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17.1.1勾股定理
勾股定理
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为
a，b c a2 b2 c2
，斜边长为 ，那么 .
从而推导：a2 c2 b2，b2 c2 a2， c2 ab2 2ab .
注意（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.
（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长
可以建立方程求解， 这样就将数与形有机地结合起
来，达到了解决问题的目的.
（3）理解勾股定理的一些变式：
题型1：勾股定理的认识
1.下列说法中正确的是（ ）
A．已知a，b，c是三角形的三边，则a2+b2＝c2
B．在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方
C．在Rt△ABC中，∠C＝90°，所以BC2+AC2＝AB2
D．在Rt△ABC中，∠B＝90°，所以BC2+AC2＝AB2
【变式1-1】在直角三角形中，若两条边的长分别是1cm、2cm，则第三边的长为（ ）
A．3cm B． cm C．2cm或 cm D． cm或 cm
【变式 1-2】若一个直角三角形的两边长分别是 4cm，3cm，则第三条边长是
cm．
勾股定理的证明
方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形.
图 （ 1 ） 中 ， 所 以.
方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形.
图（2）中 ，所以
.
方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.
， 所 以
.
题型2：赵爽炫图求值
2.如图是我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间
的小正方形拼成的一个大正方形、如果大正方形的面积13，小正方形的面积是1，直角
三角形的短直角边为a，较长的直角边为b，那么（a+b）2的值为（
）
A．169 B．25 C．19
D．13
【变式2-1】我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一
个小正方形拼成一个大正方形（如图所示）．如果大正方形的面积是49，小正方形的面
积4，直角三角形的两直角边长分别为a，b，那么下列结论正确的有（ ）个．
（1）b﹣a＝2，（2）a2+b2＝49，（3）4+2ab＝49，（4）a+b＝ ．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4
个
【变式2-2】图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意
图，它是由四个全等的直角三角形围成的．在 Rt△ABC
中，若直角边AC＝6，BC＝5，将四个直角三角形中边
长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图乙所示的
“数学风车”，则这个风车的外围周长（图乙中的实
线）是（ ）
A．52 B．48 C．72 D．76
题型3：勾股定理的证明3.下面图形能够验证勾股定理的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【变式3-1】如图，已知∠C＝∠D＝90°，D，E，C三点共线，各边长如图所示，请利用面
积法证明勾股定理．
【变式3-2】勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，当两个全等的直角三
角形如图摆放时，也可以用面积法来证明勾股定理，请完成证明过程．（提示：BD和
AC都可以分割四边形ABCD）
【变式3-3】【阅读理解】我国古人运用各种方法证明勾股定理，如图①，用四个直角三
角形拼成正方形，通过证明可得中间也是一个正方形．其中四个直角三角形直角边长分
别为a、b，斜边长为c．图中大正方形的面积可表示为（a+b）2，也可表示为c2+4×
ab，即（a+b）2＝c2+4× ab，所以a2+b2＝c2．
【尝试探究】美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”如图②所示，用两个全等的
直角三角形拼成一个直角梯形BCDE，其中△BCA≌△ADE，∠C＝∠D＝90°，根据拼
图证明勾股定理．
【定理应用】在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边长分别为a、b、c．
求证：a2c2+a2b2＝c4﹣b4．题型4：勾股定理与三角形垂直平分线、角平分线
4.若等腰三角形的腰长为10cm，底边长为16cm，则顶角的平分线的长为（ ）
A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm
【变式4-1】如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE是AB的垂直平分线．
（1）若AC＝5，BC＝6，求△ACD的周长；
（2）若∠BAD：∠CAD＝4：1，求∠B的度数．
【变式4-2】如图，△ABC中，CE是角平分线，EF∥BC交△ACB的外角∠ACD的平分线
于点F，交AC于M，若CM＝6，求CE2+CF2的值．
【变式4-3】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、
E．若AC＝8，BC＝4，求AE的长．题型5：勾股定理与直角坐标系
5.在直角坐标系中，Rt△OAB的位置如图所示，∠B＝90°，OA＝2，OB＝ ，求
△OAB各顶点的坐标．
【变式5-1】如图，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别是（4，0），（0，2），
点C为线段AB的中点，则OC的长等于（ ）
A． B．2
B．C．10 D．20
【变式5-2】如图，△ABC在正方形网格中，若B（﹣3，﹣1），按要求回答下列问题：
（1）在图中建立正确的平面直角坐标系；
（2）根据所建立的坐标系，写出A和C的坐标；
（3）求△ABC的周长．
题型6：勾股定理与方程6.如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，AD＝CD，求CD的长．
【变式6-1】有一块等腰三角形草地，测得腰 CA＝CB，AB＝6m，腰比底边上的高多 1
米，求该草坪的面积？
【变式6-2】如图，∠BAC＝90°，BC＝28，AC＝14 ，BD＝13，AD＝15．
（1）求AB的长度；
（2）作DH⊥AB，并求△ADB的面积．
题型7：勾股定理与面积
7.如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角
三角形，其中 S ＝20，S ＝16，S ＝12，S ＝6，则 S＝
A B C D
（ ）
A．54 B．52 C．48 D．36影部分的面积为（ ）
A．9 B． C．
D．3
π
π
【变式7-2】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝8.5，BD＝4.5，AD＝5，求阴影部分的面
积．
题型8：勾股定理与规律问题
8.细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题．
OA 2＝（ ）2+1＝2S ＝ ；
2 1
OA 2＝12+（ ）2＝3S ＝ ；
3 2
OA 2＝12+（ ）2＝4S ＝ …
4 3
（1）推算出OA 的长＝ ；
10
（2）若一个三角形的面积是 ，则它是第 个三角形？
（3）用含n（n是正整数）的等式表示上述变化规律；
（4）求出 的值．
【变式8-1】已知：正方形的边长为1．
如图（a），可以计算出正方形的对角线长为 ；
如图（b），两个正方形并排成的矩形的对角线的长为 ；如图（c），三个正方形并排成的矩形的对角线的长为 ；
如图（d），四个正方形并排成的矩形的对角线的长为 ；
…
根据以上规律，n个正方形并排成的矩形的对角线长为 ．
