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2022-2023学年八年级数学下学期复习备考高分秘籍（人教版）
专题 1.2 勾股定理精讲精练（12 大易错题型深度导练）
【目标导航】
【知识梳理】
1.勾股定理：
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2=c2 的变形有 , ,
（4）证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个
小图形的面积和化简整理得到勾股定理．
2.勾股定理逆定理：
（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足 ，那么这个三角形就是直角三角
形．
说明：①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等．②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的
和等于最大边的平方才能做出判断．
（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件
来解决问题．
3.勾股定理的应用：
①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．
②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形
的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．
③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．
④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三
角形的斜边．
【典例剖析】
考点1 勾股定理
【例1】）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、
E．求AE的长．
【分析】由勾股定理先求出 BC＝6，连接BE，根据中垂线的性质设 AE＝BE＝x，知CE＝8﹣x，在
Rt△BCE中由BC2+CE2＝BE2列出关于x的方程，解之可得答案．
【解析】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，
∴BC=√AB2−AC2=√102−82=6，
连接BE，∵DE垂直平分AB，
∴AE＝BE，
设AE＝BE＝x，则CE＝8﹣x，
在Rt△BCE中，∵BC2+CE2＝BE2，
∴62+（8﹣x）2＝x2，
25
解得x= ，
4
25
∴AE= ．
4
【变式训练】
1．（2022春·内蒙古锡林郭勒盟·八年级校考期末）已知直角三角形一个锐角60°，斜边长为1，那么此直
角三角形的周长是（ ）
5 √3+3
A． B．3 C．√3+2 D．
2 2
【答案】D
【分析】根据直角三角形的性质：直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一半求得30°所对的直角边，
然后利用勾股定理求得另一条直角边，即可解答．
【详解】解：如图所示，
在Rt△ABC中，∠B=60°，∠C=90°，AB=1，
∴∠A=30°，
1 1
∴BC= AB= ，
2 2∴AC=√AB2−BC2=
√
12−
(1) 2
=
√3
，
2 2
1 √3 3+√3
∴此三角形的周长是1+ + = ．
2 2 2
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理和含30°角的直角三角形，熟悉直角三角形的性质：直角三角形中，30°角所
对的直角边是斜边的一半．熟练运用勾股定理是关键．
2．（2023·江苏·八年级泰州市姜堰区第四中学校考期末）在Rt△ABC中，∠C=90°，若AB−AC=2，
BC=3，则AC的长为（ ）
5
A．3 B．4 C．5 D．
4
【答案】D
【分析】在Rt△ABC中，根据勾股定理列出方程即可求解．
【详解】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB−AC=2，BC=3，
∴AC2+BC2=AB2，
∴AC2+32=(AC+2) 2，
5
解得：AC= ，
4
故选D．
【点睛】本题考查了勾股定理，解答的关键是熟练掌握勾股定理的定义及其在直角三角形中的表示形式．
3．（2022春·广东河源·八年级校考期末）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，AD平分
∠BAC，则点D到AB的距离是（ ）
12√13
A．3 B．4 C．2√5 D．
13
【答案】A【分析】过点D作DE⊥AB于点E，由勾股定理可得AB=√AC2+BC2=10，根据角平分线的性质定理
可推导CD=DE，再证明Rt△ADC≌Rt△ADE，易得AE=AC=6，设CD=DE=x，在Rt△BDE中，
由勾股定理可解得DE=3，即可获得答案．
【详解】解：过点D作DE⊥AB于点E，如下图，
∵∠C=90°，AC=6，BC=8，
∴AB=√AC2+BC2=√62+82=10，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C=90°，
∴CD=DE，
又∵AD=AD，
∴Rt△ADC≌Rt△ADE(HL)，
∴AE=AC=6，
∴BE=AB−AE=10−6=4，
设CD=DE=x，则BD=BC−CD=8−x，
∴在Rt△BDE中，由勾股定理可得BE2+DE2=BD2，
即42+x2=(8−x) 2，解得x=3，
∴DE=3，即点D到AB的距离是3．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了勾股定理解直角三角形、角平分线的性质定理、全等三角形的判定与性质等知识，
熟练掌握勾股定理和角平分线的性质定理是解题关键．
考点2勾股定理与数轴
【例2】利用勾股定理可以在数轴上画出表示√20的点，请依据以下思路完成画图，并保留画图痕迹：
第一步：（计算）尝试满足√20=√a2+b2，使其中a，b都为正整数，你取的正整数a＝ 4 ，b＝ 2；
第二步：（画长为√20的线段）以第一步中你所取的正整数a，b为两条直角边长画Rt△OEF，使O为
原点，点E落在数轴的正半轴上，∠OEF＝90°，则斜边OF的长即为√20．
请在下面的数轴上画图：（第二步不要求尺规作图，不要求写画法）
第三步：（画表示√20的点）在下面的数轴上画出表示√20的点M，并描述第三步的画图步骤： 以原
点为圆心， OF 为半径画弧交数轴的正半轴于点 M ，则点 M 为所作 ．
【分析】第一步：利用实数的运算可确定a和b的值；
第二步：4对应的点为E点，过点E作数轴的垂线，再截取EF＝2，然后连接OF，则OF=√20；
第三步：如图，在数轴的正半轴上截取OM＝OF即可．
【解析】第一步：a＝4，b＝2；
第二步：如图，OF为所作；
第三步：如图，以原点为圆心，OF为半径画弧交数轴的正半轴于点M，则点M为所作．
故答案为4，2；以原点为圆心，OF为半径画弧交数轴的正半轴于点M，则点M为所作．
【变式训练】
4．（2023秋·河北邢台·八年级统考期末）如图，长方形ABCD的边AD在数轴上，若点A与数轴上表示数
−1的点重合，点D与数轴上表示数−4的点重合，AB=1，以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧与
数轴负半轴交于一点E，则点E表示的数为（ ）
A．−√10 B．1−√10 C．√10−1 D．−1−√10
【答案】D
【分析】根据勾股定理计算出AC的长度，进而求得该点与点A的距离，再根据点A表示的数为−1，可得
该点表示的数．【详解】解：∵在长方形ABCD中，AD=−1−(−4)=3，AB=CD=1，
∴AC=√AD2+CD2=√32+12=√10，
则点A到该交点的距离为√10，
∵点A表示的数为−1，
∴该点表示的数为：−1−√10，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，解决本题的关键是掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，
两条直角边长的平方和一定等于斜边长的平方．
5．（2023秋·江苏南通·八年级校联考期末）如图，长方形ABCD的顶点A，B在数轴上，点A表示－1，
AB=3，AD=1．若以点A为圆心，对角线AC长为半径作弧，交数轴正半轴于点M，则点M所表示的数
为（ ）
A．√10−1 B．√10 C．√10+1 D．√10+2
【答案】A
【分析】先利用勾股定理求出AC，根据AC=AM，求出OM，由此即可解决问题．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，
∵AB=3,AD=BC=1，
∴AC=√AB2+BC2=√32+12=√10，
∵AM=AC=√10,OA=1，
∴OM=AM−OA=√10−1，
∴点M表示点数为√10−1．
故选A．
【点睛】本题考查实数与数轴、勾股定理等知识，解题的关键是灵活应用勾股定理求出AC,AM的长．
6．（2022秋·辽宁阜新·八年级校考期中）如图，Rt△OAB的直角边OA的长为2，直角边AB的长为1，
OA在x轴上，在OB上截取BC=BA，以原点O为圆心，OC长为半径画弧，交x轴的正半轴于点P，则
OP中点的横坐标是（ ）√5−1 √3−1
A． B． C．√5−2 D．√3−1
2 2
【答案】A
【分析】利用勾股定理得出OB=√5，进而求出OC=OP=√5−1，即可得出OP中点的横坐标．
【详解】解：∵AO=2，AB=1，
∴OB=√5，
∵BC=BA=1，
∴OC=OP=√5−1，
√5−1
∴OP中点的横坐标是： ．
2
故选：A．
【点睛】此题主要考查了勾股定理以及坐标，根据题意得出OP的长是解题关键．
考点3勾股定理与网格问题
【例3】如图，正方形网格中每个小正方形边长都是1，小正方形的顶点称为格点，在正方形网格中分别画
出下列图形：
（1）在网格中画出长为√5的线段AB．
（2）在网格中画出一个腰长为√10、面积为3的等腰△DEF．
【分析】（1）根据勾股定理可得直角边长为2和1的直角三角形斜边长为√5；
（2）根据勾股定理可得直角边长为3和1的直角三角形斜边长为√10，再根据面积为3确定△DEF．
【解析】（1）如图所示：线段AB即为所求；（2）△DEF即为所求．
【变式训练】
7．（2023秋·陕西西安·八年级统考期末）如图，△ABC的顶点A，B，C在边长为1的正方形网格的格点
上，则BC边上的高为（ ）
√13 4√5 √30 8√5
A． B． C． D．
2 5 2 5
【答案】B
【分析】求出△ABC的面积，根据勾股定理求出BC长，利用面积公式求解即可．
1 1 1
【详解】解：∵S =3×4− ×2×3− ×2×1− ×2×4=4，
△ABC 2 2 2
又∵BC=√22+42=2√5，
2×4 4√5
∴BC边长的高为： = ，故B正确．
2√5 5
故选：B．
【点睛】本题主要考查勾股定理和三角形面积公式，解题关键是会用三角形面积公式求高，利用勾股定理
求出边长．
8．（2023春·八年级课时练习）如图是3×3的正方形网格，每一个小正方形的边长为1．关于图中的正方
形ABCD的面积S，三人的说法如下：
甲：要求面积S的值，必须先求出正方形ABCD的边长才行．
乙：正方形ABCD的边长是√5．丙：正方形ABCD的对角线长m的值介于整数3和4之间．
下列判断正确的是（ ）
A．甲、乙、丙都对 B．甲和乙对 C．甲、乙、丙都不对D．乙和丙对
【答案】D
【分析】如图，根据大正方形EFGH的面积减去4个Rt△ABE的面积即可得到正方形ABCD的面积，即
可判断甲；在Rt△ABE中，根据勾股定理可得到AB的长度，即可判断乙；在Rt△ACM 中，根据勾股定
理可得到AC的长度，即可判断丙．
【详解】解：如图所示，
正方形ABCD的面积等于正方形EFGH的面积减去4个Rt△ABE的面积，故可不用求出正方形的边长，
故甲不正确；
在Rt△ABE中，
AB=√AE2+EB2=√12+22=√5，故乙正确；
在Rt△ACM中，
AC=√AM2+MC2=√32+12=√10，
故m=√10，
∵3<√10<4，
∴30)可以看成直角边分别为a、
8，结果为斜边长度，利用此原理解决问题：已知a+b=15(a>0,b>0)，计算√a2+9+√b2+25的最小值
为（ ）
A．15 B．16 C．17 D．18
【答案】C
【分析】构造Rt△ABC,Rt△CDE，使∠B=∠D=90°,BC=b,CD=a,AB=5,DE=3，则，可得当点A，C，E三点共线时， 的值最小，即 的值最小，
BC+CD=a+b=15 AC+CE √a2+9+√b2+25
最小值等于AE的长，然后过点E作EF⊥AB交AB延长线于点F，根据勾股定理，即可求解．
【详解】解：如图，构造Rt△ABC,Rt△CDE，使∠B=∠D=90°,BC=b,CD=a,AB=5,DE=3，则
BC+CD=a+b=15，
∴CE=√a2+9,AC=√b2+25，
∴当点A，C，E三点共线时，AC+CE的值最小，即√a2+9+√b2+25的值最小，最小值等于AE的长，
过点E作EF⊥AB交AB延长线于点F，则BF∥DE,BD∥EF，
∴BF=DE=3,EF=BD=15，
∴AE=√AF2+EF2=√(5+3) 2+152=17，
∴√a2+9+√b2+25的最小值为17．
故选：C
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，平行线的性质，根据题意灵活构造出直角三角形是解题的关键．
17．（2023春·八年级单元测试）如图，有一个圆柱，底面圆的周长为16πcm，高BC=12πcm，P为BC
的中点，一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱的表面爬到P点的最短距离为（ ）
A．9πcm B．10πcm C．11πcm D．12πcm
【答案】B
【分析】先把圆柱的侧面展开，利用两点之间线段最短求解．
【详解】解：把圆柱的侧面展开如图：则：AB=8πcm，BP=6πcm，
在Rt△ABP中，AP=√AB2+BP2=√(8π) 2+(6π) 2=10πcm，
故选：B．
【点睛】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，勾股定理的应用是解题的关键．
18．（2022秋·福建泉州·八年级统考期末）如图所示，将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm
的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度ℎ cm，则h的取值范围是（ ）
A．ℎ≤17cm B．ℎ≥8cm
C．15cm≤ℎ≤16cm D．7cm≤ℎ≤16cm
【答案】D
【分析】当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短，当筷子的底端在D点时，筷子露在外面
的长度最长，然后分别利用已知条件根据勾股定理即可求出ℎ的取值范围．
【详解】解：如图，当筷子的底端在D点时，筷子露在外面的长度最长，
∴ℎ =24−8=16cm，
当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短，
在Rt△ABD中，AD=15，BD=8，
∴AB=√AD2+BD2=17，
此时ℎ =24−17=7cm，
所以ℎ取值范围是7cm≤ℎ≤16cm，
故选：D．【点睛】本题考查正确运用勾股定理，善于观察题目的信息是解题的关键．
【考点7】勾股定理与弦图问题
【例7】（2022秋•广饶县校级期末）如图①是美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形．已知每个直
角三角形较长的直角边为a，较短的直角边为b，斜边长为c．如图②，现将这四个全等的直角三角形
紧密拼接，形成飞镖状，且外围轮廓（实线）的周长为24，OC＝3，则该飞镖状图案的面积（ ）
A．6 B．12 C．16 D．24
【分析】根据飞镖状图案的周长求出AB+AC的长，在直角三角形AOB中，利用勾股定理求出AC的长，
进而确定出OA的长，求出三角形AOB面积，即可确定出所求．
【解答】解：根据题意得：OB＝OC＝3，4（AB+AC）＝24，即AB+AC＝6，
在Rt△AOB中，根据勾股定理得：AB2＝OA2+OB2，即（6﹣AC）2＝32+（3+AC）2，
解得：AC＝1，
∴OA＝3+1＝4，
∴ ，
∴该飞镖状图案的面积＝4S△AOB ＝24，
故选：D．
【变式训练】
19．（2023秋·河南南阳·八年级统考期末）如图是“赵爽弦图”，由4个全等的直角三角形拼成的图形，
若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，设直角三角形较长直角边为b，较短直角边为a，则a＋b
的值是（ ）A．6 B．5 C．√19 D．4
【答案】B
【分析】根据勾股定理可以求得a2+b2等于大正方形的面积，然后求四个直角三角形的面积，即可得到ab
的值，然后根据(a+b) 2=a2+2ab+b2即可求解．
【详解】解：因为大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，
1
所以一个小三角形的面积是 ×(13−1)=3，三角形的斜边为√13，
4
1
所以 ab=3，a2+b2=13，
2
所以(a+b) 2=a2+b2+2ab=25，
所以a+b=5．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了勾股定理、完全平方式等知识点，正确根据图形的关系求得a2+b2和ab的值是解
答本题的关键．
20．（2022秋·陕西西安·八年级校考阶段练习）如图，这是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的
直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S 、S 、S ．若
1 2 3
S +S +S =2022，则S 的值是（ ）
1 2 3 2
A．672 B．673 C．674 D．675
【答案】C
【分析】根据正方形的面积和勾股定理即可求解．
【详解】解：设全等的直角三角形的两条直角边为a、b且a>b，
由题意可知：
S =(a+b) 2，S =a2+b2，S =(a−b) 2 ，
1 2 3∵S +S +S =2022，即(a+b) 2+a2+b2+(a−b) 2=2022，
1 2 3
∴3(a2+b2 )=2022，
∴3S =2022，
2
解得：S = 674．
2
故选：C．
【点睛】本题考查了正方形的面积、勾股定理，解决本题的关键是随着正方形的边长的变化表示面积．
21．（2023秋·福建福州·八年级福建省福州第一中学校考期末）某大会会标如图所示，它是由相同的直角
三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角
形中较长的直角边为a，较短的直角边为b，则(a+b) 2的值（ ）
A．13 B．19 C．25 D．169
【答案】C
【分析】大正方形的面积是13求得a2+b2=13，结合小正方形的面积是1求出阴影部分面积即ab=6，将
(a+b) 2变形代入求解即可．
【详解】解：直角三角形中较长的直角边为a，较短的直角边为b，
故斜边长为:√a2+b2
即大正方形边长为:√a2+b2
大正方形的面积是13，小正方形的面积是1
∴a2+b2=13
阴影部分的面积为：13−1=12
1
4× ab=12
2
即ab=6∴(a+b) 2=a2+b2+2ab=13+12=25
故选：C．
【点睛】本题是以弦图为背景的计算题，考查了勾股定理，图形的面积，关键是用a、b表示面积．
【考点8】勾股定理的逆定理
【例8】（2022秋•南召县期末）在如图所示的网格中，小正方形的边长均为 1，△ABC的顶点A，B，C
均在正方形格点上，则下列结论错误的是（ ）
A．AB2＝20 B．∠BAC＝90°
C．S△ABC ＝10 D．点A到直线BC的距离是2
【分析】根据题意和题目中的数据，利用勾股定理，可以得到 AB、BC、AC的值，然后即可判断各个
选项中的结论是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：由题意可得，
AB＝ ＝2 ，，即AB2＝20，故选项A正确，不符合题意；
AC＝ ＝ ，
BC＝ ＝5，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，故选项B正确，不符合题意；
∴S△ABC ＝ AB•AC＝5，故选项C错误，符合题意；
过点A作AD⊥BC于点D，则 BC•AD＝ ×5AD＝5，
解得AD＝2，
即点A到直线BC的距离是2，故选项D正确，不符合题意；
故选：C．
【变式训练】
22．（2023秋·福建泉州·八年级统考期末）在△ABC中，∠A，∠B，∠C，的对边分别是a，b，c，下
列条件中，不能判断△ABC为直角三角形的是（ ）
A．a=3，b=4，c=5， B．a2=b2−c2
C．∠A:∠B:∠C=1:1:2 D．∠A+∠B=80°
【答案】D
【分析】根据所给的条件，结合勾股定理逆定理、三角形内角和定理逐项判断即可作答．
【详解】∵ a=3，b=4，c=5，
∴a2+b2=c2．
∴△ABC是直角三角形．
故A选项不符合题意；
∵a2=b2−c2，
即a2+c2=b2，
∴△ABC是直角三角形．
故B选项不符合题意；
∵∠A:∠B:∠C=1:1:2，∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠A=45°=∠B，∠C=90°，
∴△ABC是直角三角形．
故C选项不符合题意；
∵∠A+∠B=80°，∠A+∠B+∠C=180°，∴∠C=100°，
∴△ABC不是直角三角形，
故D选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了直角三角形的判定，涉及勾股定理的逆定理、三角形的内角和等知识，熟练掌握知识
点是解题的关键．
23．（2022秋·河南洛阳·八年级统考期末）下列数据中，能判定△ABC是直角三角形的是（ ）
A．AB=2，BC=3，AC=4 B．AB=7，CB=8，AC=9
C．AB=1，BC=√2，AC=√3 D．AB=6，CB=8，AC=11
【答案】C
【分析】根据勾股定理的逆定理解题即可．
【详解】A. AB2+BC2=4+9=13，AC2=16，AB2+BC2≠AC2，不符合题意；
B. AB2+BC2=49+64=113，AC2=81，AB2+BC2≠AC2，不符合题意；
C. AB2+BC2=1+2=3，AC2=3，AB2+BC2=AC2，符合题意；
D. AB2+BC2=36+64=100，AC2=121，AB2+BC2≠AC2，不符合题意；
只有C选项符合题意，
故选C．
【点睛】本题考查勾股定理的逆定理.熟练掌握勾股定理的逆定理并正确计算是解题的关键．
24．（2023春·全国·八年级专题练习）古埃及人曾经用如图所示的方法画直角：把一根长绳打上等距离的
13个结，然后以3个结间距，4个结间距，5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一角
便是直角，这样做的道理是（ ）
A．直角三角形两个锐角互余
B．三角形内角和等于180°
C．三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边D．如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形
【答案】D
【分析】根据勾股定理逆定理解题即可得到答案．
【详解】设相邻两个结点的距离为m，则此三角形三边的长分别为3m，4m，5m，
∵(3m) 2+(4m) 2=(5m) 2，
∴以3m，4m，5m为边长的三角形是直角三角形．（如果三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，
那么这个三角形是直角三角形）
故选：D
【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，仔细阅读题目所给内容，得到解题需要的信息是解题的关键．
【考点9】勾股定理的计算问题
【例9】．（2022秋•宛城区校级期末）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，AC＝
3cm，动点P从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度移动，设运动的时间为ts．
（1）求BC边的长；
（2）当△ABP为直角三角形时，求t的值．
【分析】（1）利用勾股定理求解即可得；
（2）先求出BP＝2tcm，再分①当∠APB＝90°，②当∠BAP＝90°两种情况，利用勾股定理求解即可得．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，
由勾股定理得 ；
（2）由题意知BP＝2tcm．
①当∠APB＝90°时，如图，点P与点C重合，BP＝BC＝4cm，∴t＝4÷2＝2；
②当∠BAP＝90°时，如图2，CP＝BP﹣BC＝（2t﹣4）cm，AC＝3cm．
在Rt△ACP中，AP2＝AC2+CP2＝32+（2t﹣4）2，
在Rt△BAP中，AP2＝BP2﹣AB2＝（2t）2﹣52，
因此32+（2t﹣4）2＝（2t）2﹣52，
解得 ．
综上所述，当△ABP为直角三角形时，t的值为2或 ．
【变式训练】
25．（2022秋·福建泉州·八年级统考期末）如图，BD是四边形ABCD的一条对角线．
(1)作BD的垂直平分线EF，分别交AD，BC于点E．F，垂足为点O（要求用尺规作图，保留作图痕迹．
不要求写作法）；
(2)若∠C=90°，BC=8，CD=4，求BF的长．
【答案】(1)见解析
(2)5【分析】（1）分别以B、D为圆心，以大于BD一半的长为半径上下画弧，上下各有一个交点，这两点的
连线即为所求；
（2）连接FD，根据垂直平分线的性质得出BF=DF，设BF=x，则CF=DF=8−x，利用勾股定理求解
即可．
【详解】（1）解：如图所示：直线EF即为所求；
（2）证明：连接FD，
∵EF垂直平分线段BD，
∴BF=DF，
∵BC=8，CD=4，∠C=90°
∴设BF=x，则CF=DF=8−x，
∵CF2+CD2=DF2即(8−x) 2+42=x2
解得：x=5，
∴BF的长为5．
【点睛】本题综合考查了如何作线段的垂直平分线、矩形的性质、线段的垂直平分线的性质、勾股定理解
三角形等，熟记作图步骤，灵活运用线段垂直平分线的性质和判定进行线段关系的转化是解题关键．
26．（2023秋·河北邢台·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC，交BC于点D，AB=17，
AC=10．(1)若CD=6，则AD= ，BD= ；
(2)若BC=20，求CD的长．
【答案】(1)8；15
211
(2)
40
【分析】（1）先在Rt△ADC中，由勾股定理求出AD，再在Rt△ADB中，由勾股定理求出BD即可；
（2）由勾股定理得出AB2−BD2=AC2−CD2，即AB2−(BC−CD) 2=AC2−CD2，代入条件计算即
可．
【详解】（1）解：∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
在Rt△ADC中，由勾股定理，得
AD=√AC2−CD2=√102−62=8，
在Rt△ADB中，由勾股定理，得
BD=√AB2−AD2=√172−82=15；
（2）解：在Rt△ADC中，由勾股定理，得
AD2=AC2−CD2，
在Rt△ADB中，由勾股定理，得
AD2=AB2−BD2，
∴AB2−BD2=AC2−CD2，即AB2−(BC−CD) 2=AC2−CD2
∵AB=17，AC=10，BC=20，
∴172−(20−CD) 2=102−CD2，
211
∴CD= ．
40【点睛】本题考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
27．（2023秋·福建三明·八年级统考期末）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点E，F在边AB上，将边
AC沿CE翻折，使点A落在AB上的D点处，再将边CB沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B′处．
(1)求∠ECF的度数；
(2)若CE=4，B′F=1，求线段BC的长；
(3)在（2）的条件下，求△ABC的面积．
【答案】(1)45°
(2)√41
82
(3)
5
1 1
【分析】（1）由折叠可得，∠ACE=∠DCE= ∠ACD，∠BCF=∠B′CF= ∠BCB′ ，再根据
2 2
∠ACB=90°，即可得出∠ECF=45°；
（2）在Rt△BCE中，根据勾股定理可得BC=√BE2+CE2=√41；
（3）设AE=x，则AB=x+5，根据勾股定理可得AE2+CE2=AB2−BC2，即x2+42=(x+5) 2−41，求
16 1 82
得x= ，即可得出S = AB×CE= ．
5 △ABC 2 5
1 1
【详解】（1）由折叠可得，∠ACE=∠DCE= ∠ACD，∠BCF=∠B′CF= ∠BCB′ ，
2 2
又∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCB′=90°，
1
∴∠ECD+∠FCD= ×90°=45°，
2
即∠ECF=45°；180°
（2）由折叠可得，∠DEC=∠AEC= =90°，BF=B′F=1，
2
∵∠ECF=45°，
∴∠EFC=∠ECF=45°，
∴CE=EF=4，
∴BE=4+1＝5，
∴在Rt△BCE中，BC=√BE2+CE2=√41；
（3）结合（2），设AE=x，则AB=x+5，
∵在Rt△ACE中，AC2=AE2+CE2，
在Rt△ABC中，AC2=AB2−BC2，
∴AE2+CE2=AB2−BC2，
即x2+42=(x+5) 2−41，
16
解得x=
5
1 1(16 ) 82
∴S = AB×CE= +5 ×4= ．
△ABC 2 2 5 5
【点睛】本题主要考查折叠的性质及勾股定理的应用，掌握折叠的性质及勾股定理是解题的关键．
【考点10】勾股定理逆定理的应用
【例10】（2022秋•长安区校级期末）如图，在四边形ABCD中，AC⊥BC，AB＝4，BC＝2 ，CD＝1，
AD＝ ．
（1）求AC的长；
（2）求证：AD⊥CD．
【分析】（1）根据垂直定义可得∠ACB＝90°，然后在Rt△ABC中，利用勾股定理进行计算即可解答；
（2）根据勾股定理的逆定理解答即可．
【解答】（1）解：∵AC⊥BC，
∴∠ACB＝90°，
∵AB＝4，BC＝2 ，∴AC＝ ＝ ＝2，
∴AC的长为2；
（2）证明：∵AC＝2，CD＝1，AD＝ ，12+（ ）2＝22，
∴△ACD是直角三角形，
∴AD⊥CD．
【变式训练】
28．（2023秋·福建福州·八年级福建省福州第一中学校考期末）如图，某住宅小区在施工过程中留下了一
块空地，已知AD=4m，CD=3m，∠ADC=90°，AB=13m，BC=12m，小区为美化环境，欲在空地
上铺草坪，求这块空地铺满草坪的面积．
【答案】24m2
【分析】连接AC，根据勾股定理求出AC=√AD2+CD2=√32+42=5(m)，根据勾股定理的逆定理证明
△ABC为直角三角形，分别求出△ABC和△ACD的面积，即可求出结果．
【详解】解：连接AC，如图所示：∵AD=4m，CD=3m，∠ADC=90°，
∴AC=√AD2+CD2=√32+42=5(m)，
∵AB=13m，BC=12m，
∴BC2+AC2=122+52=169=132=AB2，
∴△ABC为直角三角形，
1 1
∴S = ×AC×BC= ×5×12=30(m2)，
△ABC 2 2
1 1
S = ×AD×CD= ×4×3=6(m2)，
△ACD 2 2
∴这块空地铺满草坪的面积为：30−6=24(m2)．
【点睛】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，三角形面积的计算，解题的关键是熟练掌握勾股定理和逆
定理，准确计算．
29．（2022秋·河南洛阳·八年级统考期末）如图，在四边形ABCD中，∠B=90°，AB=BC=2，CD=3，
DA=1，求四边形ABCD的面积．
【答案】2+√2
【分析】连结AC，根据勾股定理计算出AC的长，再由勾股定理的逆定理判定△ACD是直角三角形，进
而利用S =S +S 求得四边形ABCD的面积．
四边形ABCD △ABC △ACD
【详解】连结AC，
在△ABC中，∠B=90°，AB=BC=2，
∴AC2=AB2+BC2=22+22=8，
∵CD=3，DA=1，
∴CD2−DA2=32−12=8=AC2，∴DA⊥AC，
1 1
∴S =S +S = (AB⋅BC+AD⋅AC)= (2×2+2√2×1)=2+√2．
四边形ABCD △ABC △ACD 2 2
答：四边形ABCD的面积为2+√2．
【点睛】本题考查多边形的面积，勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握将不规则图形的面积转化为规则
图形的面积的方法．
30．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，正方形网格的每个小方格边长均为1，△ABC的顶点在格点
上．
(1)判断△ABC的形状，并说明理由；
(2)求△ABC的面积及AC边上的高．
【答案】(1)△ABC为直角三角形，理由见解析；
2
(2)△ABC的面积为13，AC边上的高BD= √65
5
【分析】（1）由勾股定理分别求出AB、BC、AC的长度，再由勾股定理的逆定理证明△ABC为直角三
角形即可；
（2）作AC边上的高BD，利用等面积法即可求解．
【详解】（1）△ABC为直角三角形，理由如下：
∵每个小正方形方格的边长为1，
∴AB=√32+22=√13,BC=√62+42=√52,AC=√82+12=√65，
∴(√13)
2+(√52) 2=(√65) 2
，
即AB2+BC2=AC2，
∴∠ABC=90°，即△ABC为直角三角形；
1
（2）如图，作AC边上的高BD，则△ABC的面积= √65⋅BD，
2∵∠ABC=90°，
1 1 1
∴△ABC的面积= AB⋅BC= √13⋅√52= √13×4×13=13，
2 2 2
1
∴ √65⋅BD=13，
2
26 2
解得：BD= = √65．
√65 5
【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，等面积法，熟练掌握知识点是解题的关键
【考点11】勾股定理与实际问题
【例11】（2022秋•鸡泽县期末）如图，笔直的河流一侧有一旅游地C，河边有两个漂流点AB，其中AB
＝AC，由于某种原因由C到A的路现在已经不通．为方便游客，决定在河边新建一个漂流点H（A、
H、B在一条直线上），并新修一条路CH，测得BC＝5km，CH＝4km，BH＝3km．
（1）CH是否为从旅游地C到河流的最短路线？请通过计算加以说明；
（2）求原来路线AC的长．
【分析】（1）根据勾股定理逆定理判断△BCH是直角三角形，说明CH⊥AB，即可得出答案；
（2）设AC＝xkm，则AH＝（x﹣3）km，根据勾股定理列出关于x的方程，解方程即可．
【解答】解：（1）CH是从旅游地C到河流的最短路线．理由如下：
在△CHB中，
∵CH2+BH2＝42+32＝25，BC2＝25，
∴CH2+BH2＝BC2，
∴△CHB是直角三角形，且∠CHB＝90°，
∴CH⊥AB，∴CH是从旅游地C到河流的最短路线．
（2）设AC＝xkm，则AH＝（x﹣3）km，
在Rt△ACH中，AC2＝AH2+CH2，
即x2＝（x﹣3）2+42，
解得： ，
答：原来路线AC的长为 ．
【变式训练】
31．（2022秋·陕西西安·八年级校考期中）如图，一架长10米的梯子AB，斜靠在竖直的墙上，这时梯子
底端离墙(BO)6米
(1)此时梯子顶端A离地面多少米?
(2)若梯子顶端A下滑3米到C处，那么梯子底端B将向左滑动多少米到D处?
【答案】(1)8米；
(2)(5√3−6)米．
【分析】（1）利用勾股定理可以得出梯子的顶端距离地面的高度．
（2）由（1）可以得出梯子的初始高度，下滑3米后，可得出梯子的顶端距离地面的高度，再次使用勾股
定理即可得出答案．
【详解】（1）解：∵AB=10米，BO=6米，
梯子距离地面的高度AO=√AB2−BO2=8米，
答：此时梯子顶端离地面8米；
（2）解：∵梯子下滑了3米，即梯子距离地面的高度CO=8−3=5米，
∴BD+BO=DO=√CD2−CO2=√102−52=5√3米，∴DB=DO−OB=(5√3−6)米，即下端滑行了(5√3−6)米．
答：梯子底端将向左滑动了(5√3−6)米．
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，熟知勾股定理是解答此题的关键．
32．（2023秋·陕西西安·八年级西安市西光中学校考期末）如图，笔直的公路上A，B两点相距25km，C，
D为两村庄，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，已知DA=15km，CB=10km，现在要在公路的AB段
上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到收购站E的距离相等，则收购站E应建在离A点多远处？
【答案】收购站E应建在离A点10km处．
【分析】根据C，D两村到E站的距离相等，可得DE=CE，再根据DA⊥AB，CB⊥AB，可得
∠A=∠B=90°，再根据勾股定理可得AD2+AE2=BE2+BC2，设AE=x，则BE=AB−AE=(25−x)，
求解方程即可．
【详解】解： ∵使得C，D两村到E站的距离相等．
∴DE=CE，
DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，
∴∠A=∠B=90°，
∴AD2+AE2=DE2，BE2+BC2=CE2，
∴AD2+AE2=BE2+BC2，
设AE=x，则BE=AB−AE=(25−x)，
∵DA=15km，CB=10km，
∴152+x2=(25−x) 2+102，
解得：x=10，
∴收购站E应建在离A点10km处．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，根据勾股定理列方程是解题的关键．
33．（2022秋·广东深圳·八年级统考期末）如图，一个无盖长方体的小杯子放置在桌面上，
AB=BC=6cm，CD=10cm；(1)一只蚂蚁从A点出发，沿小杯子外表面爬到D点，求蚂蚁怎样走最短，最短路程是多少？
(2)为了怕杯子落入灰尘又方便使用，现在需要给杯子盖上盖子，并把一双筷子放进杯子里，请问，筷子的
最大长度是多少？
【答案】(1)如方法一的路线最短，最短路线为2√61cm
(2)筷子的最大长度是2√43cm
【分析】（1）分别讨论将面ABEF和面BCDE展开，将面ABEF和上底面展开两种情况，再利用勾股定
理计算，进而比较即可求解；
（2）当筷子沿AD倾斜放的时候，能够放的最长，利用勾股定理计算即可．
【详解】（1）方法一：将面ABEF和面BCDE展开，如图，
∵AB=BC=6cm，CD=10cm，
∴AC=12cm,∠C=90°，
由勾股定理得AD=√AC2+CD2=√122+102=2√61cm；
方法二：将面ABEF和上底面展开，如图，∵AB=DE=6cm，BE=10cm，
∴DB=16cm,∠B=90°，
由勾股定理得AD=√AB2+BD2=√62+162=2√73cm；
所以，如方法一的路线最短，最短路线为2√61cm；
（2）如图，当筷子沿AD倾斜放的时候，能够放的最长，
∵AB=BC=6cm，CD=10cm，
∴由勾股定理得AC=√AB2+BC2=√62+62=6√2cm，
∴AD=√AC2+CD2=√(6√2) 2+102=2√43cm，
所以，筷子的最大长度是2√43cm．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，准确理解题意，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
【考点12】有关勾股定理的综合问题
【例12】（2022秋•衢江区期中）阅读材料，解答问题：
（1）中国古代数学著作《周髀算经》有着这样的记载：“勾广三，股修四，经隅五”，这句话的意思
是：“如果直角三角形两直角边长为3和4时，那么斜边的长为5．”上述记载说明：在Rt△ABC中，
如果∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，那么a，b，c三者之间的数量关系是： a 2 + b 2 ＝ c 2 ．
（2）如图①，它是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形ABDE，中间部分是一个小正方形
CFGH，请结合图①，证明（1）中的数量关系．
（3）如图②，以Rt△ABC的三条边分别作三个等边三角形，若S ＝15，S ＝7，S ＝14，求出S 的值．
1 2 3 4【分析】（1）根据勾股定理可得a2+b2＝c2；
（2）分别计算出小正方形的面积、直角三角形的面积和大正方形的面积，根据大正方形等于小正方形
加四个直角三角形建立等式即可得到a2+b2＝c2；
（3）分别计算出三个等边三角形的面积，根据 S△ABF ＝S
4
+S
2
+S△ADC ﹣S
1
+S△BCE ﹣S
3
建立等式，利用
a2+b2＝c2进行化简即可得到答案．
【解答】（1）解：如果∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，
那么a2+b2＝c2；
故答案为：a2+b2＝c2
（2）证明：如图所示，
由题意得HC＝a﹣b，
S ＝（a﹣b）2，
HGFC
∵ ，S
ABDE
＝4S△ABC +S
HFFC
，
∴ ，
∴2a•b+a2﹣2a•b+b2＝c2，
∴a2+b2＝c2；
（3）解：如图所示，设BC＝a，AC＝b，AB＝c，∴ ， ， ，
∵S△ABF ＝S
4
+S
2
+S△ADC ﹣S
1
+S△BCE ﹣S
3
，
∴ ，
∵a2+b2＝c2，
∴S ＝S +S ﹣S ，
4 1 3 2
∴S ＝15+14﹣7＝22．
4
【变式训练】
34．（2022秋·吉林长春·八年级校联考期末）【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材第117页的
部分内容．
把两个全等的直角三角形拼成如图所示的形状，使点A、E、D在同一条直线
上，
利用此图的面积表示式证明勾股定理．
(1)请结合图，写出完整的证明过程；
(2)如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=√2，P是射线BC上一点，以AP为直角边在AP边的右侧作△APD，使∠APD=90°，AP=PD．过点D，作DE⊥BC于点E，当DE=2时，则
BD=___________．
【答案】(1)证明见解析
(2)2√5
【分析】（1）先证△BEC是等腰直角三角形，由面积和差关系可得结论；
（2）由等腰直角三角形的性质可求AH=BH=CH=1，证明△APH≌△PDE(AAS)，可得DE=PH=2，
AH=PE=1，再利用勾股定理可求解．
【详解】（1）证明：∵△ABE≌△DEC，
∴∠ABE=∠DEC，
∵∠ABE+∠AEB=90°，
∴∠AEB+∠CED=90°，
∴∠BEC=90°，
∴△BEC是等腰直角三角形，
1
∴S = c2 ，
△BEC 2
∵S =S −2S ，
△BEC 梯形ABCD △ABE
c2 (a+b)(a+b) ab
∴ = −2× ，
2 2 2
∴a2+b2=c2．
（2）如图②，过点A作AH⊥BC于H，
∵△ABC是等腰直角三角形，AB=√2，∴BC=√AB2+AC2=2，
∴AH=BH=CH=1，
∵∠APH+∠PAH=90°=∠APH+∠DPE，
∴∠PAH=∠DPE，
在△APH和△PDE中，
¿，
∴△APH≌△PDE(AAS)，而DE=2，
∴DE=PH=2，AH=PE=1，
∴BE=BH+HP+PE=4，
∴BD=BD=√BE2+DE2=√16+4=2√5，
故答案为：2√5．
【点睛】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质与判定，灵活运用这些
性质解决问题是解题的关键．
35．（2022秋·山西忻州·八年级统考期末）综合与实践
美丽的弦图中蕴含着四个全等的直角三角形．
(1)如图1，弦图中包含了一大一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a，较短的直角边为
b，斜边长为c，结合图1，试验证勾股定理；
(2)如图2，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓（实线）的周长为24，OC=3，
求该飞镖状图案的面积；
(3)如图3，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT
的面积分别为S ,S ,S ，若S +S +S =42，求S 的值．
1 2 3 1 2 3 2
【答案】(1)见解析
(2)该飞镖状图案的面积是24
(3)S =14
2【分析】（1）通过图中小正方形面积证明勾股定理；
（2）可设AC=x，根据勾股定理列出方程可求x，再根据直角三角形面积公式计算即可求解；
（3）根据图形的特征得出四边形MNKT的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y，从而用
x，y表示出S ,S ,S ，得出答案即可．
1 2 3
1
【详解】（1）S=(a−b) 2=a2−2ab+b2，且S=c2−4× ab=c2−2ab，
2
即b2−2ab+a2=c2−2ab，
则a2+b2=c2．
（2）24÷4=6，
设AC=x，依题意有
(x+3) 2+32=(6−x) 2，
解得x=1，
1
×(3+1)×3×4
2
1
= ×4×3×4
2
=24．
故该飞镖状图案的面积是24．
（3）将四边形MNKT的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y，
∵正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S ,S ,S ，S +S +S =42，
1 2 3 1 2 3
由图得出S =8 y+x,S =4 y+x,S =x，
1 2 3
∴S +S +S =3x+12y=42，
1 2 3
∴x+4 y=14，
∴S =x+4 y=14．
2
【点睛】本题考查了勾股定理的证明，本题是用数形结合来证明勾股定理，锻炼了同学们的数形结合的思
想方法．（3）考查了图形面积关系，根据已知得出用x，y表示出S ,S ,S ，再利用S +S +S =42求出
1 2 3 1 2 3
是解决问题的关键．
36．（2022秋·八年级校考阶段练习）如图，已知△ACB和△ECF中，∠ACB=∠ECF=90°，AC=BC，
CE=CF，连接AE．BF交于点O．(1)求证：△ACE≌△BCF；
(2)求∠AOB的度数；
(3)连接BE，AF，求证BE2+AF2=2(AC2+CE2)
【答案】(1)见解析
(2)90°
(3)见解析
【分析】（1）根据SAS证明△ACE≌△BCF即可．
（2）设EC交BF于点K．利用全等三角形的性质解决问题即可．
（3）连接BE，利用勾股定理解决问题即可．
【详解】（1）解：证明：∵∠ACB=∠ECF=90°，
∴∠ACE=∠BCF，
∵CA=CB，CE=CF，
∴△ACE≌△BCF(SAS)．
（2）设EC交BF于点K．
∵△ACE≌△BCF，
∴∠OEK=∠KFC，
∵∠CFK+∠CKF=90°，∠CKF=∠OKE，
∴∠OEK+∠OKE=90°，
∴∠EOK=90°，∴∠AOB=90°．
（3）证明：连接BE．
∵∠BOE=∠AOF=90°，
∴BE2=OB2+OE2，AF2=OA2+OF2，
∵2(AC2+EC2)=AB2+EF2，
∴BE2+AF2=OB2+OE2+OA2+OF2=AB2+EF2=2(AC2+CE2)．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，
属于中考常考题型．
