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考点巩固卷 07 三角函数的运算（八大考点）
考点01：任意角与弧度制
区域角的求解遵循以下步骤：
第一步：在直角坐标系中标明两个边界（在 范围内）
第二步：按逆时针方向标出阴影部分区域
第三步：若阴影区域为射线即：若阴影区域为直线即：
区域角是指终边在坐标系内的某个区域内的角。
表示区域角的3个步骤：
（1）先逆时针的方向找到区域的起始和终止的边界；
（2）按由小到大分别标出起始和终止边界对应的 范围内的角 和 ，写出
最简区间 ，其中 ；
（3）起始、终止边界对应角 ， 再加上 的整数倍，即得区间角集合。
由已知角确定其他角所在象限
1、已知角 终边所在的象限，确定其他角终边所在的象限，常依据角 的范围得到所求
角的范围，在直接转化为终边相同的角即可。注意不要漏掉终边在坐标轴上的情况。
2、已知角 所在象限，要确定 所在象限，由两种方法：
（1）用不等式表示出角 的范围，然后对 的取值分情况讨论：被 整除，被 除余
1，被 除余2，……，从而得出结论；
（2）作出各个象限的从原点出发的 等分射线，它们与坐标轴把周角分成 个区域。从
轴的非负半轴起，按逆时针方向把这 个区域以此循环标上1,2,3,4。标号为几的区
域，就是根据角 终边所在的象限确定角 的终边所在的区域。如此，角 所在的
区域就可以由标号区域所在的象限直观的看出。
3、已知角 终边所在的象限，确定 终边所在的象限，可依据角 的范围求出 的范
围，在直接转化为终边相同的角即可。注意不要漏掉 的终边在坐标轴上的情况。
1．在平面直角坐标系中，若角 与 的终边关于 轴对称，则角 与 之间的关系满足
（ ）.
A． B．
C． D．
2．下列与 角终边相同的角为（ ）
A． B． C． D．
3．已知某圆锥的侧面积为 ，其侧面展开图是一个圆心角为 的扇形，则该圆锥的底面
半径为（ ）
试卷第2页，共3页A． B． C． D．
4．已知角 的终边经过点 ，则 是（ ）
A．第一或第三象限角 B．第二或第四象限角
C．第一或第二象限角 D．第三或第四象限角
5．若圆锥的侧面展开图是圆心角为 ，半径为2的扇形，则该圆锥的高为（ ）
A． B． C． D．
6．《九章算术》中《方田》一章给出了计算弧田面积的公式：弧田面积 （弦 矢+矢
）.弧田（如图）由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于
半径长与圆心到弦的距离之差.现有圆心角为 ，且 ，半径等于
的弧田，按照上述给出的面积公式计算弧田面积是（ ）
A． B． C． D．
7．已知圆锥侧面展开图是圆心角为直角，半径为2的扇形，则此圆锥内切球的表面积为（
）
A． B． C． D．
8．下列命题为真命题的是（ ）
A．若向量 ， ， 满足 ， ，则
B． 化成弧度数为C．若向量 ， 满足 ， ， ，则
D．在 时刻，时针与分针所夹的锐角为 ，则
9．折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折
扇也寓意“善良“善行”、它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜
千里、大智大勇的象征（如图1甲）图乙是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若
两个圆弧 ， 所在圆的半径分别是3和12，且 ，则该圆台的（ ）
A．高为 B．上底面积和下底面积之比为1:4
C．表面积为 D．体积为
10．如图，正方体 的棱长为1，则下列结论正确的是（ ）
A． 在底面 内（包括边界）运动，若 //平面 ，则 的轨迹长度为
B． 在底面 内（包括边界）运动，若直线 与平面 所成角为 ，则
的轨迹长度为
试卷第4页，共3页C．以 为球心， 为半径作球，则球面与正方体的表面的交线长为
D．以 为球心， 为半径作球，则球面与正方体的表面的交线长为
考点02：扇形的弧长及面积公式
弧长公式： （ 是圆心角的弧度数），
扇形面积公式： ．
11．机械学家莱洛发现的莱洛三角形给人以对称的美感．莱洛三角形的画法：先画等边三
角形ABC，再分别以点A，B，C为圆心，线段AB长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形．
若线段AB长为1，则莱洛三角形的周长是（ ）
A． B． C． D．
12．如图，半径为1的圆 与 轴相切于原点 ，切点处有一个标志，该圆沿 轴向右滚
动，当圆 滚动到与出发位置时的圆相外切时(记此时圆心为 )，标志位于点 处，圆
与 轴相切于点 ，则阴影部分的面积是（ ）
A．2 B．1 C． D．
13．圆 被直线 所截得劣弧的弧长为（ ）
A． B． C． D．14．如图，圆O内接一个圆心角为60°的扇形 ，在圆O内任取一点，该点落在扇形
内的概率为（ ）
A． B． C． D．
15．石雕、木雕、砖雕被称为建筑三雕．源远流长的砖雕，由东周瓦当、汉代画像砖等发
展而来，明清时代进入巅峰，形成北京、天津、山西、徽州、广东、临夏以及苏派砖雕七
大主要流派．苏派砖雕被称为“南方之秀”，是南方地区砖雕艺术的典型代表，被广泛运
用到墙壁、门窗、檐廊、栏槛等建筑中．图（1）是一个梅花砖雕，其正面是一个扇环
，如图（2），砖雕厚度为6cm， ， ， 所对的圆心角为直
角，则该梅花砖雕的表面积为（单位： ）（ ）
A． B． C． D．
16．下列说法正确的有（ ）
A．若角 的终边过点 ，则角 的集合是
试卷第6页，共3页B．若 ，则
C．若 ，则
D．若扇形的周长为 ，圆心角为 ，则此扇形的半径是
17．如图，设单位圆与 轴的正半轴相交于点 ，以 轴的非负半轴为始边作锐角 ，
， ，它们的终边分别与单位圆相交于点 ， ， ．若 ，则下列说法正确的
是（ ）
A．当 时， 的面积为
B．当 时，扇形 的面积为
C．当 时，四边形 的面积为
D．四边形 面积的最大值为1
18．已知正四面体的棱长为 ，以其中一个顶点为球心作半径为3的球，则所得球面与
该正四面体表面的交线长之和为 ．
19．下图是第19届杭州亚运会的会徽“潮涌”，可将其视为一扇环ABCD．已知 ，
．且该扇环 的面积为 ，若将该扇环作为侧面围成一圆台，则该圆台的体积
为 .20．已知圆锥的顶点为 ，底面圆 的直径 的长度为4，母线长为 .
(1)如图1所示，若 为圆 上异于点 的任意一点，当三角形 的面积达到最大
时，求二面角 的大小；
(2)如图2所示，若 ，点 在线段 上，一只蚂蚁从点 出发，在圆锥的侧面沿着最
短路径爬行一周到达 点，在运动过程中，上坡的路程是下坡路程的3倍，求线段 的
长度.（上坡表示距离顶点 越来越近）
考点03：同角三角函数基本关系与诱导公式
同角三角函数的基本关系式
（1）平方关系：
（2）商数关系：
（1）这里“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角（使得函数
有意义的前提下）关系式都成立；
（2） 是 的简写；
试卷第8页，共3页（3）在应用平方关系时，常用到平方根，算术平方根和绝对值的概念，应注意“ ”
的选取．
同角三角函数基本关系式的变形
1、平方关系式的变形：
， ，
2、商数关系式的变形
， ．
诱导公式
诱导公式一：
， ， ，其中
诱导公式二：
， ， ，其中
诱导公式三：
， ， ，其
中
诱导公式四：
， ．
， ，其中
（1）要化的角的形式为 （ 为常整数）；
（2）记忆方法：“奇变偶不变，符号看象限”；
（3）必须对一些特殊角的三角函数值熟记，做到“见角知值，见值知角”；
（4） ； ．诱导公式的记忆
诱导公式一～三可用口诀“函数名不变，符号看象限”记忆，其中“函数名不变”是
指等式两边的三角函数同名，“符号”是指等号右边是正号还是负号，“看象限”是指把
看成锐角时原三角函数值的符号．
诱导公式四可用口诀“函数名改变，符号看象限”记忆，“函数名改变”是指正弦变
余弦，余弦变正弦，为了记忆方便，我们称之为函数名变为原函数的余名三角函数．“符
号看象限”同上．
因为任意一个角都可以表示为 的形式，所以这六组诱导公式也可
以统一用“口诀”：“奇变偶不变，符号看象限”，意思是说角 （ 为常整数）
的三角函数值：当 为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当 为偶数时，函数名不变，
然后 的三角函数值前面加上当视 为锐角时原函数值的符号．
用诱导公式进行化简时的注意点：
（1）化简后项数尽可能的少；
（2）函数的种类尽可能的少；
（3）分母不含三角函数的符号；
（4）能求值的一定要求值；
（5）含有较高次数的三角函数式，多用因式分解、约分等．
利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤
用诱导公式可将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，其一般方向是：
①化负角的三角函数为正角的三角函数；
②化为 内的三角函数；
③化为锐角的三角函数．
可概括为：“负化正，大化小，化到锐角为终了”（有时也直接化到锐角求值）．
21．已知 ，则 （ ）
试卷第10页，共3页A． B． C． D．
22．已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
23．若角 满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
24．已知 ，且 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．7
25．已知 ，则角 所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
26．若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
27．已知 ，则 ．
28．已知 ，则 .
29．已知 ，且 ，则 ．
30．已知 ，且 ．
(1)求 ， 的值；(2)求 的值．
考点04：齐次式化简求值
①减少不同名的三角函数，或化切为弦，或化弦为切，如涉及 、 的齐次分
式问题，常采用分子分母同除以 （ ），这样可以将被求式化为关于 的式
子，从而完成被求式的求值；
② 在 求 形 如 的 值 ， 注 意 将 分 母 的 1 化 为
代入，转化为关于 的表达式后再求值．
31．若 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
32．已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
33．已知 ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
34．若 ，则 .
35．已知 ，则 .
36．已知角 的顶点与坐标原点重合，始边与 轴的非负半轴重合，终边在直线 上．
(1)求 的值；
试卷第12页，共3页(2)若 ， ， ，求 的值．
37．已知 ， ，求下列各式的值．
(1) ；
(2) ．
38．已知 .求：
(1) 的值；
(2)求 的值.
39．已知 ，
(1)若 ，求 的值；
(2)若 ，且 ，求 的值．
40．已知 ， ．
(1)求 和 的值；
(2)若向量 ， ，证明： ．
考点05：和、差、倍角的化简与求值
两角和的余弦函数
两角和的余弦公式：
（1）公式中的 都是任意角；（2）和差角的余弦公式不能按分配律展开，即 ；
（3）公式使用时不仅要会正用，还要能够逆用，在很多时候，逆用更能简捷地处理问
题．
（4）记忆：公式右端的两部分为同名三角函数积，连接符号与等号左边角的连接符号
相反．
两角和与差的正弦函数
两角和正弦函数
在公式 中用 代替 ，就得到：
两角差的正弦函数
（1）公式中的 都是任意角；
（2）与和差角的余弦公式一样，公式对分配律不成立，即 ；
（3）和差公式是诱导公式的推广，诱导公式是和差公式的特例．如
当 或 中有一个角是 的整数倍时，通常使用诱导公式较为方便；
（ 4 ） 使 用 公 式 时 ， 不 仅 要 会 正 用 ， 还 要 能 够 逆 用 公 式 ， 如 化 简
时，不要将 和 展开，而应采用整体
思想，进行如下变形：
这也体现了数学中的整体原则．
（5）记忆时要与两角和与差的余弦公式区别开来，两角和与差的余弦公式的等号右端
的两部分为同名三角函数积，连接符号与等号左边角的连接符号相反；两角和与差的正弦
试卷第14页，共3页公式的等号右端的两部分为异名三角函数积，连接符号与等号左边角的连接符号相同．
两角和与差的正切函数
（1）公式成立的条件是： ，或 ，
其中 ；
（2）公式的变形：
（3）两角和与差的正切公式不仅可以正用，也可以逆用、变形用，逆用和变形用都是
化简三角恒等式的重要手段，如 就可以解决诸如
的求值问题．所以在处理问题时要注意观察式子的特点，巧
妙运用公式或其变形，使变换过程简单明了．
（4）公式对分配律不成立，即 ．
二倍角的正弦、余弦、正切公式
二倍角公式的逆用及变形
1、公式的逆用
； ．
．．
2、公式的变形
；
降幂公式：
升幂公式：
41．已知 ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
42．已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
43．已知 ， ， ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
44．已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
45．若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
试卷第16页，共3页46． 的值可能为（ ）
A． B． C．1 D．3
47．若 ， 的化简结果为 .
48．已知 ，则 .
49．已知锐角 满足 ，则 ．
50．设复数 ， 为虚数单位，且 ，若 ，则
．
考点06： 辅助角公式的妙用
形如：
第一步：
第二步：等号左侧若是加号，则等号右侧也为加号，等号左侧若是减号，等号右侧也为减
号.
第三步： 的求算，只需在第一象限标明点 寻找夹角即可达到秒杀的境界.
注意：若果 ，则需提负号，继续遵循以上步骤
51．已知函数 ，则下列结论不正确的是（ ）
A． 的最小正周期为
B． 的图象关于点 对称
C．若 是偶函数，则 ，D． 在区间 上的值域为
52．已知函数 ， ，若P，Q分别为函数 和
的图象上的两个最高点，则|PQ|的最小值为（ ）
A． B． C． D．
53．已知函数 ，若关于x的方程 在区间 上有且
只有四个不相等的实数根，则正数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
54．已知函数 ，若 且 ，则 的最小
值为（ ）
A．11 B．5 C．9 D．7
55．函数 在 上的最大值是 ．
56．已知 ， ，则 的值域为 .
57．已知函数 的图象向左平移 个单位长度得到
的图象，则 ．
58．已知函数 .
(1)求函数 的最小正周期；
试卷第18页，共3页(2)当 时，求函数 的最大值，以及相应 的值.
59．已知实数 ，设函数 ，且 ．
(1)求实数 ，并写出 的单调递减区间；
(2)若 为函数 的一个零点，求 ．
60．已知函数 .
(1)求函数 的对称中心及不等式 的解集；
(2)已知 ，求 的值.
考点07：给值求值模型
针对已知条件求值问题，则遵循以下步骤（万能）
第一步：将目标角和已知角全拿出来
第二步：通过加减乘消去 或
第三步：用已知角代替目标角
第四步：利用诱导公式或三角恒等变换处理
61．已知 ， ，且 ， ，则 （ ）
A． 或 B． 或 C． D．
62．已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
63．已知 ， ，则 （）A． B． C． D．
64．已知 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
65．若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
66．已知 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
67．已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
68．已知 ， ， ， ，则 的
值为（ ）
A． B． C． D．
69．已知 ， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
试卷第20页，共3页70．已知角 ， 满足 ， ，且 ， .
(1)求 的值；
(2)求 的大小.
考点08：给角求值模型
记住常见数据：
71．计算： （ ）
A． B． C． D．
72．若 ，则实数 的值为（ ）
A． B． C． D．
73． 的值为（ ）
A． B． C． D．
74． （ ）
A． B． C． D．
75．如图，某时钟显示的时刻为 ，此时时针与分针的夹角为 ，则 （ ）A． B． C． D．
76． 的值为（ ）
A． B． C． D．
77．若角 顶点与原点重合，始边与 轴非负半轴重合，终边在直线 上，则
（ ）
A． B． C． D．
78． （ ）
A． B． C． D．
79． （ ）
A． B． C． D．
试卷第22页，共3页80．求值： （ ）
A．1 B． C． D．
