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2022-2023学年八年级数学下学期复习备考高分秘籍【人教版】
专题1.1二次根式精讲精练（10大易错题型深度导练）
【目标导航】
【知识梳理】
1.二次根式的定义
形如 的式子叫做二次根式，“ ”称为二次根号；
判断一个式子是二次根式，需要满足以下条件：（1）根指数必须是2；（2）被开方数为 ．
2.二次根式有无意义的条件：
（1）如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须
是 ．
（2）如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证 ．
3.二次根式的性质：
（1） ， （双重非负性）．
（2） （任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）．
应用：在实数范围内分解因式：
（3）
（4） = · （a≥0，b≥0）（5） = （a≥0，b>0）
4.二次根式的化简：
（1）二次根式化简的步骤：
①把被开方数分解因式；
②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；
③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数 2，所得结果为最简二次
根式或整式．
（2）最简二次根式的条件：
被开方数 ；被开方数中不含 ．
5.二次根式的运算：
（1）二次根式的乘法 · ＝ ．（a≥0，b≥0）
文字语言：二次根式与二次根式相乘，等于各个被开数的 .
推广：
（2）二次根式的除法： = （a≥0，b>0）
文字语言：二次根式与二次根式相乘，等于各个被开数的 .
（3）二次根式的加减：二次根式相加减，先把各个二次根式化成 ，再把被开方数相同的二次根
式进行 ，合并方法为系数 ，根式 ．
二次根式的加减步骤：
①如果有括号，根据去括号法则去掉括号．
②把不是最简二次根式的二次根式进行化简．
③合并被开方数相同的二次根式．
6.二次根式的混合运算：
（1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．
①与实数的混合运算一致，运算顺序 ，最后 ，有括号的先算括号里面的．
②在运算中每个根式可以看做是一个单项式，多个不同类的二次根式的和可以看作多项式．
（2）二次根式的运算结果要化为 ．
（3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，
往往能事半功倍．
7.二次根式的应用：
把二次根式的运算与现实生活相联系，体现了所学知识之间的联系，感受所学知识的整体性，不断丰富解
决问题的策略，提高解决问题的能力．二次根式的应用主要是在解决实际问题的过程中用到有关二次根式
的概念、性质和运算的方法．
【典例剖析】&【变式训练】
考点1 二次根式的定义
【例1】（2022春•会东县校级月考）下列各式中，是二次根式的有（ ）（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） ；（6） ；（7）
√6 √3.14−π √x2+1 √3−27 √x2+2x+2 √|x|
11
√−2(2x−1) 2；（8）√11+2x(x＜− )．
2
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
【变式训练】
【变式1.1】（2022秋•德惠市期末）下列各式是二次根式的是（ ）
A．√2 B．√m C．√−16 D．√327
√1
【变式1.2】（2022春•利州区校级月考）已知下列各式：− ，√x−3，√a2+3，√0，√(−1) 2，其中二
2
次根式有（ ）个
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式1.3】（2022秋•高陵区期中）二次根式√a中a的最小值为（ ）
A．0 B．1 C．﹣1 D．2
考点2 二次根式的有意义的条件
√x−2
【例2】（2022秋•新华区校级期末）代数式 在实数范围内有意义，则x的值可能为（ ）
x+2
A．2 B．0 C．﹣2 D．﹣1
【变式训练】
【变式2.1】（2022秋•岳麓区校级期末）要使二次根式√5x−2在实数范围内有意义，则x的取值范围是
（ ）
2 2 2 2
A．x= B．x≠ C．x≥ D．x≤
5 5 5 5
【变式2.2】（2022秋•双牌县期末）当x＝2时，下列各式中，没有意义的是（ ）
A． B． C． D．
√x−2 √2−x √x2−2 √2−x2
【变式2.3】（2022春•利州区校级月考）若y=√x−2−√2−x−4，则x﹣y的值为（ ）A．﹣2 B．2 C．4 D．6
考点3 二次根式的性质与化简
【例3】（2022秋•市北区校级期末）下列各式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
√9=±3 √x2=x √3 (−x) 3=−x √(−x) 2=−x
【变式3.1】（2022秋•海港区期末）若 ，则x的取值范围是（ ）
√(x−3) 2=x−3
A．x＞3 B．x≥3 C．x＜3 D．x≤3
3
【变式3.2】（2020秋•弥勒市校级月考）当x=− 时，√x2的值为（ ）
4
3 3 3
A． B．− C．± D．√a2+1
4 4 4
【变式3.3】（2022秋•安岳县期末）已知实数a在数轴上的位置如图所示，则化简：
|a−2|+√(a−4) 2
的结果为（ ）
A．2 B．﹣2 C．2a﹣6 D．﹣2a+6考点4 最简二次根式与同类二次根式
【例4】（2022秋•漳州期末）下列各式中，属于最简二次根式的是（ ）
√1
A．√3 B．√4 C． D．√8
2
【变式训练】
【变式4.1】（2022秋•娄底期末）下列根式不是最简二次根式的是（ ）
√2b √ y
A．√a+1 B．√2x−1 C． D．
4 10
【变式4.2】（2022秋•卧龙区校级期末）下列二次根式中，能与√2合并的是（ ）
√1
A．√12 B． C．√20 D．√9
2
【变式4.3】（2022•天津模拟）若√8与最简二次根式√m+1能合并，则m的值为（ ）
A．7 B．9 C．2 D．1
考点5 二次根式的乘除
【例5】．计算：
2√3 2√15
（1） ×（− ）；
5 2 3 8（2）√36 36．
+
a2 b2
【变式5.1】计算：
3 2
（1） √24• √18
2 3
1√ 1 √ 4
（2） 2 •（− x2y）．
3 9 19
【变式5.2】计算
√ 4
（1）4√5÷（﹣5 1 ）
5
（2）√2a2b2 （√ ab ）（a＞0，b＞0，c＞0）
÷
c5 2c3
【变式5.3】．计算：
√ 1 √ 2
（1） 2 ÷3√28×（−5 2 ）；
2 7
（2）
5
√ab3×（−
2
√ab）÷
1√b
．
b 5 3 a
考点6 二次根式的加减
【例6】计算：
（1）√5+√20−√45；
（2）3√8+2√18−√50；2 √x √1
（3） √9x+6 −2x ．
3 4 x
【变式训练】
【变式6.1】计算：
（1）2√2+3√2
（2）√8+√18
（3）√16x+√64x
√1
（4）√48−9 +3√12．
3
【变式6.2】计算下列各式：
√2 √9
（1）√5−√6−√20+ +
3 5
√1 √1
（2）√12−√0.5−2 − +√18
3 8
√3 √a 1
（3）√27a−a +3 + √75a3
a 3 2a
2 √ y √ x √1
（4） x√9x+6x + y −x2 ．
3 x y x
√1
【变式6.3】若a、b为有理数，且√8+√18+ =a+b√2，求ba的值．
8
考点7二次根式的混合运算
【例7】（2022秋•历城区期末）计算：（1） ；
|−2√2|−3−1−√4×√2+(π−5) 0
（2） ．
(√5+3)(√5−3)−(√3−1) 2
【变式训练】
【变式7.1】（2023•义乌市校级开学）计算：
1
（1）|√3−2|+(− ) −1−20220；
3
（2） ．
(3√2+2√3)(3√2−2√3)−(√2−2√3) 2
【变式7.2】（2022秋•深圳期末）计算：
（1）√28−√7；
（2） ；
√12+|√3−2|−(π−3.14) 0
（3） ．
(√3+√2)(√3−√2)−(√5−1) 2
【变式7.3】（2022秋•高新区校级期末）计算：
（1）(√48+√20)−(√12−√5)；
√1
（2）√48+√3−2 ×√30+(2√2+√3) 2．
4
【方法技巧】
二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次
根式的混合运算应注意以下几点：
①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号
里面的．
②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看
作“多项式“．
考点8二次根式的化简求值
【例8】（2022秋•天元区校级期末）已知a＝4﹣2√3，b＝4+2√3．
（1）求ab，a﹣b的值；
（2）求2a2+2b2﹣a2b+ab2的值．
【变式训练】【变式8.1】（2022春•高昌区月考）已知x=√6+√2，y=√6−√2，
（1）求x﹣y的值；
（2）求x2+2xy+y2的值．
【变式8.2】（2022春•殷都区校级月考）已知a=√5+2，b=√5−2，求a2+ab+b2的值．
1 1
【变式8.3】（2022秋•永年区期末）已知x= ，y= ，求值：
√7−√5 √7+√5
（1）xy；
（2）x2+3xy+y2．
考点9二次根式的应用
【例9】（2020春•韩城市期末）如图，有一张边长为6√3cm的正方形纸板，现将该纸板的四个角剪掉，
制作一个有底无盖的长方体盒子，剪掉的四个角是面积相等的小正方形，此小正方形的边长为√3cm．
求：
（1）剪掉四个角后，制作长方体盒子的纸板的面积；
（2）长方体盒子的体积．
【变式训练】
【变式9.1】（2022春•亭湖区校级月考）据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）加高度h（单位：m）
√ℎ
近似满足公式t= （不考虑风速的影响）．
5
（1）求从40m高空抛物到落地时间；
（2）已知高空坠物动能w（单位：J）＝10×物体质量（单位：kg）×高度（单位：m），某质量为0.1kg
的玩具被抛出后经过4s后落在地上，这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人吗？请说明理由（注：伤害无防护人体只需要65J的动能）．
【变式9.2】（2021春•罗山县期中）（1）用“＝”、“＞”、“＜”填空．
1 1 √1 1 1 √ 1
+ 2 × ；6+3 2√6×3；1+ 2 1× ；7+7 2√7×7．
2 3 2 3 5 5
（2）由（1）中各式猜想a+b与2√ab（a≥0，b≥0）的大小，并说明理由．
（3）请利用上述结论解决下面问题：
某同学在做一个面积为1800cm2，对角线相互垂直的四边形风筝时，求用来做对角线的竹条至少要多少
厘米？
【变式9.3】（2022秋•桥西区期中）交通警察通常根据刹车后车轮划过的距离估计车辆行驶的速度，所依
据的经验公式是v＝16√df，其中v表示车速（单位：km/h），d表示刹车后车轮划过的距离（单位：
m），f表示摩擦系数，在某次交通事故调查中测得d＝20m，f＝1.2．
（1）求肇事汽车的速度；
（2）若此路段限速70km/h，请通过计算判断肇事汽车是否超速？
考点10二次根式与探究材料题
1
【例10】（2021春•泗阳县期末）在解决问题“已知a= ，求2a2﹣8a+1的值时，小明是这样分析与
2+√3
解答的：1 2−√3
∵a= = =2−√3，
2+√3 (2+√3)(2−√3)
∴a﹣2=−√3，
∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3，
∴a2﹣4a＝﹣1，
∴2a2﹣8a+1＝﹣1．
请你根据小明的分析过程，解答下列问题：
2
（1）化简： ；
√3−1
1 1 1 1
（2）化简： + + +⋯+ ；
√3+1 √5+√3 √7+√5 √2021+√2019
1
（3）若a= ，求：
√2−1
1
① a2﹣a﹣1的值；
2
②2a2﹣5a2+1的值．
【变式训练】
【变式10.1】（2019春•沭阳县期末）小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式
子的平方，如：3+2 ，善于思考的小明进行了以下探索：
√2=(1+√2) 2
设 a+b （其中 a、b、m、n 均为整数），则有：a+b ，∴a＝
√2=(m+n√2) 2 √2=m2+2n2+2mn√2
m2+2n2，b＝2mn，这样小明就找到了一种把类似a+b√2的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b ，用含m、n的式子分别表示a、b得：a＝
√3=(m+n√3) 2
，b＝ ；
（2）利用所探索的结论，用完全平方式表示出：7+4√3= ．
（3）请化简：√12−6√3
【变式10.2】（2021•市中区校级一模）观察下面的式子：
1 1 1 1 1 1 1 1
S ＝1 + + ，S ＝1 + + ，S ＝1 + + ⋯S ＝1 + +
1 12 22 2 22 32 3 32 42 n n2 (n+1) 2（1）计算： ， ；猜想 （用n的代数式表示）；
√S = √S = √S =
1 3 n
（2）计算：S （用n的代数式表示）．
=√S +√S +√S +⋯+√S
1 2 3 n
【变式10.3】（2020春•玄武区期中）数学阅读：
古希腊数学家海伦曾提出一个利用三角形三边之长求面积的公式：若一个三角形的三边长分别为a、
1
b、c，则这个三角形的面积为S=√p(p−a)(p−b)(p−c)，其中p= （a+b+c），这个公式称为“海
2
伦公式”．
数学应用：
如图，在△ABC中，已知AB＝9，AC＝8，BC＝7．
（1）请运用海伦公式求△ABC的面积；
（2）设AC边上的高为h ，BC边上的高h ，求h +h 的值．
1 2 1 2
