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17.1.1勾股定理
勾股定理
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为
a，b c a2 b2 c2
，斜边长为 ，那么 .
从而推导：a2 c2 b2，b2 c2 a2， c2 ab2 2ab .
注意（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.
（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长
可以建立方程求解， 这样就将数与形有机地结合起
来，达到了解决问题的目的.
（3）理解勾股定理的一些变式：
题型1：勾股定理的认识
1.下列说法中正确的是（ ）
A．已知a，b，c是三角形的三边，则a2+b2＝c2
B．在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方
C．在Rt△ABC中，∠C＝90°，所以BC2+AC2＝AB2
D．在Rt△ABC中，∠B＝90°，所以BC2+AC2＝AB2
【分析】以a，b，c为三边的三角形不一定是直角三角形，得出A不正确；
由直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，得出B不正确；
由勾股定理得出C正确，D不正确；即可得出结论．
【解答】解：A不正确；
∵以a，b，c为三边的三角形不一定是直角三角形，
∴A不正确；
B不正确；
∵直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，
∴B不正确；C正确；
∵∠C＝90°，
∴AB为斜边，
∴BC2+AC2＝AB2，
∴C正确；
D不正确；
∵∠B＝90°，
∴AC为斜边，
∴AB2+BC2＝AC2，
∴D不正确；
故选：C
【变式1-1】在直角三角形中，若两条边的长分别是1cm、2cm，则第三边的长为（ ）
A．3cm B． cm C．2cm或 cm D． cm或 cm
【分析】分两种情况：①若直角边长分别为1cm、2cm；②若斜边为2cm，则第三边为
直角边，分别由勾股定理求解即可．
【解答】解：①若直角边长分别为1cm、2cm，
则由勾股定理可得斜边长为： ＝ （cm）；
②若斜边为2cm，则第三边为直角边，由勾股定理得：
＝ （cm）．
综上，第三边的长为 cm或 cm．
故选：D
【变式 1-2】若一个直角三角形的两边长分别是 4cm，3cm，则第三条边长是
cm．
【分析】分长为4cm的边是直角边、长为4cm的边是斜边两种情况，根据勾股定理计算
即可．
【解答】解：当长为4cm的边是直角边时，斜边长＝ ＝5（cm），
当长为4cm的边是斜边时，另一条直角边＝ ＝ （cm），
综上所述，第三条边长为5cm或 cm，
故答案为：5或
勾股定理的证明
方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形.
图 （ 1 ） 中 ， 所 以.
方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形.
图（2）中 ，所以
.
方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.
， 所 以
.
题型2：赵爽炫图求值
2.如图是我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间
的小正方形拼成的一个大正方形、如果大正方形的面积13，小正方形的面积是1，直角
三角形的短直角边为a，较长的直角边为b，那么（a+b）2的值为（ ）
A．169 B．25 C．19 D．13
【分析】先求出四个直角三角形的面积，再根据再根据直角三角形的边长求解即可．
【解答】解：∵大正方形的面积13，小正方形的面积是1，
∴四个直角三角形的面积和是13﹣1＝12，即4× ab＝12，
即2ab＝12，a2+b2＝13，
∴（a+b）2＝13+12＝25．
故选：B
【变式2-1】我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一
个小正方形拼成一个大正方形（如图所示）．如果大正方形的面积是49，小正方形的面
积4，直角三角形的两直角边长分别为a，b，那么下列结论正确的有（ ）个．
（1）b﹣a＝2，（2）a2+b2＝49，（3）4+2ab＝49，（4）a+b＝ ．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】分别求出小正方形及大正方形的边长，然后根据面积关系得出 a与b的关系
式，依次判断所给关系式即可．
【解答】解：由题意可得小正方形的边长＝2，大正方形的边长＝7，
故可得|b﹣a|＝2，即（1）错误；
a2+b2＝斜边2＝大正方形的面积＝49，即（2）正确；
小正方形的面积+四个直角三角形的面积等于大正方形的面积，即可得 4+2ab＝49，即
（3）正确；
根据（3）可得2ab＝45，故可得（a+b）2＝a2+b2+45＝94，
从而可得a+b＝ ，即（4）正确．
综上可得（2）（3）（4）正确，共3个．
故选：C
【变式2-2】图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形
围成的．在Rt△ABC中，若直角边AC＝6，BC＝5，将四个直角三角形中边长为6的直
角边分别向外延长一倍，得到图乙所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长（图乙
中的实线）是（ ）
A．52 B．48 C．72 D．76
【分析】通过勾股定理可将“数学风车”的斜边求出，然后可求出风车外围的周长．
【解答】解：依题意，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x，则
x2＝122+52＝169，
所以x＝13，
所以“数学风车”的周长是：（13+6）×4＝76．
故选：D
题型3：勾股定理的证明
3.下面图形能够验证勾股定理的有（ ）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】利用面积法证明勾股定理即可解决问题．
【解答】解：第一个图形：中间小正方形的面积c2＝（a+b）2﹣4× ab；化简得c2＝
a2+b2，可以证明勾股定理．
第二个图形：中间小正方形的面积（b﹣a）2＝c2﹣4× ab；化简得a2+b2＝c2，可以证
明勾股定理．
第三个图形：梯形的面积＝ （a+b）（a+b）＝2× ×ab+ c2，化简得a2+b2＝c2；可以
证明勾股定理．
第四个图形：由图形可知割补前后的两个小直角三角形全等，则正方形的面积＝两个直
角三角形的面积的和，即（b﹣ ）（a+ ）＝ ab+ c c，化简得a2+b2＝c2；
可以证明勾股定理，
∴能够验证勾股定理的有4个．
故选：A
【变式3-1】如图，已知∠C＝∠D＝90°，D，E，C三点共线，各边长如图所示，请利用面
积法证明勾股定理．
【分析】先利用“边角边”证明△ADE和△EBC全等，根据全等三角形对应角相等可得
∠AED＝∠CBE，再求出∠AEB＝90°，然后根据梯形的面积公式和梯形的面积等于三个
直角三角形的面积列出方程整理即可得证．
【解答】证明：在△ADE和△EBC中， ，∴△ADE≌△EBC（SAS），
∴∠AED＝∠CBE，
∵∠CBE+∠BEC＝90°，
∴∠AED+∠BEC＝90°，
∴∠AEB＝90°，
∴梯形的面积＝ （a+b）（a+b）＝2× ab+ c2，
整理得，a2+b2＝c2
【变式3-2】【阅读理解】我国古人运用各种方法证明勾股定理，如图①，用四个直角三
角形拼成正方形，通过证明可得中间也是一个正方形．其中四个直角三角形直角边长分
别为a、b，斜边长为c．图中大正方形的面积可表示为（a+b）2，也可表示为c2+4×
ab，即（a+b）2＝c2+4× ab，所以a2+b2＝c2．
【尝试探究】美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”如图②所示，用两个全等的
直角三角形拼成一个直角梯形BCDE，其中△BCA≌△ADE，∠C＝∠D＝90°，根据拼
图证明勾股定理．
【定理应用】在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边长分别为a、b、c．
求证：a2c2+a2b2＝c4﹣b4．
【分析】【尝试探究】根据阅读内容，图中梯形的面积分别可以表示为ab+ （a2+b2）
＝ab+ c2，即可证得a2+b2＝c2；
【定理应用】分解因式，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】证明：【尝试探究】梯形的面积为S＝ （a+b）（b+a）＝ab+ （a2+b2），
利用分割法，梯形的面积为S＝ △ABC +S△ABE +S ADE ＝ ab+ c2+ ab＝ab+ c2，∴ab+ （a2+b2）＝ab+ c2，
∴a2+b2＝c2；
【定理应用】∵a2c2+a2b2＝a2（c2+b2），c4﹣b4＝（c2+b2）（c2﹣b2）＝（c2+b2）a2，
∴a2c2+a2b2＝c4﹣b4
【变式3-3】勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，当两个全等的直角三
角形如图摆放时，也可以用面积法来证明勾股定理，请完成证明过程．（提示：BD和
AC都可以分割四边形ABCD）
【分析】连接 DB，过点 D 作 BC 边上的高 DF，根据 S 四边形ADCB ＝S△ACD +S△ABC ＝
S△ADB +S△DCB 即可求解．
【解答】证明：连接DB，过点D作BC边上的高DF，则DF＝EC＝b﹣a．
∵S四边形ADCB ＝S△ACD +S△ABC ＝ b2+ ab．
又∵S四边形ADCB ＝S△ADB +S△DCB ＝ c2+ a（b﹣a）
∴ b2+ ab＝ c2+ a（b﹣a）
∴a2+b2＝c2．
题型4：勾股定理与三角形垂直平分线、角平分线
4.若等腰三角形的腰长为10cm，底边长为16cm，则顶角的平分线的长为（ ）
A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm
【分析】根据等腰三角形的顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合以及勾
股定理求解即可．
【解答】解：根据题意，AD是∠BAC的平分线、BC边上的中线也是BC边上的高线，∴BD＝ BC＝8cm，
∴AD＝ ＝6cm．
故选：A．
【变式4-1】如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE是AB的垂直平分线．
（1）若AC＝5，BC＝6，求△ACD的周长；
（2）若∠BAD：∠CAD＝4：1，求∠B的度数．
【分析】（1）根据DE是AB的垂直平分线可得，AD＝BD，即可得出△ACD的周长＝
AC+BC即可；
（2）求出∠BAD＝∠ABD，再根据，∠BAE：∠CAD＝4：1及直角三角形两锐角的关
系解答即可．
【解答】解：（1）∵△ABC中，∠ACB＝90°，DE是AB的垂直平分线，
∴AD＝BD，
∴∠BAD＝∠ABD，△ACD的周长＝AC+AD+CD＝AC+BD+CD＝AC+BC＝5+6＝11；
（2）∵∠BAD：∠CAD＝4：1，
设∠BAD＝x，则∠CAD＝ x，
∵∠BAD+∠CAD+∠ABD＝90°，即x+ x+x＝90°，
解得：x＝40°，
∴∠B＝40°
【变式4-2】如图，△ABC中，CE是角平分线，EF∥BC交△ACB的外角∠ACD的平分线
于点F，交AC于M，若CM＝6，求CE2+CF2的值．【分析】根据角平分线的定义可以证明出△CEF是直角三角形，再根据平行线的性质以
及角平分线的定义证明得到EM＝CM＝MF然后求出EF的长度，然后利用勾股定理列
式计算即可求解．
【解答】解：∵CE平分∠ACB交AB于E，CF平分∠ACD，
∴∠1＝∠2＝ ∠ACB，∠3＝∠4＝ ∠ACD，
∴∠2+∠3＝ （∠ACB+∠ACD）＝90°，
∴△CEF是直角三角形，
∵EF∥BC，
∴∠1＝∠5，∠4＝∠F，
∴∠2＝∠5，∠3＝∠F，
∴EM＝CM，CM＝MF，
∵CM＝6，
∴EF＝6+6＝12，
在Rt△CEF中，CE2+CF2＝EF2＝122＝144．
【变式4-3】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、
E．若AC＝8，BC＝4，求AE的长．
【分析】连接BE，根据中垂线的性质设AE＝BE＝x，知CE＝8﹣x，在Rt△BCE中由
BC2+CE2＝BE2列出关于x的方程，解之可得答案．【解答】解：连接BE，
∵DE垂直平分AB，
∴AE＝BE，
设AE＝BE＝x，则CE＝8﹣x，
在Rt△BCE中，BC2+CE2＝BE2，
∴42+（8﹣x）2＝x2，
解得x＝5，
∴AE＝5．
题型5：勾股定理与直角坐标系
5.在直角坐标系中，Rt△OAB的位置如图所示，∠B＝90°，OA＝2，OB＝ ，求
△OAB各顶点的坐标．
【分析】过点B作BC⊥OA于点C，求出AB＝1，得出∠ABO＝30°，由直角三角形的性
质求出BC和OC的长，则可得出答案．
【解答】解：过点B作BC⊥OA于点C，
∵∠ABO＝90°，OA＝2，OB＝ ，
∴AB＝ ＝ ＝1，
∴AB＝ ，
∴∠ABO＝30°，∴BC＝ OB＝ ，
∴OC＝ BC＝ ，
∴B（ ， ），O（0，0），A（2，0）
【变式5-1】如图，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别是（4，0），（0，2），
点C为线段AB的中点，则OC的长等于（ ）
A． B．2 C．10 D．20
【分析】根据勾股定理求出斜边AB的长度，再由直角三角形斜边中线定理，即可得出
答案．
【解答】解：∵A，B两点的坐标分别是（4，0），（0，2），
∴OA＝4，OB＝2，
∴AB＝ ＝2 ，
∵点C为AB的中点，
∴OC＝ AB ，
故选：A．
【变式5-2】如图，△ABC在正方形网格中，若B（﹣3，﹣1），按要求回答下列问题：
（1）在图中建立正确的平面直角坐标系；
（2）根据所建立的坐标系，写出A和C的坐标；
（3）求△ABC的周长．【分析】（1）根据点A的坐标为（0，3），可直接建立该点所在的平面直角坐标系；
（2）观察所建立的直角坐标系即可得出答案；
（3）根据勾股定理得到△ABC的边长，于是得到结论．
【解答】解：（1）如图所示：建立平面直角坐标系，
（2）根据坐标系可得出：A（0，3）C（1，1）；
（3）由勾股定理得：AC＝ ，
所以△ABC的周长为 ．
题型6：勾股定理与方程
6.如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，AD＝CD，求CD的长．
【分析】设AD＝CD＝x，则BD＝4﹣x，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：∵AD＝CD，AB＝4，
∴AD+BD＝CD+BD＝4，
设AD＝CD＝x，则BD＝4﹣x，
∵∠B＝90°，
∴CD2﹣BD2＝BC2，
∴x2﹣（4﹣x）2＝32，
∴x＝ ，
∴CD＝
【变式6-1】有一块等腰三角形草地，测得腰 CA＝CB，AB＝6m，腰比底边上的高多 1米，求该草坪的面积？
【分析】过点 C作CD⊥AB于点D，设CD为x m，则AC＝（x+1）m，运用勾股定理
可得：（x+1）2＝x2+33，解方程可得出CD＝4m，即可求出面积．
【解答】解：过点 C作CD⊥AB于点D，
∵CA＝CB
∴ ，
设CD为x m，则AC＝（x+1）m，
在Rt△ACD中，
AC2＝CD2+AD2，
即（x+1）2＝x2+33，
解得：x＝4，
∴CD＝4m，
∴S△ABC ＝ ，
∴该草坪的面积为12m2
【变式6-2】如图，∠BAC＝90°，BC＝28，AC＝14 ，BD＝13，AD＝15．
（1）求AB的长度；
（2）作DH⊥AB，并求△ADB的面积．
【分析】（1）在Rt△ABC中，利用勾股定理可直接求得BC的长；（2）分别在Rt△BDH和Rt△ADH中，利用勾股定理表达DH，建立等式，求出DH的
长，进而求出△ADB的面积．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝28，AC＝14 ，
∵BC：AC＝2： ，
∴AB＝ BC＝14；
（2）如图，过点D作DH⊥AB于点H，
∴∠DHB＝∠AHD＝90°，
设BH＝x，则AH＝14﹣x，
在Rt△BDH中，∠DHB＝90°，BH＝x，BD＝13，
由勾股定理可得，DH2＝BD2﹣BH2＝132﹣x2，
在Rt△ADH中，∠AHD＝90°，AD＝15，AH＝14﹣x，
由勾股定理可得，DH2＝AD2﹣AH2＝152﹣（14﹣x）2，
∴132﹣x2＝152﹣（14﹣x）2，
解得，x＝5，
∴DH2＝132﹣x2＝169﹣25＝144，
∴DH＝12，
∴S△ABD ＝ ＝ ＝84
题型7：勾股定理与面积
7.如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中S ＝20，S ＝
A B
16，S ＝12，S ＝6，则S＝（ ）
C DA．54 B．52 C．48 D．36
【分析】根据正方形的性质和勾股定理的几何意义解答即可．
【解答】解：如图，
根据勾股定理的几何意义，可知：
S＝S +S
F G
＝S +S +S +S
A B C D
＝20+16+12+6＝54；
即S＝54；
故选：A
【变式7-1】如图，以Rt△ABC的三边为直径分别向外作半圆，若斜边AB＝3，则图中阴
影部分的面积为（ ）
A．9 B． C． D．3
【分析】利用勾股定理和圆的面积公式解答．
π π【解答】解：根据题意知：AC2+BC2＝AB2＝9．
图中阴影部分的面积＝ ×（ AC）2+ ×（ BC）2+ ×（ AB）2
π π π
＝ （AC2+BC2+AB2）
π
＝ ×（9+9）
π
＝ ．
故选：C
【变式7-2】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝8.5，BD＝4.5，AD＝5，求阴影部分的面
积．
【分析】设CD＝x，则BC＝x+4.5，由勾股定理得出8.52﹣（x+4.5）2＝52﹣x2，解方程
求出x＝3，则可得出AC＝4，由三角形面积公式可求出答案．
【解答】解：设CD＝x，则BC＝x+4.5，
∵∠C＝90°，
∴AC2＝AB2﹣BC2，
又∵AC2＝AD2﹣CD2，
∴AB2﹣BC2＝AD2﹣CD2，
∴8.52﹣（x+4.5）2＝52﹣x2，
解得，x＝3，
∴CD＝3，
∴AC＝ ＝ ＝4，
∴阴影部分的面积S＝ ×4.5×4＝9
题型8：勾股定理与规律问题
8.细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题．
OA 2＝（ ）2+1＝2S ＝ ；
2 1
OA 2＝12+（ ）2＝3S ＝ ；
3 2OA 2＝12+（ ）2＝4S ＝ …
4 3
（1）推算出OA 的长＝ ；
10
（2）若一个三角形的面积是 ，则它是第 2 0 个三角形？
（3）用含n（n是正整数）的等式表示上述变化规律；
（4）求出 的值．
【分析】（1）根据题中给出的规律即可得出结论；
（2）若一个三角形的面积是 ，利用前面公式可以得到它是第几个三角形；
（3）利用已知可得OA 2，注意观察数据的变化；
n
（4）将前10个三角形面积相加，利用数据的特殊性即可求出．
【解答】解：（1））∵OA 2＝n，
n
∴OA ＝ ．
10
故答案为： ；
（2）若一个三角形的面积是 ，
∵S ＝ ＝ ，
n
∴ ＝2 ＝ ，
∴它是第20个三角形．
故答案为：20
（3）结合已知数据，可得：OA 2＝n；S ＝ ；
n n
（4）
＝ + + + +…+
＝＝
＝
【变式8-1】已知：正方形的边长为1．
如图（a），可以计算出正方形的对角线长为 ；
如图（b），两个正方形并排成的矩形的对角线的长为 ；
如图（c），三个正方形并排成的矩形的对角线的长为 ；
如图（d），四个正方形并排成的矩形的对角线的长为 ；
…
根据以上规律，n个正方形并排成的矩形的对角线长为 ．
【分析】根据前面几个图形，及正方形的边长为1，利用勾股定理可得出答案；根据以
上规律可得出n个正方形并排成的矩形的对角线长．
【解答】解：利用勾股定理可得：
可以计算出正方形的对角线长为 ；
两个正方形并排成的矩形的对角线的长为 ；
三个正方形并排成的矩形的对角线的长为 ；
四个正方形并排成的矩形的对角线的长为 ；
…
根据以上规律，n个正方形并排成的矩形的对角线长为 ．
故答案为： 、 、 、 、
