................................9
【题型7 勾股定理与无理数】..............................................................................................11
【题型1 用勾股定理解三角形】
1．直角三角形两个直角边分别为3和4，则斜边长为（ ）
A．❑√7 B．5 C．7 D．8
2．如图，将长为16cm的橡皮筋放置在水平面上，固定两端A和B，然后从中点C垂直向上
拉伸6cm至点D，则橡皮筋被拉长了（ ）
A．2cm B．4cm C．6cm D．10cm
3．如图，阴影部分是一个长方形，它的面积是（ ）
A．3cm2 B．4cm2 C．5cm2 D．6cm24．如图，已知钓竿AC的长为5m，露在水面上的鱼线BC的长为3m，某钓鱼人想看看鱼
钩上的情况，把钓竿AC转动到AC′的位置，此时露在水面上的鱼线B′C′的长为4m，
则BB′的长为（ ）
A．1m B．2m C．3m D．4m
5．如图，△ABC中，∠B=90∘，AD平分∠BAC，AB=6，BC=8，则BD的长是（
）
A．2 B．3 C．3.5 D．4
6．如图是一个弩箭模型，箭MN经过BC的中点D．已知AB=AC=17cm，AN=14cm，
BC=30cm，则DN的长为（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
7．如图所示，等边三角形OBC的边长为4，则点C的坐标是（ ）A． B． C． D．
(2,4) (2,−4) (2,−2❑√3) (2,2❑√3)
【题型2 勾股数（树）问题】
8．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算
经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（ ）
A．0.3,0.4,0.5 B．1,❑√2,❑√3 C．6,8,10 D．4,5,6
9．如图是一株美丽的“勾股树”，若正方形A，B的面积分别是16，10，则正方形C的面
积是（ ）
A．26 B．❑√26 C．16 D．4
10．有一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方
形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图
形如图1所示．如果继续“生长”下去，它将变成如图2所示的“枝繁叶茂的勾股
树”，若“生长”了2025次后，形成的图形中所有的正方形的面积和是（ ）
A．22025 B．2025 C．22026 D．2026
11．如图是数学交流群中的一个截图片段，其中回答正确的是（ ）A．嘉嘉 B．琪琪 C．亮亮 D．明明
【题型3 以直角三角形三边为边长的图形面积】
12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，正方形ACDE,BCFG的面积分别为36，64，
则AB的长为（ ）
A．10 B．14 C．28 D．2❑√7
13．如图，直角三角形三边上的半圆面积分别为S，16π和25π，则S为（ ）
A．3π B．6π C．9π D．12π
14．如图，在直角三角形ABC中，∠ABC=90∘，分别以AC，AB为边向外作等边三角形，
将它们的面积分别记为 与 ．若 ，则 的长为（ ）
S S S = 25❑√3,S =16❑√3 BC
1 2 1 2
A．4 B．6 C．8 D．1015．如图，分别以Rt△ABC的各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上被称为“希波
克拉底月牙”．当AC=8，BC=6时，“希波克拉底月牙”的面积是（ ）
A．18 B．20 C．24 D．48
16．如图，四边形ABCD中，AB⊥BC, AD⊥CD，分别以四边形ABCD的四条边向外
作正方形，这四个正方形的面积分别是为S 、S 、S 、S ，若
1 2 3 4
S +S =15, S +S =35，则AC的值是（ ）
1 3 2 4
A．5 B．5❑√2 C．5❑√3 D．5❑√5
【题型4 勾股定理的证明方法】
17．“赵爽弦图”由三国时期数学家赵爽为注解《周髀算经》所创，以四个全等直角三角
形拼构，巧妙用面积关系证明勾股定理，是中国古代数学的重要成就．现用四个图1
中的直角三角形拼成如图2所示的“弦图”．设直角三角形的两条直角边长分别为a，
b（a>b），斜边为c，请利用这个图形解决下列问题：
(1)请用图2验证勾股定理；
(2)如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是3，
①求ab的值；
②求 的值．
(a+b) 218．请你根据图形及提示证明勾股定理(图中所有直角三角形都是以c为斜边，a，b为直角
边的全等三角形)
(1)毕达哥拉斯的证法(图1)：
(补充完整以下证明过程)
证明：∵正方形①的面积=______
正方形②的面积=______．
又∵正方形①与正方形②的边长相等，
∴______=______．
∴a2+b2=c2；
(2)请你写出弦图(图2)的另一种证法．
19．现有4个全等的直角三角形（阴影部分），直角边长分别为a、b，斜边长为c，将它
们拼合为如图的形状．用两种不同的方法计算整个组合图形ABEFG的面积，可以证
明勾股定理．(1)写出你的证明过程；
(2)当a=3，b=4时，求空白部分的面积．
20．如图：在Rt△ABC和Rt△BDE中，∠C=90°，∠D=90°，AC=BD=a，
BC=DE=b，AB=BE=c，试利用图形证明勾股定理．
【题型5 以弦图为背景的计算题】
21．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正
方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，n(m>n)．若小正方形面积为7，
，则大正方形的边长为（ ）
(m+n) 2=31
A．❑√14 B．❑√15 C．❑√16 D．❑√1922．中国数学会第十四届全国数学文化论坛于2025年7月1日在河南省郑州市举行．中国
数学会会徽以赵爽弦图为核心设计．如图，这是小文根据“赵爽弦图”设计的“数学
风车”模型，它是将赵爽弦图中四个全等的直角三角形中较短的直角边分别向外延长
一倍得到的．若∠ACB=90°，AC=6，BC=4，则“数学风车”的周长为（ ）
A．40 B．42 C．48 D．56
23．赵爽弦图是中国古代数学家赵爽为证明勾股定理而设计的几何图形．该图由四个全等
的直角三角形（直角边分别为a和b，斜边为c）围绕一个正方形拼成一个大正方形
（如图）．若图中大正方形的面积为13，小正方形的面积为1，则以下关于a和b的
结论正确的是（ ）
A．a+b=5 B．ab=8 C．a2+b2=12 D．a−b=2
24．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（图1），后人称其为
“赵爽弦图”，由弦图变化得到图2，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图
中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S 、S 、S ．若
1 2 3
S +S +S =24，则S 的值为（ ）
1 2 3 2A．7 B．8 C．9 D．6
25．如图，四个全等的直角三角形围成正方形ABCD和正方形EFGH（赵爽弦图），连接
AC，交EF、GH分别于点M，N，连接FN，已知AH=3DH，且S =25，
正方形ABCD
则图中阴影部分的面积为（ ）
15 15
A． B．5 C． D．10
4 2
26．如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方
形的面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两条直角边长（x>y
），下列四个说法：
①x2+ y2=49；
②x−y=2；
③2xy+4=9；
④x± y=9，其中正确的说法是（ ）
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
【题型6 用勾股定理构造图形解决问题】
27．某物流公司的全自动无人机需从仓库出发，向东飞行1.6km后，再向北飞行1.2km抵达社区配送点，由于中央区域有信号塔障碍，无人机必须严格沿正东、正北方向飞行．
若升级后的导航系统支持直线飞行绕过障碍，则从仓库到社区配送点的最短路径为（
）
A．1.8km B．2.0km C．2.1km D．3.0km
28．如图，某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高4.5m的墙上，装有一个由传感器控制
的门铃A，如图①所示，人只要移至该门铃5m及5m以内时，即AC≤5m，门铃就会
自动发出语音“欢迎光临”．如图②所示，一个身高1.5m的学生走到D处，即
CD=1.5m，门铃恰好自动响起，则BD的长为（ ）
A．3米 B．4米 C．5米 D．7米
29．如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出
了一条“路”．他们仅仅少走了几步路，却踩伤了花草．他们少走的路长为（ ）
A．2m B．3m C．3.5m D．4m
30．国庆假期中，小华与同学去玩探宝游戏，按照探宝图，他们从门口A处出发到达藏宝
点B，则门口A到藏宝点B的直线距离是（ ）A．20km B．14km C．11km D．10km
31．如图，有一只喜鹊在一棵2m高的小树AB上觅食，它的巢筑在与该树水平距离（BD
）为8m的一棵9m高的大树DM上，喜鹊的巢位于树顶下方1m的C处，当它听到巢中
幼鸟的叫声，立即飞过去，如果它飞行的速度为2.5m/s，那么它要飞回巢中所需的时
间至少是( )
A．1s B．3s C．4s D．6s
32．数学实验，能增加学习数学的乐趣，还能经历知识“再创造”的过程，更是培养动手
能力，创新能力的一种手段．小明在学了数学实验《拼图中的数学奥秘》一课后，用
2个边长为m的正方形和8个边长分别为m、n的矩形拼出如图所示的图形，已知
EF=3，EG=❑√5，则矩形ABCD的面积为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．14
33．某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为
∠BAF时，顶部边缘B处离桌面的高度BC为7cm，此时底部边缘A处与C处间的距
离AC为24cm，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为∠DAF时（D
是B的对应点），顶部边缘D处到桌面的距离DE为20cm，则底部边缘A处与E之间
的距离AE为（ ）A．15cm B．18cm C．21cm D．24cm
【题型7 勾股定理与无理数】
34．如图，数轴上点A所表示的数为a，则a的值是（ ）
A．❑√5+1 B．1−❑√5 C．❑√5 D．❑√5−1
35．如图，数轴上点A表示的数为1，点B，C，D在4×4的正方形网格的格点（网格线的
交点）上．以点A为圆心，AD的长为半径画圆，交数轴于M，N两点，则点N表示
的数为 ．
36．如图，数轴上的点A、B对应的实数分别是1、3，线段BC⊥AB于点B，且BC长为1
个单位长度．若以点A为圆心，AC长为半径的弧交数轴于3和4之间的点P，则点P表
示的实数是（ ）
A．❑√2 B．1+❑√2 C．❑√5 D．1+❑√5
37．如图，以点A为圆心，AB的长为半径画弧，交数轴于点C，则点C表示的数为（ ）A．❑√10 B．❑√17 C．❑√10+1 D．❑√10−1
38．阅读与应用：
下面是小敏学习实数之后，写的数学日记的一部分，请你认真阅读，并完成相应的任
务．
2025年9月22日 天气：晴
无理数与线段长
今天我们借助勾股定理，在数轴上找到了一些特殊的无理数对应的点，认识了“数轴上
的点与实数一一对应”这一事实．
回顾梳理：要在数轴上找到表示±❑√2的点，关键是在数轴上构造线段OA=OA′=❑√2．
如图1，正方形的边长为1个单位长度，以原点O为圆心，对角线长为半径画弧与数轴
分别交于点A，A′，则点A对应的数为❑√2，点A′对应的数为−❑√2．类似地，我们可以
在数轴上找到表示±❑√5，±❑√10……的点．
拓展思考：如图2，改变图1中正方形的位置，用类似的方法作图，可在数轴上构造出
线段OB与OB′，其中O仍为原点，点B，B′分别在原点的右侧、左侧，可由线段OB与
OB′的长得到点B，B′所表示的无理数！
按照这样的思路，只要构造出特定长度的线段，就能在数轴上找到无理数对应的点！
任务：
(1)“拓展思考”中，线段OB的长为 ，OB′的长为 ；点B表示的数为 ，点B′表示的数
为 ；
(2)请在图3所示的数轴上，画图确定表示2−❑√10的点M，以及表示2+❑√10的点N．
1．如图，在等边三角形ABC中，点E在AC边上，点F在AB边上，沿EF折叠，使点A落
在BC边上D位置．若AE=6，且ED⊥BC．则BF的长为（ ）A．3❑√3 B．❑√3+3 C．5 D．6−❑√3
2．如图，分别以Rt△ABC的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为S ，S ，S ，若
1 2 3
S +S −S =96，则图中阴影部分的面积为（ ）
3 2 1
A．6 B．12 C．18 D．24
3．意大利著名画家达·芬奇用一张纸片剪拼出不一样的空洞，而两个空洞的面积是相等的，
如图所示，证明了勾股定理，若设图1中空白部分的面积为S ，图2中空白部分的面
1
积为S ，则下列对S ，S 所列等式不正确的是（ ）
2 1 2
A． B．
S =a2+b2+2ab S =c2+ab
1 2
C． D．
S =a2+b2+ab S =S
1 1 2
4．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8．分别以AB，AC，BC为边在AB
的同侧作正方形ABEF，ACPQ，BDMC，四块阴影部分的面积分别为S ，S ，S ，
1 2 3
S ，则S +S +S +S 等于（ ）
4 1 2 3 4A．48 B．72 C．90 D．96
5．“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，它是由4个全等的直角三角形与1个小正方形拼
接而成．如图，已知“赵爽弦图”中大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用
x，y表示直角三角形的两直角边（x>y），下列三个结论：①x2+ y2=49；②
x−y=2；③2xy+4=49．其中正确结论有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
6．如图，正方形的边长为1，以数轴上表示数1的点为圆心，正方形的对角线长为半径画
弧，与数轴正半轴交于点R，则点P表示的实数为（ ）
A．❑√2 B．❑√2+1 C．2.4 D．2.5
