文档内容
专题 01 勾股定理（七大题型）
【题型1 用勾股定理解三角形】...........................................................................................1
【题型2 勾股数问题】..........................................................................................................5
【题型3 以直角三角形三边为边长的图形面积】.................................................................8
【题型4 勾股定理的证明方法】...........................................................................................11
【题型5 以弦图为背景的计算
题】.........................................................................................16
【题型6 用勾股定理构造图形解决问题】............................................................................21
【题型7 勾股定理与无理数】..............................................................................................26
【题型1 用勾股定理解三角形】
1．直角三角形两个直角边分别为3和4，则斜边长为（ ）
A．❑√7 B．5 C．7 D．8
【答案】B
【分析】本题考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一
定等于斜边长的平方，利用勾股定理直接计算斜边长．
【详解】解：∵ 直角三角形两直角边分别为3和4，
∴ 斜边长c满足 c2=32+42=9+16=25，
∴c=❑√25=5．
故选：B．
2．如图，将长为16cm的橡皮筋放置在水平面上，固定两端A和B，然后从中点C垂直向上
拉伸6cm至点D，则橡皮筋被拉长了（ ）
A．2cm B．4cm C．6cm D．10cm【答案】B
【分析】本题考查勾股定理的应用，运用几何计算思想，解题关键是准确应用勾股定理，
易错点是忽略对称性质导致边长计算失误；解题思路是通过勾股定理求出拉后伸橡皮筋
的边长，进而计算拉长的长度．
1
【详解】解：已知橡皮筋原长AB=16cm，C是AB的中点，所以AC= AB=8(cm)；
2
又因为D是C垂直向上拉伸6cm得到的点，所以CD=6cm，且CD⊥AB；
在Rt△ACD中，由勾股定理AD2=AC2+CD2=82+62=100，所以AD=10cm；
因为AD=BD=10cm（对称性质），所以拉伸后橡皮筋的长度为AD+BD=20cm，
原长度为16cm因，此拉长的长度为20−16=4(cm)；
故选：B．
3．如图，阴影部分是一个长方形，它的面积是（ ）
A．3cm2 B．4cm2 C．5cm2 D．6cm2
【答案】C
【分析】考查了勾股定理、长方形的性质；熟练掌握勾股定理是解决问题的关键．
由勾股定理求出直角三角形的斜边长，再由长方形的面积公式即可得出结果．
【详解】解：由勾股定理得：❑√32+42=5cm，
∴阴影部分的面积=5×1= 5cm2；
故选C．
4．如图，已知钓竿AC的长为5m，露在水面上的鱼线BC的长为3m，某钓鱼人想看看鱼
钩上的情况，把钓竿AC转动到AC′的位置，此时露在水面上的鱼线B′C′的长为4m，
则BB′的长为（ ）A．1m B．2m C．3m D．4m
【答案】A
【分析】利用勾股定理分别求出AB和AB′的长，再根据BB′=AB−AB′即可得出答案．
本题考查了勾股定理，解题关键是根据已知条件求出AB和AB′的长度．
【详解】解：∵AC=5m，BC=3m，
∴AB=❑√AC2−BC2=❑√52−32=4m，
∵AC'=5m，B'C'=4m
∴AB'=❑√AC'2−B'C'2=❑√62−42=3m，
∴BB'=AB−AB'=4−3=1m，
故选：A．
5．如图，△ABC中，∠B=90∘，AD平分∠BAC，AB=6，BC=8，则BD的长是（
）
A．2 B．3 C．3.5 D．4
【答案】B
【分析】本题考查勾股定理，三角形面积公式，角平分线性质等．根据题意作
DE⊥AC，即可得到BD=DE，再利用勾股定理求得AC的长，后利用等面积法即可
求出本题答案．
【详解】解：作DE⊥AC，∵AD平分∠BAC，∠B=90∘，
∴BD=DE，
∵AB=6，BC=8，
∴AC=❑√62+82=10，
1 1 1
∴6×8× = BD⋅6+ ×10⋅DE，解得：BD=3，
2 2 2
故选：B．
6．如图是一个弩箭模型，箭MN经过BC的中点D．已知AB=AC=17cm，AN=14cm，
BC=30cm，则DN的长为（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
【答案】D
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理．根据等腰三角形的性质，可得
1
AD⊥BC,BD= BC=15cm，再由勾股定理可得AD=8cm，即可求解．
2
【详解】解：∵箭MN经过BC的中点D，AB=AC=17cm，BC=30cm，
1
∴AD⊥BC,BD= BC=15cm，
2
∴AD=❑√AB2−BD2=8cm，
∵AN=14cm，
∴DN=AN−AD=6cm．故选：D
7．如图所示，等边三角形OBC的边长为4，则点C的坐标是（ ）
A．(2,4) B．(2,−4) C．(2,−2❑√3) D．(2,2❑√3)
【答案】C
【分析】根据等边三角形的性质得到高的长度，进而可以算出点C的坐标．
本题考查了平面直角坐标系，等边三角形的性质，掌握概念是解题关键．
【详解】解：过点C作CD⊥OB于点D，
OBC
∵等边三角形 的边长为4，
∴OC＝OB＝4，
又∵CD⊥OB，
1
∴OD＝DB= OB=2，
2
∴CD=❑√OC2−OD2=❑√42−22=2❑√3，
∴C(2,−2❑√3)
故选：C．
【题型2 勾股数（树）问题】
8．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算
经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（ ）A．0.3,0.4,0.5 B．1,❑√2,❑√3 C．6,8,10 D．4,5,6
【答案】C
【分析】本题考查了勾股数的定义，关键是利用定义进行判断；勾股数需满足三个正整
数且符合勾股定理，逐一验证各选项即可.
【详解】解：勾股数要求三个正整数且满足a2+b2=c2，
选项A：0.3,0.4,0.5不是正整数，不符合；
选项B：1,❑√2,❑√3中❑√2和❑√3不是整数，不符合；
选项C：6,8,10均为正整数，且62+82=36+64=100，102=100，∴62+82=102，符
合；
选项D：4,5,6均为正整数，但42+52=16+25=41，62=36，41≠36，不符合.
∴故选：C.
9．如图是一株美丽的“勾股树”，若正方形A，B的面积分别是16，10，则正方形C的面
积是（ ）
A．26 B．❑√26 C．16 D．4
【答案】A
【分析】本题考查勾股定理的应用，理解“勾股树”中的面积关系是解题的关键．
根据勾股定理的性质，可得直角三角形边长之间的关系，转换为面积之间的关系，即可
求出正方形C的面积．
【详解】解：假设正方形A、B、C的边长分别为a、b、c，
由勾股定理可得a2+b2=c2，
由于正方形A的面积为a2，正方形B的面积为b2，正方形C的面积为c2，
故正方形C的面积为正方形A，B的面积之和，
即为16+10=26，
故选A，
10．有一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方
形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形如图1所示．如果继续“生长”下去，它将变成如图2所示的“枝繁叶茂的勾股
树”，若“生长”了2025次后，形成的图形中所有的正方形的面积和是（ ）
A．22025 B．2025 C．22026 D．2026
【答案】D
【分析】本题考查了勾股定理，能够根据勾股定理发现每一次得到的新的正方形的面
积和与原正方形的面积之间的关系是解答本题的关键．根据勾股定理求出“生长”了
1次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形总结规律，根据规律解答即可．
【详解】解：如图，
由题意得，正方形A的面积为1，
由勾股定理得，正方形B的面积+正方形C的面积=正方形A的面积=1，
∴“生长”了 1 次后形成的图形中所有的正方形的面积和为 2 ，
同理可得，“生长”了 2 次后形成的图形中所有的正方形的面积和为 3 ，
∴“生长”了 3 次后形成的图形中所有的正方形的面积和为 4 ，
...，
∴“生长”了 2025 次后形成的图形中所有的正方形的面积和为 2026 ．
故选：D．
11．如图是数学交流群中的一个截图片段，其中回答正确的是（ ）A．嘉嘉 B．琪琪 C．亮亮 D．明明
【答案】C
【分析】本题主要考查勾股数的定义，勾股数必须满足都是正整数，且两条较短线段
的平方和等于较长线段的平方这两个条件．
根据勾股数的定义进行逐项分析判断即可．
【详解】解：A．0.3,0.4,0.5不是正整数，不是勾股数，故本选项不符合题意；
B．42+52≠62，不是勾股数，故本选项不符合题意；
C．82+152=172是勾股数，本选项符合题意；
D．22+32≠42，不是勾股数，本选项不符合题意．
故选：C．
【题型3 以直角三角形三边为边长的图形面积】
12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，正方形ACDE,BCFG的面积分别为36，64，
则AB的长为（ ）
A．10 B．14 C．28 D．2❑√7
【答案】A
【分析】本题考查了勾股定理及正方形面积公式的运用，解题关键是明确直角三角形
的直角边长的平方即为相应的正方形的面积．
由正方形的面积公式可知AC2=36，BC2=64，在Rt△ABC中，由勾股定理得
AC2+BC2=AB2，即可得出AB的长．【详解】解：∵在Rt△ABC中，
由勾股定理得：AC2+BC2=AB2，
∵正方形ACDE,BCFG的面积分别为36，64，
∴AC2=36，BC2=64，
∴AB2=36+64=100，
∴AB=❑√100=10．
故选：A．
13．如图，直角三角形三边上的半圆面积分别为S，16π和25π，则S为（ ）
A．3π B．6π C．9π D．12π
【答案】C
【分析】本题考查勾股定理，根据图形结合勾股定理可知：大半圆的面积等于两个小
半圆的面积之和，进行求解即可．
【详解】解：设直角三角形的三边分别为a、b、c，则a2+b2=c2，
(a) 2 (b) 2 (c) 2
由图可知，S= π， π=16π， π=25π，
2 2 2
(a) 2 (c) 2 (b) 2
∴ S= π= π− π=25π−16π=9π，
2 2 2
故选：C．
14．如图，在直角三角形ABC中，∠ABC=90∘，分别以AC，AB为边向外作等边三角形，
将它们的面积分别记为S 与S ．若S = 25❑√3,S =16❑√3，则BC的长为（ ）
1 2 1 2A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】B
【分析】本题考查了等边三角形的基本性质，勾股定理的运用，解题的关键是利用勾
股定理求出直角边．
先通过等边三角形的基本性质得到等边三角形的面积，然后再利用勾股定理求解即可．
【详解】解：如图：△ABC是边长为a的等边三角形，过点A作AD⊥BC，垂足为
D，
△ABC
∵ 是等边三角形，
∴AB=AC=BC=a，
∵AD⊥BC，
1 1
∴CD= BC= a，
2 2
❑√3 ❑√3
∴AD=❑√AC2−CD2= BC= a，
2 2
1 ❑√3 ❑√3
∴△ABC的面积= BC×AD= BC2= a2 ，
2 4 4
❑√3
∴等边三角形的面积= 边长的平方，
4
❑√3 ❑√3
故此题中S = AC2 ，S = AB2 ，
1 4 2 4
❑√3 ❑√3 ❑√3 ❑√3
∴S −S = AC2− AB2= (AC2−AB2)= BC2 ，
1 2 4 4 4 4
❑√3
∴25❑√3−16❑√3= BC2 ，
4
∴BC=6（负值已舍），
故选：B．
15．如图，分别以Rt△ABC的各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上被称为“希波
克拉底月牙”．当AC=8，BC=6时，“希波克拉底月牙”的面积是（ ）A．18 B．20 C．24 D．48
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理、三角形和圆的面积公式，根据勾股定理求得AB的长
度，再根据圆的面积公式分别计算三个半圆的面积，根据三角形的面积公式计算
Rt△ABC的面积，再利用割补法即可求出“希波克拉底月牙”的面积．
【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，
∴AB=❑√62+82=10，
(8) 2
π
以AC为直径的半圆面积为 2 ；
=8π
2
(6) 2
π
以BC为直径的半圆面积为 2 9 ；
= π
2 2
(10) 2
π
以AB为直径的半圆面积为 2 25 ；
= π
2 2
6×8
Rt△ABC的面积为 =24，
2
9 25
∴“希波克拉底月牙”的面积是8π+ π+24− π=24．
2 2
故选：C．
16．如图，四边形ABCD中，AB⊥BC, AD⊥CD，分别以四边形ABCD的四条边向外
作正方形，这四个正方形的面积分别是为S 、S 、S 、S ，若
1 2 3 4
S +S =15, S +S =35，则AC的值是（ ）
1 3 2 4A．5 B．5❑√2 C．5❑√3 D．5❑√5
【答案】A
【分析】本题考查勾股定理，由AB⊥BC, AD⊥CD得到△ABC，△ACD是直角三
角形，根据勾股定理得到AC2=AB2+BC2=S +S ，AC2=AD2+CD2=S +S ，
1 2 3 4
即可求解．
【详解】解：∵AB⊥BC, AD⊥CD，
∴∠ABC=∠ADC=90°，
∴在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2=S +S ，
1 2
在Rt△ACD中，AC2=AD2+CD2=S +S ，
3 4
∴2AC2=S +S +S +S =15+35=50，
1 2 3 4
∴AC=5．
故选：A．
【题型4 勾股定理的证明方法】
17．“赵爽弦图”由三国时期数学家赵爽为注解《周髀算经》所创，以四个全等直角三角
形拼构，巧妙用面积关系证明勾股定理，是中国古代数学的重要成就．现用四个图1
中的直角三角形拼成如图2所示的“弦图”．设直角三角形的两条直角边长分别为a，
b（a>b），斜边为c，请利用这个图形解决下列问题：
(1)请用图2验证勾股定理；
(2)如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是3，
①求ab的值；
②求(a+b) 2的值．
【答案】(1)见解析(2)①ab=5；②23
【分析】（1）利用两种不同的方法计算正方形的面积，列等式化简即可验证；
（2）①将大正方形的面积代入a2+b2=c2得a2+b2=13，将小正方形的面积代入
(a−b) 2=3得ab=5；②利用完全平方公式(a+b) 2=a2+2ab+b2计算即可；
本题主要考查了勾股定理的证明和完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关
键．
1
【详解】（1）解：∵大正方形的面积为c2，一个直角三角形面积为 ab，小正方形
2
的面积为(a−b) 2，
1
∴c2=4× ab+(a−b) 2 ，
2
整理得c2=a2+b2，
即直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和．
（2）①∵大正方形的面积为13，
∴c2=13，
又∵a2+b2=c2，
∴a2+b2=13，
∵小正方形的面积为3，
∴(a−b) 2=3，
即a2−2ab+b2=3，
将a2+b2=13代入得13−2ab=3，
解得2ab=10，
∴ab=5．
②由①知a2+b2=13，2ab=10，
∴(a+b) 2=a2+2ab+b2=13+10=23．
18．请你根据图形及提示证明勾股定理(图中所有直角三角形都是以c为斜边，a，b为直角
边的全等三角形)(1)毕达哥拉斯的证法(图1)：
(补充完整以下证明过程)
证明：∵正方形①的面积=______
正方形②的面积=______．
又∵正方形①与正方形②的边长相等，
∴______=______．
∴a2+b2=c2；
(2)请你写出弦图(图2)的另一种证法．
【答案】(1)a2+b2+2ab，c2+2ab，a2+b2+2ab，c2+2ab
(2)见解析
【分析】本题考查勾股定理的证明，正方形的性质，解决本题的关键是根据题意得到
等量关系．
（1）根据题意即可完成填空；
（2）根据题意，由图可知大正方形的面积=4个三角形的面积+小正方形的面积，列出
等式化简即可得出勾股定理的表达式．
1
【详解】（1）证明：∵正方形
的面积=a2+b2+4× ab=a2+b2+2ab，
2
①
1
正方形
的面积=c2+4× ab=c2+2ab，
2
②
又∵正方形 与正方形 的边长相等，
∴a2+b2+2①ab=c2+2a②b，
∴a2+b2=c2，
故答案为：a2+b2+2ab，c2+2ab，a2+b2+2ab，c2+2ab；
（2）解：由图可知大正方形的面积=4个三角形的面积+小正方形的面积，
1
∴c2=4× ab+(b−a) 2=2ab+a2−2ab+b2 ，
2即c2=a2+b2．
19．现有4个全等的直角三角形（阴影部分），直角边长分别为a、b，斜边长为c，将它
们拼合为如图的形状．用两种不同的方法计算整个组合图形ABEFG的面积，可以证
明勾股定理．
(1)写出你的证明过程；
(2)当a=3，b=4时，求空白部分的面积．
【答案】(1)见解析
(2)13
【分析】本题考查了勾股定理的面积法证明及组合图形的面积拆分计算，解题的关键
是将五边形面积拆分为不同基本图形（正方形、矩形、三角形）的面积和，通过面积
相等建立等式推导勾股定理，再利用勾股定理计算空白部分面积．
（1）将五边形ABEFG的面积用两种不同的基本图形组合方式表示，建立等式，化简
得勾股定理．
（2）空白部分面积为正方形ACFG的面积减去两个直角三角形的面积，结合勾股定
理将其转化为a2+b2−ab，代入a、b的值计算．
【详解】（1）证明：五边形ABEFG的面积拆分为正方形ACFG、三角形CEF与三
角形ABC的面积和，
即S =S +S +S =c2+ab
五边形ABEFG 矩形ACFG 三角形CEF △ABC
五边形ABEFG的面积也拆分为正方形ABDH、正方形IDEF、三角形AGH与三角形
IFG的面积和，
即S =S +S +S +S =a2+b2+ab
五边形ABEFG 正方形ABDH 正方形IDEF 三角形AGH 三角形IFG
∵两种方法表示的面积相等，∴c2+ab=a2+b2+ab，
两边消去ab，得c2=a2+b2，即勾股定理得证．
1 1
（2）解：空白部分（正方形ACFG)的面积为S − ab− ab=c2−ab，
正方形ACFG 2 2
由⑴结论c2=a2+b2，代入得空白部分面积为a2+b2−ab
当a=3，b=4时，原式=32+42−3×4=9+16−12=13
答：空白部分的面积为13．
20．如图：在Rt△ABC和Rt△BDE中，∠C=90°，∠D=90°，AC=BD=a，
BC=DE=b，AB=BE=c，试利用图形证明勾股定理．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理的证明，解题的关键是
掌握全等三角形的判定与性质以及利用等面积法证明勾股定理．
先证明△ACB≌△BDE(SSS)，可得∠BAC=∠EBD，从而得到∠ABE=90°，再
根据图形的面积解答即可．
【详解】证明：∵AC=BD=a，BC=DE=b，AB=BE=c，
∴△ACB≌△BDE(SSS)，
∴∠BAC=∠EBD，
∵∠C=90°，
∴∠ABC+∠BAC=90°，
∴∠ABC+∠EBD=90°，即∠ABE=90°，
1 1
由题意可得S =S = ab，S = c2 ，
△ABC △BDE 2 △ABE 2
1
直角梯形的面积为 (a+b)(a+b),
2
1 1 1 1
则 (a+b)(a+b)= ab+ ab+ c2 ，
2 2 2 2
化简可得，a2+b2=c2，即可求证．【题型5 以弦图为背景的计算题】
21．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正
方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，n(m>n)．若小正方形面积为7，
(m+n) 2=31，则大正方形的边长为（ ）
A．❑√14 B．❑√15 C．❑√16 D．❑√19
【答案】D
【分析】本题考查了与弦图有关的勾股定理的应用，完全平方公式的应用，根据小正
方形面积为7得出m2+n2−2mn=7①，结合m2+n2+2mn=31②，①+②得出
m2+n2=19，即可得出结果．
【详解】解：∵小正方形面积为7，
∴(m−n) 2=7，
∴m2+n2−2mn=7①
又∵(m+n) 2=31，
∴m2+n2+2mn=31②
∴①+②得，2m2+2n2=38
∴m2+n2=19，
∴大正方形的面积为m2+n2=19，
∴大正方形的边长为❑√19．
故选：D．
22．中国数学会第十四届全国数学文化论坛于2025年7月1日在河南省郑州市举行．中国
数学会会徽以赵爽弦图为核心设计．如图，这是小文根据“赵爽弦图”设计的“数学
风车”模型，它是将赵爽弦图中四个全等的直角三角形中较短的直角边分别向外延长
一倍得到的．若∠ACB=90°，AC=6，BC=4，则“数学风车”的周长为（ ）A．40 B．42 C．48 D．56
【答案】D
【分析】本题考查了以弦图为背景的计算题，用勾股定理解三角形等知识点，解题关
键是掌握上述知识点并能熟练运用求解．
先得出CD=2BC=8，BD=BC=4，再利用勾股定理求得AD，从而可求得“数学风
车”的周长．
【详解】解：如图，
∵小文根据“赵爽弦图”设计的“数学风车”模型，它是将赵爽弦图中四个全等的直
角三角形中较短的直角边分别向外延长一倍得到的，BC=4，
∴CD=2BC=8，BD=BC=4，“数学风车”的周长为4(AD+BD)，
∵∠ACB=90°，AC=6，
∴AD=❑√AC2+CD2=❑√62+82=10，
∴“数学风车”的周长为4(AD+BD)=4×(10+4)=56，
故选：D．
23．赵爽弦图是中国古代数学家赵爽为证明勾股定理而设计的几何图形．该图由四个全等
的直角三角形（直角边分别为a和b，斜边为c）围绕一个正方形拼成一个大正方形
（如图）．若图中大正方形的面积为13，小正方形的面积为1，则以下关于a和b的
结论正确的是（ ）A．a+b=5 B．ab=8 C．a2+b2=12 D．a−b=2
【答案】A
【分析】本题考查了勾股定理的证明，熟练掌握勾股定理的证明方法是解题的关键．
根据三角形的面积和正方形的面积即可得到结论．
1
【详解】解：由题意得 ab×4+(b−a) 2=13，(b−a) 2=1，
2
A、可知2ab=12，又∵(b+a) 2=(b−a) 2+4ab=1+24=25，∴b+a=5（负值已
舍），故选项A正确，符合题目要求，
B、可知ab=6，故选项B错误，不符合题目要求，
C、可知a2+b2=(a−b) 2+2ab=1+12=13，故选项C错误，不符合题目要求，
D、可知b−a=±1，故选项D错误，不符合题目要求．
故选：A．
24．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（图1），后人称其为
“赵爽弦图”，由弦图变化得到图2，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图
中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S 、S 、S ．若
1 2 3
S +S +S =24，则S 的值为（ ）
1 2 3 2
A．7 B．8 C．9 D．6
【答案】B
【分析】本题考查了正方形的面积、勾股定理，解决本题的关键是随着正方形的边长的变化表示面积．
根据正方形的面积和勾股定理即可求解．
【详解】解：设全等的直角三角形的两条直角边为a、b且a>b，
由题意可知：
S =(a+b) 2 ，S =a2+b2 ，S =(a−b) 2 ，
1 2 3
因为S +S +S =24，即
1 2 3
(a+b) 2+a2+b2+(a−b) 2=24，
3(a2+b2 )=24，
所以3S =24，
2
S 的值是8，
2
故选：B．
25．如图，四个全等的直角三角形围成正方形ABCD和正方形EFGH（赵爽弦图），连接
AC，交EF、GH分别于点M，N，连接FN，已知AH=3DH，且S =25，
正方形ABCD
则图中阴影部分的面积为（ ）
15 15
A． B．5 C． D．10
4 2
【答案】B
【分析】本题考查了勾股定理的证明．根据正方形的面积可得正方形边长的平方，设
DH=x，则AH=3DH=3x，根据勾股定理可得x的平方的值，再根据题意可得
S =S +S ，然后可得阴影部分的面积之和为梯形NGFM的面积．
△FGN △AEM △CGN
【详解】解：∵S =25，
正方形ABCD
∴AB2=25，
设DH=x，则AH=3DH=3x，
∴x2+9x2=25，
5
∴x2=
，
2
根据题意可知：
AE=CG=DH=x，CF=AH=3x，
∴FE=FG=CF−CG=3x−x=2x，
∴S =2S
△FGN △CGN
∵S =S ，
△AEM △CGN
∴S =S +S ，
△FGN △AEM △CGN
∴阴影部分的面积之和为：
1
S = (NG+FM)⋅FG
梯形NGFM 2
1
= (EM+MF)⋅FG
2
1
= FE⋅FG
2
1
= ⋅(2x) 2
2
=2x2
=5．
故选：B．
26．如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方
形的面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两条直角边长（x>y
），下列四个说法：
①x2+ y2=49；
②x−y=2；
③2xy+4=9；
④x± y=9，其中正确的说法是（ ）A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
【答案】A
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用．根据勾股定理和正方形的性质即可得到
x2+ y2=AB2=49，即可判定①；根据图形可知x−y=CE=2，即可判断②；根据四
个直角三角形的面积与小正方形的面积之和为大正方形的面积，可得2xy+4=49，即
可判断③；进而得到(x+ y) 2=94，即可判断④．
【详解】解：如图所示，
∵正方形ABGF的面积为49，
∴AB2=49，
∵△ABC是直角三角形，
∴根据勾股定理得：x2+ y2=AB2=49，故①正确；
∵正方形CDHE的面积为4，
∴CE=CD=EH=DH=2，
∴x−y=CE=2，故②正确；
由图可知，四个直角三角形的面积与小正方形的面积之和为大正方形的面积，
1
列出等式为4× xy+4=49，
2
即2xy+4=49，故③错误；
由2xy+4=49，得2xy=45，
又∵x2+ y2=49，
两式相加得：x2+2xy+ y2=49+45，
整理得：(x+ y) 2=94，
x+ y=❑√94≠9，故④错误；
故正确的是①②．
故选：A．【题型6 用勾股定理构造图形解决问题】
27．某物流公司的全自动无人机需从仓库出发，向东飞行1.6km后，再向北飞行1.2km抵
达社区配送点，由于中央区域有信号塔障碍，无人机必须严格沿正东、正北方向飞行．
若升级后的导航系统支持直线飞行绕过障碍，则从仓库到社区配送点的最短路径为（
）
A．1.8km B．2.0km C．2.1km D．3.0km
【答案】B
【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键；
直接根据勾股定理求解即可．
【详解】解：由题意可知，从仓库到社区配送点的最短路径=❑√1.62+1.22=2.0(km)，
故选：B．
28．如图，某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高4.5m的墙上，装有一个由传感器控制
的门铃A，如图①所示，人只要移至该门铃5m及5m以内时，即AC≤5m，门铃就会
自动发出语音“欢迎光临”．如图②所示，一个身高1.5m的学生走到D处，即
CD=1.5m，门铃恰好自动响起，则BD的长为（ ）
A．3米 B．4米 C．5米 D．7米
【答案】B
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，确定直角三角形进行求解是解题的关键．
根据已知条件得到AE=3m，在Rt△ACE中利用勾股定理计算即可；【详解】解：由题意可知，BD=CE，BE=CD=1.5m，AC=5m，则
AE=AB−BE=4.5−1.5=3m，
在Rt△ACE中，由勾股定理得：CE=❑√AC2−AE2=❑√52−32=4m，
∴BD=CE=4m，
即门铃恰好自动响起，则BD的长为4米；
故选：B．
29．如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出
了一条“路”．他们仅仅少走了几步路，却踩伤了花草．他们少走的路长为（ ）
A．2m B．3m C．3.5m D．4m
【答案】D
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，明确少走的路为AC+BC−AB是解本题
的关键．利用勾股定理求出AB的长，再根据少走的路长为AC+BC−AB，计算即可．
【详解】解：∵ ∠ACB=90°，AC=5m，BC=12m，
∴ AB=❑√AC2+BC2=❑√52+122=13(m)，
∴少走的路长为AC+BC−AB=5+12−13=4(m)，
故选：D．
30．国庆假期中，小华与同学去玩探宝游戏，按照探宝图，他们从门口A处出发到达藏宝
点B，则门口A到藏宝点B的直线距离是（ ）
A．20km B．14km C．11km D．10km【答案】D
【分析】过点B作BC⊥AC，观察图形可得BC、AC，再利用勾股定理即可求解．
【详解】解：过点B作BC⊥AC，如图，
观察图形可知：AC=AF−MF +MC=8−3+1=6km，BC=2+6=8km，
在Rt△ACB中，AB=❑√AC2+BC2=❑√62+82=10km，
∴门口A到藏宝点B的直线距离是10km，
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是结合图形，读懂题意，根据题意
找到需要的数量关系，运用勾股定理求线段的长度．
31．如图，有一只喜鹊在一棵2m高的小树AB上觅食，它的巢筑在与该树水平距离（BD
）为8m的一棵9m高的大树DM上，喜鹊的巢位于树顶下方1m的C处，当它听到巢中
幼鸟的叫声，立即飞过去，如果它飞行的速度为2.5m/s，那么它要飞回巢中所需的时
间至少是( )
A．1s B．3s C．4s D．6s
【答案】C
【分析】过A作AE⊥MD于E，如图所示，由勾股定理求出最短路径长即可得到答案．
【详解】解：过A作AE⊥MD于E，如图所示：由题意可知，AB=DE=2，AE=BD=8,CE=6，
根据两点之间线段最短，则它要飞回巢中所飞的最短路径为AC，由勾股定理可得
AC=❑√AE2+CE2=❑√62+82=10，
∴它要飞回巢中所需的时间至少是10÷2.5=4（m/s），
故选：C．
【点睛】本题考查勾股定理解实际问题，读懂题意，作出图形，数形结合求出最短路
径长度是解决问题的关键．
32．数学实验，能增加学习数学的乐趣，还能经历知识“再创造”的过程，更是培养动手
能力，创新能力的一种手段．小明在学了数学实验《拼图中的数学奥秘》一课后，用
2个边长为m的正方形和8个边长分别为m、n的矩形拼出如图所示的图形，已知
EF=3，EG=❑√5，则矩形ABCD的面积为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．14
【答案】A
【分析】根据勾股定理列式求出m2+4mn的值，结合矩形面积公式即可得到答案.
【详解】解：∵EF=3，EG=❑√5，
∴m2+(m+2n) 2=9，m2+(2n) 2=5，
∴m2+4mn=9−5=4，
∴S =2m×(m+4n)=2m2+8mn=2×4=8，
ABCD
故选A.【点睛】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是根据两个式子加减得到
m2+4mn=9−5=4及整体代换的思想．
33．某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为
∠BAF时，顶部边缘B处离桌面的高度BC为7cm，此时底部边缘A处与C处间的距
离AC为24cm，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为∠DAF时（D
是B的对应点），顶部边缘D处到桌面的距离DE为20cm，则底部边缘A处与E之间
的距离AE为（ ）
A．15cm B．18cm C．21cm D．24cm
【答案】A
【分析】勾股定理解Rt△ABC得出AB=25cm，勾股定理解Rt△ADE即可求解．
【详解】解：依题意，AC=24,BC=7，
在Rt△ABC中，AB=❑√AC2+BC2=25，
∵AB=AD =25，DE=20,
在Rt△ADE中，AE=❑√AD2−DE2=❑√252−202=15，
故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键．
【题型7 勾股定理与无理数】
34．如图，数轴上点A所表示的数为a，则a的值是（ ）
A．❑√5+1 B．1−❑√5 C．❑√5 D．❑√5−1
【答案】D
【分析】本题考查的是勾股定理．熟练掌握勾股定理解直角三角形，数轴上两点之间的距离，实数的运算，是解题的关键．
先根据勾股定理求出直角三角形的斜边长，得到数轴上两点间的距离，再根据两点间
的距离公式即可求出A点表示的数．
【详解】解：∵图中的直角三角形的两直角边为1和2，
∴斜边长为：❑√12+22=❑√5，
∵点A所表示的数为a，
∴a−(−1)=❑√5,
∴a=❑√5−1．
故选：D．
35．如图，数轴上点A表示的数为1，点B，C，D在4×4的正方形网格的格点（网格线的
交点）上．以点A为圆心，AD的长为半径画圆，交数轴于M，N两点，则点N表示
的数为 ．
【答案】1+❑√10
【分析】本题考查了实数与数轴，正确数形结合分析是解题关键．
直接利用勾股定理得出AD的长，再利用数轴得出答案．
【详解】解：∵OD⊥AM，
∴∠AOD=90°，
∴△AOD是直角三角形，
∵OA=1，OD=3，
∴AD=❑√12+32=❑√10，
∴AN=AD=❑√10，
∴N点所表示的数为：1+❑√10．
故答案为：1+❑√10．36．如图，数轴上的点A、B对应的实数分别是1、3，线段BC⊥AB于点B，且BC长为1
个单位长度．若以点A为圆心，AC长为半径的弧交数轴于3和4之间的点P，则点P表
示的实数是（ ）
A．❑√2 B．1+❑√2 C．❑√5 D．1+❑√5
【答案】D
【分析】本题考查实数与数轴，勾股定理，由勾股定理得AC=❑√AB2+BC2，求出
AC，由AP=AC即可求解．能用勾股定理求解，找出实数在数轴上的点是解题的关
键．
【详解】解：∵数轴上的点A、B对应的实数分别是1、3，BC⊥AB，BC长为1个单
位长度，
∴∠ABC=90°，AB=2，BC=1，
∴在Rt△ABC中，AC=❑√AB2+BC2=❑√22+12=❑√5，
∵以点A为圆心，AC长为半径的弧交数轴于3和4之间的点P，
∴AP=AC=❑√5，
∵数轴上的点A对应的实数是1，
∴点P表示的实数是1+❑√5．
故选：D．
37．如图，以点A为圆心，AB的长为半径画弧，交数轴于点C，则点C表示的数为（ ）
A．❑√10 B．❑√17 C．❑√10+1 D．❑√10−1
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理，实数与数轴，解答本题的关键是熟练运用勾股定理解
决问题．利用勾股定理求出AB=AC=❑√10，根据点A表示的数是1，求出点C表示
的数即可．【详解】解：根据题意可知，AB=❑√(4−1) 2+12=❑√10，
∴点C表示的数为❑√10+1，
故选：C．
38．阅读与应用：
下面是小敏学习实数之后，写的数学日记的一部分，请你认真阅读，并完成相应的任
务．
2025年9月22日 天气：晴
无理数与线段长
今天我们借助勾股定理，在数轴上找到了一些特殊的无理数对应的点，认识了“数轴上
的点与实数一一对应”这一事实．
回顾梳理：要在数轴上找到表示±❑√2的点，关键是在数轴上构造线段OA=OA′=❑√2．
如图1，正方形的边长为1个单位长度，以原点O为圆心，对角线长为半径画弧与数轴
分别交于点A，A′，则点A对应的数为❑√2，点A′对应的数为−❑√2．类似地，我们可以
在数轴上找到表示±❑√5，±❑√10……的点．
拓展思考：如图2，改变图1中正方形的位置，用类似的方法作图，可在数轴上构造出
线段OB与OB′，其中O仍为原点，点B，B′分别在原点的右侧、左侧，可由线段OB与
OB′的长得到点B，B′所表示的无理数！
按照这样的思路，只要构造出特定长度的线段，就能在数轴上找到无理数对应的点！
任务：
(1)“拓展思考”中，线段OB的长为 ，OB′的长为 ；点B表示的数为 ，点B′表示的数
为 ；
(2)请在图3所示的数轴上，画图确定表示2−❑√10的点M，以及表示2+❑√10的点N．
【答案】(1)❑√2+1，❑√2−1，❑√2+1，−❑√2+1
(2)见解析
【分析】本题考查了作图—复杂作图，数轴上的点与实数一一对应，也考查了勾股定
理，理解题意正确作出对应图形是解答本题的关键．
（1）利用勾股定理计算出正方形的对角线长为❑√2，从而得到OB、OB′的长，然后利
用数轴表示数的方法得到点B和点B′表示的数；
（2）构建直角三角形CDE，C点表示的数为2，使CE=3，DE=1则利用勾股定理得到CD=❑√10，然后以点C为圆心，CD的长为半径作圆，交数轴的负半轴于M，交数
轴的正半轴于N即可．
【详解】（1）解：∵以边长为1的正方形的对角线为半径画圆，半径为❑√2，
∴以表示的数为1的点为圆心时，圆的半径也为❑√2，
∴OB=❑√2+1，OB′=❑√2−1，
∵B位于原点右侧，B′位于原点左侧，
∴B表示的数为❑√2+1，B′表示的数为−❑√2+1，
故答案为：❑√2+1，❑√2−1，❑√2+1，−❑√2+1；
（2）构建直角三角形CDE，C点表示的数为2，使CE=3，DE=1
∴CD=❑√DE2+CE2=❑√10
，
然后以点C为圆心，CD的长为半径作圆，交数轴的负半轴于点M，交数轴的正半轴
于点N，则点M表示的数为2−❑√10，点N表示的数为2+❑√10．
1．如图，在等边三角形ABC中，点E在AC边上，点F在AB边上，沿EF折叠，使点A落
在BC边上D位置．若AE=6，且ED⊥BC．则BF的长为（ ）
A．3❑√3 B．❑√3+3 C．5 D．6−❑√3
【答案】B
【分析】本题考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理及折叠的性质．
根据折叠可知∠EDF=∠A=60°，∠AFE=∠EFD，再由三角形的内角和定理即可计算出∠BFD的度数，在Rt△CED中，利用直角三角形的性质和勾股定理求得
CE=4❑√3，CD=2❑√3，再在Rt△CED中，利用直角三角形的性质即可求解．
【详解】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°，
∵△≝¿是△AEF折叠而成，
∴∠EDF=∠A=60°，DE=AE=6，
又∵ED⊥BC，
∴∠EDC=90°，∠CED=30°，
∴∠BDF=180°−90°−60°=30°，
∠BFD=180°−∠B−∠BDF=180°−60°−30°=90°，
1
在Rt△CED中，CD= CE，
2
由勾股定理得CD2+DE2=CE2，即 (1 CE ) 2 +62=CE2 ，
2
解得CE=4❑√3，
1
则CD= CE=2❑√3，
2
∴BC=AC=6+4❑√3，
∴BD=BC−CD=6+2❑√3，
在Rt△BDF中，∠BDF=30°，
1
∴BF= BD=3+❑√3，
2
故选：B．
2．如图，分别以Rt△ABC的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为S ，S ，S ，若
1 2 3
S +S −S =96，则图中阴影部分的面积为（ ）
3 2 1
A．6 B．12 C．18 D．24
【答案】D【分析】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
根据勾股定理，可得AB2+BC2=AC2，从而S +S =S ，进而求出S ，再根据阴影
1 2 3 2
部分的面积与S 的关系，即可求解．
2
【详解】解：在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2，即，S +S =S ，
1 2 3
∵ S +S −S =96，
3 2 1
∴ S +S +S −S =96，解得S =48，
1 2 2 1 2
1 1
∴ S = S = ×48=24，则图中阴影部分的面积为24．
阴影 2 2 2
故选：D．
3．意大利著名画家达·芬奇用一张纸片剪拼出不一样的空洞，而两个空洞的面积是相等的，
如图所示，证明了勾股定理，若设图1中空白部分的面积为S ，图2中空白部分的面
1
积为S ，则下列对S ，S 所列等式不正确的是（ ）
2 1 2
A．S =a2+b2+2ab B．S =c2+ab
1 2
C．S =a2+b2+ab D．S =S
1 1 2
【答案】A
【分析】本题考查了勾股定理的证明，直角三角形的性质，正方形的性质等知识，解
题的关键是读懂图像信息．根据勾股定理、直角三角形以及正方形的面积公式计算，
即可解决问题．
【详解】解：由勾股定理可得a2+b2=c2，
1
由题意，可得S =a2+b2+2× ab=a2+b2+ab=c2+ab，
1 2
1
S =c2+2× ab=c2+ab，
2 2
所以S =S
1 2
故选项A符合题意，选项B、C、D不符合题意．
故选：A．4．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8．分别以AB，AC，BC为边在AB
的同侧作正方形ABEF，ACPQ，BDMC，四块阴影部分的面积分别为S ，S ，S ，
1 2 3
S ，则S +S +S +S 等于（ ）
4 1 2 3 4
A．48 B．72 C．90 D．96
【答案】B
【分析】本题考查了勾股定理、正方形的性质、全等三角形的性质与判定、三角形面
积的计算等知识，熟练掌握勾股定理和全等三角形的性质与判定，将阴影面积转化为
3S 是解题的关键．
Rt△ABC
先由勾股定理推出S +S +S =S +S ，再证△AFR≌△BAT(ASA)，得出
1 3 4 2 7
S +S =S +S ，则S =S ，得出S +S +S +S =3S ，然后由三角形面积公式即可
2 5 5 7 2 7 1 2 3 4 7
得出答案．
【详解】解：如图：
∵AC2+BC2=AB2，
∴S +S +S +S +S =S +S +S +S ，
1 5 3 4 6 2 5 6 7
∴S +S +S =S +S ，
1 3 4 2 7
∵四边形ABEF是正方形，
∴∠BAT=∠AFR=90°，AF=AB，
∵∠ACB=90°，
∴∠FAR+∠CAB=90°，∠CAB+∠ABC=90°，
∴∠FAR=∠ABC，在△AFR和△BAT中，
¿，
∴△AFR≌△BAT(ASA)
∴S +S =S +S ，
2 5 5 7
∴S =S ，
2 7
1 1
∴S +S +S +S =3S =3× AC⋅BC=3× ×6×8=72，
1 2 3 4 7 2 2
故选：B．
5．“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，它是由4个全等的直角三角形与1个小正方形拼
接而成．如图，已知“赵爽弦图”中大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用
x，y表示直角三角形的两直角边（x>y），下列三个结论：①x2+ y2=49；②
x−y=2；③2xy+4=49．其中正确结论有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】D
【分析】本题利用了勾股定理、面积分割法等知识．根据大正方形的面积和勾股定理
可判断①正确；根据小正方形的面积可判断②正确
根据四个三角形的面积+小正方形的面积=大正方形的面积可判断③正确，即可．
【详解】解：设大正方形的边长为c，
根据勾股定理得：c2=x2+ y2
∵大正方形面积为49，
∴x2+ y2=c2=49，故①正确；
根据题意得：小正方形的边长为x−y，
∵小正方形面积为4，
∴小正方形的边长为❑√4=2，
∴x−y=2，故②正确；
∵大正方形是由4个全等的直角三角形与1个小正方形拼接而成，1
∴4× xy+4=2xy+4=49，故③正确；
2
故选：D
6．如图，正方形的边长为1，以数轴上表示数1的点为圆心，正方形的对角线长为半径画
弧，与数轴正半轴交于点R，则点P表示的实数为（ ）
A．❑√2 B．❑√2+1 C．2.4 D．2.5
【答案】B
【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理与无理数，熟知数轴上各点与实数是一一
对应关系是解题关键．先根据勾股定理求出正方形的对角线长，再根据数轴上两点间
的距离公式求出点P表示的数即可．
【详解】解：∵正方形的边长为1，
∴正方形的对角线长为❑√2，
∵以数轴上表示数1的点为圆心，
∴点P表示的实数为❑√2+1，
故选：B．
