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17.2.2勾股定理的应用
题型1：勾股定理的应用-求树/旗杆的高度
1如图，一棵直立的大树在一次强台风中被折断，折断处离地面2米，倒下部分与地面
成30°角，这棵树在折断前的高度为（ ）
A． 米 B． 米 C．4米 D．6米
【分析】根据直角三角形中 30°角所对的直角边等于斜边的一半，求出折断部分的长
度，再加上离地面的距离就是折断前树的高度．
【解答】解：如图，根据题意BC＝2米，∠BCA＝90°，
∵∠BAC＝30°，
∴AB＝2BC＝2×2＝4米，
∴2+4＝6米．
故选：D
【变式1-1】如图，在离地面高度6m处引拉线固定电线杆，拉线和地面成 60°角，则拉线
AC的长是（ ）
A．12m B．2 m C．4 m D．6 m
【分析】根据三角形的内角和定理得到∠DCA＝30°，根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：∵CD＝6m，∠CDA＝90°，∠CAD＝60°，
∴∠DCA＝30°，
∴AC＝2AD，
∵AC2＝AD2+CD2，
∴AC2＝（ AC）2+62，
解得AC＝4 ，
故拉线AC的长是4 m，
故选：C
【变式1-2】如图，某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高 4.5m的墙上，装有一个由传
感器控制的门铃A，如①图所示，人只要移至该门铃5m及5m以内时，门铃就会自动
发出语音“欢迎光临”．如②图所示，一个身高1.5m的学生走到D处，门铃恰好自动
响起，则BD的长为（ ）
A．3米 B．4米 C．5米 D．7米
【分析】根据题意构造出直角三角形，利用勾股定理即可解答．
【解答】解：由题意可知．BE＝CD＝1.5m，AE＝AB﹣BE＝4.5﹣1.5＝3m，AC＝5m，
由勾股定理得BD＝CE＝ ＝4（m），
故离门4米远的地方，灯刚好打开．
故选：B
【变式1-3】如图，有两棵树，一棵高19米，另一棵高10米，两树相距12米．若一只小
鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少飞行（ ）
A．10米 B．15米 C．16米 D．20米
【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的顶端进行直线飞行，所行
的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．
【解答】解：如图，建立数学模型，两棵树的高度差AC＝19﹣10＝9米，间距AB＝DE＝12米，
根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离BC＝ ＝15米．
故选：B
题型2：勾股定理的实际应用-梯子问题
2如图，一架2.5m长的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯子的底部距墙底端 0.7m，
如果梯子的顶端沿墙下滑0.4m，那么梯子的底部将平滑（ ）
A．0.9m B．1.5m C．0.5m D．0.8m
【分析】先根据梯子的顶端下滑了0.4米求出A′C的长，再根据勾股定理求出B′C的
长，进而可得出结论．
【解答】解：∵梯子的顶端下滑了0.4米，
∴A′C＝2m，
∵在Rt△A′B′C中，A′B′＝2.5m，A′C＝2m，
∴B′C＝ ＝ ＝1.5m，
∴BB′＝B′C﹣BC＝1.5﹣0.7＝0.8m．
故选：D
【变式2-1】如图，学校要把宣传标语挂到教学楼的顶部C处，已知楼顶C处离地面的距
离CA为8m，为保证安全，梯子的底部和墙基的距离AB至少为4m，要使云梯的顶部能
到达C处，估计云梯的长度至少为（ ）A．8m B．9m C．10m D．12m
【分析】利用勾股定理求出BC的长度，估算后即可得到答案．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝8m，AB＝4m，
∴BC＝ ＝ ＝ （m），
∵8＜ ＜9，
∴云梯的长度至少9m，
故选：B
【变式2-2】如图，有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根
芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池边的中点，它的顶端恰好到达池边的
水面，求水的深度是（ ）尺．
A．8 B．10 C．13 D．12
【分析】找到题中的直角三角形，设水深为x尺，根据勾股定理列方程可解答．
【解答】解：设水深x尺，则芦苇长（x+1）尺，
由勾股定理得：52+x2＝（x+1）2，
解得：x＝12，
答：水的深度是12尺，
故选：D
【变式2-3】如图，淇淇在离水面高度为 5m的岸边C处，用绳子拉船靠岸，开始时绳子
BC的长为13m．
（1）开始时，船距岸A的距离是 1 2 m；
（2）若淇淇收绳5m后，船到达D处，则船向岸A移动 （ 1 2 ﹣ ） m．【分析】（1）在Rt△ABC中，利用勾股定理计算出AB长；
（2）根据题意可得CD长，然后再次利用勾股定理计算出AD长，再利用BD＝AB﹣AD
可得BD长．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，BC＝13m，AC＝5m，
∴ （m），
故答案为：12；
（2）∵淇淇收绳5m后，船到达D处，
∴CD＝5（m），
∴AD＝ （m），
∴BD＝AB﹣AD＝（12﹣ ）m．
故答案为：（12﹣ ）
题型3：勾股定理的实际应用-九章算术
3在《九章算术》中有一个问题（如图）：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折
者高几何？它的意思是：一根竹子原高一丈（10尺），中部一处折断，竹梢触地面处离
竹根3尺，试问折断处离地面（ ）尺．
A．4 B．3.6 C．4.5 D．4.55
【分析】画出图形，设折断处离地面x尺，则AB＝（10﹣x）尺，由勾股定理得出方
程，解方程即可．
【解答】解：如图，由题意得：∠ACB＝90°，BC＝3尺，AC+AB＝10尺，
设折断处离地面x尺，则AB＝（10﹣x）尺，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：x2+32＝（10﹣x）2，
解得：x＝4.55，
即折断处离地面4.55尺．故选：D．
【变式3-1】《九章算术》是我国古代的数学名著，书中的“折竹抵地”问题：今有竹高一
丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝10
尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，问折断处离地
面的高度是多少？设折断后离地面的高度为x尺，则可列方程为（ ）
A．x2﹣3＝（10﹣x）2 B．x2﹣32＝（10﹣x）2
C．x2+3＝（10﹣x）2 D．x2+32＝（10﹣x）2
【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10
﹣x）尺，利用勾股定理解题即可．
【解答】解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10﹣x）尺，
根据勾股定理得：x2+32＝（10﹣x）2．
故选：D
【变式3-2】《九章算术》中有一道“折竹”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三
尺，问折者高几何？”题意是：一根竹子原高一丈（1丈＝10尺），中部有一处折断，
竹梢触地面处离竹根3尺，则折断处离地面的高度为 尺．
【分析】设折断处离地面的高度为x尺，则折断的长度为（10﹣x）尺，根据勾股定理
列方程解方程即可．
【解答】解：设折断处离地面的高度为x尺，则折断的长度为（10﹣x）尺，
由勾股定理得x2+32＝（10﹣x）2，
解得x＝4.55，
∴折断处离地面的高度为4.55尺，
故答案为：4.55
题型4：勾股定理的实际应用-影响范围
4如图，一艘船以40km/h的速度沿既定航线由西向东航行，途中接到台风警报，某台
风中心正以20km/h的速度由南向北移动，距台风中心200km的圆形区域（包括边界）
都属台风影响区，当这艘轮船接到台风警报时，它与台风中心的距离 BC＝500km，此时
台风中心与轮船既定航线的最近距离BA＝300km，如果这艘轮船会受到台风影响，那么
从接到警报开始，经过（ ）小时它就会进入台风影响区．A．10 B．7 C．6 D．12
【分析】首先假设轮船能进入台风影响区，进而利用勾股定理得出等式求出即可．
【解答】解：如图所示：设x小时后，就进入台风影响区，根据题意得出：
CE＝40x千米，BB′＝20x千米，
∵BC＝500km，AB＝300km，
∴AC＝400（km），
∴AE＝400﹣40x，AB′＝300﹣20x，
∴AE2+AB′2＝EB′2，
即（400﹣40x）2+（300﹣20x）2＝2002，
解得：x ＝15，x ＝7，
1 2
∴轮船经7小时就进入台风影响区．
故选：B
【变式4-1】今年第6号台风“烟花”登录我国沿海地区，风力强，累计降雨量大，影响范
围大，有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向 AB由A向B移动，已知
点C为一海港，且点C与直线AB上的两点A、B的距离分别为AC＝600km，BC＝
800km，又AB＝1000km，以台风中心为圆心，周围500km以内为受影响区域．
（1）求∠ACB的度数；
（2）海港C受台风影响吗？为什么？
（3）若台风中心的移动速度为28千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？
【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，进而得出∠ACB的度
数；
（2）利用三角形面积得出CD的长，进而得出海港C是否受台风影响；
（3）利用勾股定理得出ED以及EF的长，进而得出台风影响该海港持续的时间．
【解答】解：（1）∵AC＝600km，BC＝800km，AB＝1000km，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°；
（2）海港C受台风影响，理由：过点C作CD⊥AB，
∵△ABC是直角三角形，
∴AC×BC＝CD×AB，
∴600×800＝1000×CD，∴CD＝480（km），
∵以台风中心为圆心周围500km以内为受影响区域，
∴海港C受台风影响；
（3）当EC＝500km，FC＝500km时，正好影响C港口，
∵ED＝ ＝140（km），
∴EF＝280km，
∵台风的速度为28千米/小时，
∴280÷28＝10（小时）．
答：台风影响该海港持续的时间为10小时．
【变式4-2】如图，公路MN和公路PQ在P点处交汇，点A处有一所中学，AP＝160米，
∠NPQ＝30°，拖拉机的速度是5米/秒，拖拉机行驶时周围100米以内会受到噪音影
响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时学校是否会受到影响，请说明理由；若
受到影响，那么学校受到的影响的时间为多少秒？
【分析】作AH⊥MN于H，如图，利用含30度的直角三角形三边的关系得到AH＝ AP
＝80，则点A到MN的距离小于100，从而可判断学校会受到影响；以A为圆心，100
为半径画弧交MN于B、C，如图，则AB＝AC＝100，利用等腰三角形的性质得BH＝
CH，利用勾股定理计算出BH＝60，得到BC＝2BH＝120，然后利用速度公式计算出学
校受到的影响的时间．
【解答】解：过A作AH⊥MN于H，如图，
在Rt△APH中，
∵∠HPA＝30°，
∴AH＝ AP＝ ×160＝80，
∵80＜100，∴拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时学校会受到影响；
以A为圆心，100为半径画弧交MN于B、C，如图，则AB＝AC＝100，
而AH⊥BC，
∴BH＝CH，
在Rt△ABH中，
BH＝ ＝ ＝60，
∴BC＝2BH＝120，
∴ ＝24（秒），
答：学校受到的影响的时间为24秒．
题型5：勾股定理的实际应用-速度问题
5如图所示，甲渔船以 8海里/时的速度离开港口O向东北方向航行，乙渔船以 6海
里/时的速度离开港口O向西北方向航行，他们同时出发，一个半小时后，甲、乙两渔
船相距（ ）
A．12海里 B．13海里 C．14海里 D．15海里
【分析】根据题意得出∠AOB＝90°，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：由题意可得：BO＝1.5×6＝9（海里），AO＝1.5×8＝12（海里），∠1＝
∠2＝45°，
故∠AOB＝90°，
∴AB＝ ＝15（海里），
答：甲、乙两渔船相距15海里，
故选：D．【变式5-1】在海面上有两个疑似漂浮目标．接到消息后，A舰艇以12海里/时的速度离开
港口O，向北偏西50°方向航行．同时，B舰艇在同地以16海里/时的速度向北偏东方向
行驶，如图所示，离开港口 1.5 小时后两船相距 30 海里，则 B 舰艇的航行方向是
（ ）
A．北偏东60° B．北偏东50° C．北偏东40° D．北偏东30°
【分析】根据勾股定理的逆定理判断△AOB是直角三角形，求出∠BOD的度数即可．
【解答】解：由题意得，OA＝12×1.5＝18（海里），OB＝16×1.5＝24（海里），
又∵AB＝30海里，
∵182+242＝302，即OB2+OA2＝AB2
∴∠AOB＝90°，
∵∠DOA＝50°，
∴∠BOD＝40°，
则另一艘舰艇的航行方向是北偏西40°，
故选：C．
【变式5-2】一帆船先向正西航行24千米，然后向正南航行10千米，这时它离出发点的直
线距离有（ ）千米．
A．26 B．18 C．13 D．32
【分析】根据题意可知两次航向的方向构成了直角．然后根据题意知两次航行的路程即
是两条直角边，根据勾股定理就能计算AC的长．
【解答】解：如图，根据题意得：△ABC是直角三角形，∵∠B＝90°，AB＝24km，BC＝10km，
根据勾股定理得AC2＝AB2+BC2，
∴AC2＝242+102，
∴AC＝26km．
故选：A
【变式5-3】如图，某人划船横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点 C偏离欲到达
点B25m，结果他在水中实际划了65m，求该河流的宽度．
【分析】从实际问题中找出直角三角形，利用勾股定理进行计算即可得到该河流的宽
度．
【解答】解：根据图中数据，由勾股定理可得：
AB＝ ＝ ＝60（米）．
∴该河流的宽度为60米
题型6：勾股定理的实际应用-立体图形的最短路径问题
6如图，三级台阶，每一级的长、宽、高分别为 、 、 ． 和 是这个台
阶上两个相对的端点，点 处有一只蚂蚁，想到点 处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台
阶面爬行到点 的最短路程为
A．15 B．17 C．20 D．25
【分析】先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．
【答案】解：三级台阶平面展开图为长方形，长为 ，宽为 ，
则蚂蚁沿台阶面爬行到 点最短路程是此长方形的对角线长．
可设蚂蚁沿台阶面爬行到 点最短路程为 ，由勾股定理得： ，
解得 ．
故选：
【变式6-1】如图，一圆柱高 为 ，底面周长是 ，一只蚂蚁从点 爬到点 处
吃食，且 ，则最短路线长为
A． B． C． D．
【分析】根据题意画出图形，连接 ，则 就是蚂蚁爬行的最短路线长，根据勾股定理
求出 即可．
【答案】解：
如图展开，连接 ，则 就是蚂蚁爬行的最短路线长，
则 ， ，
， ，
，
由勾股定理得： ，
即蚂蚁爬行的最短路线长是 ，
故选：
【变式6-2】如图，长方体的底面边长为 和 ，高为 ．如果用一根细线从点 开
始经过4个侧面缠绕一圈到达 ，那么所用细线最短需要A． B． C． D．
【分析】要求所用细线的最短距离，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最
短”得出结果．
【答案】解：将长方体展开，连接 、 ，
则 ， ，
根据两点之间线段最短， ．
故选： ．
【变式6-3】如图，桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖）高6厘米，底面周长16厘米，在杯
口内壁离杯口1.5厘米的 处有一滴蜜糖，在玻璃杯的外壁， 的相对方向有一小虫
，小虫离杯底的垂直距离为1.5厘米，小虫爬到蜜糖 处的最短距离是
A． 厘米 B．10厘米 C． 厘米 D．8厘米
【分析】由于小虫从外壁进入内壁，要先到杯子上沿，再进入杯子，故先求出到杯子沿的
最短距离即可解答．
【答案】解：如图所示：最短路径为： ，将圆柱展开，
，
最短路程为 ．
故选：
题型7：折叠问题
7如图，矩形纸片ABCD中，AB=8，将纸片折叠，使顶点B落在边AD的E点上，BG=10，当折痕的另一端F在AB边上时，求△EFG的面积．
【答案】25.
【解析】
解：如图，过G作GH⊥AD于H，
∵在Rt GHE中，∠GHE=90°，GE=BG=10，GH=8，
∴EH=√ △102-82=6，
∴AE=10﹣6=4．
设AF=x，则EF=BF=8﹣x，
∵在Rt GHE中，∠A=90°，
∴AF2+AE2=EF2，即x2+42=（8﹣x）2，
△
解得：x=3，
∴AF=3，BF=EF=5，
1 1
∴△EFG的面积= EF•EG= ×5×10=25．
2 2
【变式7-1】如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿AC折叠，点D落在点D′
处，则重叠部分△AFC的面积为 ．
【分析】因为 BC 为 AF 边上的高，要求△AFC 的面积，求得 AF 即可，求证
△AFD′≌△CFB，得BF＝D′F，设D′F＝x，则在Rt△AFD′中，根据勾股定理求
x，∴AF＝AB﹣BF．
【解答】解：易证△AFD′≌△CFB，∴D′F＝BF，
设D′F＝x，则AF＝8﹣x，
在Rt△AFD′中，（8﹣x）2＝x2+42，
解之得：x＝3，
∴AF＝AB﹣FB＝8﹣3＝5，
∴S△AFC ＝ •AF•BC＝10．
故答案为：10
【变式7-2】矩形纸片ABCD中，AD＝10cm，AB＝4cm，按如图方式折叠，使点B与点D
重合，折痕为EF，则DE＝ cm．
【分析】根据已知条件可以知道，DE＝BE，若设DE＝x，则DE＝BE＝x，AE＝10﹣
x，在Rt△ABE中可以利用勾股定理，列方程求出DE的长．
【解答】解：设DE＝x，则BE＝DE＝x，AE＝10﹣x，
又∵在Rt△ABE中AB2+AE2＝BE2，
即42+（10﹣x）2＝x2，
解得x＝ ．
故答案为：
【变式7-3】如图，沿AE折叠长方形ABCD，使D点落在BC边的点F处，若AB＝12cm，
BC＝13cm，则FC的长度是 ．
【分析】根据△ADE≌△AFE，得AD＝AF，已知AB，AF根据勾股定理计算BF，FC＝
BC﹣BF．
【解答】解：沿AE折叠后，有△ADE≌△AFE，
AF＝AD＝13cm，在Rt△ABF中，AF＝13cm，AB＝12cm，
∴BF＝ ＝5cm
∴FC＝BC﹣BF＝8cm．
故答案为 8cm
