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第十七章 勾股定理
第2课时17.1勾股定理
一、温故知新（导）
你听过《截竿入城》的故事吗？
鲁国有个拿着长竿子进城门的人，起初竖立起来拿着它，但不能进入城门，横过来拿着它，也
不能进入城门，他实在是想不出什么办法来了。不久，有个老人来到这里说：“我虽然不是圣贤，
只不过见到的事情多了，为什么不用锯子将长竿从中截断后进入城门呢？”于是那个鲁国人依从了
老人的办法将长竿子截断了。你有没有办法？
这节课我们就来学习用勾股定理来解决这一实际问题，下面我们来看看今天的学习目标和重难点.
学习目标
1.会运用勾股定理求线段长及解决简单的实际问题.
2.能从实际问题中抽象出直角三角形这一几何模型，利用勾股定理建立已知边与未知边长度之间的
联系，并进一步求出未知边长.
学习重难点
重点：熟练运用会用勾股定理解决简单实际问题；
难点：勾股定理的灵活应用.
二、自我挑战（思）
1、一个门框的尺寸如图所示：一块板长3米，宽2.2米的长方形薄板能否从门框内通过?为什么?
思考：
（1）木板能横着或竖着从门框通过吗？
不能.
（2）那么木板能斜着从门框通过吗？
需要比较门框对角线AC的长度与木板宽的大小
若AC≥2.2米，则可通过，反之，则不可通过.
2、你能用已学的知识解决上面的问题吗？
解：在Rt△ABC中，根据勾股定理，
AC2=AB2+BC2=12+22=5．AC≈2.24米．
因为AC大于木板的宽2.2 m，所以木板能从门框内通过．
三、互动质疑（议、展）
1、在上述问题中，若木板长3 m，宽2.5 m能通过吗？
AC小于木板的宽，不能通过.
2、归纳：利用勾股定理解决实际问题的一般步骤和思路
步骤：
（1）从实际问题中抽象出几何图形；
（2）确定所求线段所在的直角三角形；
（3）找准直角边和斜边，根据勾股定理建立等量关系；
（4）求得结果，解决实际问题.
思路：
3、实例：
例2、如图17.1-8，一架2.6 m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO为2.4 m．如果梯子
的顶端A沿墙下滑0.5 m，那么梯子底端B也外移0.5 m吗？
解：可以看出，BD=OD–OB.
在Rt AOB中，根据勾股定理，
OB2=△AB2–OA2=2.62–2.42=1，
OB=1.
在Rt△COD中，根据勾股定理，
OD2=CD2–OC2=2.62–(2.4–0.5)2=3.15.
OD= ，
BD=OD–OB≈1.77–1=0.77.
所以梯子的顶端沿墙下滑0.5 m时，梯子底端并不是外移0.5 m，而是外移0.77 m.四、清点战果（评）
今天你是否完成了学习目标？你的困惑解决了没？
五、一战成名（检）
1、如图，有一块长方形花圃，有少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，
他们仅仅少走了（ ）m的路，却踩伤了花草．
A．5 B．4 C．3 D．2
1、解：在Rt△ABC中，AC=2，BC=4，
∴AB=√AC2+BC2=√52+122=13（m），
则AC+BC-AB=5+12-13=4（m），
故选：B．
2、如图，有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢
飞到另一棵树的树梢，则它至少要飞行（ ）米．
A．6 B．8 C．10 D．12
2、解：两棵树的高度差为8-2=6m,间距为8m,
根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离=√82+62
=10m.
故选：C．
3、小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多 1m,当他把绳子的下端拉开
5m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为（ ）
A．13m B．12m C．10m D．8m
3、解：根据题意，画出图形，BC=5m,如下图：
设旗杆的高为：x m,则绳子AC的长为（x+1）m,
在Rt△ABC中，
由勾股定理得：BC2+AB2=AC2，
即52+x2=（x+1）2，解得：x=12，
即旗杆的高为12m.
故选：B．
4、在《九章算术》中有一个问题（如图）：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高
几何？它的意思是：一根竹子原高一丈（10尺），中部一处折断，竹梢触地面处离竹根 3尺，
试问折断处离地面 尺．
4、解：设折断处离地面x尺，根据题意可得：
x2+32=（10-x）2，
解得：x=4.55，
答：折断处离地面4.55尺．
故答案为：4.55．
5、《算法统宗》记载古人丈量田地的诗：“昨日丈量地回，记得长步整三十．广斜相并五十
步，不知几亩及分厘．”其大意是：昨天丈量了田地回到家，记得长方形田的长为 30步，宽
和对角线之和为50步．不知该田有几亩？请我帮他算一算，该田有 亩（1亩=240平方
步）．
5、解：设该矩形的宽为x步，则对角线为（50-x）步，
由勾股定理，得302+x2=（50-x）2，
解得x=16
故该矩形的面积=30×16=480（平方步），
480平方步=2亩．
故答案是：2．
6、根据规定，小汽车在城市街道上行驶的速度不得超过 70km/h.如图，一辆小汽车在一条城
市街道上直行，某一时刻刚好行驶到路边车速检测仪 A处的正前方30m的C处，过了2s后，
测得小汽车与车速检测仪间的距离为 50m.这辆小汽车超速了吗？
6、解：在Rt△ABC中，AC=30m,AB=50m；
根据勾股定理可得：
BC= =40（m），
√AB2−AC2
40
∴小汽车的速度为v= =20（m/s）=20×3.6（km/h）=72（km/h）；
2
∵72（km/h）＞70（km/h）；
∴这辆小汽车超速行驶．
答：这辆小汽车超速了．六、用
（一）必做题
1、如图，将长为8cm的橡皮筋放置在水平面上，固定两端 A和B，然后把中点C垂直向上拉
升3cm至点D，则橡皮筋被拉长了（ ）
A．2cm B．3cm C．4cm D．6cm
1
1、解：Rt△ACD中，AC= AB=4cm,CD=3cm；
2
根据勾股定理，得：AD= =5（cm）；
√AC2+DC2
∴AD+BD-AB=2AD-AB=10-8=2（cm）；
故橡皮筋被拉长了2cm.
故选：A．
2、如图，一棵大树被大风刮断后，折断处离地面 6m,树的顶端离树根8m,则这棵树在折断之
前的高度是（ ）
A．18m B．16m C．14m D．24m
2、解：由题意得AC=6米，AB=8米，
∵∠A=90°，
∴CB2=AC2+BA2，
∴CB＝ ＝ ＝10米），
√AC2+BA2 √62+82
∴AC+CB=16（米），
∴这棵树在折断之前的高度是 16米．
故选：B．
3、将一根24cm长的筷子，置于底面直径为 15cm,高8cm的圆柱形水杯中，如图所示，设筷
子露在杯子外面的长度为h cm,则h不可以是（ ）
A．7 B．15 C．16 D．17
3、解：如图1所示，当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长，∴h =24-8=16，
最大
如图2所示，当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短，
在Rt△ABD中，AD=15cm,BD=8cm,
∴AB=√AD2+BD2=17（cm），
∴此时h =24-17=7，
最小
∴h的取值范围是7≤h≤16．
故选：D．
4、医院入口的正上方A处装有红外线激光测温仪（如图所示），测温仪离地面的距离
AB=2.2米，当人体进入感应范围内时，测温仪就会自动测沮并报告人体体温．当身高为1.7
米的市民CD正对门缓慢走到离门1.2米的地方时（即BC=1.2米），测温仪有动显示体温，
则人头顶离测温仪的距离AD等于 米．
4、解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，
∵AB=2.2米，BE=CD=1.7米，ED=BC=1.2米，
∴AE=AB-BE=2.2-1.7=0.5（米），
在Rt△ADE中，由勾股定理得到：AD= = =1.3（米），
√AE2+DE2 √0.52+1.22
故答案为：1.3．
5、如图，一架长25米的梯子，斜靠在竖直的墙上，这时梯子底端离墙7米．
（1）此时梯子顶端离地面多少米？
（2）若梯子顶端下滑4米，那么梯子底端将向左滑动多少米？
5、解：（1）∵AB=25米，BE=7米，
梯子距离地面的高度AE= =24米．
√252−72
答：此时梯子顶端离地面24米；
（2）∵梯子下滑了4米，即梯子距离地面的高度CE=（24-4）=20米，
∴BD+BE=DE= = =15，
√CD2−CE2 √252−202
∴DB=15-7=8（米），即下端滑行了8米．
答：梯子底端将向左滑动了8米．
（二）选做题
6、如图是一个滑梯的示意图，若将滑道 AC 水平放置，则刚好与 AB 一样长．已知滑梯的高
度CE=DB=3m,CD=1m,求滑道AC的长．
6、解：设AC的长为x米，
∵AC=AB，
∴AB=AC=x米，
∵EB=CD=1米，
∴AE=（x-1）米，
在Rt△ACE中，
AC2=CE2+AE2，
即：x2=32+（x-1）2，
解得：x=5，
∴滑道AC的长为5米．
7、春天到了，奇奇和妙妙一同去春游．如图，有一座景观桥 AB，他俩一同坐在离桥头A100m 的凉亭 D处，准备从桥的不同方向到达景点 C．奇奇先走到桥尾 B到岸边后再坐船到
景点 C，妙妙先走到桥头 A到岸边，再沿与桥 AB 垂直的小路 AC 走200m 到达景点 C，若距
离均以直线计算，且两人所经过的距离相等，请利用所学知识计算桥AB的长是多少？
7、解：设桥AB长为x m,则BD=（x-100）m,由题可知，AD+AC=BD+BC，
∴100+200=x-100+bc,
∴BC=（400-x）m,
∵△ABC为直角三角形，
∴AB2+AC2=BC2，
∴x2+2002=（400-x）2，
解得：x=150，
答：桥AB长150m.
