文档内容
第 01 讲 二次根式的定义及性质【6 个必考点】
【人教版】
【知识点1 二次根式的定义】..................................................................................................................................1
【必考点1 判断二次根式个数】..............................................................................................................................1
【必考点2 二次根式求参数】..................................................................................................................................3
【必考点3 二次根式有无意义的条件】.................................................................................................................5
【知识点2 二次根式的基本性质】..........................................................................................................................7
【必考点4 根据二次根式的非负性求值】.............................................................................................................7
【必考点5 根据二次根式性质进行化简】...........................................................................................................10
【必考点6 根据二次根式性质化简复合二次根式】...........................................................................................12
【知识点1 二次根式的定义】
形如❑√a（a≥0）的式子叫做二次根式.其中“❑√❑”叫做二次根号，a叫做被开方数.
（1）二次根式有意义的条件是被开方数为非负数.据此可以确定字母的取值范围;
（2）判断一个式子是否为二次根式,应根据以下两个标准判断:
①是否含有二次根号“❑√❑”;
②被开方数是否为非负数.
若两个标准都符合,则是二次根式;若只符合其中一个标准,则不是二次根式.
（3）形如m❑√a（a≥0）的式子也是二次根式,其中m叫做二次根式的系数；
（4）根据二次根式有意义的条件,若二次根式❑√A−B与❑√B−A都有意义,则有A=B.
【必考点1 判断二次根式个数】
√ 1
【例1】（2024秋•射洪市校级期中）在式子❑√5，√38，❑√−2，❑√(x+3) 2，❑ 中，是二次根式的有（
x2 +5
）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】二次根式的定义：一般地，我们把形如❑√a（a≥0）的式子叫做二次根式，进而得出答案．
【解答】解：在式子 ， ， ， ，√ 1 中，是二次根式的有 ， ，
❑√5 √38 ❑√−2 ❑√(x+3) 2 ❑ ❑√5 ❑√(x+3) 2
x2 +5√ 1 共3个．
❑
x2 +5
故选：B．
【例2】（2024春•万年县校级月考）已知下列各式：❑√3，−❑√6，❑√a−1，❑√−2，❑√m2 +1，其中二
次根式的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】根据二次根式的意义，❑√a（a≥0），即可作出判断．
【解答】解：❑√3，−❑√6，❑√m2 +1为二次根式，共3个．
故选：B．
√ y
【变式1】（2024春•凉州区月考）在式子❑√3、❑√x2 +1、❑√a+1（a＜﹣3）、❑ （y＞0）、❑√−2x（x＜
2
0）中，是二次根式的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】根据二次根式的定义：一般地，我们把形如❑√a（a≥0）的式子叫做二次根式可得答案．
√ y
【解答】解：❑√3、❑√x2 +1、❑ （y＞0）、❑√−2x（x＜0）都是二次根式；
2
当a＜﹣3时，a+1＜0，则❑√a+1无意义．
故选：C．
【变式2】（2024春•西青区校级月考）在下列式子中，一定是二次根式的有（ ）
❑√a，❑√x2 +3，❑√77，❑√−62，❑√(−9) 2，√3 2m2．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】根据被开方数为非负数，即可得出答案．
【解答】解：当a＜0时，❑√a不是二次根式，
∵x2≥0，∴x2+3＞0，则❑√x2 +3是二次根式，
∵77＞0，∴❑√77是二次根式，
∵﹣62＝﹣36＜0，∴❑√−62不是二次根式，
∵（﹣9）2＝81＞0，∴❑√(−9) 2是二次根式，√3 2m2不是二次根式，
则一定是二次根式的有：❑√x2 +3，❑√77，❑√(−9) 2，
故选：B．
【变式3】（2024春•东营区校级月考）下列各式中二次根式的个数有（ ）
①−❑√m2 +1
②√3−8
③❑√x−1
④❑√5
⑤❑√π
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】根据二次根式的定义：形如❑√a（a≥0）的式子叫做二次根式，进行判断即可．
【解答】解：①−❑√m2 +1，是二次根式；
②√3−8，不是二次根式；
③❑√x−1，只有x≥1时才是二次根式，故不一定是二次根式；
④❑√5，是二次根式；
⑤❑√π，是二次根式，
所以二次根式有3个，
故选：B．
【必考点2 二次根式求参数】
【例1】（2024春•交口县期末）若❑√63n是整数，则正整数n的最小值是（ ）
A．3 B．7 C．9 D．63
【分析】因为❑√63n是整数，且❑√63n=❑√7×32n=3❑√7n，则7n是完全平方数，满足条件的最小正整
数n为7．
【解答】解：∵❑√63n=❑√7×32n=3❑√7n，且❑√7n是整数；
∴3❑√7n是整数，即7n是完全平方数；
∴n的最小正整数值为7．
故选：B．【例2】（2024春•青县期末）如果❑√5+2a是一个正整数，则整数a的最小值是（ ）
A．10 B．2 C．﹣4 D．﹣2
5
【分析】根据❑√5+2a是一个正整数，得出a≥− ，根据a为整数，得出a的最小值为﹣2，最后代入a
2
＝﹣2验证❑√5+2a是一个正整数符合题意，得出答案即可．
【解答】解：∵❑√5+2a是一个正整数，
∴5+2a≥0，
5
∴a≥− ，
2
∵a为整数，
∴a的最小值为﹣2，
且a＝﹣2时，❑√5+2a=❑√5−4=1，故D正确，符合题意．
故选：D．
【变式1】（2023春•黄骅市校级期中）已知❑√6n+4是整数，则正整数n的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】因为❑√6n+4是整数，则（6n+4）是完全平方数，然后求满足条件的最小正整数n
【解答】解：∵❑√6n+4是整数，
∴（6n+4）是完全平方数，且6n+4≥0，
2
∴n≥− ，
3
∴n的最小正整数值是2．
故选：A．
【变式2】（2023春•河北区校级期中）已知❑√189n为整数，则正整数n的最小值为（ ）
A．3 B．9 C．18 D．21
【分析】根据被开方数是整数，可得被开方数能开尽方，可得答案．
【解答】解：❑√189n是整数，则正整数n的最小值是21，
故选：D．
【变式3】（2024秋•宁德期末）已知a是正整数，❑√18a是整数，则a的最小值是2．那么若b是正整
√240
数，❑ 是大于1的整数，则b的最大值与最小值的差是 4 5 ．
b
√240 √16×15 √240
【分析】由❑ =❑ ，结合b是正整数，❑ 是大于1的整数，可得b是15的倍数，从而可
b b b得答案．
√240 √16×15
【解答】解：∵❑ =❑ ，
b b
√240
又∵b是正整数且❑ 是大于1的整数，
b
√240
∴当b＝15时，❑ 的整数值最大为4，此时b的值最小，
b
√240
当b＝60时，❑ 的整数值最小为2，此时b的值最大，
b
∴b的最大值与最小值的差是60﹣15＝45．
故答案为：45．
【变式4】（2024春•黄骅市校级期中）如果a为正数，且❑√29−a为正整数．
（1）求❑√29−a的最小值及此时a的值；
（2）求❑√29−a的最大值及此时a的值．
【分析】（1）根据a正数，判定1≤29﹣a≤29，利用估算思想判断1≤❑√29−a≤❑√25=5，得到29﹣a
＝1，计算即可；
（2）根据a正数，判定1≤29﹣a≤29，利用估算思想判断1≤❑√29−a≤❑√25=5，得到29﹣a＝25，计
算即可．
【解答】解：（1）因为a为正数，❑√29−a为正整数，
所以a＞0，1≤29﹣a＜29，
所以1≤❑√29−a≤❑√25=5，
故❑√29−a的最小值是1，
此时29﹣a＝1，
解得a＝28．
（2）因为a为正数，❑√29−a为正整数，
所以a＞0，1≤29﹣a＜29，
所以1≤❑√29−a≤❑√25=5，
故❑√29−a的最大值是5，
此时29﹣a＝25，
解得a＝4．【必考点3 二次根式有无意义的条件】
❑√x−5
【例1】（2024秋•梓潼县期末） 有意义，则x的取值范围为 x ≥ 5 ．
4−x
【分析】根据分母不为零和二次根式被开方数不小于零的条件进行解题即可．
【解答】解：由题可知，
x﹣5≥0且4﹣x≠0，
解得x≥5．
故答案为：x≥5．
1
【例2】（2024秋•雨花区期末）若代数式 在实数内范围有意义，则x的取值范围为 x ＞ 1 ．
❑√x−1
【分析】根据二次根式、分式有意义的条件，可得 x﹣1＞0，然后根据一元一次不等式的解法，求出 x
的取值范围即可．
1
【解答】解：∵代数式 在实数内范围有意义，
❑√x−1
∴x﹣1＞0，
解得x＞1，
即x的取值范围为：x＞1．
故答案为：x＞1．
1
【变式1】（2024秋•岳阳楼区校级期末）若❑√x+1+ 有意义，则实数x的取值范围是（ ）
x−3
A．x＞﹣1且x≠3 B．x≥﹣1且x≠3 C．x≥1且x≠3 D．x≠﹣1且x≠3
【分析】根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件列出不等式组，解不等式组得到答案．
【解答】解：由题意得：x+1≥0且x﹣3≠0，
解得：x≥﹣1且x≠3，
故选：B．
【变式2】（2024春•钱塘区期末）下列二次根式中字母a的取值范围是全体实数的是（ ）
√ 1
A．❑√a B．❑√a−1 C．❑ D．❑√(a−1) 2
a+1
【分析】根据二次根式的性质即可直接求解．
【解答】解：∵（a﹣1）2≥0恒成立，
∴a的取值范围为全体实数．
∴D选项正确，故选：D．
1
【变式3】（2024春•蚌埠月考）使代数式 −❑√3−2x有意义的整数x有（ ）
❑√x+2
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【分析】根据二次根式和分式有意义的条件，列出不等式组求解并取解集中的整数即可．
{x+2＞0)
【解答】解：由题意，得 ，
3−2x≥0
3
解不等式组得−2＜x≤ ，
2
符合条件的整数有：﹣1、0、1共三个．
故选：C．
【变式4】（2024春•永善县期中）当x为任意实数时，下列各式中无意义的是（ ）
A． B． C． D．
❑√x2 +1 ❑√−1−x2 ❑√(−x) 2 +1 √3−x
【分析】根据二次根式有意义的条件和立方根的定义逐个判断即可．
【解答】A．不论x为何值，x2+1＞0，即 有意义，故本选项不符合题意，
❑√x2 +1
B．∵不论x为何值，x2+1＞，
∴﹣1﹣x2＜0，
即 无意义，故本选项符合题意，
❑√−1−x2
C．不论x为何值，（﹣x）2+1＞0，即 有意义，故本选项不符合题意，
❑√(−x) 2 +1
D．不论x为何值，√3−x都有意义，故本选项不符合题意．
故选：B．【知识点2 二次根式的基本性质】
（1）❑√a≥0；a≥0（双重非负性）.
（2） ；a≥0（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）.
(❑√a) 2 =a
{ a (a>0)
（3）❑√a2
=|a|= 0 (a=0)
（算术平方根的意义）.
−a (a<0)
【必考点4 根据二次根式的非负性求值】
【例1】（2024秋•万州区校级月考）设x、y为实数，且y=6−❑√2x−16−❑√16−2x，则|x+y|的值是（
）
A．2 B．14 C．19 D．22
【分析】根据算术平方根的非负性求出x的值，进而求出y的值，然后代值计算即可．
{2x−16≥0)
【解答】解：根据题意得： ，
16−2x≥0
解得x＝8，
把x＝8代入y=6−❑√2x−16−❑√16−2x，
解得y＝6，
∴|x+y|＝|8+6|＝14．
故选：B．
【例2】（2024秋•滕州市校级月考）已知a，b，c满足❑√8−a+❑√a−8=|c−17|+b2−30b+225，则
a+b﹣c的值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【分析】先将已知等式利用完全平方公式变形为 ，再根据偶次方
❑√8−a+❑√a−8=|c−17|+(b−15) 2
的非负性、绝对值的非负性，算术平方根的性质可求出a、b、c的值，代入计算即可得．
【解答】解：∵❑√8−a+❑√a−8=|c−17|+b2−30b+225，
∴ ，
❑√8−a+❑√a−8=|c−17|+(b−15) 2
∴8﹣a≥0，a﹣8≥0，
∴a＝8，
∴|c﹣17|+（b﹣15）2＝0，
∴c﹣17＝0，b﹣15＝0，∴c＝17，b＝15，
∴a+b﹣c＝8+15﹣17＝6，
故选：C．
【变式1】（2024秋•榆中县期中）如果 有意义，那么代数式 的值为（
❑√x−1+❑√9−x | x−1|+❑√(x−9) 2
）
A．±8 B．8 C．﹣8 D．无法确定
【分析】根据二次根式有意义的条件得到x﹣1≥0，9﹣x≥0，再根据绝对值的意义和二次根式的性质，
进行化简即可．
【解答】解：∵❑√x−1+❑√9−x有意义，
∴x﹣1≥0，9﹣x≥0，
∴ ；
| x−1|+❑√(x−9) 2 =x−1+9−x=8
故选：B．
【变式2】（2024秋•顺义区校级期中）已知实数a满足|2025−a|+❑√a−2026=a，那么a﹣20252的值
为多少？
【分析】先根据二次根式有意义的条件得出a的取值范围，再化简绝对值，从而求出代数式的值．
【解答】解：由题意，得a﹣2026≥0，
∴a＞2026，
∴2025﹣a＜0，
∴原式可以变形为 ﹣2025十❑√a−2026=a，
∴❑√a−2026=202α5，
∴a﹣2026＝20252，
∴a﹣20252＝2026．
❑√x2−4+❑√4−x2
【变式3】（2024秋•榆中县期中）若y= ，求2x+y的值．
x+2
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，由被开方数大于等于0，分母不等于0可知x的值，进一
步得到y的值，再代入计算即可求解．
❑√x2−4+❑√4−x2
【解答】解：∵y= ，
x+2
∴x2﹣4＝0且x+2≠0，
解得x＝2，∴y＝0，
∴2x+y
＝4+0
＝4．
【变式4】（2024春•金乡县期末）二次根式❑√a的双重非负性是指被开方数a≥0，其化简的结果❑√a≥0，
利用❑√a的双重非负性解决以下问题：
（1）已知❑√a−1+❑√3+b=0，则a+b的值为 ﹣ 2 ；
（2）若x，y为实数，且x2 =❑√y−5+❑√5−y+9，求x+y的值；
（3）若实数a满足|99−a|+❑√a−100=a，求a+99的值．
【分析】（1）利用非负数的性质，可求a，b的值，从而求得a+b的值．
（2）利用二次根式有意义的条件，可得y值，进而求x值，最终得x+y的值；
（3）根据|99−a|+❑√a−100=a得出a≥100，然后化简得出❑√a−100=99，求出a的值，然后再求
出结果即可．
【解答】解：（1）∵❑√a−1+❑√3+b=0，
且❑√a−1≥0，❑√3+b≥0，
∴a﹣1＝0，3+b＝0，
∴a＝1，b＝﹣3，
∴a+b＝﹣2；
故答案为：﹣2．
（2）∵x2 =❑√y−5+❑√5−y+9，
∴y﹣5≥0且5﹣y≥0，
∴y≥5且y≤5，
∴y＝5，
∴x2＝9，
∴x＝±3，
当x＝3时，x+y＝3+5＝8；
当x＝﹣3时，x+y＝﹣3+5＝2；
答：x+y的值为2或8；
（3）∵|99−a|+❑√a−100=a，
∴a﹣100≥0，
∴a≥100，∴方程|99−a|+❑√a−100=a可变为a−99+❑√a−100=a，
∴❑√a−100=99，
∴a﹣100＝992，
解得a＝9901，
∴a+99＝9901+99＝10000．
【必考点5 根据二次根式性质进行化简】
【例1】（2024秋•长沙期末）若 a﹣4，则a的取值范围是（ ）
❑√(a−4) 2 =
A．a＜4 B．a≤4 C．a＞4 D．a≥4
【分析】已知等式利用二次根式性质化简，再利用绝对值的代数意义求出a的范围即可．
【解答】解：∵ |a﹣4|＝a﹣4，
❑√(a−4) 2 =
∴a﹣4≥0，即a≥4，
故选：D．
【例2】（2024秋•西山区校级期末）若2＜a＜3，则 （ ）
❑√(2−a) 2−❑√(3−a) 2 =
A．5﹣2a B．1﹣2a C．2a﹣1 D．2a﹣5
【分析】根据二次根式的性质解答即可．
【解答】解：因为2＜a＜3，
所以 a﹣2﹣（3﹣a）＝a﹣2﹣3+a＝2a﹣5，
❑√(2−a) 2−❑√(3−a) 2 =
故选：D．
【 变 式 1 】 （ 2023 秋 • 鼓 楼 区 校 级 期 末 ） 实 数 a 在 数 轴 上 的 位 置 如 图 所 示 ， 则 化 简
结果为（ ）
❑√a2−8a+16+❑√(a−11) 2
A．7 B．﹣7 C．2a﹣15 D．无法确定
【分析】先根据点a在数轴上的位置判断出a﹣4及a﹣11的符号，再把原式进行化简即可．
【解答】解：∵由图可知：4＜a＜10，
∴a﹣4＞0，a﹣11＜0，
∴原式
=❑√(a−4) 2 +❑√(a−11) 2＝a﹣4+11﹣a＝7．
故选：A．
【变式 2】（2024 秋•三原县期中）已知实数 a，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，则化简
的结果等于（ ）
❑√(a−1) 2−√3 (a+b) 3 +(❑√b−1) 2
A．0 B．﹣2b C．2a﹣2b D．﹣2a
【分析】由数轴可得a﹣1＜0，b﹣1＞0，然后将原式利用二次根式的性质，立方根的定义进行化简即
可．
【解答】解：由数轴得a﹣1＜0，b﹣1＞0，
原式＝1﹣a﹣（a+b）+b﹣1
＝1﹣a﹣a﹣b+b﹣1
＝﹣2a，
故选：D．
【变式3】（2024秋•嘉定区校级月考）若化简 |1﹣x|的结果为5﹣2x，则x的取值范围是（
❑√x2−8x+16−
）
A．为任意实数 B．1≤x≤4
C．x≥1 D．x≤4
【分析】根据完全平方公式和 |a|，把多项式化简为|x﹣4|﹣|1﹣x|，然后根据x的取值范围分别讨
❑√a2
=
论，求出符合题意的x的值即可．
【解答】解：原式 |1﹣x|＝|x﹣4|﹣|1﹣x|，
=❑√(x−4) 2−
当x＜1时，
此时1﹣x＞0，x﹣4＜0，
∴（4﹣x）﹣（1﹣x）＝4﹣x﹣1+x＝3，不符合题意，
当1≤x≤4时，
此时1﹣x≤0，x﹣4≤0，
∴（4﹣x）﹣（x﹣1）＝5﹣2x，符合题意，
当x＞4时，此时x﹣4＞0，1﹣x＜0，
∴（x﹣4）﹣（x﹣1）＝﹣3，不符合题意，
∴x的取值范围为：1≤x≤4，
故选B．
【变式 4】（2024 秋•永春县校级月考）已知△ABC 三条边的长度分别是 ， ，
❑√x+1 ❑√(x−5) 2
4−(❑√4−x) 2
，记△ABC的周长为C△ABC ．
（1）当x＝2时，△ABC的最长边的长度是 3 （请直接写出答案）；
（2）请求出C△ABC （用含x的代数式表示，结果要求化简）．
【分析】（1）把x＝2代入三角形的三边中，化简后计算出三角形的边长进行比较即可；
（2）把三角形的三边求和，利用二次根式的性质化简并确定x的取值范围．
【解答】解：（1）当x＝2时，
，
❑√x+1=❑√3，❑√(x−5) 2 =3，4−(❑√4−x) 2 =4−(❑√2) 2 =2
∵❑√3＜2＜3，
∴△ABC的最长边的长度是3，
故答案为：3；
{x+1≥0)
（2）由题意得 ，
4−x≥0
由第一个不等式得：x≥﹣1，
由第二个不等式得：x≤4，
即﹣1≤x≤4，
则 ， ，
❑√(x−5) 2 =5−x 4−(❑√4−x) 2 =4−(4−x)=x
那么
C =❑√x+1+❑√(x−5) 2 +4−(❑√4−x) 2
△ABC
=❑√x+1+5−x+x
=❑√x+1+5．
【必考点6 根据二次根式性质化简复合二次根式】
【例1】（2024秋•石景山区校级期中）阅读下面的解答过程，然后作答：
有这样一类题目：将❑√a+2❑√b化简，若你能找到两个数m和n，使m2+n2＝a2且mn=❑√b，则a+2❑√b可变为m2+n2+2mn，即变成（m+n）2，从而使得❑√a+2❑√b化简．
例如：∵ ，
5+2❑√6=3+2+2❑√6=(❑√3) 2 +(❑√2) 2 +2❑√6=(❑√3+❑√2) 2
∴ ．
❑√5+2❑√6=❑√(❑√3+❑√2) 2 =❑√3+❑√2
请你仿照上例化简下面问题：
（1）❑√4+2❑√3；
（2）❑√7−2❑√10．
【分析】（1）仿照阅读材料中的方法求解即可；
（2）仿照阅读材料中的方法求解即可．
【解答】解：（1）∵4+2❑√3=1+3+2❑√3
=12 +2❑√3+(❑√3) 2
，
=(1+❑√3) 2
∴❑√4+2❑√3
=❑√(1+❑√3) 2
=1+❑√3；
（2）∵7−2❑√10
=5+2−2❑√10
=(❑√5) 2−2×❑√5×❑√2+(❑√2) 2
，
=(❑√5−❑√2) 2
∴❑√7−2❑√10
= ❑√ (❑√5−❑√2) 2
=❑√5−❑√2．
【例2】（2024秋•薛城区期中）下面我们观察：
，
(❑√2−1) 2 =(❑√2) 3 −2×1×❑√2+12 =2−2❑√2+1=3−2❑√2
反之， ，
3−2❑√2=2−2❑√2+1=(❑√2−1) 2∵
3−2❑√2=(❑√2−1) 2
∴❑√❑√3−2❑√2=❑√2−1．
仿上例，求：
（1）化简：❑√4−2❑√3；
（2）计算：❑√3−2❑√2+❑√5−2❑√6+❑√7−2❑√12+⋯⋯+❑√19−2❑√90．
【分析】（1）利用二次根式的性质结合完全平方公式直接化简得出即可；
（2）利用二次根式的性质结合完全平方公式直接化简得出即可．
【解答】解：（1）∵
4−2❑√3=1−2❑√3+(❑√3) 2 =(1−❑√3) 2
∴ ；
❑√4−2❑√3= ❑√ (1−❑√3) 2 =❑√3−1
（2）❑√3−2❑√2+❑√5−2❑√6+❑√7−2❑√12+⋯⋯+❑√19−2❑√90
= ❑√ (❑√2−1) 2 + ❑√ (❑√3−❑√2) 2 + ❑√ (❑√4−❑√3) 2 +⋯⋯+ ❑√ (❑√10−❑√9) 2
=❑√2−1+❑√3−❑√2+❑√4−❑√3+⋯⋯+❑√10−❑√9
=❑√10−1．
【变式1】（2024秋•东区校级期中）先阅读下面的解题过程，然后再解答：
形如 的化简，只要我们找到两个数 a，b，使 a+b＝m，ab＝n，即 ，
❑√m±2❑√n (❑√a) 2 +(❑√b) 2 =m
❑√a⋅❑√b=❑√n，那么便有：
．
❑√m±2❑√n= ❑√ (❑√a±❑√b) 2 =❑√a±❑√b(a＞b)
例如：化简：❑√7+4❑√3．
解：首先把❑√7+4❑√3化为❑√7+2❑√12，这里m＝7，n＝12，
因为4+3＝7，4×3＝12，
即 ， ，
(❑√4) 2 +(❑√3) 2 =7 ❑√4×❑√3=❑√12
所以 ．
❑√7+4❑√3=❑√7+2❑√12= ❑√ (❑√4+❑√3) 2 =2+❑√3
（1）化简❑√8+2❑√15为 ❑√5+❑√3 ．
（2）根据上述方法化简：❑√19−4❑√21．
【分析】（1）根据理解可知5+3＝8，5×3＝15，可得完全平方公式，再开方即可；
（2）先把❑√19−4❑√21化为❑√19−2❑√84，由12+7＝19，12×7＝84，可得完全平方公式，开方即可．【解答】解：（1）∵5+3＝8，5×3＝15，
，
(❑√5) 2 +(❑√3) 2 =8，❑√5×❑√3=❑√15
∴ ．
❑√8+2❑√15=❑√(❑√5+❑√3) 2 =❑√5+❑√3
故答案为：❑√5+❑√3；
（2）将❑√19−4❑√21化为❑√19−2❑√84，
，
(❑√12) 2 +(❑√7) 2 =19，❑√12×❑√7=❑√84
∴ ．
❑√19−4❑√21=❑√19−2❑√84= ❑√ (❑√12−❑√7) 2 =❑√12−❑√7=2❑√3−❑√7
【变式2】（2024秋•从江县校级期中）我们已经学过完全平方公式a2±2ab+b2＝（a±b）2，知道所有的非
负数都可以看作是一个数的平方，如 ，那么，我们可以利用
2=(❑√2) 2 ，3=(❑√3) 2 ，7=(❑√7) 2 ，0=02
这种思想方法和完全平方公式来计算下面的题：
例：求3−2❑√2的算术平方根．
解： ，
3−2❑√2=2−2❑√2+1=(❑√2) 2 −2❑√2+12 =(❑√2−1) 2
所以3−2❑√2的算术平方根是❑√2−1．
你看明白了吗？请根据上面的方法化简：
（1）❑√3+2❑√2；
（2） ．
❑√10+8❑√(3+2❑√2)
【分析】（1）根据题意得到 ，即可到答案；
❑√3+2❑√2=❑√(❑√2+1) 2
（2）把 化为 ，即可得到答案．
❑√10+8❑√(3+2❑√2) ❑√(4+❑√2) 2
【解答】解：（1）原式=❑√2+2❑√2+1
=❑√(❑√2) 2 +2❑√2+12
=❑√(❑√2+1) 2
=❑√2+1；（2）原式
=❑√10+8(❑√2+1)
=❑√18+8❑√2
=❑√16+8❑√2+2
=❑√42 +2×4×❑√2+(❑√2) 2
=❑√(4+❑√2) 2
=4+❑√2．
【变式3】（2024秋•衡阳县期中）阅读下面例题：化简❑√7+2❑√10
解：∵ 2+5＝7，2 ；
(❑√2) 2 +(❑√5) 2 = ❑√2×❑√5=2❑√10
7+2
❑√10=2+2❑√10+5=(❑√2) 2 +2×❑√2×❑√5+(❑√5) 2 =(❑√2+❑√5) 2
∴
❑√7+2❑√10= ❑√ (❑√2+❑√5) 2 =❑√2+❑√5
由上述例题的方法化简：
（1）❑√5−2❑√6；
（2）❑√2+❑√3；
（3） ．
❑√4−❑√10+2❑√5+ ❑√4+❑√10+2❑√5
【分析】（1）根据完全平方公式、二次根式的性质化简；
（2）先把❑√2+❑√3变形，再根据完全平方公式、二次根式的性质化简；
（3） x，求出x2，再根据完全平方公式、二次根式的性质化简．
❑√4−❑√10+2❑√5+ ❑√4+❑√10+2❑√5=
【解答】解：（1）∵5﹣2❑√6=3﹣2❑√6+2＝（❑√3）2﹣2❑√6+（❑√2）2＝（❑√3−❑√2）2，
∴ ；
❑√5−2❑√6=❑√(❑√3−❑√2) 2 =❑√3−❑√2
（2） √ √3 √3 √3 1 √ √3 √1 √3 √1 ❑√6 ❑√2；
❑√2+❑√3=❑2+2❑ =❑ +2❑ + =❑(❑ +❑ ) 2 =❑ +❑ = +
4 2 4 2 2 2 2 2 2 2
（3）设 x，
❑√4−❑√10+2❑√5+ ❑√4+❑√10+2❑√5=
则x2＝（ ）2
❑√4−❑√10+2❑√5+ ❑√4+❑√10+2❑√5＝4 2 4
−❑√10+2❑√5+ ❑√4−❑√10+2❑√5×❑√4+❑√10+2❑√5+ +❑√10+2❑√5
＝8+2❑√16−10−2❑√5
＝8+2❑√6−2❑√5
＝8+2
❑√(❑√5−1) 2
＝8+2❑√5−2
＝6+2❑√5，
∴x 1，即 1．
=❑√6+2❑√5=❑√5+ ❑√4−❑√10+2❑√5+❑√4+❑√10+2❑√5=❑√5+
【变式4】（2024秋•东阳市期末）已知有理数 a，b满足 ，求a，b的
a+(b−2)❑√2= ❑√10−4❑√3+2❑√2
值．
【分析】先根据完全平方公式依次化简被开方数，最终得出2−❑√2，根据题意得出a＝2，b﹣2＝﹣1，
于是问题得解．
【解答】解：
❑√10−4❑√3+2❑√2
=❑√10−4❑√(❑√2+1) 2
=❑√10−4(❑√2+1)
=❑√6−4❑√2
=❑√(2−❑√2) 2
=2−❑√2，
∵有理数a，b满足 ，
a+(b−2)❑√2= ❑√10−4❑√3+2❑√2
∴a+(b−2)❑√2=2−❑√2，
∴a＝2，b﹣2＝﹣1，
∴b＝1．
