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期末复习-勾股定理核心知识必考题训练（50题）
题型一：勾股定理
1．如图，数轴上的点A 所表示的数为x，则x的值为（ ）
A．√2 B． C．2 D．-2
2．已知 △ABC 中， AC=3 ， AB=5 ， ∠C=90° ，则 △ABC 的周长等于（
）
A．11 B．8+√34 C．12 D．13
3．如图，P为正方形ABCD的对角线AC上任意一点，PE⊥AB于E，PF⊥BC于F，若
AC＝ √2 ，则PE+PF=（ ）
A．√2 B．2 √2 C．2 D．1
4．勾股定理是中国几何的根源，中华数学的精髓，诸如开方术、方程术、天元术等技
艺的诞生与发展，寻根探源，都与勾股定理有着密切关系，在一次数学活动中，数学
小组发现如下图形：在△ABC中，∠ACB=90°，图中以AB、BC、AC为边的四边形
都是正方形，并且经测量得到三个正方形的面积分别为225、400、S，则S的值为（
）A．25 B．175 C．600 D．625
5．如图，在△ABC中，∠ABC=60°，D为AC的中点，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别
为点E，F，且DE=DF=√2，则线段BE的长为（ ）
A．√2 B．√6 C．2 D．2√2
6．在直角坐标系中，点P（4，﹣3）到原点的距离是（ ）
A．5 B．√11 C．√13 D．√5
7．如图，小明和小华同时从P处分别向北偏东60°和南偏东30°方向出发，他们的速度
分别是3m/s和4m/s，则20s后他们之间的距离为（ ）
A．70m B．80m C．90m D．100m
8．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=2，点D在BC上，∠ADC=2∠B，
AD=√5，则BC的长为（ ）
A．√3-1 B．√3+1 C．√5+1 D．
2√5-1题型二：勾股定理的逆定理
9．已知三角形的三边长为a、b、c，如果（a﹣5）2+|b﹣12|+（c-13）2=0，则△ABC是
（ ）
A．以a为斜边的直角三角形 B．以b为斜边的直角三角形
C．以c为斜边的直角三角形 D．不是直角三角形
10．如图，在四边形ABCD中，AB=BC=2，CD=3，AD=1，∠B=90°，∠D=α.
则∠BCD的大小为（ ）
A．α B．90°-α C．45°+α D．
135°-α
11．如图，在△ABC中，点D是AB上一点，连接CD，AC=2√3 ，BC=2，DB=1，
CD= √3 ，则AB的长为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
12．以下列几组数为三角形的边，能组成直角三角形的是（ ）
A．5、10、12 B．6、8、10 C．2、3、4 D．4、5、
6
13．已知下列三角形的各边长：①3、4、5，②3、4、6，③5、12、13，④5、11、12
其中直角三角形有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
14．如图，一块三角形木板，测得AB＝13，BC＝5，AC＝12，则三角形木板ABC的
面积为（ ）
A．60 B．30 C．65 D．不能确
定
二、解答题15．如图所示，小明制作一个模具，AD=4cm，CD=3cm，∠ADC=90°，
AB=13cm，BC=12cm，求这个模具的面积．
1
16．已知正方形ABCD的边长为4，E为AB中点，F为AD上的一点，且AF= AD，
4
求证：CE⊥EF．
17．已知a，b，c为△ABC的三边长，且满足（a﹣5）2+（b﹣12）2+|c﹣13|＝0，请判
断△ABC的形状，并说明理由.
题型三：勾股定理的实际应用
18．如图，已知圆柱形茶杯，底面直径为5厘米，将长为20厘米的筷子沿底面放入杯
中，筷子露在茶杯口外的最短长度是7厘米，求茶杯的高度.
19．如图，在一次课外活动中，同学们要测量某公园人工湖两侧A，B两个凉亭之间的
距离，已知CD⊥BD，现测得AC= 20√3m ，BC= 60m ，CD= 30m ，请计算A，B
两个凉亭之间的距离.
20．如图，马路一边有一根5.4m长的电线杆被一辆货车从离地面1.5m处撞断裂，倒
下的电线杆顶部C 是否会落在离它底部3.8m远的快车道上？说明理由．
121．春节期间，乐乐帮妈妈挂灯笼时，发现，如图长2.5米的梯子AB斜靠在一竖直的
墙AC上，这时BC为1.5米，当梯子的底端B向右移动0.5米到D处时，你能帮乐乐算
算梯子顶端A下滑多少米吗？（E处）．
22．如图，一个工人拿一个2.5米长的梯子，底端A放在距离墙根C点0.7米处，另一
头B点靠墙，如果梯子的顶部下滑0.4米，则梯子的底部向外滑多少米？
23．《城市交通管理条例》规定：小汽车在城市街路上的行驶速度不得超过70千米/时．
如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪A正
前方30米的C处，过了2秒后，小汽车行驶至B处，若小汽车与观测点间的距离AB为
50米，请通过计算说明：这辆小汽车是否超速？24．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子 AB 斜靠在左墙时，梯子底端到左墙
角的距离 AC 为0.7米，顶端到地面距离 BC 为2.4米，如果保持梯子底端位置不动，
将梯子斜靠在右墙时，顶端到地面距离 B'D 为2米，求小巷的宽度 CD .
25．如图是一个滑梯示意图，点A，C，D在同一水平线上，滑梯的高度BC=3米，
DC=1米，AB=AD，求滑梯AB的长．
26．如图，在笔直的铁路上 A,B 两点相距 20km ， C,D 为两村庄， DA=8km ，
CB=14km ， DA⊥AB 于 A ， CB⊥AB 于 B .现要在 AB 上建一个中转站
E ，使得 C ， D 两村到 E 站的距离相等，求 AE 的长.
题型四：立体图形与最短距离
27．如图,长方体的长BE=15cm,宽AB=10cm,高AD=20cm,点M在CH上,且CM=5cm,一
只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点M,需要爬行的最短距离是多少?28．如图，圆柱形无盖玻璃容器，高18cm，底面周长为60cm，在外侧距下底1cm的
点C处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口1cm的F处有一苍蝇，
试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线的长度．
29．如图，长方体的底面边长分别为1cm和3cm，高为6cm,如果用一根细线从点A开
始经过4个侧面缠绕一圈到达B(B为棱的中点)，那么所用细线最短需要多长？如果从
点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B，那么所用细线最短需要多长？
题型五：折叠问题
30．如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使点C恰好落在AB边的中点C'上，点D落在
D'处，C'D'交AE于点M．若AB=6，BC=9，求线段ED．
31．已知，如图所示，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，如果
AB=3cm，BC=5cm，求FC的长．32．如图，矩形纸片ABCD中，AB=5,BC=10,现把矩形纸片ABCD沿对角线BD折
叠，点C与C'重合，求AF的长．
33．如图所示,沿AE折叠长方形ABCD使点D恰好落在BC边上的点F处,已知AB=8
cm ,BC=10 cm ，求EC的长。
34．如图，在RtΔABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，将△ABC折叠，使点B恰好落在
边AC上，与点B′重合，AE为折痕，求EB′的长.
35．如图，在正方形纸片ABCD中，E是CD的中点，将正方形纸片折叠，点B落在线
段AE上的点G处，折痕为AF.若AD=4 cm，求CF的长.题型六：格点问题
36．如图，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点．已知
A，B，C都是格点．小明发现∠ABC是直角，请补全他的思路．
小明的思路
先利用勾股定理求出△ABC的三条边长，可得AB=√10，BC= ，AC= ，
从而得到AB，BC，AC之间的关系是 ，根据 ，
△ABC的形状为 可得∠ABC是直角．
37．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，△ABC为格点三角形（即
A，B，C均为格点），求BC上的高．
38．如图，正方形网格中每个小正方形的边长为1，试回答问题：∠BCD是直角吗？
说明理由.
39．如图，在边长为1的正方形网格上，有一个△ABC，它的各个顶点都在格子上，△ABC是直角三角形吗？为什么？
三、综合题
40．如图，6×6网格中每个小正方形的边长都为1，△ABC的顶点均在网格的格点上.
（1）填空：AB= ，BC= ，AC= .
（2）判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）在图中的格点上是否存在点P，使∠APC=90°，请在图中标出所有满足条件
的格点P（点B除外）（用P 、P ……表示）
1 2
41．如图△ABC的三个顶点均在边长为1的正方形网格的格点上．
（1）求△ABC各边边的长
（2）求△ABC的面积
题型七：方向距离问题
42．如图，一艘轮船从港口A出发，沿北偏东60°方向航行了30√3海里到达点B，有
一个小岛C，恰好在A的北偏东30°方向，在B处的北偏西30°方向．（1）∠BAC＝ ．
（2）求A，C间的距离．
43．如图，一条笔直的公路l经过树湘纪念馆A和何宝珍故里B两个红色文化景区，
我县准备进一步开发月岩景区C，经测量景区C位于A的北偏东60°方向上，C位于B
的北偏东30°的方向上，且AB＝20km，
（1）求何宝珍故里B与月岩景区C的距离；
（2）为了方便游客到月岩景区C游玩，景区管委会准备由景区C向公路l修一条距
离最短的公路，不考虑其他因素，求出这条最短公路的长.（结果保留根号）
44．一艘轮船从A港向南偏西48°方向航行100km到达B岛，再从B岛沿BM方向航行
125km到达CA岛，A港到航线BM的最短距离是60km．
（1）若轮船速度为25km/小时，求轮船从C岛沿CA返回A港所需的时间．
（2）C岛在A港的什么方向？
45．如图，一艘轮船位于灯塔C的北偏东30°方向上的A处，且A处距离灯塔C处80
海里，轮船沿正南方向匀速航行一段时间后，到达位于灯塔C的东南方向上的B处．（1）求灯塔C到达航线AB的距离；
（2）若轮船的速度为20海里/时，求轮船从A处到B处所用的时间（结果保留根
号）．
题型八：综合-动点问题
46．已知：如图，在 RtΔABC 中， ∠ACB=900 ， AB=5cm,AC=3cm, 动点 P
从点 B 出发沿射线 BC 以 2cm/s 的速度运动，设运动的时间为 ts ，
（1）当 ΔABP 为直角三角形时，求 t 的值；
（2）当 ΔABP 为等腰三角形时，求 t 的值。
47．如图所示，在 ΔABC 中， ∠ACB=90∘,AB=50cm,AC=40cm ，点 P 从点
C 开始沿 CA 边向点 A 以 4cm/s 的速度运动，同时，另一点 Q 从点 C 开始以
3cm/s 的速度沿 CB 边向点 B 运动.
（1）几秒钟后， PQ 的长度是 15cm ？
1
（2）几秒钟后， ΔPCQ 的面积是 ΔABC 面积的 ？
4
48．如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=16cm，AC=20cm，P、Q是△ABC的边上
的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点
B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t
s．（1）BC= cm；
（2）当t为何值时，点P在边AC的垂直平分线上？
（3）当点Q在边CA上运动时，求出使△BCQ成为等腰三角形的t值．
49．如图，Rt△ABC，AC⊥CB，AC=15，AB=25，点D为斜边上动点.
（1）如图，过点D作DE⊥AB交CB于点E，连接AE，当AE平分∠CAB时，求
CE；
（2）如图，在点D的运动过程中，连接CD，若△ACD为等腰三角形，求AD.
题型九：其他问题
50．如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB中点，DE、DF分别交AC于E，交
BC于F，且DE⊥DF．
（1）如果CA=CB，求证：AE2+BF2=EF2；
（2）如图2，如果CA＜CB，（1）中结论AE2+BF2=EF2还能成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
