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专题1.19 有理数的减法（知识讲解）
【学习目标】
1．掌握有理数减法的意义，法则及运算律，并会使用运算律简算；
2．掌握有理数减法的法则和运算技巧，认识减法与加法的内在联系；
3．熟练将加减混合运算统一成加法运算，掌握加减法运算的技巧
【要点梳理】
要点一、有理数加减混合运算
将加减法统一成加法运算，适当应用加法运算律简化计算.
要点二、有理数加减混合运算技巧
将加减法统一成加法运算，适当应用加法运算律简化计算.
1、符号相同的数可以先相加；2、互为相反数的两个数，可以先相加得0；
3、同分母的分数可以先相加；4、几个数相加得整十，整百时，可以先相加；有小数
或分数能够凑成整数的先加；5、两个带分数相加，可以把整数部分与分数部分分别相加
【典型例题】
【知识点一】有理数的减法运算
1．计算：
(1) ； (2) ；
(3) ； (4) ．
【答案】(1)4 (2)-13 (3)-53 (4)
解：(1) 原式=21-17=4
(2) 原式=-(10+3)=-13
(3) 原式=(-98)+45=-(98-45)=-53
(4) 原式=0+ =
【点拨】本题考查有理数加法和有理数减法，熟练掌握有理数加法和有理数减法法则
是解题的关键．
举一反三.
【变式1】下面是小明和小乐在学习有理数运算后的一段对话．请你完成下面的运算，并填写运算过程中的依据
解：3－5
＝3＋（ ）（依据： ）
＝－（ －3）
＝ ．
【答案】 减去一个数等于加上这个数的相反数，
【分析】先根据减去一个数等于加上这个数的相反数填空，再利用绝对值不相等的异
号的两数相加填空即可.
解：3－5
＝3＋ （依据：减去一个数等于加上这个数的相反数）
＝－（ ）
＝ ．
故答案为： 减去一个数等于加上这个数的相反数，
【点拨】本题考查的是有理数的加法运算，减法运算，掌握“有理数的加法与减法运
算的运算法则”是解本题的关键.
【变式2】（1） ；
（2）（+7）+（﹣21）+（﹣7）+（+21）．
【答案】（1） ；（2）0
【分析】
（1）直接利用有理数的减法法则计算即可；
（2）将互为相反数的两个数分别相加即可．
解：（1）原式=
==
= ；
（2）原式=（+7）+（﹣7）+（﹣21）+（+21）
=0+0
=0．
【点拨】本题主要考查有理数的加减运算，掌握有理数加法和减法的运算法则是关键．
【知识点二】有理数减法的实际运用
2.某大型汽车厂本周内计划每日生产180辆汽车，由于工人实行轮休，每天上班
人数不一定相等，实际每天生产力与计划量相比如下表（相对于前一日增加车辆数为正数，
相对于前一日减少的车辆数为负数）
星
一 二 三 四 五 六 日
期
增
－5 ＋6 －3 ＋8 －4 ＋9 －15
减
（1）本周三生产了多少辆汽车？
（2）本周总产量与计划产量相比，是增产还是减产？
（3）产量最多的一天比产量最少的一天多生产了多少辆？
【答案】（1）178辆；（2）增产；（3）16辆
【分析】
（1）根据题意，用180加上表中星期一、二、三的增减数即可求得周三生产了多少辆
汽车；
（2）根据（1）的方法求出每天的生产量，减去计划生产量即可求得答案；
（3）根据（2）中的数据，用产量最多的减去产量最少的即可求得答案
解：（1）180－5＋6－3＝178（辆），
答：本周三生产了178辆汽车；
（2）周一：180－5=175（辆），
周二生产了：180－5＋6=181（辆），
周三生产了：180－5＋6－3=178（辆），
周四生产了：180－5＋6－3＋8=186（辆），
周五生产了：180－5＋6－3＋8－4=182（辆），周六生产了：180－5＋6－3＋8－4＋9=191（辆），
周日生产了：180－5＋6－3＋8－4＋9－15=176（辆），
则本周共生产了：175＋181+178+186+182+191+176＝1269（辆），
1269－180×7＝9（辆），
答：本周总产量与计划产量相比，增产了9辆；
（3）191－175＝16（辆），
答：产量最多的一天比产量最少的一天多生产了16辆．
【点拨】本题考查了正负数的意义，有理数的加减运算的应用，理解表格中的数据的
意义是解题的关键．
举一反三.
【变式1】某自行车厂一周计划生产1400辆自行车，平均每天生产200辆，由于各种
原因实际每天生产量与计划量相比有出入，如表是某周的生产情况（超产为正，减产为
负）．
星
一 二 三 四 五 六 日
期
增 ＋
＋5 ﹣2 ﹣4 ＋13 ﹣10 ﹣9
减 16
（1）根据记录可知前三天共生产 辆；
（2）产量最多的一天比产量最少的一天多生产 辆；
（3）该厂实行计件工资制，每辆车60元，一周超额完成任务每辆奖10元，少生产一
辆扣10元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少？
【答案】（1）599；（2）26；（3）84630元
【分析】
（1）首先算出前三天的误差量，然后加上前三天的计划量600即得解；
（2）用最大的正误差量减去最小的负误差量即可得解；
（3）用总生产量乘以60再加上（或减去）奖励（或扣除）的款额即可得到解答．
解：（1）∵5-2-4+600=599（辆），
故答案为599；
（2）∵16-（-10）=26（辆），
故答案为26；
（3）解：这一周多生产的总辆数是5﹣2﹣4+13﹣10+16﹣9＝9（辆）．
（1400+9）×60+9×10＝84630（元）．答：该厂工人这一周的工资是84630元．
【点拨】本题考查正负数的意义和有理数运算的综合应用，熟练掌握正负数的意义及
根据生活情境列出有理数算式求解是解答关键．
【变式2】“十一”黄金周期间，某风景区在7天假期中每天旅游的人数变化如下表：
（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）．
日期（10月） 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日
人数变化单
+1.6 +0.4 -0.8 ﹣0.4 ﹣0.8 +0.6 ﹣1.2
位：万人
（1）若9月30日的游客人数为2.2万人，则10月4日的游客人数为： 万人，七
天中游客人数最多的一天比最少的一天多 万人；
（2）如果每万人游客带来的经济收入约为100万元，那么黄金周七天该风景区的旅游
总收入约为多少万元？
【答案】（1） ， ；（2）黄金周七天的旅游总收入约为 万元
【分析】
（1）将每天游客人数求出来即可求解；
（2）根据每天游客人数求出七天的总人数，再乘以100即可求解．
解：（1）解： 因为2.2+1.6+0.4+（-0.8）+（-0.4）=3，
所以10月4日游客人数为3万人；
因为10月1日至10月7日的游客人数每天分别为2.2+1.6=3.8（万），
3.8+0.4=4.2（万），
4.2+（-0.8）=3.4（万），
3.4+（-0.4）=3（万），
3+（-0.8）=2.2（万），
2.2+0.6=2.8（万），
2.8+（-1.2）=1.6（万），
所以最多的一天是4.2万人，最少的一天是1.6万人，
因为4.2-1.6=2.6（万人）
所以七天中游客人数最多的一天比最少的一天多2.6万人．
（2）解：10月1日至10月7日的游客人数每天分别为3.8万，4.2万，3.4万，3万，
2.2万，2.8万，1.6万，
所以（3.8+4.2+3.4+3+2.2+2.8+1.6）×100=2100（万元）；
答：黄金周七天的旅游总收入约为 万元.【点拨】本题考查了有理数的应用，解决本题的关键是能正确理解题意并通过正数和
负数的意义得出每一天的游客人数，考查了学生对正负数的认识与应用．
【知识点三】有理数的加减混合运算
3.在计算：“10－3 ”时，甲同学的做法如下：
10－3 － 改正：
＝10－（－3 － ）①
＝10＋（－3）②
＝7③
在上面的甲同学的计算过程中，开始出错的步骤 ．（写出错误所在行的序号）
这一步依据的运算法则应当：同号两数相加， ．请改正甲同学的计算过程．
【答案】①；取与加数相同的正负号，并把绝对值相加；
解：在上面的甲同学的计算过程中，开始出错的步骤为①；
这一步依据的运算法则应当：同号两数相加，取与加数相同的正负号，并把绝对值相
加；
．
【点拨】本题主要考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握有理数加法运算律是解题
的关键．
举一反三.
【变式1】计算：
(1) ； (2) ．
【答案】(1)4
(2)-15
【分析】
（1）使用加法交换律和加法结合律进行简便计算；
（2）将减法统一成加法，然后再计算．
解：(1)原式 ，，
；
(2) 原式 ，
，
．
【点拨】本题考查有理数加减混合运算，解题的关键是掌握加法交换律 ，
加法结合律 使得计算简便是解题关键．
【变式2】计算：
【答案】-1.9
【分析】根据有理数的加减混合运算法则进行计算即可
解：原式=
=
=-1.9
【点拨】本题考查了有理数的加减，熟练掌握运算法则是解题的关键
【知识点四】有理数的加减中的简便运算
4.计算．
(1) ； (2) ．
【答案】(1)-24 (2)6
解（1）原式=(23-2)+(-41.23-8.77)+(23 -18 )
=21-50+5
=-24
（2）原式=3 + +2 -
=(3 - )+( +2 )
=3+3
=6
【点拨】本题考查有理数加减混合，熟练掌握运用加法换律与结合合律简便运算是解题的关键．
举一反三.
【变式1】计算：
（1）1+2﹣3﹣4+5+6﹣7﹣8+…+2017+2018﹣2019﹣2020+2021；
（2）（﹣1 ）+（﹣2021 ）﹣（﹣4040 ）+（﹣1013 ）+（﹣1005 ）．
【答案】（1）1；（2）﹣
【分析】
（1）原式除去第一项，以及后二项，两两结合，利用化为相反数两数之和为0计算，
即可得到结果．
（2）根据有理数的加减计算解答即可．
解：（1）原式＝1+(2﹣3)+(﹣4+5)+(6﹣7)+(﹣8+9)+…+(2014﹣2015)+(﹣
2016+2017)+(2018﹣2019)﹣2020+2021
＝1﹣1﹣2020+2021
＝1．
（2）原式＝
＝[﹣1+(﹣2021)+4040+(﹣1013)+(﹣1005)]+
＝
＝﹣ ．
【点拨】本题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握加法的交换律和结合律是解答
本题的关键．
【变式2】 ．
【答案】20
【分析】原式利用减法法则变形，相加即可得到结果．
解：原式＝6 ﹣3.3+6+3 +4+3.3＝
＝10+10
＝20．
【点拨】本题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握有理数的加减运算法则是解本
题的关键．
【知识点五】有理数加减混合运算的应用
5.下表是学生A~H某次考试的得分情况（比班级平均分高记为正，比班级平均
分低记为负）：
学生 A B C D E F G H
1
与班级平均分的差/分 －10 7 4 －13 4 －5 －9
4
(1)若A的得分是52分，则B的得分是多少？
(2)在学生A~H中，得分最高的与得分最低的相差多少分？
【答案】(1) 69；(2) 27
【分析】
（1）根据A的得分求出班级平均分，即可得到B的得分；
（2）根据表格列出算式，计算即可得到结果．
解：(1)根据题意得：52+10+7＝69（分），即B的得分为69分；
(2)根据题意得：14﹣（﹣13）＝14+13＝27（分），即从A～H中，得分最高的学
生与得分最低的学生差27分；
【点拨】此题考查了有理数加减混合运算的应用，以及有理数比较大小，弄清题意是
解本题的关键．
举一反三.
【变式1】某粮库原有大米132吨，一周内该粮库大米的进出情况如表：（运进大米
记作“＋”，运出大米记作“﹣”）．
某粮库大米一周进出情况表（单位：吨）
星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日
﹣32 ＋26 ﹣23 ﹣16 m ＋42 ﹣21
(1)若经过这一周，该粮库存有大米88吨，求m的值，运进或运出大米多少吨？
(2)若大米进出库的装卸费用为每吨25元，求这一周该粮库需要支付的装卸总费用．【答案】(1)-20，运出大米20吨；(2) 4500
【分析】
（1）根据有理数的加法，可得答案；
（2）根据单位费用乘总量，可得答案．
解：132-32+26-23-16+m+42-21=88，
解得m=-20．
答：星期五该粮仓是运出大米，运出大米20吨；
（2）|-32|+26+|-23|+|-16|+|-20|+42+|-21|=180，
180×25=4500（元）．
答：这一周该粮仓需要支付的装卸总费用为4500元．
【点拨】本题考查了正数和负数，掌握单位费用乘总量等于总费用是解题关键．
【变式2】入冬以来，某品牌的羽绒服统计了在西乡市场某一周的销售情况，以每天
100件为标准，超过的件数记作正数，不足的件数记作负数，记录如下：8，12，-9，6，-
11，10，-2．
(1)求销量最多的一天比销量最少的一天多销售______件；
(2)该品牌羽绒服这一周的销售总量是多少件？若每件羽绒服的利润为130元，则这一
周销售该品牌羽绒服的总利润为多少元？
【答案】(1)23；(2)该品牌羽绒服这一周的销售总量是714件，总利润为92820元
【分析】
（1）直接利用有理数的减法法则，用最大的数减去最小的数即可；
（2）可以先求出7天的标准件数，再加上比标准多或少件数即可，利用这周销售羽绒
服的总件数×130即可．
解：（1） （件）
故答案为：23；
(2)7×100+8+12+（-9）+6+（-11）+10+（-2）=714（件）
所以该品牌羽绒服这一周的销售总量是714件．
714×130=92820（元）
所以这一周销售该品牌羽绒服的总利润为92820元．
【点拨】本题主要考查正数和负数，正确利用有理数的运算法则是解题的关键．
