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17.1.1勾股定理
一．选择题
1．已知△ABC中，AB＝17cm，AC＝10cm，BC边上的高AD＝8cm，则边BC的长为（
）
A．21cm B．9cm或21cm C．13cm D．13cm或21cm
【分析】利用勾股定理列式求出BD、CD，再分点D在边BC上和在CB的延长线上两
种情况求出BC的长度．
【解答】解：过点A作AD⊥BC于D，
由勾股定理得，BD＝ ＝ ＝15（cm），
CD＝ ＝ ＝6（cm），
分两种情况：
①如图1，BC＝CD+BD＝21cm，
②如图2，BC＝BD﹣CD＝9cm，
故选：B．
2．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，角平分线BD交AC于D，DE∥AB交BC于E，点F为
AB上一点，连接DF，EF．已知DC＝5，CE＝12，则△DEF的面积是（ ）
A．30 B．32.5 C．60 D．78
【分析】作BM⊥DE于E，则∠M＝90°，由勾股定理求出DE，由角平分线和平行线的
性质证出∠2＝∠3，得出BE＝DE＝13，因此BM＝DC＝5，即可求出△DEF的面积．
【解答】解：作BM⊥DE于E，如图所示：
则∠M＝90°，∵∠C＝90°，
∴DE＝ ＝13，
∵BD平分∠ABC，
∴∠1＝∠2，
∵DE∥AB，
∴∠3＝∠1，
∴∠2＝∠3，
∴BE＝DE＝13，
∴BM＝DC＝5（等腰三角形两腰上的高相等），
∴△DEF的面积＝ ×13×5＝32.5；
故选：B．
3．如图，在平面直角坐标系中，A（﹣1，0），B（0，2），以点A为圆心，AB为半径画
弧，交x轴正半轴于点C，点C的横坐标为（ ）
A． ﹣1 B．2 C． ﹣1 D．1﹣
【分析】求出OA、OB，根据勾股定理求出AB，即可得出AC，求出OC长即可．
【解答】解：∵A（﹣1，0），B（0，2），
∴OA＝1，OB＝2，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB＝ ＝ ＝ ，
∴AC＝AB＝ ，
∴OC＝ ﹣1，
∴点C的横坐标为 ﹣1．
故选：C．4．如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形 A、
B、D的面积依次为6、10、24，则正方形C的面积为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
【分析】根据勾股定理的几何意义：S正方形A +S正方形B ＝S正方形E ，S正方形D ﹣S正方形C ＝S正
解得即可．
方形E
【解答】解：由题意：S正方形A +S正方形B ＝S正方形E ，S正方形D ﹣S正方形C ＝S正方形E ，
∴S正方形A +S正方形B ＝S正方形D ﹣S正方形C
∵正方形A、B、D的面积依次为6、10、24，
∴24﹣S正方形C ＝6+10，
∴S正方形C ＝8．
故选：C．
5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，若a+b＝14cm，c
＝10cm，则Rt△ABC的面积是（ ）
A．24cm2 B．36cm2 C．48cm2 D．60cm2
【分析】根据勾股定理得a2+b2＝c2，再根据已知条件由完全平方公式即可得出 ab的值，
即可得出结果．
【解答】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得：
a2+b2＝c2，
∵a+b＝14cm，c＝10cm，
∴（a+b）2＝196，
即2ab＝196﹣（a2+b2）＝196﹣c2＝196﹣100＝96，
∴ ，
∴Rt△ABC的面积是24cm2，故选：A．
二．填空题
6．如图，以直角三角形的三边向外作正方形，其面积分别是 25，169和B，则B的值是
．
【分析】根据勾股定理计算，得到答案．
【解答】解：由勾股定理得：AB2＝AD2﹣DE2＝169﹣25＝144，
∴B的值是144，
故答案为：144．
7．如图，在平面直角坐标系xOy中，若点A的坐标为（1， ），则OA的长为 ．
【分析】根据勾股定理计算即可．
【解答】解：由点的坐标、勾股定理得，OA＝ ＝2，
故答案为：2．
8．如图是2002年8月在北京召开的国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵
爽的《勾股圆方图》，由四个全等的直角三角形和一个小正方形的拼成的大正方形，如
果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短边为a，较长边为
b，那么（a+b）2的值是 ．
【分析】根据大正方形的面积即可求得c2，利用勾股定理可以得到a2+b2＝c2，然后求得直角三角形的面积即可求得ab的值，根据（a+b）2＝a2+b2+2ab＝c2+2ab即可求解．
【解答】解：∵大正方形的面积是13，
∴c2＝13，
∴a2+b2＝c2＝13，
∵直角三角形的面积是 ＝3，
又∵直角三角形的面积是 ab＝3，
∴ab＝6，
∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝c2+2ab＝13+2×6＝13+12＝25．
故答案是：25．
9．如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．
若AC＝12，BC＝10，将四个直角三角形中边长为12的直角边分别向外延长一倍，得到
图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是 ．
【分析】在直角△BCD中，已知BC，CD，根据勾股定理即可计算BD的长，已知，AD
＝AC＝12，故求得BD即可计算风车的外围周长．
【解答】解：
在直角△BCD中，BD为斜边，
已知BC＝10，CD＝2AC＝24，
∴BD＝ ＝26，
∵风车的外围周长为4（BD+AD）＝4（26+12）＝152．
故答案为 152．三．解答题
10．如图，已知在△ABC中，CD⊥AB于D，BC＝20，AC＝15，AD＝9．
（1）求CD的长；
（2）求AB的长．
【分析】（1）（2）根据勾股定理计算即可．
【解答】解：（1）在Rt△ACD中，CD＝ ＝12；
（2）在Rt△BCD中，BD＝ ＝16，
则AB＝AD+BD＝25．
11．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，AB＝13，求BC．
【分析】利用勾股定理求出BC的长即可．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，AB＝13，
∴BC＝ ＝12．
12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝2 ，求BC的长．
【分析】根据题意直接利用勾股定理求出即可．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝2 ，
∴BC＝ ＝ ＝2．13．做8个全等的直角三角形，设它们的两条直线边分别为 a，b，斜边为c，再做3个边
长分别为a，b，c的正方形，把它们按图4，图5所示的方式拼成两个正方形．利用两
个正方形的面积相等来证明勾股定理：a2+b2＝c2．
【分析】通过两个组合正方形的面积之间相等的关系即可证明勾股定理．
【解答】解：由图可知大正方形的边长为：a+b，则面积为（a+b）2，
图中把大正方形的面积分为了四部分，分别是：边长为a的正方形，边长为b的正方形，
还有两个长为b，宽为a的长方形，
根据面积相等得：（a+b）2＝a2+b2+4× ab，
由右图可得（a+b）2＝c2+4× ab．
所以a2+b2＝c2．
14．将图①沿中间的小正方形的对角线剪开，得到图②所示的梯形，请利用图②面积的
两种表示式验证勾股定理．
【分析】根据梯形的面积等于三个直角三角形的面积之和列式整理即可得证．
【解答】解：梯形的面积＝ （a+b）（a+b）＝ ab+ ab+ c2，
所以，a2+2ab+b2＝ab+ab+c2，
所以，a2+b2＝c2．
15．一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启发人们发现了勾股定理的一种新的证法．如图，
火柴盒的一个侧面ABCD倒下到AB′C′D′的位置，连接CC′，设AB＝a．BC＝b，
AC＝c，请利用四边形BCC′C的面积证明勾股定理．【分析】根据梯形面积公式表示梯形BCC′D′的面积；
【解答】解：梯形BCC′D′的面积＝ （a+b）（a+b）＝ （a2+b2）+ab．
S Rt△CC'A ＝ c2，S Rt△ABC ＝S Rt△AD′C ＝ ab；
（3）由图形可知S梯形BCC′D′ ＝S Rt△CC'A +2S Rt△ABC ，
则 （a+b）（a+b）＝ c2+2× ab
∴ （a2+b2）+ab＝ c2+ab．
因此，a2+b2＝c2．
16．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC比AC大2，DE垂直平分AB，交AB于
D，交AC的延长线于E．求：
（1）AC，BC的长；
（2）CE的长．
【分析】（1）在Rt△ACB中，设AC＝x，根据勾股定理列等式x2+（x+2）2＝102，据
此即可求出AC和BC的长；
（2）证出△ACB∽△ADE，根据相似三角形的性质解答即可．
【解答】解：（1）在Rt△ACB中，设AC＝x，
有AC2+BC2＝AB2，
∵x2+（x+2）2＝102，
即（x﹣6）（x+8）＝0，
解得，x ＝6，x ＝﹣8（舍去）．
1 2
∴AC＝6，BC＝6+2＝8．
（2）∵∠A＝∠A，∠ACB＝∠ADE，
∴△ACB∽△ADE，∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴AE＝ ，
∴CE＝AE﹣AC＝ ﹣6＝ ﹣ ＝ ．
17．已知AD是△ABC的角平分线，且AC＝2，AB＝3，∠A＝60°，求AD的长．
【分析】如图，过点D分别作AC、AB的高线DE、DF，垂足分别是E、F．过C点作
CH⊥AB于点H，勾股定理可得BC长度，利用面积法可得DE，即可得AD．
【解答】解：如图，过点D分别作AC、AB的高线DE、DF，垂足分别是E、F．
∵AD是△ABC的角平分线，
∴DF＝DE．
过C点作CH⊥AB于点H．
∵在直角△AHC中，AC＝2，∠A＝60°，
∴AH＝AC•cos60°＝ AC＝1，CH＝AC•sin60°＝ ．
又∵AB＝3，
∴BH＝AB﹣AH＝3﹣1＝2，
∴在直角△CBH中，由勾股定理得到BC＝ ＝ ＝ ．
∴ AB•CH＝ AB•DF+ AC•DE＝ （AB+AC）•DE，即 ×3× ＝ ×（2+3）
×DE，
解得 DE＝ ，
又∵在直角△ADE中，∠AED＝90°，∠DAE＝30°，
∴AD＝2DE＝ ．即AD＝ ．
18．如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1，请回答下列问题：
（1）点A的坐标是 ，点B的坐标是 ；
（2）分别求出线段OB和线段AB的长度．【分析】（1）根据平面直角坐标系、点的坐标的确定方法解答；
（2）根据勾股定理计算即可．
【解答】解：（1）点A的坐标是（4，3），点B的坐标是（﹣2，﹣5）；
（2）OB＝ ＝ ，
AB＝ ＝10．
19．如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B的坐标分别为A（5，1），B（2，
﹣2）．
（1）请在图中建立合适的直角坐标系；
（2）连接AB，则线段AB的长为 ；
（3）设O为坐标原点，连接OA，OB，求△ABO的面积．
【分析】（1）根据A点坐标画出平面直角坐标系xOy即可；
（2）由勾股定理可求出答案；
（3）利用分割法避实就虚面积转化为矩形面积减去三个三角形面积．
【解答】解：（1）如图所示：（2）∵A（5，1），B（2，﹣2），
∴AB＝ ＝3 ，
故答案为：3 ；
（3）如图，
S△AOB ＝5×3﹣ ×5×1﹣ ×3×3＝6．
20．在Rt△ABC中，已知AC＝2，BC＝1，AB＝x，求代数式（x﹣1）2+2x的值．
【分析】分AC是直角边，AC是斜边两种情况，根据勾股定理得出x的值，进而代入解
答即可．
【解答】解：①AC是直角边时，
在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2，
∵AC＝2，BC＝1，
∴AB＝ ＝ ，
∵AB＝x，
∴x＝ ，
∴（x﹣1）2+2x＝x2﹣2x+1+2x＝x2+1＝5+1＝6；
②AC是斜边时，
在Rt△ABC中，AC2＝BC2+AB2，
∵AC＝2，BC＝1，∴AB＝ ＝ ，
∵AB＝x，
∴x＝ ，
∴（x﹣1）2+2x＝x2﹣2x+1+2x＝x2+1＝3+1＝4．
∴代数式（x﹣1）2+2x的值是6或4．
21．如图，已知△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于D，BD＝3，BC＝ ，求AB的长．
【分析】根据勾股定理求出CD，再根据勾股定理列出方程，解方程得到答案．
【解答】解：设AB＝AC＝x，
∵BD⊥AC，
∴∠BDC＝90°，
∴CD＝ ＝1，
∴AD＝x﹣1，
在Rt△BDA中，BD2+AD2＝AB2，即32+（x﹣1）2＝x2，
解得，x＝5，即AB＝5．
22．如图所示的是由5个边长是1的正方形组成的图形．
（1）求BA 2，BA 2，BA 2的值；
1 2 3
（2）从（1）中寻找规律，当有10个正方形时，求BA 2的值；
10
（3）当有n个正方形时，求BA 2的值．
n
【分析】（1）根据勾股定理计算即可．
（2）利用（1）中的结论，探究规律后，即可解决问题．
（3）利用规律即可写出结论．
【解答】解：（1）在Rt△ABA 中，BA 2＝AB2+A A2＝1+1＝2，
1 1 1
在Rt△ABA ，中，BA 2＝AB2+A A2＝1+22＝5，
2 2 2
在Rt△ABA ，中，BA 2＝AB2+A A2＝1+32＝10，
3 3 3
（2）∵2＝1+125＝1+22，
10＝1+32，
…
∴BA 2＝1+102＝101．
10
（3）根据上面的规律可知，BA 2＝1+n2．
n
