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第十七章 勾股定理
第3课时17.1勾股定理
一、温故知新（导）
欣赏下面海螺的图片：
在数学中也有这样一幅美丽的“海螺型”图案，
如第七届国际数学教育大会的会徽.
这个图是怎样绘制出来的呢？
这是今天我们要学的内容，下面我们来看看今天的学习目标和重难点.
学习目标
1.会利用勾股定理证明直角三角形全等的判定定理；
2.会利用勾股定理在数轴上画出表示无理数的点；（重难点）
3.经历利用勾股定理解决问题的过程，体会解决问题的策略，发展学生的动手操作能力和创新能力；
4.通过学习探究体会勾股定理在数学中的重要地位和作用.
学习重难点
重点：会利用勾股定理在数轴上画出表示无理数的点.
难点：勾股定理的灵活运用.
二、自我挑战（思）
1、思考：在八年级上册中我们曾经通过画图得到结论：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角
形全等.学习了勾股定理后，你能证明这一结论吗？
如图，在Rt△ABC 和Rt A′B′C′中，∠C∠C′90°，ABA′B′，ACA′C′．
求证：△ABC≌△A′B′C′．△2、
证明：在Rt△ABC 和Rt△A′B′C′中，
∠C∠C′90°，
根据勾股定理，得
又 ABA′B′，ACA′C′，
∴ BCB′C′．
∴ △ABC≌△A′B′C′（SSS）．
2、思考：我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你能在数轴上画出表示
的点吗？
(1)长为 的线段能是直角边的长为正整数的直角三角形的斜边吗？
能
(2)如果能，直角边的长分别为多少？
直角边的长分别为2、3.
（3）方法与步骤：
方法：利用勾股定理画出长为 的线段，然后在数轴上画出表示 的点.
步骤：
①在数轴上找到点A，使OA=3；
②作直线l⊥OA，在l上取一点B，使AB=2；
③以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与数轴交于C点，则点C即为表示 的点.三、互动质疑（议、展）
1、类比上面的方法，在数轴上画出表示 ， ， ， 的点.
2、归纳
利用勾股定理在数轴上表示无理数的方法：
①利用勾股定理把一个无理数表示成直角边的长为正整数的直角三角形的斜边；
②以原点为圆心，以无理数斜边为半径画弧与数轴存在交点，弧与数轴的交点即为表示无理数的点.
3、注意：这些表示无理数的点中，原点左边的点表示负无理数，原点右边的点表示正无理数.
4、 利用勾股定理可以作出这样一幅美丽的“海螺型”图案，它被选为第七届国际数学教育大会的
会徽.
5、实例：
例1 在数轴上作出表示 的点.
解：(1)数轴上找到点A，使OA4；
(2)作直线l垂直于OA，在l上取点B，使AB1；
(3)以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与数轴的交点C即为表示 的点.例2 如图，等边三角形的边长是6.求：
(1)高AD的长；
(2)这个三角形的面积.
解：(1)等边三角形ABC中AD⊥BC于D，则BD=CD=3.
在Rt△ABD中，根据勾股定理
AD2=AB2–BD2=62–32= 27，得AD= .
1 1
(2) S = BC·AD= 63√3=9√3.
△ABC 2 2
四、清点战果（评）
今天你是否完成了学习目标？你的困惑解决了没？
五、一战成名（检）
1、如图，在数轴上，以原点O为圆心，OB的长为半径画弧，交数轴正半轴于点 A，则点A
对应的数是（ ）
A．1.5 B．1.4 C．√2 D．−√2
1、解：由图形可知，OB= ＝ ，
√12+12 √2
∵以原点O为圆心，OB的长为半径画弧，交数轴正半轴于点 A，
∴OA=OB=√2，
∴点A对应的数是√2，故选：C．
2、如图，在平面直角坐标系中，A（-1，0），B（0，2），以点A为圆心，AB为半径画弧，
交x轴正半轴于点C，点C的横坐标为（ ）A．√3-1 B．2 C．√5-1 D．1-√5
2、解：∵A（-1，0），B（0，2），
∴OA=1，OB=2，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB= = = ，
√OA2+OB2 √12+22 √5
∴AC=AB=√5，
∴OC=√5-1，
∴点C的横坐标为√5-1．
故选：C．
3、在△ABC中，若AC=15，BC=13，AB边上的高CD=12，那么△ABC的周长为（ ）
A．32或33 B．42或33 C．32或42 D．33或31
3、解：∵AC=15，BC=13，AB边上的高CD=12，
∴AD= = =9，
√AC2−CD2 √152−122
BD= = =5，
√BC2−CD2 √132−122
如图1，CD在△ABC内部时，AB=AD+BD=9+5=14，
此时，△ABC的周长=14+13+15=42，
如图2，CD在△ABC外部时，AB=AD-BD=9-5=4，
此时，△ABC的周长=4+13+15=32，
综上所述，△ABC的周长为32或42．
故选：C．
4、直角三角形一直角边长为6，斜边长为10，则这个直角三角形斜边上的高为 ．
4、解：∵直角三角形一直角边长为 6，斜边长为10，
∴另一条直角边= ＝8，
√102−62
6×8
∴直角三角形斜边上的高= ＝4.8．
10
故答案为：4.8．
5、如图，Rt△ABC的直角边AB在数轴上，点A表示的实数为0，以A为圆心，AC的长为
半径作弧交数轴的负半轴于点 D．若CB=1，AB=2，则点D表示的实数为 ．5、解：AC= = = ，
√AB2+BC √22+12 √5
则AD=√5，
∵A点表示0，
∴D点表示的数为：-√5，
故答案为：-√5．
6、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC＝√5，BC＝2√5．
（1）求AB的长度；
（2）已知D是AB上一点，连接CD，当CD的长度最短时，求AD的长度．
6、解：（1）∵∠ACB=90°，AC＝√5，BC＝2√5，
∴在Rt△ABC中，
根据勾股定理可得AB＝ ＝ ＝5；
√AC2+BC2 √ （√5） 2+（2√5） 2
（2）当CD⊥AB时，CD的长度最短，
∵AC＝√5，BC＝2√5，
由（1）得：AB=5，
1 1
∴利用面积可得 ×AC×BC＝ ×AB×CD，
2 2
1 1
即： ×√5×2√5＝ ×5×CD，
2 2
∴CD=2，
在Rt△ACD中，
根据勾股定理可得：AD＝ ＝ ＝1．
√AC2−CD2 √ （√5） 2 −22
六、用
（一）必做题
1、如图，边长为1的正方形ABCD，AB在数轴上，点A在原点，点B对应的实数1，以A
为圆心，AC长为半径逆时针画弧交数轴于点 E，则点E对应的实数是（ ）
A．−1−√2 B．√2 C．−√2 D．−2+√2
1、解：∵正方形ABCD的边长AD=1，
∴AC=√12+12＝√2 ，∴AE=AC=√2 ，
∵点E在原点的左边，
∴点E所对应的实数为-√2 ，
故选：C．
2、如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BC=12，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交线段AC
1
于点D；以点C为圆心，CD长为半径画弧，交线段BC于点E．若BE＝ CD，则AB的长为
2
（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
2、解：∵以点C为圆心，CD长为半径画弧，交线段BC于点E，
∴CD=CE，
1
∵BE＝ CD，BC=12，
2
∴CD=CE=8，
设AB=x,
∵以点A为圆心，AB长为半径画弧，交线段AC于点D，
∴AD=AB=x,
在Rt△ABC中，由勾股定理得，
AB2+BC2=AC2，
则x2+122=（x+8）2，
解得x=5，
即AB=5，
故选：A．
3、毕达哥拉斯树也叫“勾股树”，是由毕达哥拉斯根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复
的树状图形，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．如图，若正方
形A，B，C，D的边长分别是2，3，1，2，则正方形G的边长是（ ）
A．8 B．2√2 C．3√2 D．5
3、解：设中间两个正方形的边长分别为 x、y,最大正方形E的边长为z,则由勾股定理得：
x2=22+32=13；
y2=12+22=5；
z2=x2+y2=18；
即最大正方形E的面积为：z2=18，
∴最大正方形E的边长为3√2．故选：C．
4、已知直角三角形的两边长分别为 3cm和4cm,则第三边长为 ．4、解：设第三边为x cm,
当4cm是直角边时，则第三边x是斜边，由勾股定理得，32+42=x2，解得：x=5；
若4cm是斜边，则第三边x为直角边，由勾股定理得，32+x2=42，解得x=√7，
故答案为：5cm或√7cm.
5、如图所示的2×4的正方形网格中，△ABC的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称
为格点三角形，则点A到BC的距离等于 ．
5、解：设点A到边BC的距离等于h,
1 1 1
△ABC的面积=5×3- ×5×1- ×2×2- ×3×3=6，
2 2 2
BC= = ，
√52+12 √26
1
∵ BC•h=△ABC的面积，
2
2×6 6√26
∴h= = ．
√26 13
6√26
故答案为： ．
13
（二）选做题
6、如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为 1，每个小正方形的顶点叫做格
点．
（1）在图1中以格点为顶点画△ABC，使△ABC的三边长分别为3、4、5；
（2）在图2中以格点为顶点画△DEF，使△DEF的三边长分别为√5、√10、√13．
6、解：（1）如图1所示；
（2）如图2所示．7、如图，正方形网格中，每个小正方形的边长均为 1，每个小正方形的顶点叫格点，以格点
为顶点按下列要求画图：
（1）在图中画一条线段MN，使MN=√17；
（2）在图中画一个三边长均为无理数，且各边都不相等的直角△DEF．
7、解：如图所示：
