文档内容
第 04 讲 数列的通项公式
目录
01 模拟基础练......................................................................................................................................2
题型一：观察法....................................................................................................................................2
题型二：叠加法....................................................................................................................................3
题型三：叠乘法....................................................................................................................................4
题型四：形如a =pa +q型的递推式...............................................................................................6
n+1 n
题型五：形如a =pa +kn+b型的递推式........................................................................................8
n+1 n
题型六：形如a =pa +rqn型的递推式............................................................................................9
n+1 n
题型七：形如a =paq (p>0,a >0)型的递推式.............................................................................10
n+1 n n
ma
题型八：形如a = n 型的递推式............................................................................................10
n+1 pa +q
n
题型九：形如a =pa +qa 型的递推式......................................................................................11
n+2 n+1 n
ma +t
题型十：形如a = n 型的递推式............................................................................................12
n+1 pa +q
n
题型十一：已知通项公式a 与前n项的和S 关系求通项问题.....................................................14
n n
题型十二：周期数列..........................................................................................................................17
题型十三：前n项积型......................................................................................................................19
题型十四：“和”型求通项..............................................................................................................20
题型十五：正负相间讨论、奇偶讨论型..........................................................................................22
题型十六：因式分解型求通项..........................................................................................................24
题型十七：双数列问题......................................................................................................................24
题型十八：通过递推关系求通项......................................................................................................26
02 重难创新练....................................................................................................................................31
03 真题实战练....................................................................................................................................44题型一：观察法
1．（2024·高三·河北唐山·期中）若数列 的前6项为 ，则数列 的通项公式可以
为 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】通过观察数列 的前6项，可以发现有如下规律：
且奇数项为正，偶数项为负，故用 表示各项的正负；
各项的绝对值为分数，分子等于各自的序号数，
而分母是以1为首项，2为公差的等差数列，
故第n项的绝对值是 ，
所以数列 的通项可为 ，
故选：D
2．数列0.3，0.33，0.333，0.3333，…的一个通项公式是 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】数列9，99，999，9999，…的一个通项公式是 ，则数列0.9，0.99，0.999，0.9999，…
的一个通项公式是 ，则数列0.3，0.33，0.333，0.3333，…的一个通项公式是
．故选：C．
3．数列 的前4项为： ，则它的一个通项公式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】将 可以写成 ，
所以 的通项公式为 ；
故选:C
4．如图所示是一个类似杨辉三角的递推式，则第n行的首尾两个数均为（ ）
A．2n B． C． D．
【答案】B
【解析】依题意，每一行第一个数依次排成一列为：1，3，5，7，9，…，它们成等差数列，通项为 ，
所以第n行的首尾两个数均为 .
故选：B
题型二：叠加法
5．已知数列 满足 ，则 .
【答案】
【解析】因 ，
则 .
故答案为： .
6．毕达哥拉斯学派是古希腊哲学家毕达哥拉斯及其信徒组成的学派，他们把美学视为自然科学的一个组
成部分．美表现在数量比例上的对称与和谐，和谐起于差异的对立，美的本质在于和谐．他们常把数描绘
成沙堆上的沙粒或小石子，并由它们排列而成的形状对自然数进行研究．如图所示，图形的点数分别为
1，5，12，22，…，总结规律并以此类推下去，第10个图形对应的点数为 ，若这些数构成一个数列 ，记数列 的前 项和为 ，则 ．
【答案】
【解析】由图知 ， ， ， ，…，
，累加得 ，
所以 ．
因为 ，
所以 .
故答案为： ；
7．已知数列 满足 ， ，则 ．
【答案】
【解析】因为数列 满足 ，
所以 ， ，…， ，
当 时， ；
当 时， ，满足上式．
综上所述， ．
故答案为： ．
题型三：叠乘法
8．已知数列 ，则数列 的通项为【答案】
【解析】∵ ①，
∴当 时， ②，
- 得： ，即： ，
① ②
∴ ，
∴ ，当 时，结论也成立．
∴ ．
故答案为：
9．设 是首项为1的正项数列，且 ，求通项公式 =
【答案】
【解析】由 ，得 ，
∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，
∴ ，
又 满足上式，∴ .
故答案为： .
10．（2024·四川成都·二模）在数列 中， ， ，则数列 的前 项
和 ．
【答案】
【解析】令 ，显然 ，因为 ，
所以 ，
所以 ， ，又 .由累乘法，可得 ，
，
显然，当 时， 满足上式，
所以 ，
所以 .
故答案为：
题型四：形如a =pa +q型的递推式
n+1 n
11．已知数列 满足 .
(1)求 的通项公式；
(2)若 ，记数列 的前 项和为 ，求证： .
【解析】（1）因为 ，所以 又 ，
所以 ，
所以 是以9为首项，3为公比的等比数列，
所以 ，所以 .
（2）由（1）知 ，
所以
，又 ，
所以 .
12．数列 满足 且 ，则数列 的通项公式是 ．
【答案】【解析】设 ，则 ，
又因为 ，所以 ，则 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 为常数，
所以 是首项为 ，公比为 的等比数列，
所以 ，所以 .
故答案为：
13．已知首项为2的数列 对 满足 ，则数列 的通项公式 .
【答案】
【解析】设 ，即 ，故 ，解得： ，
故 变形为 ， ，
故 是首项为4的等比数列，公比为3，
则 ，
所以 ，
故答案为：
14．已知数列 满足 ， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)证明： .
【解析】（1）由 ，即 ，
可得 ，且 ，故 ，
可知 是首项为2，公比为 的等比数列，
则 ，即 ，
所以数列 的通项公式为 .（2）由（1）可知 .
显然 ， ，
当 时，则 ，可得 .
于是
；
综上所述： .
题型五：形如a =pa +kn+b型的递推式
n+1 n
15．记数列 的前 项和为 ，若 ，且 .
(1)求证：数列 为等比数列；
(2)求数列 的前 项和 的表达式.
【解析】（1）由 ，
则 ，
则 ，
，
故 ，
故 是以 为首项， 为公比的等比数列
（2）由（1）可知， ，故 ，
故．
16．（2024·陕西安康·模拟预测）在数列 中，已知 ．
(1)求 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和．
【解析】（1）因为 ，
所以 ，又 ，
所以 是首项为2，公比为2的等比数列．
所以 ，即 ；
（2）由（1）知 ．
设前 项和为 ，
则 ，
，
两式相减可得
，
所以 .
题型六：形如a =pa +rqn 型的递推式
n+1 n
17．已知数列 满足： ，且 .求 ；
【解析】数列 中，由 ，得 ，
因此数列 是以 为首项，2为公差的等差数列，则 ，
所以 .
18．（2024·高三·河北张家口·开学考试）已知数列 满足 ，且 ．求数列 的通项公式；
【解析】由已知 ，所以 ，又 ，
所以数列 是首项为 ，公比 的等比数列，
所以 ，即 .
题型七：形如a =paq (p>0,a >0)型的递推式
n+1 n n
19．设正项数列 满足 ， ，求数列 的通项公式．
【解析】对任意的 ， ，
因为 ，则 ，
所以， ，且 ，
所以，数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，
所以， ，解得 .
ma
题型八：形如a = n 型的递推式
n+1 pa +q
n
20．数列 中， ， ，则 ．
【答案】
【解析】由 ， ，可得 ，
所以 ，即 (定值)，
故数列 以 为首项， 为公差的等差数列，
所以 ，
所以 ，所以 ．
故答案为： ．21．已知数列 满足 ，则数列 的前8项和 ．
【答案】502
【解析】由 ，取倒数得 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 是首项为2，公比为2的等比数列，
所以 ，则 ，
所以数列 的前8项和 .
故答案为：502
22．已知数列 ，则数列 的通项公式 ．
【答案】
【解析】由题意得 ，故 是首项为1，公差为1的等差数列，
得 ，即 ，
故答案为：
题型九：形如a =pa +qa 型的递推式
n+2 n+1 n
23．已知数列 满足 ， ， ．
(1)证明： 是等比数列；
(2)求 ．
【解析】（1）由已知， ，∴ ，∴ ，
显然 与 ， 矛盾，∴ ，
∴ ，
∴数列 是首项为 ，公比为 的等比数列.
（2）∵ ，∴ ，
∴ ，
显然 与 ， 矛盾，∴ ，
∴∴ ，
∴数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，
∴ ，①，
又∵由第（1）问， ，②，
∴② ①得， ，
24．已知数列 满足 ， ， ，求
【解析】法1：已知 ，所以 ，
则 是首项为 ，公比为3的等比数列，
故 ，则 ，
得，
当n为奇数时， ， ， ， ， ，
累加可得， ，
所以 ，
当n为偶数时， ，
综上， ；
法2：由特征根方程 得， ， ，
所以 ，其中 ，解得 ， ，.
ma +t
题型十：形如a = n 型的递推式
n+1 pa +q
n
25．已知 ， ，则 的通项公式为 ．
【答案】
【解析】 ，① ．②
由 得 ．
又因为 ，所以 是公比为 ，首项为 的等比数列，从而 ，即
．
故答案为：
26．在数列 中， ，且 ，求其通项公式 ．
【解析】因为 ，
所以特征方程为 ，解得 ,
令 ，代入原递推式得 ,
因为 ，所以 ，
故 ,
因此， ，从而 ,
又因为 ，所以 ．27．已知数列 满足 ， ，则 ．
【答案】
【解析】设 ，令 得： ，解得： ；
，化简得， ，
所以 ，从而 ，
故 ，
又 ，所以 是首项和公差均为 的等差数列，
从而 ，故 ．
故答案为：
题型十一：已知通项公式a 与前n项的和S 关系求通项问题
n n
28．已知数列 的前n项和为 ，且 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)令 ，求数列 的前11项和 .
【解析】（1）因为 ，
当 时， ；
当 时， ；
经检验： 满足 ，所以 .
（2）由（1）得： ，
所以 .
29．记数列 的前 项和 ， ．(1)求 的通项公式；
(2)设数列 的前 项和为 ，证明： ．
【解析】（1）因为 ，
当 时， ，
则
，
故 ，即 ，
当 时，有 ，即 ，
故 是公差、首项均为 的等差数列，故 ．
（2）由（1）得 ，
故 ，
则 ．
因为 ，故 ，
又 在 上单调递减，
故 随 的增大而增大，故 ，
综上， ．
30．已知数列 的前 项和为 ，且满足 ．
(1)求证：数列 为等比数列；
(2)已知 ，求数列 的前 项和．
【解析】（1）当 时， ，解得 ，
当 时，由 ，可得 ,
两式相减得 ，所以 ，
又因为 ，所以 是首项为 ，公比为 的等比数列.
（2）由（1）知， ，所以 ，
数列 的前 项和为 ，
可得 ，
两式相减得 ，
所以 ．
31．已知在数列 中， ，前 项和 .
(1)求 、 ；
(2)求数列 的通项公式；
(3)设数列 的前 项和为 ，求 .
【解析】（1）由 及 得 ，
由 及 、 得 ；
（2）当 时， ，整理得 ，
∴ ，
验证，当 时符合，∴当 时， ；
（3）由（2）可知 ，
∴ ，
32．（2024·浙江绍兴·三模）已知数列 的前n项和为 ，且 ， ，设 ．
(1)求证：数列 为等比数列；
(2)求数列 的前 项和 ．
【解析】（1） ，即 ，
即 ，则 ，即 ，即 ，又 ，
故数列 是以 为首项、以 为公比的等比数列.
（2）由（1）易得 ，即 ，则 ，
则 ，
有 ，
则
，
故 .
33．已知数列 的前 项和为 ，且 ．
(1)求 的通项公式；
(2)已知 ，集合 中元素个数为 ，求 ．
【解析】（1）令 ，得 .
当 时，因为 ，所以 ，
两式相减得 ，即 ，所以 ，
所以 ，即 ，
所以
又 ，符合上式，所以 ；
（2）由 ，可得 ，
所以 .
.
题型十二：周期数列
34．（2024·内蒙古包头·一模）已知数列 的前 项和为 ， ， ， ，则
．
【答案】6【解析】因为 ， ， ，
则 ， ， ， ， ，
所以数列 是周期为6的数列，且 ，
所以 .
故答案为：6
35．（2024·上海浦东新·模拟预测）已知 ，且 （ 为正整数），则 .
【答案】
【解析】因为 ，且 ，
所以 ， ，
， ，
， ， ，
所以 是以 为周期的数列，
因为 ，
所以 .
故答案为：
36．（2024·上海普陀·模拟预测）已知数列 满足 ， ， ，则数列 的前
项积的最大值为 ．
【答案】1
【解析】 ,
，两式相除得： ，
所以数列 是以3 为周期的周期数列,由 ， ，得：
记数列 的前n 项积为 ,结合数列的周期性，，当 时,
，
，，
所以数列 的前 项积的最大值为1.
故答案为：1
37．（2024·河北·模拟预测）若数列 满足 ， ，则 .
【答案】 /
【解析】由题意知 ， ，故 ，
，故 ，
同理 ，
由此可知数列 为周期性数列，每3项为一个周期，
故 ，
故答案为：
题型十三：前n项积型
38．（2024·福建厦门·高三厦门外国语学校校考期末） 为数列 的前n项积，且 ．
(1)证明：数列 是等比数列；
(2)求 的通项公式．
【解析】（1）证明： 由已知条件知 ①,
于是 ． ②,
由①②得 ． ③ ，
又 ④，
由③④得 ，所以 ，
令 ，由 ，得 ， ，所以数列 是以4为首项，2为公比的等比数列；
（2）由（1）可得数列 是以4为首项，2为公比的等比数列．
，
法1： 时， ，
又 符合上式，所以 ；
法2：将 代回 得： ．
39．已知数列 的前n项之积为 ，且 ．
求数列 和 的通项公式；
【解析】∵ ①，∴ ②，
由①②可得 ，由① 也满足上式，∴ ③，
∴ ④，由③④可得 ，
即 ，∴ ，∴ ．
40．已知数列 的前n项积 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)记 ，数列 的前n项为 ，求 的最小值.
【解析】（1） .
当 时， ；
当 时， ，也符合 .
故 的通项公式为 .
（2） ，
，
是以 为首项，2为公差的等差数列，，
当 时， 的最小值为 .
题型十四：“和”型求通项
41．（2024•南明区校级月考）若数列 满足 ，则 ．
【解析】解： ，
则
．
故答案为： ．
42．（2024·青海西宁·二模）已知 为数列 的前 项和， ， ，则 （ ）
A．2020 B．2021 C．2022 D．2024
【答案】C
【解析】当 时， ，
当 时，由 得 ，
两式相减可得
，即 ，
所以 ，可得 ，
所以 .
故选：C.
43．已知数列 的前 项和为 ，若 ，且 ， ，则 的值为( )
A．－8 B．6 C．－5 D．4
【答案】C
【解析】对于 ，
当 时有 ，即
，
，
两式相减得：
，由 可得
即 从第二项起是等比数列，
所以 ，
即 ，
则 ，故 ，
由 可得 ，
故选C.
44．数列 满足： ，求通项 .
【解析】由已知当 时，可得 ，
当 时， ，
与已知式联立，两式相减，
得 ，
，
，
，
即奇数项构成的数列 是每项都等于 的常数列，
偶数项构成的数列 是每项都等于 的常数列，
.
题型十五：正负相间讨论、奇偶讨论型
45．已知数列 满足： ，求此数列的通项公式.
【解析】在数列 中，由 ，得 ，当 时， ，
两式相除得： ，因此数列 构成以 为首项， 为公比的等比数列；
数列 构成以 为首项， 为公比的等比数列，于是 ，所以数列 的通项公式是 .
46．（2024·山东·校联考模拟预测）已知数列 满足 ．
(1)求 的通项公式；
(2)设数列 的前 项和为 ，且 ，求 的最小值．
【解析】（1）由题意知当 时， ．
设 ，则 ，所以 ，即 ．
又 ．
所以 是首项为4，公比为2的等比数列．
所以 ．即 ．
（2）当 为偶数时， ，即
，
令 ．则可解得 ．即 ．
又因为
故 的最小值为95．
47．（2024·湖南长沙·长郡中学校联考模拟预测）已知数列 满足 ，且
(1)设 ，求数列 的通项公式；
(2)设数列 的前n项和为 ，求使得不等式 成立的n的最小值．
【解析】（1）因为
所以 ， ， ，所以 ．
又因为 ，所以 ，所以 ．因为 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，所以 ，所以 ，
即 ，
所以 ，
又因为 ，所以 ，所以 ，
所以数列 是以2为首项，2为公比的等比数列，
所以 ，即 ．
（2）由（1）可知 ，所以 ，
所以 ，
又因为 ，所以 ，
即 ，所以 ，
所以 ，
因为 ，
，
所以 是一个增数列，
因为 ， ，
所以满足题意的n的最小值是20．
题型十六：因式分解型求通项
48．（2024•四川模拟）已知数列 的各项均为正数，且满足 ．
（1）求 ， 及 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和 ．
【解析】解：（1）当 时， ，
；
当 时， ，；
由已知可得 ，且 ，
．
（2）设 ，
，
是公比为4的等比数列，
．
题型十七：双数列问题
49．已知数列 和 满足 ， ， ， .则 ＝_______.
【答案】
【解析】 ， ，且 ， ，则 ，
由 可得 ，代入 可得 ，
，且 ，
所以，数列 是以 为首项，以 为公比的等比数列，则 ，
在等式 两边同时除以 可得 ，
所以，数列 为等差数列，且首项为 ，公差为 ，
所以， ， ，
则 ，
因此， .
故答案为： .
50．（2024·上海奉贤·二模）数列 ， 满足 ， ， .
（1）求证： 是常数列；（2）若 是递减数列，求 与 的关系；
【解析】（1） ， ， ， ，
， ，因此，数列 是常数列；
（2） 数列 是递减数列， ，
， ，
， ， ， ，
猜想 ， 恒成立，
，
时，数列 是递减数列；
51．（2024·高三·辽宁·期中）已知数列 、 满足 ，且
（1）令 证明： 是等差数列， 是等比数列；
（2）求数列 和 的通项公式；
（3）求数列 和 的前n项和公式．
【解析】（1） ，
将上述两等式相加得 ，
即 ，因此 ，又 ，
所以数列 是首项为 ，公差为 的等差数列， .
又由题设得 ，即 ，
因此 ，又 ，
所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列， ；（2）由（1）知 ， ，即 ，
解得 ， ；
（3）设数列 和 的前 项和分别为 、 ，
则
，同理可得
.
题型十八：通过递推关系求通项
52．某校高一学生1000人，每周一次同时在两个可容纳600人的会议室，开设“音乐欣赏”与“美术鉴
赏”的校本课程.要求每个学生都参加，要求第一次听“音乐欣赏”课的人数为 ，其余的
人听“美术鉴赏”课；从第二次起，学生可从两个课中自由选择.据往届经验，凡是这一次选择“音乐欣
赏”的学生，下一次会有20%改选“美术鉴赏”，而选“美术鉴赏”的学生，下次会有30%改选“音乐欣
赏”，用 ， 分别表示在第 次选“音乐欣赏”课的人数和选“美术鉴赏”课的人数.
(1)若 ，分别求出第二次，第三次选“音乐欣赏”课的人数 ， ；
(2) 证明数列 是等比数列，并用n表示 ；
②若①要求前十次参加“音乐欣赏”课的学生的总人次不超过5800，求m的取值范围.
【解析】（1）由已知 ，且 ， ，
因为 ，所以 ，
所以 ， ，
所以 .
所以 .
（2）①由（1）得 ，
所以 ，因为 ，故 ，所以数列 是以 为首项、 为公比的等比数列，
所以 ，即 .
②前十次参加“音乐欣赏”课的学生的总人次即为数列 的前10项和 ，
所以
，
由已知 ，
，又 且 ，
所以 的取值范围为 且 .
53．某区域市场中 智能终端产品的制造全部由甲､乙两公司提供技术支持．据市场调研及预测， 商
用初期，该区域市场中采用的甲公司与乙公司技术的智能终端产品各占一半，假设两家公司的技术更新周
期一致，且随着技术优势的体现，每次技术更新后，上一周期采用乙公司技术的产品中有 转而采用甲
公司技术，采用甲公司技术的产品中有 转而采用乙公司技术．设第 次技术更新后，该区域市场中采
用甲公司与乙公司技术的智能终端产品占比分别为 和 ，不考虑其他因素的影响．
(1)用 表示 ，并求使数列 是等比数列的实数 ．
(2)经过若干次技术更新后，该区域市场采用甲公司技术的智能终端产品的占比能否达到 以上？若能，
则至少需要经过几次技术更新；若不能，请说明理由．
【解析】（1）由题意知，经过 次技术更新后， ，
则 ，
即 ．
设 ，则 ，
令 ，解得 ．
又 ，
所以当 时， 是以 为首项， 为公比的等比数列．（2）由（1）可知 ，则 ， ．
所以经过 次技术更新后，该区域市场采用甲公司技术的智能终端产品的占比为 ．
对于任意 ，所以 ，
即经过若干次技术更新后，该区域市场采用甲公司技术的智能终端产品的占比不会达到 以上．
54．某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产．该企业第一年年初有资金2000万元，将其投入生产，
到当年年底资金增长了 ．预计以后每年年增长率与第一年的相同，公司要求企业从第一年开始，每年
年底上缴资金 万元，并将剩余资金全部投入下一年生产．设第 年年底企业上缴资金后的剩余资金为
万元．
(1)用 表示 与 ，并写出 与 的关系式；
(2)求证：当 时，数列 为等比数列，并说明 的现实意义；
(3)若公司希望经过 年使企业的剩余资金为4000万元，试确定企业每年上缴资金 的近似值（ 取整数）．
【解析】（1）依题意， ， ，
.
（2）由（1）知， ，则 ，当 时， ，
所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，
当 时， ，才能保证每年投入生产高于 万元.
（3）由（2）知，数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，
因此 ，即 ，
由 ，得 ，解得 ，
所以企业每年上缴资金 约为 万元.
55．某电视频道在一天内有x次插播广告的时段，一共播放了y条广告，第一次播放了1条以及余下的
条的 ，第2次播放了2条以及余下的 ，第3次播放了3条以及余下的 ，以后每次按此规律插播
广告，在第 次播放了余下的x条．
(1)设第 次播放后余下 条，这里 ， ，求 与 的递推关系式．(2)求这家电视台这一天播放广告的时段x与广告的条数y．
【解析】（1）依题意，第 次播放了 ，
因此 ，整理得 ．
（2）∵
，
又∵ ，
∴ ．
∴ ，
∴
∴ ．
∵当 时， ， 与 互质， ，
∴ ，则
即 ．
56．治理垃圾是 地改善环境的重要举措．去年 地产生的垃圾量为200万吨，通过扩大宣传、环保处理
等一系列措施，预计从今年开始，连续5年，每年的垃圾排放量比上一年减少20万吨，从第6年开始，每
年的垃圾排放量为上一年的 .
(1)写出 地的年垃圾排放量与治理年数 的表达式；
(2)设 为从今年开始 年内的年平均垃圾排放量，证明数列 为递减数列；
(3)通过至少几年的治理， 地的年平均垃圾排放量能够低于100万吨？
【解析】（1）设治理 年后， 地的年垃圾排放量构成数列 .当 时， 是首项为 ，公差为 的等差数列，
所以 ；
当 时，数列 是以 为首项，公比为 的等比数列，
所以 ，
所以，治理 年后， 地的年垃圾排放量的表达式为
（2）设 为数列 的前 项和，
则 ．
由于
由（Ⅰ）知，
时， ，所以 为递减数列，
时， ，所以 为递减数列，
且 ，
所以 为递减数列，
于是 ，
因此 ，
所以数列 为递减数列．
（3）由于 是递减数列，且 ，
所以，5年内年平均垃圾排放量不可能低于100万吨．
时，由于 ，所以
．
因为 ，
，
综上所述，至少经过10年治理A地年平均垃圾排放量才能低于100万吨．
1．（2024·西藏·模拟预测）已知数列 对任意 满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由 ，得 ，
所以 ，
所以 ，即 ．
①
又因为 ，
两式相乘，②得 ．
①故选②：A．
2．（2024·陕西西安·模拟预测）已知数列 的前 项和为 ，则 （ ）
A．190 B．210 C．380 D．420
【答案】B【解析】数列 中， ， ，当 时， ，
两式相减得 ，即 ，
因此 ，显然数列 是常数列，
而 ，解得 ，于是 ，因此 ，
所以 .
故选：B
3．（2024·江苏盐城·模拟预测）若数列 满足 ， 的前 项和为 ，则
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
当 时， ，
，
，
；
当 时， ，解得： ，不满足 ， ；
当 时， ，
又 满足 ， .
故选：D.
4．（2024·湖北黄冈·模拟预测）已知数列 的首项 ，且满足 ，若
，则满足条件的最大整数 （ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】B【解析】 ，令 ，
则 ，又 ，
所以 是以1为首项，2为公比的等比数列，
得 ，所以 ，
∴ ，
由 ，解得 .
故选：B
5．已知数列 满足， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由 ，得 ，
所以 ， ， ， ， （ ， ），
累乘可得 ，又 ，得 .
设 ①，
则 ②，
- 得 ，
① ②
，
，
.
故选：C.
6．（2024·安徽阜阳·模拟预测）设正数数列 的前 项和为 ，且 ，则（ ）
A． 是等差数列 B． 是等差数列 C． 单调递增 D． 单调递增
【答案】D
【解析】依题意可得： ， .因为 ，
所以当 时， ，即 ，解得 ，
当 时， ，整理得： ，
所以数列 是以 为首项， 为公差的等差数列.
从而 ， .
因为当 时， ，
当 时， .
也适合上式，
所以 ，故选项A、B错误，选项D正确.
因为 ，
所以选项C错误.
故选：D.
7．（2024·北京朝阳·二模）北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中记载了“隙积术”，提出长方台形垛积的一
般求和公式.如图，由大小相同的小球堆成的一个长方台形垛积的第一层有 个小球，第二层有
个小球，第三层有 个小球……依此类推，最底层有 个小球，共有 层，由
“隙积术”可得 这 些 小 球 的 总 个 数 为 若由小球堆成的某个长
方台形垛积共8层，小球总个数为240，则该垛积的第一层的小球个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】由题意知， ，于是得最底层小球的数量为 ，即 ， .
从而有 ，
整理得 ，
，
，， ，
由于 皆为正整数，所以
（i）当 时， ，
当 时， ，
（iii）当 时， ，
（iv）当 时，
只有 符合题意，即 的值为2.
故选：B.
8．（2024·山西·三模）已知数列 对任意 均有 .若 ，则
（ ）
A．530 B．531 C．578 D．579
【答案】C
【解析】因为 ，可知数列 是以首项 ，公差 的等差数列，
所以 ，
又因为 ，即 ，
可得 ，
累加可得 ，
则 ，所以 .
故选：C.
9．（多选题）（2024·四川内江·模拟预测）甲、乙、丙、丁、戊、己6名同学相互做传接球训练，球从甲
手中开始，等可能地随机传向另外5人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外5人中的1人，
如此不停地传下去，假设传出的球都能被接住.记第 次传球之后球在乙手中的概率为 .则下列正确的有
（ ）
A．
B． 为等比数列
C．设第 次传球后球在甲手中的概率为
D．
【答案】ABD【解析】依题意 ， ，
第 次传球之后球在乙手中，则当 时，第 次传球之后球不在乙手中，其概率为 ，
第 次传球有 的可能传给乙，因此 ，
于是 ，而 ，则 是以 为首项，公比为 的等比数列，
所以 ，则 ，故A、B、D正确；
因为 ， ，当 时 ，
则 ，又 ，
所以 是以 为首项，公比为 的等比数列，
所以 ，所以 ，
则 ， ，
所以 ，
所以 ，故C错误.
故选：ABD
10．（多选题）（2024·山东·模拟预测）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这
样的一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，….该数列的特点如下：前两个数均为1，从第三个数起，每一
个数都等于它前面两个数的和.人们把这样的一列数组成的数列称为斐波那契数列，若用 表示
斐波那契数列的第 项，则数列 满足： ， .则下列说法正
确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD【解析】对于A，由题意可知斐波那契数列的前10项为1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，
所以 ，所以A错误，
对于B，当 时， ， ， ，
所以三式相加得 ，
所以 ，所以B正确，
对于C，因为数列 满足： ， ，
所以 ， ， ，……，
， ， ，
以上2023个等式相加得 ,
因为 ，所以 ，所以C正确，
对于D，因为 ， ，
所以 ， ,
, ,
……,
,
所以 ，所以D正确，
故选：BCD
11．（多选题）（2024·重庆·模拟预测）已知数列 ， ，记 ， ，
若 且 则下列说法正确的是（ ）
A． B．数列 中的最大项为
C． D．
【答案】BD
【解析】对于A，由已知 ，
当 时， ，即 ， ，
当 时， ，即 ，所以 ，即 ，
所以数列 是以 为首项， 为公差的等差数列，
所以 ，即 ，A选项错误；
对于B，所以 ， ，且数列 单调递减，
所以数列 中的最大项为 ，B选项正确；
对于C， ，
，
所以 ，C选项错误；
对于D，又 ，所以 ，即 ，D选项正确；
故选：BD.
12．（2024·陕西铜川·模拟预测）已知数列 的前三项依次为 的前 项和 ，则
．
【答案】2024
【解析】由题意知 ， ， ，
解得 ， ， ，
所以 ， .
故答案为：2024.
13．（2024·内蒙古·三模）假设在某种细菌培养过程中，正常细菌每小时分裂1次（1个正常细菌分裂成2
个正常细菌和1个非正常细菌），非正常细菌每小时分裂1次（1个非正常细菌分裂成2个非正常细菌）.
若1个正常细菌经过14小时的培养，则可分裂成的细菌的个数为 .
【答案】 /131072
【解析】设经过 小时，有 个正常细菌， 个非正常细菌，
则 ， .
又 ， ，所以 ， ，
则 ，所以 ，所以 是首项和公差均为 的等差数列，
所以 ，
所以 ，所以 .
故答案为： .
14．（2024·上海·模拟预测）已知无穷数列 的前 项和为 ，不等式 对任意不等于2的正整数
恒成立，且 ，那么这样的数列有 个.
【答案】4
【解析】当 时， ，得 或 ，
当 时，由 ，得 ，
两式相减得： ，
整理得 ，所以 或 ，
当 时，若 ，可得 ，
因为不等式 对任意不等于2的正整数 恒成立，
所以 对任意不等于2的正整数 恒成立，
则当 时， ，即 ， ， ， ，成立；
若 ， 时， ，即 ， ， ， ，成立；
当 时，若 ，可得 ， ，不合题意，舍去；
当 时，若 ，可得 ，
由题意可得 对任意不等于2的正整数 恒成立，
则当 时， ，即 ， ， ， ，成立；
若 ， 时， ，即 ， ， ， ，成立；
当 时，若 ，可得 ， ，不合题意，舍去．
所以满足题意的数列有4个．
故答案为：4.
15．（2024·吉林·模拟预测）已知数列 的前 项和为 ，且 .
(1)求实数 的值和数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 .
【解析】（1）当 时， ，，
，
当 时， ，
整理得 ，
数列 是以1为首项，3为公比的等比数列，
；
（2）法一：
，
①，
②，
① ②得
；
法二：
，
设 ，
且 ，解得 ，
，
即 ，其中 ，，
.
16．（2024·江西宜春·模拟预测）数列 满足 ．
(1)求 的通项公式；
(2)若 ，求 的前 项和 ．
【解析】（1）数列 满足 ，
当 时， ，
两式相减可得， ，所以 ，
当 时， 也满足上式，
所以 ；
（2）由（1）得 ，
所以 ，
则 ，
两式相减的， ，
所以 ．
17．（2024·陕西安康·模拟预测）记 为数列 的前 项和，已知 .
(1)求 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 .
【解析】（1）由 ，可得 ，所以 ，
又由 ，所以 ，所以数列 是以1为首项，1为公差的等差数列，
所以 ，则 ，当 时， ，所以 ，
又当 时， 满足上式，
所以 的通项公式为 .
（2）由（1）可知当 为奇数时， ；
当 为偶数时， ，
所以
18．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知各项均为正数的数列 前 项和为 ，且 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)证明： ．
【解析】（1）因为 ①，所以 ②， ③，
由③得： ，所以 ，
- 得： ，整理得： ，
② ①
又因为 各项均为正数，所以 ，
所以 是公差 的等差数列， ．
（2）由（1）， ，
所以 ，
所以 ．
19．（2024·福建泉州·模拟预测）将足够多的一批规格相同、质地均匀的长方体薄铁块叠放于水平桌面上，
每个铁块总比其下层铁块向外伸出一定的长度，如下图，那么最上层的铁块最多可向桌缘外伸出多远而不
掉下呢？这就是著名的“里拉斜塔”问题．将铁块从上往下依次标记为第1块、第2块、第3块、……、
第n块，将前 块铁块视为整体，若这部分的重心在第 块的上方，且全部铁块整体的重
心在桌面的上方，整批铁块就保持不倒．设这批铁块的长度均为1，若记第n块比第 块向桌缘外多伸
出的部分的最大长度为 ，则根据力学原理，可得 ，且 为等差数列．(1)求 的通项公式；
(2)记数列 的前 项和为 ．
①比较 与 的大小；
②对于无穷数列 ，如果存在常数 ，对任意的正数 ，总存在正整数 ，使得 ， ，
则称数列 收敛于 ，也称数列 的极限为 ，记为 ；反之，则称 不收敛．请根据数
列收敛的定义判断 是否收敛？并据此回答“里拉斜塔”问题．
【解析】（1）依题意，第1块铁块比第2块铁块向桌外伸出部分的最大长度为第1块铁块自身长度的一半，
则 ，
由 为等差数列，得其首项为 ，公差 ，
因此 ，即 ，
所以 的通项公式是 .
（2）①由（1）知， ，
令函数 ，求导得 ，即函数 在 上递减，
则 ，即 ，取 ，于是 ，
则 ，
所以 .
② 不收敛.
给定正数 ，对 ，令 ，则 ，解得 ，取 （ 表示不超过 的最大整数），
显然当 时，不等式 不成立，即有 ，
因此数列 不收敛；
取 ，则当 时， ，
因此当 时， 成立，
所以 不收敛.
的意义是 块叠放的铁块最上层的最多可向桌缘外伸的长度，因为 不收敛于任意正数 ，
所以只要铁块足够多，最上层的铁块最多可向桌缘外伸出的长度可以大于任意正数.
1．（2012年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（湖北卷））传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家
经常在沙滩上面画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数：
将三角形数1,3， 6,10，…记为数列 ，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列
，可以推测：
（Ⅰ） 是数列 中的第 项；
（Ⅱ） ．（用 表示）
【答案】 5030； .
【解析】由三角形数规律可得 ，
所以 ，累加得 ，所以 ，当 时仍成立，故 ，
写出若干项有：
其中能被5整除的有 ，故 ，
从而由上述规律可猜想： （ 为整数），
所以 ，即 是数列 中的第5030项.
故答案为：5030； .
2．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）记 为数列 的前 项和，已知 ．
(1)求 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 ．
【解析】（1）当 时， ，解得 ．
当 时， ，所以 即 ，
而 ，故 ，故 ，
∴数列 是以4为首项， 为公比的等比数列，
所以 .
（2） ,
所以
故
所以
，
.
3．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）设 为数列 的前n项和，已知 ．
(1)求 的通项公式；(2)求数列 的前n项和 ．
【解析】（1）因为 ，
当 时， ，即 ；
当 时， ，即 ，
当 时， ，所以 ，
化简得： ，当 时， ，即 ，
当 时都满足上式，所以 ．
（2）因为 ，所以 ，
，
两式相减得，
，
，即 ， ．
4．（2022年新高考全国I卷数学真题）记 为数列 的前n项和，已知 是公差为 的等差数
列．
(1)求 的通项公式；
(2)证明： ．
【解析】（1）∵ ，∴ , ,
∴
又∵ 是公差为 的等差数列，
, ,
∴ ∴
∴当 时， ，,
∴
整理得： ,
即 ,
∴
，
显然对于 也成立，
∴ 的通项公式 ；
（2）
∴
5．（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）记 为数列 的前n项和， 为数列 的前n项积，已
知 ．
（1）证明：数列 是等差数列;
（2）求 的通项公式．
【解析】（1）[方法一]：
由已知 得 ,且 ， ,
取 ,由 得 ,
由于 为数列 的前n项积，
所以 ,
所以 ，
所以 ,
由于所以 ，即 ,其中
所以数列 是以 为首项，以 为公差等差数列;
[方法二]【最优解】：
由已知条件知 ①
于是 ． ②
由①②得 ． ③
又 ， ④
由③④得 ．
令 ，由 ，得 ．
所以数列 是以 为首项， 为公差的等差数列．
[方法三]：
由 ，得 ，且 ， ， ．
又因为 ，所以 ，所以
．
在 中，当 时， ．
故数列 是以 为首项， 为公差的等差数列．
[方法四]：数学归纳法
由已知 ，得 ， ， ， ，猜想数列 是以 为首项， 为公差的等
差数列，且 ．
下面用数学归纳法证明．
当 时显然成立．
假设当 时成立，即 ．那么当 时， ．
综上，猜想对任意的 都成立．
即数列 是以 为首项， 为公差的等差数列．
（2）由（1）可得，数列 是以 为首项，以 为公差的等差数列，
,
,
当n=1时， ,
当n≥2时, ,显然对于n=1不成立,
.
∴
【整体点评】（1）方法一从 得 ，然后利用 的定义，得到数列 的递推关系，进
而替换相除消项得到相邻两项的关系，从而证得结论；
方法二先从 的定义，替换相除得到 ，再结合 得到 ，从而证得结论，为最优
解；
方法三由 ，得 ，由 的定义得 ，进而作差证得结论；方法四利用
归纳猜想得到数列 ，然后利用数学归纳法证得结论．
（2）由（1）的结论得到 ，求得 的表达式,然后利用和与项的关系求得 的通项公式；
6．（2020年浙江省高考数学试卷）已知数列{an}，{bn}，{cn}中，
．
（Ⅰ）若数列{bn}为等比数列，且公比 ，且 ，求q与{an}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{bn}为等差数列，且公差 ，证明： ．【解析】（I）依题意 ，而 ，即 ，由于 ，所以解得 ，所以
.
所以 ，故 ，所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，所以 .
所以 （ ）.
所以 ，又 ， 符合，
故 .
（II）依题意设 ，由于 ，
所以 ，
故
.
又 ，而 ，
故
所以
.
由于 ，所以 ，所以 .
即 ， .
7．（2018年全国普通高等学校招生统一考试数学（江苏卷））设 ，对1，2，···，n的一个排列
，如果当s
