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专题20.5 易错题题型训练
（第二十章 勾股定理）
【人教版八下 新教材】
●
易错题型一 勾股树（数）问题
1．（23-24八年级下·全国·期末）能够成为直角三角形三边长的三个正整数，我们称之为一组勾股数，
观察下列表格：
3，4，5 32+42=52
5，12，13 52+122=132
7，24，25 72+242=252
9，40，41 92+402=412
… …
a，b，c a2+b2=c2
(1)试找出它们的共同点，由它们的共同点得出并证明一个结论．
(2)写出当a=17时，b，c的值．【答案】(1)见解析
(2)b=144,c=145
【易错思路引导】本题考查勾股数，数字规律探究：
（1）观察表格中的数据，得到三个数满足勾股定理，最小的数为奇数，另两个数为连续的正整数，且两
个数的和等于最小的数的平方，推出设m为大于1的奇数，将 m2拆分为两个连续的整数之和，即
m2=n+(n+1)，则m，n，n+1就构成一组简单的勾股数．
（2）利用（1）中的结论，进行求解即可．
【规范解答】（1）解：观察可知：共同点：①各组数均满足a2+b2=c2；
②最小的数是奇数，其余的两个数是连续的正整数；
③最小的数的平方等于另两个连续整数的和，
如32=9=4+5,52=25=12+13,72=49=24+25⋯
由以上共同点我们可得出这样一个结论：设m为大于1的奇数，将 m2拆分为两个连续的整数之和，即
m2=n+(n+1)，则m，n，n+1就构成一组简单的勾股数．
证明： ∵m2=n+(n+1)（m为大于1的奇数），
∴m2+n2=2n+1+n2=(n+1) 2,
∴m，n，n+1是一组勾股数．
（2）由（1）中的结论可知，a2=b+c=2b+1，
当a=17时，172=289=2b+1，
解得：b=144，
则c=b+1=145．
2．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）观察下列勾股数：
①3，4，5，且32=4+5；
②5，12，13，且52=12+13；
③7，24，25，且72=24+25；
④9，b，c，且92=b+c；
…
(1)请你根据上述规律，并结合相关知识求：b=______，c=______；
(2)猜想第n组勾股数，并说明你的猜想正确．【答案】(1)40；41
(2)2n+1，2n2+2n，2n2+2n+1，见解析
【易错思路引导】此题考查勾股数有关的规律探究．
（1）由规律可得c=b+1，然后再由勾股定理得：c2−b2=92，再计算即可；
（2）认真观察三个数之间的关系：首先发现每一组的三个数为勾股数，第一个数为从3开始连续的奇数，
第二、三个数为连续的自然数；进一步发现第一个数的平方是第二、三个数的和；最后得出第n组数为
2n+1，2n2+2n，2n2+2n+1，由此规律解决问题．
【规范解答】（1）解：由规律可得c=b+1，
∵由勾股定理得：c2−b2=92，
∴(b+1) 2−b2=92，解得b=40，
∴c=41，
故答案为：40，41；
（2）解：根据规律设第n组勾股数为：2n+1，m，m+1．
∴∵(2n+1) 2+m2=(m+1) 2，
解得m=2n2+2n，
∴猜想第n组勾股数为：2n+1，2n2+2n，2n2+2n+1．
证明：∵(2n+1) 2+(2n2+2n) 2=4n4+8n3+8n2+4n+1，
(2n2+2n+1) 2=4n4+8n3+8n2+4n+1，
∴(2n+1) 2+(2n2+2n) 2=(2n2+2n+1) 2，
∵n是整数，
∴2n+1，2n2+2n，2n2+2n+1，是一组勾股数．
3．（24-25八年级上·山东枣庄·月考）世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章
1 1
算术》，其勾股数组公式为：a= (m2−n2),b=mn,c= (m2+n2)，其中m,n(m>n)是互质的奇数，则
2 2
a,b,c为勾股数．我们令n=1，得到下列顺序排列的等式：
①32+42=52，
②52+122=132，
③72+242=252，④92+402=412，
…
根据规律写出第⑩个等式为 ．
【答案】212+2202=2212
【易错思路引导】本题考查了一些常用的勾股数，通过观察可知，所列出的等式都符合勾股定理公式，在
观察各底数的特点，找到规律即可得出第⑩个等式．
【规范解答】解：∵3=2×1+1，5=2×2+1，7=2×3+1，9=2×4+1，
∴第一个数的底数是2n+1，指数是2，
∵4=2×12+2×1，8=2×22+2×2，24=2×32+2×3，40=2×42+2×4，
∴第二个数的底数是2n2+2n，指数是2，
∵第三个数的底数比第二个数的底数大1，指数是2，
∴第n个等式为(2n+1) 2+(2n2+2n) 2 =(2n2+2n+1) 2 ，
∴第⑩个等式为212+2202=2212，
故答案为：212+2202=2212．
易错题型二 勾股定理与折叠问题
4．（21-22八年级下·新疆克拉玛依·期末）如图，将长方形ABCD沿着对角线BD折叠，使点C落在C′处，
BC′交AD于点E．若AB=4，AD=8，则线段BE= ．
【答案】5
【易错思路引导】本题考查了图形的折叠以及勾股定理，正确利用勾股定理求得AE的长是解题的关键．
设AE=x，则BE=DE=8−x，在Rt△ABE中利用勾股定理即可列方程求得x的值，即可求出线段BE的
值．
【规范解答】解：长方形ABCD中，
∴AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
由折叠的性质知∠EBD=∠DBC，
∴∠ADB=∠EBD，∴BE=DE，
设AE=x，则BE=DE=8−x，
在Rt△ABE中，AB2+AE2=BE2，
即42+x2=(8−x) 2，
解得：x=3，
则AE=3，
∴BE=DE=8−3=5，
故答案为：5．
5．（25-26八年级下·全国·周测）如图所示的是一张直角三角形纸片，∠ACB=90°，AC=8cm，
BC=6cm．将斜边AB翻折，使点B落在直角边AC的延长线上的点E处，折痕为AD，则CD的长为
cm．
8
【答案】
3
【易错思路引导】此题考查勾股定理，以及翻折问题，将图形进行折叠后，两个图形全等，是解决折叠问
题的突破口．
根据勾股定理可将斜边AB的长求出，根据折叠的性质知，AE=AB，已知AC的长，可将CE的长求出，
再根据勾股定理列方程求解，即可得到CD的长．
【规范解答】解：在Rt△ABC中，AB=❑√AC2+BC2=10．
根据折叠的性质可知，AE=AB=10．
∵AC=8，
∴CE=AE−AC=2，
即CE的长为2．
设CD=x，则BD=6−x=DE．
在Rt△CDE中，根据勾股定理得，CD2+CE2=DE2，即x2+22=(6−x) 2，
8
解得x= ，
3
8
即CD的长为 cm．
3
8
故答案为： ．
3
6．（24-25八年级下·辽宁铁岭·月考）【初步感知】
（1）如图1，在三角形纸片ABC中，∠C=90°，AC=18，点D，E分别在边AB，AC上，将∠A沿
DE折叠，使点A与点B重合．EC=5，求BC的长；
【深入探究】
（2）如图2．将长方形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使点C落在点C′处，BC′交AD于点E．若AB=4，
BC=8，求AE的长．
【答案】（1）12；（2）3
【易错思路引导】此题考查了图形的翻折变换及其性质，勾股定理．
（1）先求出AE=13，由折叠性质得：BE=AE=13，在Rt△BCE中，由勾股定理即可求出BC的长；
（2）根据长方形性质得CD=AB=4，AD=BC=8，∠A=∠C=90°，由折叠性质得C′D=CD=4，
∠C′=∠C=90°，由此依据AAS判定△C′DE和△ABE全等得C′E=AE，设AE=a，则C′E=AE=a，
DE=AD−AE=8−a，然后在Rt△C′DE中，由勾股定理求出a=3，继而可得AE的长．
【规范解答】解：（1）在△ABC中，∠C=90°，AC=18，
∵EC=5，
∴AE=AC−EC=13，
由折叠性质得：BE=AE=13，
在Rt△BCE中，由勾股定理得：BC=❑√BE2−EC2=❑√132−52=12；
（2）∵四边形ABCD是长方形，AB=4，BC=8，
∴CD=AB=4，AD=BC=8，∠A=∠C=90°，由折叠性质得：C′D=CD=4，∠C′=∠C=90°，
∴C′D=AB=4，∠C′=∠A=90°，
在△C′DE和△ABE中，
{
∠C′=∠A
)
∠C′ED=∠AEB ，
C′D=AB
∴△C′DE≌△ABE(AAS)，
∴C′E=AE，
设AE=a，则C′E=AE=a，DE=AD−AE=8−a，
在Rt△C′DE中，由勾股定理得：C′E2+C′D2=DE2，
∴a2+42=(8−a) 2，
解得：a=3，
∴AE=3．
易错题型三 利用勾股定理求两条线段的平方和（差）
7．数学兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
(1)如图①，在△ABC中，若AB=5，AC=3，求BC边上的中线AD的取值范围；
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使得DE=AD，再连接BE（或将
△ACD绕点D逆时针旋转180°得到△EBD），把AB，AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形的三边
关系可得2EF；
②若∠A=90°，探索线段BE，CF，EF之间的等量关系，并加以证明．
【答案】(1)1EG，
∴BE+CF>EF．
②若∠A=90°，BE2+CF2=EF2.证明如下：
若∠A=90°，则∠EBC+∠FCB=90°，
由①知△BDG≌△CDF(SAS)，
∴∠FCD=∠DBG，
∴∠EBC+∠DBG=90°，
即∠EBG=90°，
∴在Rt△EBG中，BE2+BG2=EG2，
又∵EF=EG，
∴BE2+CF2=EF2．
【考点剖析】本题考查了全等三角形的判定和性质、三角形三边之间的关系以及勾股定理．熟练掌握以上
知识，正确的做出辅助线是解题的关键．
8．（24-25九年级下·北京·开学考试）某校数学社团在研究等腰三角形“三线合一”性质时发现：
(1)如图，在△ABC中，若AD⊥BC，BD=CD，则有∠B=∠C；
证明：∵AD⊥BC，BD=CD，
∴AB=AC（依据： ① ）
∴∠B=∠C（依据： ② ）
(2)某同学顺势提出一个问题：既然AB=AC，即知AB+BD=AC+CD．若把（1）中的条件BD=CD替
换为AB+BD=AC+CD，还能推出∠B=∠C吗？
基于此，社团成员小军、小民进行了探索研究，发现确实能推出∠B=∠C，并分别提供了不同的证明方
法．
小军 小民
证明：∵AD⊥BC，
证明：分别延长DB，DC至E，F两点，使 ∴△ADB与△ADC均为直角三角
得…… 形
根据勾股定理，得……请你填写（1）中的推理依据，并选择（2）中小军或小民的证明方法，把过程补充完整．
【答案】(1)①垂直平分线的性质；②等边对等角
(2)见解析
【易错思路引导】本题考查了垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，勾股定理．
（1）根据AD⊥BC，可以得到∠ADB=∠ADC=90°，然后根据SAS可以证明△ADB≌△ADC，从而
可以得到结论成立；
（2）根据小军的证明过程可知：分别延长DB,DC至E,F两点，使得BE=BA,CF=CA，然后作出辅助
线，再根据垂直平分线的性质和等腰三角形的性质，可以证明结论成立；
根据小民的证明方法，根据勾股定理得出AB2−BD2=AD2,AC2−CD2=AD2，根据平方差公式结合
已知，即可到结论成立．
【规范解答】（1）证明：∵AD⊥BC，BD=CD，
∴AB=AC（依据：垂直平分线的性质）
∴∠B=∠C（依据：等边对等角）
（2）解：小军的证明过程：
分别延长DB,DC至E,F两点，使得BE=BA,CF=CA，如图所示，
∵AB+BD=AC+CD
，
∴BE+BD=CF+CD，
∴DE=DF，
∵AD⊥BC，
∴∠ADE=∠ADF=90°，
∴ AE=AF
∴∠E=∠F，
∵BE=BA,CF=CA，
∴∠E=∠BAE,∠F=∠CAF，
∵∠ABC=∠E+∠BAE,∠ACB=∠F+∠CAF，
∴∠ABC=∠ACB．
小民的证明方法
证明：∵AD⊥BC，∴△ADB与△ADC均为直角三角形
根据勾股定理，得AB2−BD2=AD2,AC2−CD2=AD2
∴AB2−BD2=AC2−CD2
∴(AB+BD)(AB−BD)=(AC+CD)(AC−CD)
∵AB+BD=AC+CD①
∴AB−BD=AC−CD②
①+②得，2AB=2AC，即AB=AC
∴∠B=∠C．
9．（23-24八年级下·山东淄博·期末）《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同所立．甲行率七，
乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲、乙行各几何．”大意是说：已知甲、乙二人同时
从同一地点出发，甲每单位时间走7步，乙每单位时间走3步．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜
向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？若设甲走了x步，则由题意下面所
列方程正确的是（ ）
A． ( 3× x) 2 +102=(x−10) 2 B． ( 3× x) 2 +(x−10) 2=102
7 7
C． ( 7× x) 2 +102=(x−10) 2 D． ( 7× x) 2 +(x−10) 2=102
3 3
【答案】A
【易错思路引导】本题主要考查了列代数式、勾股定理等知识点，由题意得到甲走的路线与乙走的路线组
成直角三角形成为解题的关键.由题意可得甲走的路线与乙走的路线组成直角三角形，再根据题意可得
x
AB=3× 、AC=10、BC=x−10，然后根据勾股定理列出方程即可．
7
【规范解答】解：根据题意可得，如图：甲走的路线与乙走的路线组成直角三角形，
( x)
设甲走了x步，则斜向北偏东方向走了(x−10)步，乙向东走了 3× 步，
7x
即：AB=3× ，AC=10，BC=x−10，
7
根据题意可得：AB2+AC2=BC2，即 ( 3× x) 2 +102=(x−10) 2 ，
7
故选A．
易错题型四 利用勾股定理证明线段平方关系
10．（25-26八年级下·全国·周测）已知△ABC如图所示．
(1)若AB=8，AC=5，BC边上的高AD=4，求边BC的长．
(2)若AB=AC，P为BC上的任意一点，求证：AB2−AP2=PB⋅PC．
【答案】(1)4❑√3+3
(2)见解析
【易错思路引导】本题主要运用勾股定理求解三角形的边长以及通过勾股定理和线段关系证明等式，掌握
勾股定理是解题的关键．
（1）在△ABC中，过点A作AD⊥BC，交BC于点D，在直角三角形中利用勾股定理求出两条直角边，
进而得到BC的长；
（2）连接AP，过点A作AD⊥BC，交BC于点D．根据等腰三角形三线合一可证明BD=CD，根据勾股
定理可证AB2=AD2+BD2、AP2=AD2+DP2，两式相减可得到AB2−AP2=BD2−DP2，根据线段
的和差关系结合平方差公式即可证明．
【规范解答】（1）解：如图①，在△ABC中，过点A作AD⊥BC，交BC于点D．在Rt△ABD中，BD=❑√AB2−AD2=❑√82−42=4❑√3．
在Rt△ACD中，DC=❑√AC2−AD2=❑√52−42=3，
∴BC=BD+DC=4❑√3+3．
（2）证明：如图②，连接AP，过点A作AD⊥BC，交BC于点D．
∵AB=AC AD⊥BC
， ，
∴BD=CD，
在Rt△ABD中，AB2=AD2+BD2．
同理，AP2=AD2+DP2，
∴AB2−AP2=AD2+BD2−(AD2+DP2)=BD2−DP2．
又∵PB=BD+DP，PC=CD−DP=BD−DP，
∴PB⋅PC=(BD+DP)(BD−DP)=BD2−DP2，
∴AB2−AP2=PB⋅PC．
【考点剖析】
11．如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，∠CBE=45°，BE分别交AC，AD于点E、F．
(1)如图1，若AB=13，BC=10，求AF的长度；
(2)如图2，若AF=BC，求证：BF2+EF2=AE2．
【答案】(1)7
(2)见解析【易错思路引导】本题考查了勾股定理，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质．
1
（1）先计算BD=CD= BC=5,AD=❑√AB2−BD2=12，结合∠DFB=∠CBE=45°，计算DF，再
2
求AF的长；
（2）连接CF，在BF上截取BH=EF，连接CH，先证明△CHB≌△AEF(SAS)，再利用等腰三角形的性
质，勾股定理证明即可．
【规范解答】（1）解：∵AB=AC,AD⊥BC，
1
∴BD=CD= BC=5,AD=❑√AB2−BD2=12，∠BDF=90°，
2
∵∠CBE=45°，
∴∠DFB=∠CBE=45°，
∴DF=BD=5，
∴AF=AD−DF=7；
（2）解：连接CF，在BF上截取BH=EF，连接CH，
在△CHB和△AEF中，
{
BH=EF
)
∵ ∠CBH=∠AFE=45° ，
BC=AF
∴△CHB≌△AEF(SAS)，
∴AE=CH,∠AEF=∠BHC，
∴∠CEF=∠CHE，
∴CE=CH，
∵BD=CD,FD⊥BC，
∴CF=BF，
∴∠CFD=∠BFD=45°，
∴∠CFB=90°，
∴EF=FH，
在Rt△CFH中，由勾股定理得：CF2+FH2=CH2，
∴BF2+EF2=AE2．12．在△ABC中，BC=a,AC=b,AB=c，若∠C=90°，如图1，则有a2+b2=c2；若△ABC为锐角三
角形时，小明猜想：a2+b2>c2，理由如下：如图2，过点A作AD⊥CB于点D，设CD=x．在Rt△ADC
中，AD2=b2−x2，在Rt△ADB中，AD2=c2−(a−x) 2,∴a2+b2=c2+2ax．
∵a>0,x>0,∴2ax>0,∴a2+b2>c2,∴当△ABC为锐角三角形时a2+b2>c2．所以小明的猜想是正确的．
(1)请你猜想，如图3，当△ABC为钝角三角形时，a2+b2与c2的大小关系．
(2)证明你猜想的结论是否正确．
【答案】(1)a2+b20,x>0，
∴2ax>0，
∴a2+b2=c2−2axn)．若小正方形面积为3，且满足(m+n) 2=15则大正方形面积为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】B
【易错思路引导】本题考查勾股定理的证明，由题意可知，中间小正方形的边长为m−n，根据勾股定理
以及题目给出的已知数据即可求出大正方形的面积为m2+n2．
【规范解答】解：由题意可知，中间小正方形的边长为m−n，
∴(m−n) 2=3，即m2+n2−2mn=3①，
∵(m+n) 2=15，
∴m2+n2+2mn=15②，
①+②得2(m2+n2)=18，
∴大正方形的面积为：m2+n2=9，
故选：B．
17．（24-25九年级下·四川泸州·月考）如图，图1是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系
证明勾股定理时的青朱出入图，图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等.朱入与朱出的三角
形全等，朱方与青方是两个正方形.探究学习中，标上字母绘成图2所示，若记朱方对应正方形GDJH的边
长为a，青方对应正方形ABCD的边长为b，已知b−a=2，a2+b2=28，则图2中的阴影部分面积为（
）A．20 B．22 C．23 D．24
【答案】B
【易错思路引导】本题主要考查了勾股定理的证明，解答本题的关键是熟练运用勾股定理解决问题．
根据题意所求阴影部分面积为S −S ，再根据所给条件求面积即可．
正方形MFGC △CDG
【规范解答】解：如图2，
∵△EFG≌△CDG，△EFK≌△GHI，
∴阴影部分面积=S −S ，
正方形MFGC △CDG
∵朱方对应正方形GDJH的边长为a，青方对应正方形ABCD的边长为b，
∴GD=GH=a，AB=CD=BC=b，
∵青出与青入的三角形全等，
∴△IJC≌△KAM，
∴JC=AM=b−a，
∴BM=a，
∴CM=CG=❑√a2+b2，
∵b−a=2，a2+b2=28，
(a2+b2)−(b−a) 2 28−22
∴ab= = =12，
2 2
∴阴影部分面积=S −S
正方形MFGC △CDG
1
=a2+b2− ab
2
=28−6
=22，
故选：B．
18．（24-25七年级下·江苏淮安·月考）在学习“第8章整式乘法”这一章内容时，我们通过用不同的方法计算同一个图形面积，发现了整式乘法的法则及乘法公式，这种解决问题的方法称之为“等面积法”．
而这种“数形结合”的方式是人们研究数学问题的常用思想方法．
（1）如图1，已知长方形纸片的长为b，宽为a，由四个这样的长方形拼成一个大正方形，中间留白部分
也是正方形（拼接时每两个长方形无重叠部分），利用“等面积法”可得到一个和乘法公式有关的等式，
写出这个等式__________．
【类比探究】
（2）连接每个长方形的一条对角线（如图2），得到一个重要的几何图形“赵爽弦图”．如图3，“赵爽
弦图”是由四个形状大小都相同的直角三角形（较短直角边为a，较长直角边为b，斜边为c）拼成一个大
正方形，中间留白部分也是正方形（拼接时每两个直角三角形无重叠部分）．你能根据图3，应用“等面
积法”得出与直角三角形两直角边a、b和斜边c有关的等式吗？请你化简后，写出这个等式__________．
【迁移应用】
（3）在Rt△ABC中，a、b为直角边，c为斜边，已知c=10，a+b=14，求△ABC的面积；
（4）如图4，四边形ABCD中，线段AC⊥BD，AC=BD=3，在Rt△BOC中，OB=x，OC= y，其周
长为n，当n为何值时， △AOD的面积为定值，并说明理由．
【答案】（1）(b−a) 2+4ab=(b+a) 2；（2）a2+b2=c2；（3）△ABC的面积为24；（4）当n=3时，
△AOD的面积为定值．
【易错思路引导】本题考查了勾股定理的证明，三角形的面积，首先要正确理解题意，然后会利用勾股定
理和面积公式的面积解题．
（1）分别用两种方法表示出大正方形的面积即可得出结论；
（2）分别用两种方法表示出大正方形的面积即可得出结论；
（3）根据图形结合完全平方公式和（2）的结论计算即可求解；
n2
（4）由（2）的结论a2+b2=c2推出x2+ y2=(n−x−y) 2，即xy=nx+ny− ，再根据长方形的面积为定
2
值列出关于x、y的式子求解即可．
【规范解答】解：（1）大正方形的面积为：(b+a) 2或(b−a) 2+4ab，则这个等式是(b−a) 2+4ab=(b+a) 2；
（2）大正方形可看作边长为c的正方形，也可看作4个全等的直角三角形和一个小正方形的面积和，且小
正方形边长为(b−a)．
1
S =c2 ，同时也有S = ab×4+(b−a) 2
大正方形 大正方形 2
1
所以c2= ab×4+(b−a) 2 ，
2
整理得a2+b2=c2；
（3）∵在Rt△ABC中，c=10，a+b=14，
∴a2+b2=102，(a+b) 2=142，
∴a2+b2+2ab=142，
142−102
∴ab= =48，
2
1
∴△ABC的面积= ab=24；
2
（4）∵OB=x，OC= y，周长为n，
∴BC=n−x−y，
在Rt△BOC中，x2+ y2=(n−x−y) 2，
n2
∴xy=nx+ny− ，
2
∴S =(3−x)(3−y)=9−3(x+ y)+xy
四边形AODE
n2
=9−3(x+ y)+nx+ny−
2
n2
=9+(n−3)(x+ y)− ，
2
∵长方形AODE的面积为定值，
∴与x、y无关，
∴n−3=0，
∴n=3，
∴当n=3时， △AOD的面积为定值．
易错题型七 用勾股定理构造图形解决问题19．（24-25八年级下·广西崇左·期末）如图1，已知点O是矩形ABCD的 AD边上一点， 求证：
OA2+OC2=OB2+OD2．
分析求证：观察求证目标，为二次型等式，结构与勾股定理类似，考虑构造直角三角形利用勾股定理进行
求证．
证明：过O 点作 OE垂直BC，垂足为E，
设OA=BE=x，OE= y，OD=EC=z，
在直角三角形BEO中，OB2=BE2+OE2=x2+ y2
在直角三角形OCD中，OC2=CD2+OD2= y2+z2
所以OA2+OC2=x2+ y2+z2
OB2+OD2=x2+ y2+z2
即OA2+OC2=OB2+OD2得证
请您模仿以上方法完成以下问题；
(1)如图2，已知点O 是矩形ABCD内任意一点，求证：OA2+OC2=OB2+OD2；
(2)如图3，已知点O在矩形ABCD的外部，结论OA2+OC2=OB2+OD2还能成立吗？请给予证明．
【答案】(1)见解析
(2)结论OA2+OC2=OB2+OD2还能成立，见解析
【易错思路引导】本题考查勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键．
（1）过O点作FE垂直BC，FE与BC、AD分别交于E、F点，设
AF=BE=x,OF= y,OE=t,FD=CE=z，根据勾股定理分别表示出OA2，OC2， OB2，OD2，即可
证明；
（2）结论仍成立，同（1）思路即可证明．
【规范解答】（1）证明：过O点作FE垂直BC，FE与BC、AD分别交于E、F点，
设AF=BE=x,OF= y,OE=t,FD=CE=z，在直角三角形AOF中，OA2=AF2+OF2=x2+ y2，
在直角三角形OEC中，OC2=CE2+OE2=z2+t2，
所以OA2+OC2=x2+ y2+z2+t2，
在直角三角形BOE中，OB2=BE2+OE2=x2+t2，
在直角三角形DOF中，OD2=DF2+OF2=z2+ y2，
OB2+OD2=x2+ y2+z2+t2，
即OA2+OC2=OB2+OD2．
（2）解：结论仍成立，证明如下：
过O点作OE垂直BC，OE与BC、AD分别交于E、F点，
设AF=BE=x,OF= y,OE=t,FD=CE=z，
在直角三角形AOF中，OA2=AF2+OF2=x2+ y2，
在直角三角形OEC中，OC2=CE2+OE2=z2+t2，
所以OA2+OC2=x2+ y2+z2+t2，
在直角三角形BOE中，OB2=BE2+OE2=x2+t2，
在直角三角形DOF中，OD2=DF2+OF2=z2+ y2，
所以OB2+OD2=x2+ y2+z2+t2，
所以OA2+OC2=OB2+OD2．
20．（24-25八年级下·广西桂林·期末）探究与理解
【思考探究】学习了勾股定理之后，小林同学对勾股定理的数学表达公式a2+b2=c2（其中a，b为直角三
角形的两条直角边，c为直角三角形的斜边）与乘法公式(a+b) 2=a2+2ab+b2进行了“联合”探究．
【理解分析】小林这样认为：如果乘法公式中的a，b表示直角三角形的两条直角边的边长，那么根据以上
两个公式可以得出另外的等式：(a+b) 2=c2+2ab，在这个等式里，可以将a+b，c，ab分别看成三个量，
由此，只要知道其中任意两个量就可以求出第三个量．
【解决问题】
(1)在一直角三角形中：①已知两条直角边长的和为7，积为12，求斜边的长；
②已知两条直角边的平方和为169，且两条直角边的乘积为60，求该直角三角形的周长；
(2)如图，在四边形ACBD中，已知∠C=∠D=90°，AC+BC=3，AD2+BD2=5，求Rt△ABC的面
积．
【答案】(1)①5；②30；
(2)1．
【易错思路引导】本题考查了勾股定理的应用．
（1）①由题意可知a+b=7，ab=12，根据(a+b) 2=c2+2ab计算即可；
②由题意得到a2+b2=169，ab=60，可知(a+b) 2=289，求出a+b=17，再根据(a+b) 2=c2+2ab求出
c=13，即可求出直角三角形的周长；
（2）先证明△ABD、△ACD是直角三角形，再根据题干所给公式计算即可．
【规范解答】（1）①解：∵两条直角边长的和为7，积为12，
∴a+b=7，ab=12，
∵(a+b) 2=c2+2ab，
∴72=c2+2×12，
解得：c=5（负值舍去）；
②解：∵两条直角边的平方和为169，且两条直角边的乘积为60，
∴a2+b2=169，ab=60，
∴(a+b) 2=a2+2ab+b2=289，
∴a+b=17（负值舍去），
∵(a+b) 2=c2+2ab
∴289=c2+2×60，
解得：c=13（负值舍去），
∴该直角三角形的周长=a+b+c=17+13=30；（2）解：∵∠C=∠D=90°，
∴△ABD、△ACD是直角三角形，
∵a2+b2=c2，AD2+BD2=5，
∴AB2=5，
∵AC+BC=3，(a+b) 2=c2+2ab，
∴(AC+BC) 2=AB2+2AC⋅BC，即32=5+2AC⋅BC，
∴AC⋅BC=2，
1 1
∴S = ×AC⋅BC= ×2=1．
Rt△ABC 2 2
21．（24-25八年级下·福建莆田·期末）在△ABC中，BC=a, AC=b, AB=c．若∠C=90°，如图
1，根据勾股定理，则a2+b2=c2．
(1)若△ABC是钝角三角形，如图2，请你类比勾股定理，试猜想a2+b2与c2的关系，并证明你的结论．
(2)是否存在三边长为连续整数的钝角三角形？如果存在，请求出钝角三角形的三边长；如果不存在，请
说明理由．
【答案】(1)a2+b2x+2，再结合（1）的结论，可得到x的范围，从而解得答案．
【规范解答】（1）解：a2+b2x+2，
∴x>1，
由（1）的结论可知，x2+(x+1) 2<(x+2) 2，
∴x2−2x−3<0，
∴(x−3)(x+1)<0，
{x−3>0) {x−3<0)
∴ 或 ，
x+1<0 x+1>0
∴−11，∴x=2，
当x=2时，x+1=3，x+2=4，
综上，存在三边长为连续整数的钝角三角形，三边长分别为2，3，4．
易错题型八 勾股定理与无理数
22．（22-23八年级下·云南德宏·期末）如图，在数轴上找到表示数2的点A，然后过点A作AB⊥OA，
使AB=3．以O为圆心，OB长为半径作弧，交数轴正半轴于点P，则点P所表示的数介于（ ）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
【答案】C
【易错思路引导】本题考查勾股定理与无理数，无理数的估算，利用勾股定理求出OB的长，从而得到点P
所表示的数，再根据无理数的估算即可求得答案
【规范解答】解：由题意得OA=2,AB=3，
∵∠OAB=90°，
∴OB= ❑√OA2+AB2=❑√22+32=❑√13，
∴P点所表示的数就是❑√13，
∵❑√9<❑√13<❑√16，
∴3<❑√13<4，
即点P所表示的数介于3和4之间，
故选C
23．（24-25八年级下·云南红河·期末）勾股定理是重要的数学定理之一，是用代数思想解决几何问题
的重要工具，也是数形结合的纽带．(1)应用场景1：在数轴上画出表示无理数的点．
如图1，在数轴上找出表示3的点A，过点A作直线l⊥OA，在l上取点B，使AB=2，以原点O为圆心，
OB为半径作弧，则点C表示的数为_______．
(2)应用场景2：解决实际问题．
如图2，秋千静止时，BE=1m，将它往前推至点C处时，水平距离CD=4m,CF=3m，它的绳索始终拉
直，求绳索AC的长．
【答案】(1)❑√13
(2)5m
【易错思路引导】本题考查了勾股定理的应用（包括在数轴上表示无理数、解决实际几何问题），解题关
键是利用勾股定理建立直角三角形的边长关系．
（1）在Rt△OAB中，用勾股定理算OB长，即为OC长，得点C表示的数．
（2）设绳索长为x，用矩形性质得AD,CD长度，在Rt△ACD中用勾股定理列方程求解．
【规范解答】（1）在Rt△OAB中，OA=3,AB=2，
由勾股定理得 OB=❑√OA2+AB2=❑√32+22=❑√13
∴OC=❑√13
∴点C表示的数是❑√13．
故答案为❑√13．
（2）设绳索AC的长为xm，
由题意得 AC=AB=xm，
∵四边形DCFE为矩形，BE=1m,CD=4m,CF=3m,DE=CF=3m，
∴DB=DE−BE=2m,AD=AB−BD=(x−2)m
在Rt△ACD中，由勾股定理得AD2+CD2=AC2，
即(x−2) 2+42=x2，
解得x=5，
∴绳索AC的长为5m．
24．（24-25八年级下·甘肃甘南·月考）如图，数轴上点A、B表示的数分别是−2和1，BC⊥AB，垂
足为B，BC=2，以点A为圆心，AC长为半径在右边作弧，交数轴于点D．
甲说：点D表示的数为❑√13；
乙说：点D表示的数在1和2之间．
则下列判断正确的是（ ）A．甲乙均对 B．甲乙均错 C．甲对乙错 D．甲错乙对
【答案】D
【易错思路引导】本题主要考查了实数与数轴，解题关键是熟练掌握勾股定理和两点间的距离公式．先根
据已知条件和勾股定理求出AC，从而求出AD，再设点D表示的数为x，再根据两点间的距离公式列出关于
x的方程，解方程求出x，再估算x的值，从而进行判断即可．
【规范解答】解：由题意可知：AB=|−2−1|=3，BC=2，AD=AC，
∵BC⊥AB，
∴∠ABC=90∘，
由勾股定理得：AD=AC=❑√AB2+BC2=❑√32+22=❑√13，
设点D表示的数为x，
∴|x−(−2))=❑√13，
|x+2|=❑√13，
x+2=±❑√13，
x=❑√13−2或−❑√13−2，
∴甲的说法错误，
∵3<❑√13<4，
∴3−2<❑√13−2<4−2，
1<❑√13−2<2，
∴乙的说法正确，
故选：D ．
易错题型九 利用勾股定理求旗杆高度
25．（25-26七年级上·山东淄博·期中）【综合与实践】小明同学在延时课上进行了项目式学习实践探
究，并绘制了如下记录表格，请根据表格信息，解答下列问题．
课题 在放风筝时测量风筝离地面的垂直高度AD模型抽象
①测得水平距离ED的长为15米
测绘数据
②根据手中剩余线的长度，计算出风筝线AB的长为17米
③牵线放风筝的手到地面的距离BE为1.6米
说明 点A，B，E，D在同一平面内
(1)求线段AD的长；
(2)若想要风筝沿DA方向再上升12米，则在ED长度不变的前提下，小明同学应该再放出多少米线？
【答案】(1)9.6m
(2)小明同学应该再放出8米线
【易错思路引导】本题主要考查了勾股定理的实际应用，熟知勾股定理是解题的关键．
（1）过点B作BC⊥AD于点C，利用勾股定理可求出AC的长，进而求出AD的长即可得到答案；
（2）设风筝沿DA方向再上升12米后到达点F处，连接BF，利用勾股定理求出BF的长即可得到答案．
【规范解答】（1）解：如图，过点B作BC⊥AD于点C，
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=17m，BC=ED=15m，
由勾股定理，得AC2=AB2−BC=172−152=64，
∴AC=8m或AC=−8m（舍去），
∵CD=BE=1.6m，
∴AD=AC+CD=8+1.6=9.6m．
（2）解：如图，设风筝沿DA方向再上升12米后到达点F处，连接BF，则CF=8+12=20m，
在Rt△BCF中，∠BCF=90°，CF=20m，BC=15m，
由勾股定理，得BF2=CF2+BC2=202+152=625，
∴BF=25m或BF=−25m（舍去），
25−17=8m．
答：小明同学应该再放出8米线．
26．（24-25八年级上·全国·期末）如图，数学兴趣小组要测量旗杆AB的高度，同学们发现系在旗杆顶
端A的绳子垂到地面多出一段的长度为3米，小明同学将绳子拉直，绳子末端落在点C处，到旗杆底部B的
距离为9米．
(1)求旗杆AB的高度；
(2)小明在C处，用手拉住绳子的末端，后退至观赛台的2米高的台阶上，此时绳子刚好拉直，绳子末端落
在点E处，问小明需要后退几米（即CD的长）？（❑√5≈2.24，结果保留1位小数）
【答案】(1)12m
(2)2.2米
【易错思路引导】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，添加适当的辅助线构造直角三角形是
解此题的关键．
(1)设旗杆AB的高度为xm，则AC=(x+3)m，再由勾股定理计算即可得解；
(2)过E作EM⊥AB，垂足为M，证明四边形BDEM为长方形，得出MB=ED=2m，BD=ME，由勾
股定理得ME=5❑√5m，即可得解．
【规范解答】（1）解：设旗杆AB的高度为xm，则AC=(x+3)m，在Rt△ABC中，∠B=90°，
由勾股定理得：AB2+BC2=AC2，
即x2+92=(x+3) 2，
解得：x=12，
答：旗杆AB的高度12m．
（2）过E作EM⊥AB，垂足为M，
∠EMB=∠MBD=∠EDB=90°
则 ，
∴四边形BDEM为长方形，
∴MB=ED=2m，BD=ME，
∵AB=12m，
∴AM=12−2=10m,AE=12+3=15m,
在Rt△AME中，∠AME=90°，
由勾股定理得：ME=❑√AE2−AM2=❑√152−102=5❑√5≈11.2(m)，
∴CD=11.2−9=2.2m．
答：小明需后退2.2m．
27．（24-25八年级下·广西南宁·期中）实践与探究
八年级的同学学习了“勾股定理”之后，“综合与实践”小组进行测量旗杆的高度的实践活动，他们设计
了如下方案：
课题：测量风筝的高度CE．
工具：皮尺，计算器等．
测量示意图：如图1．
说明：如图1，AE表示地面水平线，AB表示放风筝的同学牵风筝牵引线的手到地面的距离，且AB垂直于
地面于点A，线段BC表示风筝牵引线（近似为线段），CE表示风筝到地面的垂直高度，CE⊥AE于点
E，BD⊥CE于点D．测量数值：点B到CE的距离BD=9米；风筝牵引线BC的长度：BC=15米；AB的长度：AB=1.6米；
(1)求风筝的垂直高度CE；
(2)如图2，如果风筝沿DC方向上升28米至点F（CF=28）， 求风筝牵引线BF的长．
【答案】(1)风筝的垂直高度为13.6米
(2)风筝的牵引线BF的长是41米
【易错思路引导】本题考查了勾股定理的应用．
（1）由勾股定理得CD=12米，再根据CE=CD+DE即可求解；
（2）由勾股定理得BF=41米．
【规范解答】（1）解：∵BD⊥CE，
∴∠BDC=90°，
在Rt△BDC中，由勾股定理得：
CD=❑√BC2−BD2=❑√152−92=12，
CE=CD+DE=12+1.6=13.6，
答：风筝的垂直高度为13.6米；
（2）解：在Rt△BDF中，由勾股定理得：
BF=❑√BD2+DF2=❑√92+(12+28) 2=41，
答：风筝的牵引线BF的长是41米．
易错题型十 利用勾股定理解决水杯中筷子问题
28．（24-25八年级下·广东潮州·月考）如图，一株水草AB立于湖水中，此时测得BC=2尺，随后将水
草拉至与水面齐平时，测得B′C=6尺．试求湖水AC有多深?【答案】8尺
【易错思路引导】本题主要考查了勾股定理的实际应用，正确运用勾股定理建立方程是解题的关键．
设AC的长度为x尺，则AB=AC+BC=(x+2)尺，在Rt△ACB′中，然后由勾股定理列方程求解即可．
【规范解答】解：设AC为x尺．
∵BC=2尺，
∴AB=AC+BC=(x+2)（尺）．
∵AC⊥B′C，
∴∠ACB′=90°．
在Rt△ACB′中，
∵AC2+B′C2=B′ A2，B′C=6，
∴x2+62=(x+2) 2．
∴x=8．
答: 水深8尺．
29．（24-25八年级下·福建福州·期中）古诗赞美荷花：“竹色溪下绿，荷花镜里香．”如图，平静的
水面上，一朵荷花亭亭玉立，露出水面2cm，忽见它随风倾斜，花朵恰好浸入水面．仔细观察，发现荷花
偏离原位置8cm，则水的深度BC为（ ）
A．10cm B．12cm C．15cm D．17cm
【答案】C
【易错思路引导】本题主要考查了勾股定理的应用，根据题意，荷花的高(BC+2)cm，且水平距离BD为
8cm，那么水深BC与BD组成一个以CD为斜边的直角三角形，根据勾股定理即可求出答案．解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
【规范解答】解：根据题意，荷花的高(BC+2)cm，且水平距离BD为8cm，
由勾股定理，CD2=BD2+BC2，
∴(BC+2) 2=82+BC2，
∴BC=15．
故选：C．
30．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：今有池方
一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适于岸齐，问水深、葭长各几何？”这道题的意思是：“有一
个边长为10尺的正方形水池，在水池的正中央（底面中点）长着一根芦苇，芦苇露出水面1尺．若将芦苇
拉到水池一边，芦苇的顶端恰好到达池边的水面，问水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？”该题所求
的水深为（ ）
A．9尺 B．10尺 C．12尺 D．13尺
【答案】C
【易错思路引导】本题考查勾股定理的应用．熟练掌握勾股定理是解题的关键．设水深为x尺，根据勾股
定理解答即可．
【规范解答】解：设水深x尺，则芦苇长度为(x+1)尺，
由勾股定理，可得x2+52=(x+1) 2，
解得x=12，
∴水深12尺．
故选：C．
易错题型十一 利用勾股定理解决航海问题
31．（24-25八年级下·广东惠州·期中）如图，海中有一小岛A，它的周围8海里内有暗礁，渔船跟踪鱼
群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东60°方向上，航行12海里到达C点，这时测得小岛A在北偏
东30°方向上，如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？并说明理由．（❑√3取1.7）【答案】如果渔船不改变航线继续向东航行，没有触礁的危险，理由见解析
【易错思路引导】本题考查了勾股定理的应用，直角三角形的性质，等腰三角形的判定，构建直角三角形
是解题的关键．过点A作AD⊥BC，垂足为D，则AD的长是点A到BC的最短距离，根据题意可求得
∠BAC=∠ABC=30°，从而得到CB=CA=12海里，再根据30度所对直角边等于斜边的一半得到
1
CD= AC=6海里，最后利用勾股定理求得AD，即可判断．
2
【规范解答】解：如果渔船不改变航线继续向东航行，没有触礁的危险，
理由如下：过点A作AD⊥BC，垂足为D，则AD的长是点A到BC的最短距离，
由题意可知∠DAC=30°，∠DAB=60°，BC=12海里，
∴∠BAC=60°−30°=30°，
∴∠ABC=90°−60°=30°，
∴∠BAC=∠ABC，
∴CB=CA=12海里，
∵∠DAC=30°，∠ADC=90°，
1 1
∴CD= AC= ×12=6海里，
2 2
∴在Rt△ACD中，由勾股定理得
AD=❑√122−62=6❑√3≈6×1.7=10.2>8，∴渔船不改变航线继续向东航行，没有触礁的危险．
32．（24-25八年级下·山东德州·月考）如图，经过A村和B村（将A，B村看成直线l上的点）的笔直
公路1旁有一块山地正在开发，现需要在C处进行爆破．已知C处与A村的距离为900米，C处与B村的距
离为1200米，且AC⊥BC．
(1)求A，B两村之间的距离．
(2)求点C到直线l的距离．
(3)为了安全起见，爆破点C周围半径750米范围内不得进入，在进行爆破时，公路AB段是否有危险而需
要封锁？如果需要，请计算需要封锁的路段长度；如果不需要，请说明理由．
【答案】(1)A，B两村之间的距离为1500米
(2)720米
(3)公路AB有危险而需要封锁，需要封锁的路段长度为420米
【易错思路引导】此题考查了勾股定理的应用，等腰三角形的判定和性质等知识．
（1）由勾股定理即可求解；
（2）过C作CD⊥AB于D．先用等积法求出CD；
（3）比较得到结论：AB段公路需要封锁．以点C为圆心，750米为半径画弧，交AB于点E，F，连接CE，
CF，利用勾股定理和等腰三角形的性质即可求出需要封锁的路段长度．
【规范解答】（1）解：在Rt△ABC中，AC=900米，BC=1200米，
∴AB=❑√AC2+BC2=❑√9002+12002=1500（米）．
答：A，B两村之间的距离为1500米；
（2）如图，过C作CD⊥AB于D．
1 1
∵S = AB⋅CD= BC⋅AC，
△ABC 2 2
AC⋅BC 900×1200
∴CD= = =720（米）．
AB 1500（3）公路AB有危险而需要封锁．理由如下：
由于720米<750米，故有危险，
因此AB段公路需要封锁．
以点C为圆心，750米为半径画弧，交AB于点E，F，连接CE，CF，
∴EC=FC=750米，
∴ED=❑√7502−7202=210（米），△CEF是等腰三角形，
1
∴ DE=DF= EF
2
∴ EF=2DE=420（米），
则需要封锁的路段长度为420米．
易错题型十二 利用勾股定理求台阶上地毯长度
33．（22-23八年级下·重庆九龙坡·期中）如图，某会展中心准备将高5m，长13m，宽2m的楼道铺上
地毯，若地毯每平方米30元，则铺完这个楼道至少需要 元．
【答案】1020
【易错思路引导】本题考查了勾股定理的应用，利用勾股定理可得AB=❑√AC2−BC2=12m，即得地毯的
长为AB+BC=17m，进而可得地毯的面积，再乘以单价即可求解，掌握勾股定理的应用是解题的关键．
【规范解答】解：由勾股定理得，AB=❑√AC2−BC2=❑√132−52=12m，
∴地毯的长为AB+BC=12+5=17m，
∴地毯的面积为17×2=34m2，
∴铺完这个楼道至少需要34×30=1020元，
故答案为：1020．
34．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，楼梯的高度为2m，楼梯坡面的长度为4m，要在楼梯的表
面铺上地毯，那么地毯的长度至少需要多少米？（精确到0.1m）【答案】5.5米
【易错思路引导】考查了勾股定理的应用，根据图形可得，地毯的长度等于AC+BC，利用勾股定理求出
BC的长，即可求解，理解地毯的长度等于AC+BC是解题的关键．
【规范解答】解：如图，由勾股定理得，AB2=BC2+AC2，
∴BC=❑√AB2−AC2=❑√42−22=2❑√3米，
∴AC+BC=2+2❑√3≈5.5米，
答：地毯的长度至少需要5.5米．
35．（21-22八年级下·广西百色·期中）如图所示是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别等于
7cm、6cm、2cm，A和B是这两个台阶的两个相对的端点，则一只蚂蚁从点A出发经过台阶爬到点B的最短
路线有多长？
【答案】25cm
【易错思路引导】展开后得到直角三角形ACB，根据题意求出AC、BC，根据勾股定理求出AB即可．
【规范解答】解：如图，将台阶展开，由题意得；AC＝6×3+2×3＝24，BC＝7，．
所以由勾股定理得：AB2＝AC2+BC2＝625，
即AB＝25（cm），
答：蚂蚁爬行的最短线路为25cm．
【考点剖析】本题主要考查对勾股定理，平面展开——最短路径问题等知识点的理解和掌握，能理解题意
知道是求出直角三角形ABC的斜边AB的长是解此题的关键．
易错题型十三 利用勾股定理判断汽车是否超速
36．（24-25八年级下·湖北恩施·期末）行车不超速，安全又幸福．已知某路段限速40km/h，小明尝
试用自己所学的知识检测经过该路段的汽车是否超速．如图，他所在的观测点P到该路段l的距离（OP的
长）为40米，测得一辆汽车从A处匀速行驶到B处用时3秒，∠APO=60°,∠BPO=45°．试通过计算判
断此车是否超速？（❑√3≈1.7,❑√2≈1.4）
【答案】未超速，理由见解析
【易错思路引导】本题主要考查了勾股定理、含30度角直角三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质
等知识点，熟练掌握勾股定理，含30度角直角三角形的性质是解题的关键．
先求出OB=OP=40，∠PAO=90°−∠APO=30°，则AP=2OP=80，可求出
28
AO=❑√AP2−OP2=40❑√3，继而求出AB=OA−OB=40❑√3−40≈28．可得此车的速度为 m/s，即
3
可解答．
【规范解答】解：在Rt△BPO中，OP=40,∠BPO=45°，
∴Rt△BPO是等腰直角三角形，
∴OB=OP=40，在Rt△BPO中，∠APO=60°，
∴∠PAO=90°−∠APO=30°，
∴AP=2OP=80，
∴AO=❑√AP2−OP2=40❑√3，
AB=OA−OB=40❑√3−40≈28．
28
∴此车的速度为 m/s．
3
100 28 100
∵40km/h= m/s， < ，
9 3 9
∴此车未超速．
37．（24-25八年级下·湖北随州·期中）超速行驶是引发交通事故的主要原因．某周末，张三同学在青
年路尝试用自己所学的知识检测车速，如图，观测点设在到公路l的距离为100m的P处．这时，一辆车由
西向东匀速驶来，测得此车从A处行驶到B处所用的时间为3s，并测得∠APO=60°，∠BPO=45°．
(1)求AP的长；
(2)试判断该车是否超过了70km/h的限制速度．（参考数据：❑√3≈1.732）
【答案】(1)AP=200m
(2)该车超过了70km/h的限制速度
【易错思路引导】本题主要考查了勾股定理，含30度角直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定，熟练
掌握勾股定理，含30度角直角三角形的性质是解题的关键．
（1）根据含30度角直角三角形的性质，即可求解；
（2）根据勾股定理可得AO=100❑√3m，再由等腰直角三角形的判定可得BO=OP=100m，可求出AB，
即可求解．
【规范解答】（1）解：在Rt△APO中，
∵∠AOP=90°，∠APO=60°，
∴∠PAO=30°，
∴AP=2OP=200m．
（2）解：在Rt△APO中，∵OP=100m，AP=200m，
∴AO=❑√AP2−OP2=❑√2002−1002=100❑√3(m)．
在Rt△BPO中，
∵∠BOP=90°，∠BPO=45°，
∴∠OBP=45°=∠BPO，
∴BO=OP=100m，
∴AB=AO−BO=(100❑√3−100)m，
∴该车的速度为(100❑√3−100)÷3≈24.4(m/s)=87.84km/h>70km/h，
∴该车超过了70km/h的限制速度．
38．为了积极响应国家新农村建设，某镇政府采用了移动宣讲的广播形式进行宣传．如图，笔直公路MN
的一侧有一报亭A，报亭A到公路MN的距离AB为600米，且宣讲车P周围1 000米以内能听到广播宣传，
宣讲车P在公路MN上沿PN方向行驶．
(1)请问报亭的人能否听到广播宣传，并说明理由；
(2)如果能听到广播宣传，已知宣讲车的速度是200米/分，那么报亭的人总共能听到多长时间的广播宣传？
【答案】(1)报亭的人能听到广播宣传，理由见解析
(2)报亭的人总共能听到8分钟的广播宣传
【易错思路引导】本题主要考查了勾股定理的实际应用，垂线段最短：
（1）根据垂线段最短，结合600米<1000米即可得到结论；
（2）如图，假设当宣讲车P行驶到P 点时，报亭的人开始听到广播宣传，当宣讲车P行驶过P 点时，报
1 2
亭的人开始听不到广播宣传，连接AP ，AP ．利用勾股定理求出P B、P B的长，进而求出P P 的
1 2 1 2 1 2
长，再根据时间等于路程除以速度即可得到答案．
【规范解答】（1）解：报亭的人能听到广播宣传，理由如下：
∵600米<1000米，
∴报亭的人能听到广播宣传．
（2）解：如图，假设当宣讲车P行驶到P 点时，报亭的人开始听到广播宣传，当宣讲车P行驶过P 点时，
1 2报亭的人开始听不到广播宣传，连接AP ，AP ．
1 2
由题意得，AP =AP =1000米，AB=600米，AB⊥MN，
1 2
由勾股定理得P B=❑√P A2−AB2=800米，P B=❑√P A2−AB2=800米，
1 1 2 2
∴P P =1600米．
1 2
∵1600÷200=8 (分)，
∴报亭的人总共能听到8分钟的广播宣传．
易错题型十四 利用勾股定理判断是否受台风影响
39．（24-25八年级上·陕西咸阳·月考）今年，第13号台风“贝碧嘉”9月16日登陆后的影响还在持续，
第14号台风“普拉桑”和第15号台风“苏力”又于19日登陆．A市接到台风警报时，台风中心位于距离
A市52km的B处（即AB=52km），正以8km/h的速度沿BC直线方向移动．
(1)已知A市到BC的距离AD=20km，那么台风中心从B点移到D点经过多长时间？
(2)如果在距台风中心25km的圆形区域内都将受到台风影响，那么A市受到台风影响的时间是多长？
【答案】(1)台风中心从B点移到D点需要6小时
(2)A市受台风影响的时间为3.75小时
【易错思路引导】此题主要考查了勾股定理的应用，等腰三角形三线合一性质，根据题意熟练应用勾股定
理是解题关键．
（1）在Rt△ABD中，根据勾股定理求出BD，台风的速度已知，即可得出台风中心从B点移到D点所经过
长时间；
（2）假设A市从P点开始受到台风的影响，到Q点结束，根据题意在图中画出图形，可知DP=DQ，A市
在台风从P点到Q点均受影响，即得出PQ两点的距离，便可求出A市受台风影响的时间．
【规范解答】（1）解：由题意得，在Rt△ABD中，AB=52km，AD=20km
∴ BD=❑√AB2−AD2=48(km)，
∴48÷8=6（小时），
即台风中心从B点移到D点需要6小时；
（2）解：以A为圆心，以25km为半径画弧，交BC于P、Q，
则A市在P点开始受到影响，离开Q点恰好不受影响（如图），
由题意，AP=25km，在Rt△ADP中，
PD=❑√AP2−AD2=15(km)，
∵AP=AQ，∠ADB=90°，
∴DP=DQ，
∴PQ=30km，
∴30÷8=3.75（小时）
∴A市受台风影响的时间为3.75小时．
40．（24-25八年级上·陕西西安·月考）如图，A，B，C是我国南部的三个岛屿，已知A，C两岛的距
离为30❑√2km，A，B两岛的距离为70km，B，C两岛的距离为50km．2024年9月，超强台风“摩羯”
登陆岛屿B，台风中心由B向A移动，风力影响半径为34km．
(1)请判断岛屿C是否会受到台风的影响？并说明理由．
(2)若台风影响岛屿C的时长是1.6小时，求台风中心的移动速度．
【答案】(1)岛屿C会受到台风的影响；理由见解析
(2)台风中心的移动速度为20km/h．
【易错思路引导】本题考查勾股定理的应用，理解题意，通过作CD⊥AB构造直角三角形是解题的关键．
（1）过点C作CD⊥AB于点D，利用勾股定理得AC2−AD2=BC2−BD2可求出AD和CD，由30<34，可知会受影响；
（2）以点C为圆心，34km长为半径画弧与AB交于点E，F，利用勾股定理求出DE，进而得到EF的长，
再除以台风影响岛屿C的时长，即可求出台风移动的速度．
【规范解答】（1）解：岛屿C会受到台风的影响；理由如下，
过点C作CD⊥AB于点D，
由勾股定理得：AC2−AD2=BC2−BD2，
∴(30❑√2) 2 −AD2=502−(70−AD) 2，
解得AD=30km，∴BD=70−30=40km，CD=❑√BC2−BD2=❑√502−402=30km，
∵30<34，
∴岛屿C会受到台风的影响；
（2）解：以点C为圆心，34km长为半径画弧与AB交于点E，F，
则EF=2DE，
在Rt△CDE中，
由勾股定理，得DE=❑√CE2−CD2=❑√342−302=16(km)，
∴EF=32km，
32÷1.6=20(km/h)，
答：台风中心的移动速度为20km/h．
41．（24-25八年级下·广西南宁·期中）五一即将来临，某家电商场准备开展促销活动，现采用移动车
在公路上进行广播宣传．已知一辆移动广播车在笔直的公路AB上，沿东西方向由A向B行驶．小丽的家在
公路的一侧点C处，且点C与直线AB上的两点A，B的距离分别为AC=300m，BC=400m，又
AB=500m，假如移动广播车周边250米以内能听到广播宣传．
(1)求∠ACB的度数．
(2)请你通过计算说明小丽在家能听到广播吗？(3)若移动广播车在笔直的公路AB上以10米/秒的速度行驶，当移动广播车行驶到点E时，小丽在家刚好
听到广播，当移动广播车行驶到点F时，小网在家刚好不再听到广播，即CE=CF=250米，问小丽在家听
到广播宣传的时长是多长？
【答案】(1)∠ACB=90°
(2)小丽在家能听到广播，计算见解析
(3)小丽在家听到广播宣传的时间为14秒
【易错思路引导】本题考查勾股定理的逆定理，勾股定理的应用；
（1）利用勾股定理的逆定理判断△ABC的形状；
（2）过点C作CD⊥AB，根据等积法求出CD的长，然后和250米作比较解答即可；
（3）作EC=FC=250m，根据勾股定理求出EF长，再根据时间=路程÷时间解答即可．
【规范解答】（1）解：∵AC2+BC2=3002+4002=250000，
又∵AB2=5002=250000，
∴AB2+BC2=AC2，
∴△ABC是直角三角形，即∠ACB=90°．
（2）解：过点C作CD⊥AB，垂足为D，
∵△ABC
直角三角形，
1 1
∴ AB⋅CD= AC⋅BC，
2 2
1 1
×500×CD= ×300×400，
2 2
解得CD=240(m)，
∵240<250
∴小丽在家能听到广播；
（3）解：依题意，EC=FC=250m,CD⊥AB，
根据勾股定理，ED=❑√EC2−CD2=❑√2502−2402=70(m)，
∴EF=2ED=140(m)
∵移动广播车的速度为10米／秒，
∴140÷10=14秒
答：小丽在家听到广播宣传的时间为14秒．易错题型十五 利用勾股定理求最短路径
42．（21-22八年级上·江苏无锡·期末）如图，点A，B在直线MN的同侧，A到MN的距离AC=8，B
到MN的距离BD=5，已知CD=4，P是直线MN上的一个动点，记PA+PB的最小值为a，|PA−PB)的
最大值为b，则a2−b2的值为（ ）
A．160 B．150 C．140 D．130
【答案】A
【易错思路引导】本题考查轴对称解决最短路径问题、勾股定理，熟练掌握利用轴对称解决最短路径问题
是解题的关键．
作点A关于直线MN的对称点A′，连接A′B交直线MN于点P，则点P即为所求点，过点A′作A′E⊥BD
于点E，则线段A′B的长为PA+PB的最小值，根据勾股定理得到A′B=❑√185，即a=❑√185；延长AB交
MN于点P′，则P′ A−P′B=AB，当点P运动到P′时，|PA−PB)有最大值，过点B作BF⊥AC于点F，
则BF=CD=4，根据勾股定理求得AB=5，即|PA−PB)有最大值b=5，据此求解即可．
【规范解答】解：如图，作点A关于直线MN的对称点A′，连接A′B交直线MN于点P，则点P即为所求点，
过点A′作A′E⊥BD于点E，
∴ A′B PA+PB
线段 的长为 的最小值，
∵AC=8、BD=5、CD=4,
∴A′C=8、BE=8+5=13、A′E=CD=4，
∴A′B=❑√132+42=❑√185即PA+PB的最小值a=❑√185；
延长AB交MN于点P′，
∵P′ A−P′B=AB AB≥|PA−PB)
、
∴当点P运动到P′时，|PA−PB)有最大值，
∵AC=8、BD=5、CD=4，
过点B作BF⊥AC于点F，则BF=CD=4，
∴AF=AC−BD=8−5=3
∴AB=❑√42+32=5
即|PA−PB)有最大值b=5，
∴a2−b2=(❑√185) 2 −52=160，
故选：A．
43．（2026八年级下·全国·专题练习）葛藤是一种植物，它自己腰杆不硬，为了争夺雨露阳光，常常绕
着树干盘旋而上，它还有一个绝招，就是绕树盘旋上升的路线总是沿着最短路线．难道植物也懂得数学吗？
阅读以上信息，试解决下列问题（假设树是圆柱形）：
(1)如图，若树底面的周长为3dm，从点A绕1圈到点B，葛藤升高4dm，则它绕树盘旋的最短路程是多少
分米？
(2)若树底面的周长为8dm，葛藤绕树1圈的路程是10dm，则绕树1圈升高多少分米？若绕树10圈到达树
顶，则树干的高为多少分米？
【答案】(1)5dm
(2)6dm 60dm
【易错思路引导】（1）以树底面的周长为长方形的长，绕树干一圈上升的高度为长方形的宽，将树的侧面展开，则长方形的对角线为最短路径；按照上面的方法画出长方形，使长方形两边长分别为3dm，4dm，
再利用勾股定理求出长方形对角线长即为最短路程；
（2）先根据勾股定理求出绕树1圈的高度，再求出绕树10圈的高度，即为树干高．
【规范解答】（1）解：如图①，将树的一部分沿侧面展开，得到长方形ACBD，
则长方形的对角线AB的长为最短路径．
由题意，得AC=3dm，BC=4dm．
由勾股定理，得AB=❑√32+42=5dm．
故葛藤绕树盘旋的最短路程是5dm．
（2）解：如图②，同（1）得到长方形ACBD，则由题意得AC=8dm，AB=10dm．
由勾股定理，得BC=❑√102−82=6dm，
∴葛藤绕树1圈升高6dm．
若绕树10圈到达树顶，则树干的高为10×6=60dm．
【考点剖析】本题考查了圆柱的侧面展开图的运用以及勾股定理的应用，利用圆柱的侧面展开图为长方形，
最短路径为长方形的对角线长得出是解题关键．
44．（25-26八年级上·全国·期中）【问题情境】如图①，已知圆柱底面的周长为12cm，圆柱的高为
8cm，在圆柱的侧面上，过上底面的点A和下底面上与点A相对的点C嵌有一圈长度最短的金属丝，下底
面的点B在点A的正下方．(1)【操作发现】现将圆柱侧面沿AB剪开，所得的圆柱侧面展开图是 ．（填字母）
(2)【变式探究】如图②，若将金属丝从点B沿圆柱侧面绕四圈到达点A，求所需金属丝的最短长度．
(3)【拓展应用】如图③，现有一个长、宽、高分别为5dm，4dm，3dm（即AB=5dm，BC=4dm，
AE=3dm）的无盖长方体木箱．现在箱外的点A处有一只蚂蚁，箱内的点C处有一滴蜂蜜．请你为蚂蚁设
计一条路线，使其能以最短的路程吃到蜂蜜，并求出此最短路程．(木板的厚度忽略不计)
【答案】(1)A
(2)所需金属丝的最短长度为8❑√37cm
(3)3❑√13dm
【易错思路引导】本题考查了平面展开-最短路径，理解转化思想是解题的关键．
（1）要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，
根据勾股定理计算即可；
（2）若将金属丝从点B绕四圈到达点A，则所需金属丝最短长度是以周长的高为直角三角形的斜边长的4
倍；
（3）将玻璃杯侧面展开，根据两点之间线段最短可知AM的长度即为所求，利用勾股定理求解即可得．
【规范解答】（1）解：∵两点之间线段最短，
故选：A；
（2）解：若将金属丝从点B沿圆柱侧面绕四圈到达点A，则所需金属丝的最短长度与底面周长的4倍及高
构成直角三角形．由勾股定理，得❑√(12×4) 2+82=8❑√37(cm)．
答：所需金属丝的最短长度为8❑√37cm；
（3）解：如图，先将长方体的侧面ABEF和侧面BCGF展开，再作点C关于EG的对称点N，连接AN交
EG于点M，则MC=MN．所以AM+MC=AM+MN；
根据两点之间线段最短可知，当A，M，N三点共线时，AM+MN的值最小，即AM+MC的值最小，此时
A−M−C就是蚂蚁爬行的路线，线段AN的长即为最短路程．
在Rt△ACN中，∠ACN=90°，根据勾股定理，得：
AN=❑√AC2+CN2=❑√(5+4) 2+(3+3) 2=3❑√13(dm)．
所以最短路程为3❑√13dm．
易错题型十六 利用勾股定理的逆定理求解
45．（25-26八年级下·全国·周测）如图，在△ABC中，AB:BC:CA=3:4:5，且△ABC周长为36cm．
点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．
如果P，Q两点同时出发，那么经过3s，△BPQ的面积为（ ）
A．12cm2 B．18cm2 C．24cm2 D．36cm2
【答案】B
【易错思路引导】本题主要考查了勾股逆定理，解题的关键是求出△ABC的三边长，证明△ABC是直角三
角形．
设AB长为3xcm，BC长为4xcm，AC长为5xcm．根据△ABC的周长为36cm，列出方程求出x的值，通
过勾股逆定理△ABC是直角三角形，经过3秒时，求出BP，BQ，根据三角形面积公式即求出△BPQ的面
积．
【规范解答】解：设AB长为3xcm，BC长为4xcm，AC长为5xcm．
∵△ABC的周长为36cm，即AB+BC+AC=36cm，
∴3x+4x+5x=36，解得x=3，
∴AB=9cm，BC=12cm，AC=15cm，
∴AB2+BC2=AC2，
∴△ABC是直角三角形，且∠B=90°．
经过3s，BP=9−3×1=6(cm)，BQ=2×3=6(cm)，
1 1
∴S = BP⋅BQ= ×6×6=18(cm2)．
△BPQ 2 2
故选：B．
46．（24-25八年级下·广东佛山·月考）如图是由边长为1的小正方形构成的7×7网格，每个小正方形
的顶点叫做格点，△ABC的顶点在格点上，仅用无刻度直尺在网格中完成下列作图．（不写作法，保留痕
迹）
(1)图1中，在BC上画一点D，使∠BAD=45°；
(2)图2中，点P、M为格点，在AC上画一点E，使得PE+ME最小，并直接写出PE+ME最短距离
________．
【答案】(1)见解析
(2)见解析，❑√29
【易错思路引导】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的性质与判定，轴对称最短路径
问题，线段垂直平分线的判定与性质， 熟知相关知识是解题的关键．
（1）取格点E，连接AE并延长交BC于D，则点D即为所求；
（2）取格点F，连接FM交AC于E，则点E即为所求．
【规范解答】（1）解：如图所示，取格点E，连接AE并延长交BC于D，则点D即为所求；
利用勾股定理可证明AE=BE，利用勾股定理的逆定理可证明∠AEB=90°，则△ABE是等腰直角三角形，
即∠BAD=45°；（2）解：如图所示，取格点F，连接FM交AC于E，则点E即为所求；
可证明AP=AF，CP=CF，则AC垂直平分PF，
则FE=PE，
故PE+ME=FE+ME，
则M、E、F三点共线时，FE+ME有最小值，即PE+ME有最小值，最小值为FM的长，即
❑√22+52=❑√29．
47．（2025·贵州遵义·模拟预测）数学活动课上，老师为了激发同学们的数学思维，让同学们模拟把一
块三角形蛋糕均分成小三角形蛋糕，分发给若干名小朋友．
(1)【初步感知】
小红得到的题目如下：把如图①的等腰三角形蛋糕均分成两块小三角形蛋糕，分发给两名小朋友．于是他
沿着底边上的中线切成了两块小三角形蛋糕．他用的数学原理是________；
（A）三角形的稳定性 （B）等腰三角形是轴对称图形 （C）三角形内角和等于180°
(2)【思考操作】
小星得到的题目如下：把如图②的三角形蛋糕均分成四块小三角形蛋糕，分发给四名小朋友．请你用两种不同方法，在图中作出尺规作图条件下能够完成的“切痕”（直接画出“切痕”，写出切割依据即可）；
(3)【拓展延伸】
小梅得到的题目如下：如图③，在△ABC中，BC、AC、AB边上的中线AD、BE、CF相交于点G．
①求证BG=2EG；
②若AD=9，BE=12，CF=15，求△ABC的面积．
请你给小梅写出解答过程．
【答案】(1)B
(2)见解析
(3)①见解析；②72
【易错思路引导】本题主要考查了三角形中线的性质，勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质，全等三角
形的性质与判定等等，熟知相关知识是解题的关键．
（1）等腰三角形是轴对称图形，等腰三角形底边上的中线所在的直线为等腰三角形的对称轴，即等腰三
角形的中线可以把等腰三角形分成两个相同的部分，据此可得答案；
（2）方法一：作BC的四等分点E、D、F，连接AE，AD，AF，折痕为AE，AD，AF；方案二：作
AB，AC的中点E、F，连接AD，ED，FD，折痕为AD，ED，FD；
（3）①由三角形中线平分三角形面积可得S =S ，S =S ，则可证明S =S ，再证
△ACF △BCF △AGF △BGF △ACG △BCG
1 1 1
明S = S = S ，可得EG= BG，即BG=2EG；②延长BE到M，使得EM=EG，连接
△CGE 2 △ACG 2 △BCG 2
AM，证明△AEM≌△CEG(SAS)，得到AM=CG；由（1）可得AG=6，CG=10，BG=8，可证明
1
AG2+MG2=AM2，得到∠AGM=90°，则S = BE⋅AG=36，即可得到S =2S =72．
△ABE 2 △ABC △ABE
【规范解答】（1）解：由题意得，他用的数学原理是等腰三角形是轴对称图形，
故选：B；
（2）解：如图，作BC的四等分点E、D、F，连接AE，AD，AF，
则BE=DE=DF=CF，折痕为AE，AD，AF，
∴S =S =S =S
△AEB △ADE △ADF △ACF
如图，分别作AB，AC的中点E、F，连接AD，ED，FD，折痕为AD，ED，FD，则S =S =S =S ；
△ADE △BDE △ADF △CDF
（3）解：①∵CF是△ABC的中线，
∴S =S ，S =S ，
△ACF △BCF △AGF △BGF
∴S −S =S −S ，
△ACF △AGF △BCF △BGF
∴S =S ，
△ACG △BCG
∵BE是△ABC的中线，
1 1
∴S = S = S ，
△CGE 2 △ACG 2 △BCG
1
∴EG= BG，即BG=2EG；
2
②延长BE到M，使得EM=EG，连接AM，
∵BE是△ABC的中线，
∴AE=CE，
又∵EM=EG，∠AEM=∠CEG，
∴△AEM≌△CEG(SAS)，
∴AM=CG；
2 2 2
由（1）可得BG= BE，CG= CF，AG= AD，
3 3 3
∵AD=9，BE=12，CF=15，
∴AG=6，CG=10，BG=8，
∴EG=BE−BG=4，
∴GM=EG+EM=8，
∴AG2+MG2=62+82=36+64=100，AM2=102=100，
∴AG2+MG2=AM2，
∴∠AGM=90°，
1 1
∴S = BE⋅AG= ×6×(8+4)=36，
△ABE 2 2
∴S =2S =72．
△ABC △ABE易错题型十七 勾股定理逆定理的实际应用
48．（25-26八年级下·全国·课后作业）某校开展劳动教育课程，并取得了丰硕成果．下图是该校开垦
的一块作为学生劳动实践基地的四边形荒地ABCD．经测量AB=AD=13m，BC=8m，CD=6m，且
BD=10m．
(1)试说明：∠BCD=90°．
(2)求阴影部分的面积．
【答案】(1)见解析
(2)36m2
【易错思路引导】（1）由勾股定理逆定理，得到△BCD是直角三角形即可证明；
（2）过A作AE⊥BD于点E，三线合一求出AE的长，利用等腰三角形的面积减去直角三角形的面积求出
阴影部分的面积即可．
【规范解答】（1）解：（1）在△BCD中，BC=8m，CD=6m，BD=10m，
∴BC2+CD2=82+62=100，BD2=100，
∴BC2+CD2=BD2，
∴△BCD是直角三角形，∠BCD=90°．
（2）解：如图，过点A作AE⊥BD于点E，
∴∠AEB=90°
．∵AB=AD，
1
∴BE=DE= BD=5m．
2
在Rt△ABE中，AB=13m，
∴AE=❑√AB2−BE2=❑√132−52=12(m)，
1 1
∴S = BD⋅AE= ×10×12=60(m2)．
△ABD 2 2
1 1
∵S = BC⋅CD= ×8×6=24(m2)，
△BCD 2 2
∴S =S −S =60−24=36(m2)，
阴影部分 △ABD △BCD
∴阴影部分的面积为36m2．
【考点剖析】本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理、等腰三角形的性质以及三角形面积等知识，
熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键．
49．（24-25八年级下·河北保定·期末）综合与实践
问题情境：某小区的社区管理人员计划在临街的拐角建造一块绿化地（阴影部分），现面向小区居民征集
设计方案，欣欣和强强合作一起完成了绿化地和引水灌溉方案的设计．
欣欣设计的绿化地及浇灌点方案如下：如图，AB=9m,BC=12m,CD=17m,AD=8m，在CD上选取两
点E，F为浇灌点，从水源点G处铺设管道引水．
强强设计的铺设管道方案如下：
方案一：从水源点G处直接铺设管道分别到浇灌点E，F；
方案二：过点G作CD的垂线，垂足为H，先从水源点G处铺设管道到点H处，再从点H处分别向浇灌点
E，F铺设管道．
社区管理人员按照欣欣设计的绿化地及浇灌点方案施工，施工人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点
之间的距离，就确定了∠ABC=90°．
(1)施工人员测量的是点 与点 之间的距离．
(2)若绿化地建造每平方米的费用为100元，求建造绿化地的费用．(3)若∠EGF=90°，EF=10m,EG=8m，管道铺设费用为50元/米，请比较强强设计的两种铺设管道方
案所花的费用，并求出铺设管道所需的最少费用．
【答案】(1)A，C
(2)建造绿化地的费用为11400元
(3)方案一所花的费用700元<方案二所花的费用740元，铺设管道所需的最少费用为700元
【易错思路引导】本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理的实际应用，正确掌握相关性质内容是解题
的关键．
（1）直接运用勾股逆定理进行列式计算，即可作答．
1
（2）直接运用勾股逆定理进行列式计算，得证∠DAC=90°，再计算S = AD⋅AC=60m2 ，
△DAC 2
1
S = AB⋅BC=54m2 ，最后相加，即可作答；
△ACB 2
（3）根据勾股定理得到FG=❑√EF2−EG2=❑√102−82=6(m)，根据三角形的面积公式得到
EG⋅FG 8×6 24
HG= = = m，求得方案一：铺设管道所花的费用=(6+8)×50=700（元），方案二：
EF 10 5
( 24)
铺设管道所花的费用= 10+ ×50=740（元），于是得到结论．
5
【规范解答】（1）解：连接AC，
施工人员测量的是A，C两点之间的距离，
∵AB=9m,BC=12m, ∠ABC=90°
∴AC2=AB2+BC2=92+122=225，
∴AC=15m，
即当测量A，C两点之间的距离为15m
∴满足勾股逆定理得AB2+BC2=AC2；
∴∠ABC=90°，故答案为：A，C；
（2）解：∵AD2+AC2=82+152=289，DC2=172=289，
∴AD2+AC2=DC2，
∴∠DAC=90°，
1 1
∴S = AD⋅AC= ×8×15=60(m2)，
△DAC 2 2
1 1
∴S = AB⋅BC= ×9×12=54(m2)
△ACB 2 2
∴四边形ABCD的面积=60+54=114(m2)，
∴建造绿化地的费用100×114=11400（元）；
（3）解：∵∠EGF=90°,EF=10m,EG=8m，
∴FG=❑√EF2−EG2=❑√102−82=6(m)
∵GH⊥EF，
1 1
∴S = EG⋅FG= EF⋅GH，
△EGF 2 2
EG⋅FG 8×6 24
∴HG= = = m
EF 10 5
∴求得方案一：铺设管道所花的费用=(6+8)×50=700（元），
( 24)
方案二：铺设管道所花的费用= 10+ ×50=740（元），
5
∵740>700
∴铺设管道所需的最少费用为700元．
易错题型十八 勾股定理逆定理的拓展问题
50．（23-24八年级上·江苏镇江·期中）【问题初探】勾股定理神奇而美妙，它的证法多种多样，在学
习了教材中介绍的拼图证法以后，小华突发灵感，给出了如图①的拼图：两个全等的直角三角板ABC和直
角三角板DEF，顶点F在BC边上，顶点C、D重合，连接AE、EB．设AB、DE交于点G．
∠ACB=∠DFE=90°，BC=EF=a，AC=DF=b(a>b)，AB=DE=c．请你回答以下问题：（1）AB与DE的位置关系为______．
（2）填空：S =______（用含c的代数式表示）．
四边形ADBE
（3）请尝试利用此图形证明勾股定理．
【问题再探】平移直角三角板DEF，使得顶点B、D重合，这就是大家熟悉的“K型图”，如图②，此时三
角形ABE是一个等腰直角三角形．
请你利用以上信息解决以下问题：
已知直线a∥b及点P，作等腰直角△PAB，使得点A、B分别在直线a、b上且∠APB=90°．（尺规作图，
保留作图痕迹）
【问题拓展】请你利用以上信息解决以下问题：
已知△ABC中，∠A=45°，∠B=22.5°，BC=6，则△ABC的面积=______．
1
【答案】问题初探：（1）DE⊥AB；（2） c2 ；（3）见解析；问题再探：见解析；问题拓展：9
2
【易错思路引导】本题是四边形的综合题，考查了勾股定理的证明，三角形的面积的计算，全等三角形的
性质．
问题初探：（1）根据全等三角形的性质得到∠EDF=∠CAB，求得∠ACE+∠CAB=90°，得到
∠AGC=90°，根据垂直的定义得到DE⊥AB；（2）根据三角形的面积公式即可得到结论；
（3）根据三角形的面积和梯形的面积公式用两种方法求得四边形ACBE的面积，于是得到结论．
问题再探：如图，过点P作PF⊥直线b于点F交直线a于点E，截取FB=PE，EA=PF，连接
PA,PB,AB即可；
问题拓展：过点B作BE⊥AC交AC延长线于点E，过点C作CD⊥AB于点D，证明
Rt△BDC≌Rt△BEC(HL)，得BD=BE=AE=AC+CE=❑√2AD+AD=(❑√2+1)AD，根据勾股定理得
AD2=18(2−❑√2)，然后代入三角形面积公式即可解决问题．
【规范解答】解：问题初探：（1）AB⊥DE；
证明：∵△ABC≌△≝¿，
∴∠EDF=∠CAB，
∵∠EDF+∠CAE=90°，
∴∠ACE+∠CAB=90°，
∴∠AGC=90°，
∴∠AGE=180°−∠AGC=90°，
∴DE⊥AB，
故答案为：DE⊥AB；,
（2）∵DE⊥AB，
∴S =S +S
四边形ADBE △ACB △ABE
1 1
= AB⋅DG+ AB⋅EG
2 2
1
= AB⋅(DG+EG)
2
1
= AB⋅DE
2
1
= c2 ，
2
1
故答案为：
c2
；,
2
（3）证明：∵四边形ACBE的面积=S +S
△ACB △ABE
1 1
= AB⋅DG+ AB⋅EG
2 21
= AB⋅(DG+EG)
2
1
= AB⋅DE
2
1
= c2 ，
2
∴四边形ACBE的面积=S +S
四边形ACFE △EFB
1 1
= (AC+EF)⋅CF+ BF⋅EF
2 2
1 1
= (b+a)b+ (a−b)⋅a
2 2
1 1 1 1
= b2+ ab+ a2− ab
2 2 2 2
1 1
= a2+ b2 ，
2 2
1 1 1
∴
c2= a2+ b2
，
2 2 2
即a2+b2=c2．
问题再探：解：如图，△PAB即为所求；
问题拓展：解：如图，过点B作BE⊥AC交AC延长线于点E，过点C作CD⊥AB于点D，
∵∠A=45°
，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴∠ABE=45°,AE=BE，
∵∠ABC=22.5°，∴∠CBE=∠ABC=22.5°，
∵BE⊥AC,CD⊥AB，
∴CE=CD，
∵CD⊥AB,∠A=45°，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴AD=CD=CE，
∴AC=❑√2AD，
在Rt△BDC和Rt△BEC中，
{BC=BC)
，
CD=CE
∴Rt△BDC≌Rt△BEC(HL)，
∴BD=BE，
∴BD=BE=AE=AC+CE=❑√2AD+AD=(❑√2+1)AD，
∵BC=6，
∴BE2+CE2=BC2，
∴(❑√2+1) 2 AD2+AD2=62，
∴AD2=9(2−❑√2)，
1
∴△ABC的面积= AC⋅BE
2
1
= (AE−CE)⋅BE
2
1
= ×[(❑√2+1)AD−AD)⋅(❑√2+1)AD
2
1
= (2+❑√2)AD2
2
1
= (2+❑√2)×9×(2−❑√2)
2
=9．
故答案为：9．
51．（23-24八年级上·湖南长沙·期中）定义：a，b，c为正整数，若c2=a2+b2，则称c为“完美勾股
数”，a，b为c的“伴侣勾股数”． 如132=52+122，则13是“完美勾股数”，5，12是13的“伴侣勾股数”．
(1)数10________“完美勾股数”（填“是”或“不是”）；
(2)已知△ABC的三边a，b，c满足a2+b2+c2−6a−8b−10c+50=0． 求证：c是“完美勾股数”．
(3)已知m，n>0且m>n，c=2m2+2mn+2n2，a=m2+4mn+n2，b=❑√3(m+n)，c为“完美勾股数”，
a，b为c的“伴侣勾股数”． 多项式x3−3x2+p有一个因式x−m+n，求该多项式的另一个因式．
【答案】(1)是
(2)见解析
(3)x2−2x−2
【易错思路引导】本题考查了勾股数和新定义的综合应用．
（1）根据完美勾股数的定义可得答案；
（3）利用完全平方公式证明即可；
（3）由勾股定理可得m，n的关系式，将m，n的关系式代入x−m+n，根据多项式x3−3x2+p有一个因
式x−m+n，求解即可．
【规范解答】（1）解：∵102=62+82，
∴数10是“完美勾股数”，
故答案为：是；
（2）证明：(a2−6a+9)+(b2−8a+16)+(c2−10c+25)=0
∴(a−3) 2+(b−4) 2+(c−5) 2=0
∵(a−3) 2≥0;(b−4) 2≥0;(c−5) 2≥0.
∴a=3,b=4,c=5，
∴c2=a2+b2，
∴c是“完美勾股数”；
（3）解：由题意得：c2=a2+b2，
∴(2m2+2mn+2n2) 2 =(m2+4mn+n2) 2 +3(m+n) 2，
∴(2m2+2mn+2n2) 2 −(m2+4mn+n2) 2 =3(m+n) 2，
∴(3m2+6mn+3n2)(m2−2mn+n2)=3(m+n) 2，
∴(m+n) 2 (m−n) 2=(m+n) 2，∴(m+n) 2[(m−n) 2−1)=0，
又∵m,n>0;m>n，
∴(m−n) 2−1=0，即m−n=1，
∴m=n+1，
∴x3−3x2+p有一个因式为x−m+n=x−1，
∴x3−3x2+P=(x−1)(x2−2x−2)，
∴另一个因式为x2−2x−2．
52．（1）如图1，О是等边△ABC内一点，连接OA、OB、OC，且OA=3,OB=4,OC=5,
△BAO≅△BCD，连接OD．
①∠OBD= __度；（答案直接填写在横线上）
②OD=_ __﹔（答案直接填写在横线上）
③求∠BDC的度数．
（2）如图2所示，О是等腰直角△ABC(∠ABC=90°)内一点，连接OA、OB、OC，
△BAO≅△BCD，连接OD．当OA、OB、OC满足什么条件时，∠ODC=90∘．请给出证明．
【答案】（1）①60°；②4；③150°；（2）OA2+2OB2=OC2，证明见解析．
【易错思路引导】（1）①由△BAO≅△BCD得到BO=BD,∠ABO=∠CBD，继而证明
∠ABC=∠OBD即可解题；
②由△BAO≅△BCD得到BO=BD，结合①结论∠OBD=60°，可证明△OBD是等边三角形，即可解题；
③根据△BAO≅△BCD得到AO=CD，在△ODC中根据三角形三边关系即勾股定理的逆定理，可证明
△ODC为直角三角形，继而得到∠ODC=90∘，再结合△OBD是等边三角形即可解得∠OBD=60°据此
解题即可；
（2）由△BAO≅△BCD,可得∠OBD=∠ABC=90°,BO=BD,CD=AO，可证明△OBD为等腰直角
三角形，根据等腰直角三角形边的关系可得OD=❑√2OB，最后根据直角三角形三边满足勾股定理解题即可．
【规范解答】解:（1）①∵△BAO≅△BCD
∴BO=BD,∠ABO=∠CBD
∴∠ABO+∠OBC=∠CBD+∠OBC
即∠ABC=∠OBD
∴∠ABC=∠OBD=60°
故答案为：60°；
②∵△BAO≅△BCD
∴BO=BD，
由①得∠OBD=60°
∴△OBD是等边三角形，
∴OD=OB=BD=4
故答案为：4；
③∵△BAO≅△BCD
∴AO=CD
∵OD=4,DC=3,OC=5
∴OD2+DC2=OC2
∴△ODC为直角三角形
∴∠ODC=90∘
∵△OBD为等边三角形
∴∠BDO=60°
∴∠BDC=∠ODC+∠BDO=90°+60°=150∘；
（2）当OA2+2OB2=OC2时，∠ODC=90°．
理由如下:
∵△BAO≅△BCD,∴∠OBD=∠ABC=90°,BO=BD,CD=AO，
∴△OBD为等腰直角三角形，
∴OD=❑√2OB，
∵当CD2+OD2=OC2时，△OCD为直角三角形，∠ODC=90°
∴OA2+2OB2=OC2，
当OA、OB、OC满足OA2+2OB2=OC2时，∠ODC=90°．
【考点剖析】本题考查勾股定理及其逆定理、全等三角形的性质、等边三角形的判定、等腰直角三角形的
判定与性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
