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第 20 章 勾股定理
20.2 勾股定理的逆定理及其应用
第 1 课时 勾股定理的逆定理
【素养目标】
1. 理解并掌握勾股定理的逆定理，能利用勾股定理的逆定理判定一个三角形是
直角三角形。(重点)
2. 探究勾股定理的逆定理的证明方法，感悟数形结合思想的应用.(难点)
3. 会认识并判断勾股数，由特殊到一般寻找勾股数规律。
【复习导入】
如何判定一个三角形是直角三角形？
如果 ∠A+∠B = 90∘，那么△ABC 就是一个直角三角形，∠C 为直角。
即有如下的直角三角形的判定方法：
两个角互余的三角形是直角三角形。除了根据角的关系判定，还能根据其
他的关系判定吗？
由勾股定理可以知道，直角三角形的两条直角边长的
平方和等于斜边长的平方，反过来，如果三角形的三边长
满足两条边长的平方和等于第三条边长的平方，那么这
个三角形是不是直角三角形呢？
【合作探究】
探究点1：勾股定理的逆定理
如图给出了确定直角的一种方法：
把一根长绳打上等距离的 13 个结，然后以 3 个
结间距， 4个结间距，5个结间距的长度为边长，用木
桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角。
这种做法真能得到一个直角三角形吗？
这个三角形三边有什么关系吗？
观察：(1) 下列各组数中两个数的平方和等于第三个数的平方，分别以这些数
为边长 (单位：cm ) 画三角形：
① 2.5, 6, 6.5; ② 4, 7.5, 8.5.
(2) 量一量：用量角器分别测量上述各三角形的度数。
第 1 页(3) 想一想：判断这些三角形的形状，提出猜想。
猜想 如果三角形的三边长 a,b,c 满足 a2+b2 = c2 ，那么这个三角形是直
角三角形。
【证一证】
已知：如图，△ABC 的三边长 a , b , c ，满足 a2 + b2 = c2 .
求证：△ABC 是直角三角形。
勾股定理的逆定理
如 果 三 角 形 的 三 边 长 a , b , c 满 足
a2 + b2 = c2,
那么这个三角形是直角三角形。
【典例精析】
例1 判断由线段 a , b , c 组成的三角形是不是直角三角形：
(1) a = 15 , b = 8 , c = 17 ;
(2) a = 13 , b = 14 , c = 15 .
【变式题1】
若 △ABC 的三边 a , b , c 满足 a:b:c = 3:4:5 ，试判断 △ABC 的形
状。
【变式题2】
(1) 若△ABC的三边 a,b,c ，且 a+b = 4 , ab = 1 , c = √14 ，试说
第 2 页明△ABC是直角三角形。
(2) 若△ABC的三边 a , b , c 满足a2+b2+c2+50 = 6a+8b+10c . 试判断
△ABC 的形状。
探究点2：勾股数
如果三角形的三边长 a , b , c 满足 a2+b2 = c2 ，那么这个三角形是
直角三角形。 满足 a2+b2 = c2 的三个正整数，称为勾股数。
常见勾股数：3, 4, 5; 5, 12, 13; 6, 8, 10; 7, 24, 25; 8, 15, 17; 9, 40, 41;
10, 24, 26 等等。
勾股数拓展性质：
一组勾股数，都扩大相同倍数 k ( k 为正整数), 得到一组新数，这组数同样是
勾股数。
【练一练】
1.下列各组数是勾股数的是( )
A.6,8,10 B.7,8,9 C.0.3,0.4,0.5 D. 52,122,132
第 3 页当堂反馈
1. 下列各组数是勾股数的是 ( )
A. 6, 8, 10 B.0.3,0.4,0.5 C.9,41,47 D.
52,122,132
2. 在 △ABC 中，AB = 1 , AC = √3,BC = 2 ，则这个三角形是( )
A. 锐角三角形 B. 直角三角形
C. 钝角三角形 D. 等腰三角形
3. 已 知 △ABC的 三 边 长 为 a,b,c ， 且 a + b = 7 ，
ab = 1 , c2 = 47 ，试判断 △ABC 的形状，并说明理由。
第 4 页参考答案
探究点1：勾股定理的逆定理
【 证 一 证 】 证 明 ： 作 Rt△A′B′C′ ， 使 B′C′= a ,
A′C′= b,∠C′ = 90∘ .
根据勾股定理，A′B′ 2 = B′C′ 2+A′C′ 2 = a2 + b2
因为 a2+b2 = c2 ，所以 A′B′C′ 中在 △ABC 和 △A′B′C′ 中
BC = a = B′C′ , AC = b = A′C′ , AB = c = A′B′
所以 △ABC≌△A′B′C′ (SSS).
因此 ∠C =∠C′ = 90∘ ，即 △ABC 是直角三角形。
例1 解： (1) 因为 82+152=64+225=289 , 172=289 ，所以 152+82=172 ，根
据勾股定理的逆定理，由线段 a , b , c 组成的三角形是直角三角形。
，所以 .
(2) 因为142+132=196+169=365,152=225 132+142≠152
【变式题1】
解 ： 设 a = 3k , b = 4k , c = 5k ( k > 0) ,
∵ (3k) 2+(4k) 2 = 25k2,(5k) 2 = 25k2,
∴(3k) 2+(4k) 2 = (5k) 2 ,∴ △ABC是直角三角形，且∠C是直角。
【 变 式 题 2 】 (1) 解 ： ∵a+b = 4 , ab = 1 ,
∴a2+b2 = (a+b) 2 −2ab = 16−2 = 14 .
又 ∵c2 = 14 , ∴ a2+b2 = c2 , ∴△ABC 是直角三角形。
(2) 解 ： ∵a2+b2+c2+50 = 6a+8b+10c ,
∴a2 −6a+9+b2 −8b+16+c2 −10c+25 = 0 .
即 (a−3) 2+(b−4) 2+(c−5) 2 = 0 .
∴a = 3, b = 4 , c = 5 . ∴ a = 5 . ∴ a2+b2 = c2 .∴△ABC
是直角三角形。
探究点2：勾股数
【练一练】1. A.
第 5 页当堂反馈
1. A. 2. B.
3. 解：Δ ABC是直角三角形。 理由：∵a+b = 7 , ab = 1 ,
∴a2+b2 = (a+b) 2 −2ab = 49−2 = 47 .
又 ∵ c2 = 47 ,∴a2+b2 = c2 . ∴ △ABC 是以c为斜边的直角三角形。
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