文档内容
期末复习-二次根式核心知识必考题训练（50题）
题型一、二次根式有意义条件
1．二次根式 √x-1 有意义时，x的取值范围是（ ）
A．x≥1 B．x＞1 C．x≤1 D．x≠1
【答案】A
【解析】【解答】解：∵二次根式有意义，
∴x-1≥0，
∴x≥1.
故答案为：A.
【分析】根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式x-1≥0，再求出x的取值范围
即可.
2．二次根式 √2x-1 有意义时，x的取值范围是（ ）．
1 1 1 1
A．x> B．x≥ C．x< D．x≤
2 2 2 2
【答案】B
【解析】【解答】解：∵要使二次根式√2x-1有意义，
∴2x-1≥0，
1
∴x≥ .
2
故答案为：B.
【分析】根式二次根式有意义的条件，即被开方数为非负数，得2x-1≥0，解之即可求
得x的范围.
3．若x，y为实数，且√x+4+√-x-4+3- y=0，则x+y的值为( )
A．7 B．1 C．-7 D．-1
【答案】D
{ x+4≥0
【解析】【解答】解：由 得x=-4，
-x-4≥0∴3-y=0，
∴y=3，
∴x+y=-4+3=-1.
故答案为：D.
【分析】根据二次根式有意义的条件得出x=-4，从而得出y=3，即可得出x+y的值.
4．若a，b满足b=√a-2+√2-a-3，则在平面直角坐标系中，点P（a，b）所在的象
限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象
限
【答案】D
【解析】【解答】解：∵ a，b满足b=√a-2+√2-a-3，
∴a-2≥0，2-a≥0，
∴a=2，b=-3，
则点P(2，-3)在第四象限，
故答案为：D.
【分析】根据被开方数为非负数可求出a值，继而求出b值，根据坐标符号即可得解.
5．已知 a 满足 |2021-a|+√a-2022=a ，则 a-20212=（）
A．0 B．1 C．2021 D．2022
【答案】D
【解析】【解答】解：由题意得：
a-2022≥0 ，
∴a≥2022 ，
∴2021-a<0 ，
∵|2021-a|+√a-2022=a ，
∴a-2021+√a-2022=a ，
∴√a-2022=2021 ，
∴a-2022=20212 ，
∴a-20212=2022.
故答案为：D.
【分析】根据二次根式的被开方数不能为负数可得a-2022≥0，则a≥2022，2021-a<0，
然后根据绝对值的性质可得√a-2022=2021，两边同时平方即可.
1
6．若代数式 √-m+ 有意义，那么直角坐标系中点P（m，n）的位置在（ ）
√mn
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象
限【答案】C
1
【解析】【解答】解：∵代数式√-m+ 有意义，
√mn
∴﹣m≥0且mn＞0，
∴m＜0，n＜0，
∴点P（m，n）的位置在第三象限．
故答案为：C.
【分析】先根据二次根式被开方数为非负数及分母不为0，求出m、n的取值范围，再
判断出P点的横、纵坐标的符号，最后根据象限点的符号特征进而判断所在的象限．
2
7．在函数y= +√x+1中，自变量x的取值范围是（ ）
x-3
A．x≥﹣1 B．x≠3
C．x＞﹣1 D．x≥﹣1且x≠3
【答案】D
{x-3≠0
【解析】【解答】解：由题意得：
x+1≥0
解得：x≥-1且x≠3
故答案为：D.
【分析】根据分式以及二次根式有意义的条件可得x-3≠0且x+1≥0，据此求解.
√ 1
8若代数式 在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
x-3
【答案】x＞3
1
【解析】【解答】解：根据二次根式的意义，被开方数 ≥0，得出x≥3，
x-3
根据分式有意义的条件，x﹣3≠0，得出x≠3，
所以自变量x的取值范围是x＞3．
故答案为：x＞3．
1
【分析】根据二次根式的意义和分式有意义的条件可得 ≥0，x﹣3≠0，解之即可。
x-3
题型二：二次根式的性质及化简（运算）
9．若1≤x≤4，化简 |1-x|-√x2-8x+16 的结果为（ ）
A．3 B．2x﹣5 C．﹣3 D．5﹣2x
【答案】B
【解析】【解答】解：∵1≤x≤4，∴1-x≤0，x-4≤0
∴原式=|1-x|-|x-4|=x-1-（4-x）=x-1-4+x=2x-5.
故答案为：B.
【分析】利用已知条件可得到1-x≤0，x-4≤0，再利用二次根式的性质及绝对值的性质
进行化简，然后合并同类项.
10．在△ABC中，三边分别为a，b，c，则化简|a﹣b+c|﹣2 √(c-a-b) 2 的结果为（
）
A．3a+b﹣c B．﹣a﹣3b+3c C．a+3b﹣3c D．2a
【答案】B
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，三边分别为a，b，c，
∴a+c＞b，a+b＞c，
∴|a-b+c|=a-b+c，√(c-a-b) 2=a+b-c，
∴|a-b+c|-2√(c-a-b) 2=a-b+c-2（a+b-c）=-a-3b+3c.
故答案为：B.
【分析】根据三角形三边关系得出a+c＞b，a+b＞c，再根据绝对值的性质和二次根式
的性质得出|a-b+c|=a-b+c，√(c-a-b) 2=a+b-c，然后代入原式进行计算，即可得出答
案.
11．计算 (√2-a) 2+√(a-3) 2 的结果是（ ）
A．5-2a B．-1 C．-1-2a D．1
【答案】A
【解析】【解答】解： ∵√2-a 有意义，
∴2-a≥0 ，
解得： a≤2 ，
则 a-3<0 ，
原式 =2-a+3-a
=5-2a .
故答案为：A.
【分析】根据二次根式的被开方数不能为负数可得2-a≥0，则a≤2，a-3<0，然后根据二
次根式的性质“√a2=|a|及(√a) 2=a”化简再合并即可.
12．若√(x-6) 2＝6－x，则x的取值范围是（ ）
A．x<6 B．x≤6 C．x≥6 D．x≠6
【答案】B
【解析】【解答】解：∵√(x-6) 2=6-x，∴|x-6|=-(x-6)，
∴x-6≤0，
∴x≤6．
故答案为：B．
【分析】利用二次根式的性质可得|x-6|=-(x-6)，所以x-6≤0，再求出x的取值范围即可。
13．化简二次根式√-a3的正确结果是（ ）
A．a√-a B．a√a C．-a√-a D．-a√a
【答案】C
【解析】【解答】解：∵二次根式√-a3有意义，则－a3≥0，即a≤0，
∴原式=√-a3=-a√-a.
故答案为：C.
【分析】利用二次根式的性质求解即可。
√-m3
14．化简 的结果为（ ）
m
A．√m B．﹣√m C．√-m D．-√-m
【答案】D
【解析】【解答】解：由题意得：-m3≥0，且m≠0，
∴m<0，
√-m3 |m|√-m -m√-m
∴ = = =-√-m；
m m m
故答案为：D．
√-m3 |m|√-m -m√-m
【分析】先利用二次根式的性质可得 = = ，再计算即可。
m m m
15．实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简√(a+b) 2+|b|的结果是（ ）
A．a+2b B．﹣a C．a﹣2b D．﹣a﹣
2b
【答案】D
【解析】【解答】解：∵从数轴可知：-3y ，则 - + - = ．
y x
【答案】4
【解析】【解答】解：∵x+ y=6 ， xy=-3 且 x>y ，
∴(y-x) 2=(x+ y) 2-4xy=48 ， x>0 ， y<0 ，
∴y-x=-4√3 ，
√ x √ y 1 1 1 1 y-x -4√3
∴ - + - =- √-xy+ √-xy=( - )√-xy= ⋅√-xy= ×√3=4 ，
y x y x x y xy -3
故答案为：4．
【分析】首先求出 x>0 ， y<0 ， y-x=-4√3 ，然后对所求式子化简，再整体代
入计算即可．
√m-√n
24．已知：m+n＝10，mn＝9，则 ＝ ．
√m+√n
【答案】±
【解析】【解答】解：∵m+n＝10，mn＝9，√m-√n
∴（ ）2
√m+√n
m+n-2√mn
＝
m+n+2√mn
10-6
＝
10+6
1
＝ ，
4
√m-√n 1
∴ ＝± ．
√m+√n 2
1
故答案为：± 。
2
【分析】将代数式进行平方，将m+n和mn的值代入进行求值，将所得的数开方即可。
√ y √ x
25．已知x+y=﹣2，xy=3，则代数式 + 的值是 ．
x y
2
【答案】 √3
3
√ y √ x √y2+√x2 - y-x 2 2√3
【解析】【解答】解： + = = = = ，
x y √xy √xy √3 3
2
故答案为： √3 ．
3
【分析】根据二次根式的性质，可化简二次根式，根据二次根式的加减，可得答案．
1 √ 1
26．已知 √x ﹣ =2，则 x2+ +14 的值为
√x x2
．
【答案】4 √3
1
【解析】【解答】解：∵√x ﹣ =2，
√x
1
∴x+ ﹣2=4，
x
1
则x+ =6，
x
1
故（x+ ）2=36，
x
1
则x2+ +2=36，
x2
1
故x2+ =34，
x2√ 1
则 x2+ +14 = √48 =4 √3 ．
x2
故答案为：4 √3 ．
1 1
【分析】直接利用完全平方公式进而得出x+ =6，进而得出x2+ =34，即可得出
x x2
答案．
题型六：二次根式的运算
27．计算
（1）√27×√50÷√6
（2）(√6+√2)(√6-√2)
【答案】（1）解：原式=3√3×5√2÷√6
=15√3×2÷6
=15；
（2）解：原式=6-2
=4．
【解析】【分析】（1）利用二次根式的乘除法计算即可；
（2）先利用平方差公式展开，再计算即可。
28．计算：
1 -1
（1）√18+|√2-1|-√9+( ) ；
2
1√1
（2）-6√8÷(2√6)×( )．
3 6
【答案】（1）解：原式=3√2+√2-1-3+2
=4√2-2；
1 √ 1
（2）解：原式=(-6÷2× )⋅ 8÷6×
3 6
√ 1 1
=-1× 8× ×
6 6
√ 8
=-
62
2√2
=-
6
√2
=- ．
3
【解析】【分析】（1）根据二次根式的性质、绝对值的性质、负整数指数幂的性质先
进行化简，再进行加减运算即可；（2）根据二次根式的乘除法则计算即可.
29．计算：
√1
（1）√12÷ ×√8；
3
（2）（2√3+√2）（2√3-√2）.
【答案】（1）解：原式=√12×3×2√2
=√36×2√2
=6×2√2
=12√2；
（2）解：原式=(2√3) 2-(√2) 2
=12-2
=10.
【解析】【分析】（1）首先将除法化为乘法，再结合二次根式的乘法法则进行计算；
（2）根据平方差公式可得原式=(2√3)2-(√2)2，然后计算乘方，再计算减法即可.
30．计算：
1
（1）√20+(-√5) 2- ；
√5
（2）√27×√2+(√2-√3) 2 .
√5 9√5
【答案】（1）解：原式=2√5+5- = +5；
5 5
（2）解：原式=3√6+2-2√6+3=√6+5.
【解析】【分析】（1）根据二次根式的加减运算法则计算，即可求出答案；
（2）根据二次根式的加减运算及完全平方公式运算法则计算，即可求出答案.
31．计算：
（1）√18+√12-√8-√27；
（2）(√3+2) 2021 (√3－2) 2022-(2-√3) 2 ．
【答案】（1）解：原式=3√2+2√3-2√2-3√3
=√2-√3 ；
（2）解：原式=[(√3+2)(√3－2)] 2021 (√3－2)-(2-√3) 2
=(3-4) 2021 (√3-2)-(4-4√3+3)
=-√3+2-4+4√3-3
=3√3-5 ．
【解析】【分析】（1）先利用二次根式的性质化简，再计算即可；
（2）先将原式变形为[(√3+2)(√3－2)] 2021 (√3－2)-(2-√3) 2 ，再利用二次根式的混合运算求解即可。
32．计算：
9
（1） -√2×√6
√3
（2）(√3-1)(√3+1)+√(-2) 2
【答案】（1）解： 原式=3√3-2√3=√3.
（2）解：原式=3-1+2=4.
【解析】【分析】（1）利用二次根式的乘法法则及分母有理化进行计算；再合并同类
二次根式.
（2）利用平方差公式和二次根式的性质进行化简，可得答案.
33．计算
（1）（-2）2+ √2 × √8 +（-6）0
（2）(3√2+√7)(3√2-√7)-3√15÷√3
【答案】（1）解：原式＝4+4+1
＝9
（2）解：原式＝18－7－ 3√5
＝11－ 3√5
【解析】【分析】（1）根据实数混合运算顺序，先算乘方和乘法，再算加减法，即可
得出答案；
（2）根据二次根式的混合运算顺序，先算乘除，再算加减，即可得出答案.
题型七：二次根式求代数式的值
1 1
34．已知x＝ ( √7 ＋ √5 )，y＝ ( √7 － √5 )，求代数式x2＋xy＋y2的值．
2 2
1 1
【答案】∵x＝ ( √7 ＋ √5 )，y＝ ( √7 － √5 )，
2 2
1
∴x＋y＝ √7 ，xy＝ ，
2
1 13
∴x2＋xy＋y2＝(x＋y)2－xy＝( √7 )2－ ＝ .
2 2
【解析】【分析】根据二次根式的运算法则求出x+y、xy，根据完全平方公式把原式变
形，代入计算即可．
35．己知x= √3-2 ，y= √3+2 求代数式x2+y2+xy-2x-2y的值．
【答案】解：∵x2+ y2+xy-2x-2y=(x+ y) 2-xy-2(x+ y) ，将
x=√3-2,y=√3+2 代入：∴原式= (2√3)
2-(√3-2)(√3+2)-2·2√3=13-4√3
【解析】【分析】先将式子整理： x2+ y2+xy-2x-2y=(x+ y) 2-xy-2(x+ y) ，再
代入计算．
√9-x √9-x √x2-5x+4
36．已知 = ，且x为偶数，求（1+x） ⋅ 的值.
x-6 √x-6 x2-1
{9-x≥0，
【答案】由已知得
x-6>0，
解得
{x≤9,
,∴,6,<,x,≤,9.
x>6,
∵x 为偶数, ∴x=8.
√x2-5x+4 √(x-1)(x-4)
(1+x)⋅ =(1+x) ,
x2-1 (x-1)(x+1)
√x-4
=(1+x) ,
x+1
=√(x+1)(x-4),
当 x=8 时， √(x+1)(x-4)=√36=6.
【解析】【分析】先根据已知条件得出 x 的取值范围,再根据 x 为偶数求出 x 具体
的值,最后将得到的 x 的值代入化简后的代数式中求出最后结果.
37．若最简二次根式 a+ √12a+5 与 √4a+3b 是同类二次根式，求a、b的值.
【答案】解：∵最简二次根式 a+ √12a+5 与 √4a+3b 是同类二次根式
{ a+1=2
∴
2a+5=4a+3b
{a=1
解得：
b=1
即a=1，b=1.
【解析】【分析】根据二次根式的定义和同类二次根式的定义即可列出关于a、b的二
元一次方程组，然后解方程组即可求出结论.
38．在一个边长为（2 √3 +3 √5 ）cm的正方形的内部挖去一个长为（2 √3 + √10
）cm，宽为（ √6 ﹣ √5 ）cm的矩形，求剩余部分图形的面积．
【答案】解：剩余部分的面积为：（2 √3 +3 √5 ）2﹣（2 √3 + √10 ）（ √6 ﹣
√5 ）
=（12+12 √15 +45）﹣（6 √2 ﹣2 √15 +2 √15 ﹣5 √2 ）
=（57+12 √15 ﹣ √2 ）（cm2）．
【解析】【分析】用大正方形的面积减去长方形的面积即可求出剩余部分的面积．题型八：化简求值（数轴）
39．先化简，再求值：√x2-2x+1，其中x＝﹣2.
【答案】解：√x2-2x+1
＝√(x-1) 2
＝|x﹣1|，
当x＝﹣2时，原式＝|﹣2﹣1|＝3.
【解析】【分析】对原式利用完全平方公式以及二次根式的性质化简可得|x-1|，接下来
将x的值代入进行计算即可.
40．化简：x=√2﹣1，求代数式x2+3x﹣4的值．
【答案】解：x2+3x﹣4=（x+4）（x﹣1）
=（√2+3）（√2﹣2）
=2﹣2√2+3√2﹣6
=﹣4+√2．
【解析】【分析】先进行因式分解，然后将x的值代入求解．
41．实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简√a2+√(a+b) 2-|b-a|.
【答案】解：由题可得，a＜0＜b，|a|＞|b|，
∴a＜0，a+b＜0，b-a＞0，
∴√a2+√(a+b) 2-|b-a|
=|a|+|a+b|-|b-a|
=-a-a-b-b+a
=-a-2b.
【解析】【分析】根据数轴可得a<0|b|，判断出a+b、b-a的正负，然后根据二
次根式的性质、绝对值的性质分别化简，再合并合并同类项化简即可.
42．若实数a，b在数轴上的位置如图，化简：√a2-2ab+b2-√a2+√b2.
【答案】解：由题意得：
a＜0＜b，
∴a﹣b＜0
∴√a2-2ab+b2-√a2+√b2
＝√(a-b) 2-√a2+√b2
＝|a﹣b|﹣|a|+|b|＝b﹣a+a+b
＝2b.
【解析】【分析】由数轴可得a＜0＜b，则a-b＜0，根据二次根式的性质可将待求式变
形为|a-b|-|a|+|b|，然后根据绝对值的性质化简即可.
43．实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简 √(a+1) 2-√(b-1) 2-√(a-b) 2
【答案】解：从数轴上实数a、b的位置，得到：
﹣1＜a＜0＜b＜1，
∴a+1＞0，b﹣1＜0，a﹣b＜0，
∴原式＝|a+1|﹣|b﹣1|﹣|a﹣b|＝a+1+b﹣1+a﹣b＝2a.
【解析】【分析】先观察数轴上实数a、b的位置，得到数轴上实数a、b的范围，再进
行求解即可得到答案.
44．实数a，b在数轴上的位置如图所示，请化简：a－ √a2 － √b2 ＋ √(a-b) 2 .
【答案】解：从数轴可知a＜0＜b，
∴a－ √a2 － √b2 ＋ √(a-b) 2 ＝a－(－a)－b－(a－b)＝a＋a－b－a＋b＝a.
【解析】【分析】根据数轴得出a＜0＜b，|a|＜|b|，求出a-b＜0，a+b＞0，根据绝对值
和二次根式的性质求出即可.
45．实数a，b在数轴上的位置如图所示，请化简： |a-b|-√a2-(√a+b) 2 .
【答案】解：根据题意可知，a＜0，b＞0，|a|＜|b|
∴原式=（b-a）-（-a）-（a+b）
=b-a+a-a-b
=-a
【解析】【分析】根据数轴即可得出a和b的大小关系，根据数轴上表示的数化简二次
根式即可。
46．已知实数a,b,c在数轴上的位置如图所示,化简︱a︱- √(a+c) 2 + √(c-a) 2 - √b2 .
【答案】解：由数轴可知c0,
∴a<0，a+c<0，c-a<0，b>0，
∴原式=-a+(a+c)-(c-a)-b=-a+a+c-c+a-b=a-b.
故答案为：a-b.
【解析】【分析】利用数轴上所表示的数的特点得出 c0, 再根据有理数的加减法法则判断出 a+c<0，c-a<0 ，接着根据一个数的平方的算术平方根等于它的绝对值
去掉二次根号，再根据绝对值的意义去掉绝对值符号，最后去括号再合并同类项即可。
题型九：二次根式分母有理化的综合应用
47．阅读下面问题：
1 1×(√2-1)
= =√2-1 ；
1+√2 (√2+1)(√2-1)
1 1×(√3-√2)
= =√3-√2 ；
√3+√2 (√3+√2)(√3-√2)
1 1×(√5-2)
= =√5-2 .
√5+2 (√5+2)(√5-2)
试求：
1
（1） 的值；
√7+√6
1
（2） 的值；
3√2+√17
1
（3） (n 为正整数 ) 的值.
√n+1+√n-1
√7-√6
【答案】（1）解：原式 = =√7-√6
(√7+√6)(√7-√6)
3√2-√17
（2）解：原式 = =3√2-√17
(3√2+√17)(3√2-√17)
√n+1-√n-1
（3）解：原式 =
(√n+1+√n-1)(√n+1-√n-1)
√n+1-√n-1
=
2
【解析】【分析】（1）给分子、分母同时乘以√7-√6，然后利用平方差公式对分母进
行化简即可；
（2）给分子、分母同时乘以3√2-√17，然后利用平方差公式对分母进行化简即可；
（3）给分子、分母同时乘以√n+1-√n-1，然后利用平方差公式对分母进行化简即可.
48．我们将(√a+√b) ， (√a-√b) 称为一对“对偶式”．因为
(√a+√b)(√a-√b)=(√a) 2-(√b) 2 =a-b．所以构造“对偶式”再将其相乘可以有效地
将 (√a+√b) 和 (√a-√b) 中的“ √❑ ”去掉．例如：
1 √3-√2 √3-√2
= = =√3-√2
。像这样，通过分子、分母同
√3+√2 (√3+√2)(√3-√2) (√3) 2-(√2) 2
乘以一个式子把分母中的根号化去，叫做分母有理化．
根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题．1
（1）分母有理化 的值为 ；
2+√3
1 1 1 1
（2）计算： + + +
√3+1 √5+√3 √7+√5 3+√7
【答案】（1）2- √3
√3-1 √5-√3
（2）解：原式= + +
(√3+1)(√3-1) (√5+√3)(√5-√3)
√7-√5 3-√7
+
(√7+√5)(√7-√5) (3+√7)(3-√7)
√3-1 √5-√3 √7-√5 3-√7
= + + +
2 2 2 2
=1
【解析】【解答】解：（1）
1 2-√3 2-√3
= = =2-√3.
2+√3 （2+√3）（2-√3） （2）2-（√3）2
故答案为：2- √3；
【分析】（1）先将分母、分子同乘以（2- √3），再利用平分差公式进行化简，计
算即可求解；
（2）将原式每个加数的分母、分子同时乘以各自分母的“对偶式”，利用再利用平分
差公式进行化简，最后再合并同类二次根式即可求解.
1
49．在数学课外学习活动中，嘉琪遇到一道题：已知a= ，求2a2﹣8a+1的值．他
2+√3
是这样解答的：
1 2-√3
∵a= = =2-√3，
2+√3 (2+√3)(2-√3)
∴a-2=-√3．
∴（a﹣2）2＝3，即a2﹣4a+4＝3．
∴a2﹣4a＝﹣1．
∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．
请你根据嘉琪的解题过程，解决如下问题：
1 2
（1）试化简 和 ；
√3+√2 √5+√3
1 1 1 1
（2）化简 + + +⋯+ ；
√2+1 √3+√2 √4+√3 √2022+√2021
1
（3）若a= ，求4a2﹣8a+1的值．
√2-11 √3-√2
【答案】（1）解： = =√3-√2，
√3+√2 (√3+√2)(√3-√2)
2 2(√5-√3)
= =√5-√3，
√5+√3 (√5+√3)(√5-√3)
故答案为：√3-√2，√5-√3；
（2）解：原式=√2-1+√3-√2+√4-√3+…+√2022-√2021
=-1+√2-√2+√3-√3+√4-…-√2021+√2022
=√2022-1；
1
（3）解：∵a= =√2+1，
√2-1
∴a-1=√2，
∴(a-1) 2=2，
即a2-2a+1=2．
∴a2-2a=1．
∴4a2-8a+1=4(a2-2a)+1
=4×1+1
=5．
【解析】【分析】（1）利用分母有理化的计算方法求解即可；
（2）先利用分母有理化化简，再利用二次根式的加减计算即可；
（3）先利用分式有理数化简可得a的值，再将a的值代入4a2﹣8a+1求解即可。
50．【材料阅读】
2
材料一：在进行二次根式化简与运算时，有时会遇到形如 的式子，可以通过
√3+1
2
分母有理化进行化简或计算．如化简： ．具体方法如下：
√3+1
2 2(√3-1)
方法一： = =√3-1．
√3+1 (√3+1)(√3-1)
2 3-1 (√3) 2-12 (√3-1)(√3+1)
方法二： = = = =√3-1．
√3+1 √3+1 √3+1 √3+1
b c b+c
材料二：我们在学习分式时知道，对于公式 + = 可以逆用．即：
a a a
b+c b c
= + ．
a a a
【问题解决】
3
（1）化简： = ；
√10-√7（2）计算：
1 1 1 1 1 1
( - )+( - )+⋅⋅⋅+( - )；
√2+1 √3+√2 √3+√2 √4+√3 √100+√99 √101+√100
1 1 1 1
（3）计算： + + +⋅⋅⋅+ ．
2+√2 3√2+2√3 4√3+3√4 21√20+20√21
【答案】（1）√10+√7
（2）解：
1 1 1 1 1 1
( - )+( - )+⋅⋅⋅+( - )
√2+1 √3+√2 √3+√2 √4+√3 √100+√99 √101+√100
1 1 1 1 1 1
= - + - +⋅⋅⋅+ -
√2+1 √3+√2 √3+√2 √4+√3 √100+√99 √101+√100
1 1
= -
√2+1 √101+√100
=√2-1+√100-√101
=9+√2-√101．
1 1 1 1
（3）解： + + +⋅⋅⋅+
2+√2 3√2+2√3 4√3+3√4 21√20+20√21
(2√1-√2) (3√2-2√3) (4√3-3√4) (21√20-20√21)
= + + +⋅⋅⋅+
(2√1+√2)(2√1-√2) (3√2+2√3)(3√2-2√3) (4√3+3√4)(4√3-3√4) (21√20+20√21)(21√20-20√21)
2√1-√2 3√2-2√3 4√3-3√4 21√20-20√21
= + + +⋅⋅⋅+
2 6 12 420
√2 √2 √3 √3 √4 √20 √21
=1- + - + - +⋅⋅⋅+ -
2 2 3 3 4 20 21
√21
=1-
21
3 3(√10+√7)
【解析】【解答】解：（1） = =√10+√7．
√10-√7 (√10-√7)(√10+√7)
故答案为： √10+√7．
【分析】（1）利用分母有理化化简即可；
（2） 先利用分母有理化化简，再计算二次根式的加减即可；
（3）先利用分母有理化化简，再计算二次根式的加减即可。
