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2022-2023学年八年级数学下学期复习备考高分秘籍【人教版】
专题1.1二次根式精讲精练（易错题型分类导练案）
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【知识梳理】
1.二次根式的定义
形如 （a≥0）的式子叫做二次根式，“ ”称为二次根号；
判断一个式子是二次根式，需要满足以下条件：（1）根指数必须是2；（2）被开方数为非负数.
2.二次根式有无意义的条件：
（1）如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须
是非负数．
（2）如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．
3.二次根式的性质：
（1） ， （双重非负性）．
（2） （任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）．
应用：在实数范围内分解因式：
（3）（4） = · （a≥0，b≥0）
（5） = （a≥0，b>0）
4.二次根式的化简：
（1）二次根式化简的步骤：
①把被开方数分解因式；
②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；
③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数 2，所得结果为最简二次
根式或整式．
（2）最简二次根式的条件：
被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
5.二次根式的运算：
（1）二次根式的乘法 · ＝ ．（a≥0，b≥0）
文字语言：二次根式与二次根式相乘，等于各个被开数的积的算术平方根.
推广：
（2）二次根式的除法： = （a≥0，b>0）
文字语言：二次根式与二次根式相乘，等于各个被开数的商的算术平方根.
（3）二次根式的加减：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二
次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．
二次根式的加减步骤：
①如果有括号，根据去括号法则去掉括号．
②把不是最简二次根式的二次根式进行化简．
③合并被开方数相同的二次根式．
6.二次根式的混合运算：
（1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．
①与实数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．
②在运算中每个根式可以看做是一个单项式，多个不同类的二次根式的和可以看作多项式．
（2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式或整式．
（3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，
往往能事半功倍．
7.二次根式的应用：
把二次根式的运算与现实生活相联系，体现了所学知识之间的联系，感受所学知识的整体性，不断丰富解
决问题的策略，提高解决问题的能力．二次根式的应用主要是在解决实际问题的过程中用到有关二次根式
的概念、性质和运算的方法．
【典例剖析】&【变式训练】
考点1 二次根式的定义1．（2022春•会东县校级月考）下列各式中，是二次根式的有（ ）
（1）√6；（2）√3.14−π；（3）√x2+1；（4）√3−27；（5）√x2+2x+2；（6）√|x|；（7）
11
√−2(2x−1) 2；（8）√11+2x(x＜− )．
2
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
【分析】二次根式的条件有三个：①含有根号②根指数是2③被开方数是非负数，三个条件缺一不可．
按照此定义逐个排查即可．
【详解】（1）√6，（3）√x2+1，（5）√x2+2x+2，（6）√|x|符合二次根式的定义，属于二次根
式；
11
（2）√3.14−π，（8）√11+2x(x＜− )被开方数小于0，无意义，不是二次根式；
2
（7）√−2(2x−1) 2的被开方数是负数时，它无意义，不是二次根式；
（4）√3−27属于三次根式．
共有4个二次根式．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次根式的定义，满足二次根式的条件有三个：①含有根号②根指数是2③被开
方数是非负数，三个条件缺一不可．
【变式训练】
【变式1.1】（2022秋•德惠市期末）下列各式是二次根式的是（ ）
A．√2 B．√m C．√−16 D．√327
【分析】根据二次根式的性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义，逐一判断．
【详解】A、2＞0一定成立，被开方数是非负数，故选项正确；
B、当m＜0时，二次根式无意义，故选项错误；
C、被开方数为负数，二次根式无意义，故选项错误；
D、是三次根式，故选项错误．
故选：A．
【点睛】主要考查了二次根式的意义和性质．
概念：式子√a（a≥0）叫二次根式．
性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．√1
【变式1.2】（2022春•利州区校级月考）已知下列各式：− ，√x−3，√a2+3，√0，√(−1) 2，其中二
2
次根式有（ ）个
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据二次根式的根指数是2且被开方数是非负数，解答即可．
【详解】√x−3中当x＜3时，被开方数小于0，不是二次根式；
√1
− ，√a2+3，√(−1) 2是二次根式，共有4个．
2
故选：D．
【点睛】本题考查二次根式的定义，掌握其定义是解决此题的关键．注意，二次根式的被开方数是非负
数．
【变式1.3】（2022秋•高陵区期中）二次根式√a中a的最小值为（ ）
A．0 B．1 C．﹣1 D．2
【分析】根据二次根式的定义即可求出答案．
【详解】由题意可得，a≥0，
∴二次根式√a中a的最小值为0．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次根式的定义，理解二次根式的被开方数是非负数是解题关键．
考点2 二次根式的有意义的条件
√x−2
【例2】（2022秋•新华区校级期末）代数式 在实数范围内有意义，则x的值可能为（ ）
x+2
A．2 B．0 C．﹣2 D．﹣1
【分析】根据二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件即可求出x的范围．
{x−2≥0
【详解】由题意可知： ，
x+2≠0
解得：x≥2，
∴x的值可能为2．故选：A．
【点睛】本题考查二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件，熟练掌握是解题的关键．
【变式训练】
【变式2.1】（2022秋•岳麓区校级期末）要使二次根式√5x−2在实数范围内有意义，则x的取值范围是（
）
2 2 2 2
A．x= B．x≠ C．x≥ D．x≤
5 5 5 5
【分析】根据二次根式有意义的条件可得5x﹣2≥0，再解不等式即可．
【详解】由题意得：5x﹣2≥0，
2
解得：x≥ ，
5
故选：C．
【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．
【变式2.2】（2022秋•双牌县期末）当x＝2时，下列各式中，没有意义的是（ ）
A．√x−2 B．√2−x C．√x2−2 D．√2−x2
【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0即可求解．
【详解】A、当x＝2时，√x−2=0，有意义；
B、当x＝2时，√2−x=0，有意义；
C、当x＝2时，√x2−2=√2，有意义；
D、当x＝2时，2﹣x2＝﹣2＜0，没有意义．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式的意义和性质．概念：式子√a（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中
的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
【变式2.3】（2022春•利州区校级月考）若y=√x−2−√2−x−4，则x﹣y的值为（ ）
A．﹣2 B．2 C．4 D．6
【分析】根据二次根式有意义的条件可得出x，y的值，再代入x﹣y中即可求解．
【详解】由题意得x−2≥0，2−x≥0，
∴2≤x≤2，故x＝2，
∴y＝﹣4，
∴x﹣y＝2﹣（﹣4）＝6．故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟知二次根式有意义的条件是被开方数为非负数并据此求
出x，y的值是解题关键．
考点3 二次根式的性质与化简
【例3】（2022秋•市北区校级期末）下列各式中正确的是（ ）
A．√9=±3 B．√x2=x C．√3 (−x) 3=−x D．√(−x) 2=−x
【分析】根据算术平方根、立方根的定义进行计算即可．
【详解】A．√9=3，故此选项不符合题意；
B．√x2=¿，故此选项不符合题意；
C．√3 (−x) 3=−x，故此选项符合题意；
D．√(−x) 2=¿，故此选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查算术平方根、立方根，理解平方根、算术平方根、立方根的定义是正确解答的前提．
【变式训练】
【变式3.1】（2022秋•海港区期末）若√(x−3) 2=x−3，则x的取值范围是（ ）
A．x＞3 B．x≥3 C．x＜3 D．x≤3
【分析】根据题意可知x﹣3≥0，直接解答即可．
【详解】∵√(x−3) 2=x−3，
即x﹣3≥0，
解得x≥3，故选：B．
【点睛】考查二次根式的性质与化简，掌握二次根式的化简方法是解题的关键．
3
【变式3.2】（2020秋•弥勒市校级月考）当x=− 时，√x2的值为（ ）
4
3 3 3
A． B．− C．± D．√a2+1
4 4 4
【分析】根据√a2=|a|，进行计算即可解答．
3 3 3
【详解】当x=− 时，√x2=|x|＝|− |= ，
4 4 4
故选：A．
【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，二次根式的定义，熟练掌握√a2=|a|是解题的关键．
【变式3.3】（2022秋•安岳县期末）已知实数a在数轴上的位置如图所示，则化简：|a−2|+√(a−4) 2的
结果为（ ）
A．2 B．﹣2 C．2a﹣6 D．﹣2a+6
【分析】根据数轴先确定a﹣2、a﹣4的正负，然后再去绝对值、根号，合并同类项即可解决问题．
【详解】根据实数a在数轴上的位置得知：2＜a＜4，
即：﹣2＞0，a﹣4＜0，
故原式＝a﹣2+4﹣a＝2．
故选：A．
【点睛】本题考查数轴及二次根式、绝对值的化简，关键是根据数轴得出a﹣2与a﹣4的正负情况．考点4 最简二次根式与同类二次根式
【例4】（2022秋•漳州期末）下列各式中，属于最简二次根式的是（ ）
√1
A．√3 B．√4 C． D．√8
2
【分析】根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数
或因式判断即可．
【详解】A、√3属于最简二次根式，故本选项符合题意；
B、√4=2不属于最简二次根式，故本选项不符合题意；
√1 √2
C、 = 不属于最简二次根式，故本选项不符合题意；
2 2
D、√8=2√2不属于最简二次根式，故本选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查最简二次根式，掌握最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数
中不含能开得尽方的因数或因式是解题的关键．
【变式训练】
【变式4.1】（2022秋•娄底期末）下列根式不是最简二次根式的是（ ）
√2b √ y
A．√a+1 B．√2x−1 C． D．
4 10
【分析】根据最简二次根式的定义判断即可．
【详解】A.√a+1是最简二次根式，故A不符合题意；
B.√2x−1是最简二次根式，故B不符合题意；
√2b
C. 是最简二次根式，故C不符合题意；
4
√ y √10 y
D. = ，不是最简二次根式，故D符合题意；
10 10
故选：D．
【点睛】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
【变式4.2】（2022秋•卧龙区校级期末）下列二次根式中，能与√2合并的是（ ）
√1
A．√12 B． C．√20 D．√9
2
【分析】先化简二次根式，根据同类二次根式的定义即可得出答案．
【详解】A．√12=2√3，不能与√2合并，故该选项不符合题意；√1 √2
B． = ，能与√2合并，故该选项符合题意；
2 2
C．√20=2√5，不能与√2合并，故该选项不符合题意；
D．√9=3，不能与√2合并，故该选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了同类二次根式，二次根式的性质与化简，掌握一般地，把几个二次根式化为最简二
次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式是解题的关键．
【变式4.3】（2022•天津模拟）若√8与最简二次根式√m+1能合并，则m的值为（ ）
A．7 B．9 C．2 D．1
【分析】先将√8化简为最简二次根式，再根据最简二次根式的定义即可得．
【详解】√8=2√2，∵2√2与最简二次根式√m+1能合并，
∴m+1＝2，
解得m＝1．
故选：D．
【点睛】本题考查了最简二次根式、二次根式的化简，熟练掌握最简二次根式的概念是解题关键．
考点5 二次根式的乘除
【例5】计算：
2√3 2√15
（1） ×（− ）；
5 2 3 8
√36 36
（2） + ．
a2 b2
【分析】（1）先进行二次根式的乘法运算，然后化简二次根式；（2）先进行根号下的加法运算，然后进行化简．
4 √45 √5
【详解】（1）原式=− =− ；
15 16 5
√36(a2+b2
) 6
（2）原式= = √a2+b2．
a2b2 |ab|
【点睛】本题考查了二次根式的乘除法，解答本题的关键是掌握二次根式的乘法法则以及二次根式的化
简．
【变式训练】
【变式5.1】．计算：
3 2
（1） √24• √18
2 3
1√ 1 √ 4
（2） 2 •（− x2y）．
3 9 19
【分析】（1）根据二次根式的乘法法则求解即可；
（2）根据二次根式的乘法法则求解即可．
【详解】（1）原式＝3√6×2√2
＝12√3；
√19 √ y
（2）原式= ×（﹣2x ）
9 19
2
=− x√y．
9
【点睛】本题考查了二次根式的乘除法，解答本题的关键是掌握二次根式的乘法法则．
【变式5.2】计算
√ 4
（1）4√5÷（﹣5 1 ）
5
√2a2b2 √ ab
（2） ÷（ ）（a＞0，b＞0，c＞0）
c5 2c3
【分析】（1）先进行二次根式的化简，然后求解即可；
（2）先进行二次根式的除法运算，然后化简求解．
√5 4
【详解】（1）原式＝﹣4√5× =− ；
15 3√2a2b2 2c3 2
（2）原式= ⋅ = √ab．
c5 ab c
【点睛】本题考查了二次根式的乘除法，掌握二次根式的乘法法则和除法法则以及二次根式的化简是解
题的关键．
【变式5.3】计算：
√ 1 √ 2
（1） 2 ÷3√28×（−5 2 ）；
2 7
（2）
5
√ab3×（−
2
√ab）÷
1√b
．
b 5 3 a
【分析】（1）利用二次根式乘除运算法则进而化简即可；
（2）利用二次根式乘除运算法则进而化简即可．
√ 1 √ 2
【详解】（1） 2 ÷3√28×（−5 2 ）
2 7
1√5 1 √ 2
= × ×（−5 2 ），
3 2 28 7
5√5 1 16
=− × × ，
3 2 28 7
5 √10
=− × ，
3 7
5√10
=− ；
21
（2）
5
√ab3×（−
2
√ab）÷
1√b
b 5 3 a
5 2 √ a
= ×（− ）×3 ab3×ab× ，
b 5 b
6
=− √a3b3 ，
b
＝﹣6a√ab．
【点睛】此题主要考查了二次根式的乘除运算法则，正确化简二次根式是解题关键．考点6 二次根式的加减
【例6】．计算：
（1）√5+√20−√45；
（2）3√8+2√18−√50；
2 √x √1
（3） √9x+6 −2x ．
3 4 x
【分析】原式各项化为最简二次根式，合并即可得到结果．
【详解】（1）原式=√5+2√5−3√5=0；
（2）原式＝6√2+6√2−5√2=7√2；
（3）原式＝2√x+3√x−2√x=3√x．
【点睛】此题考查了二次根式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【变式训练】
【变式6.1】计算：
（1）2√2+3√2
（2）√8+√18
（3）√16x+√64x
√1
（4）√48−9 +3√12．
3
【分析】（1）根据二次根式的加减运算法则分别判断得出即可；
（2）首先化简二次根式，再根据二次根式的加减运算法则分别判断得出即可；
（3）首先化简二次根式，再根据二次根式的加减运算法则分别判断得出即可；（4）首先化简二次根式，再根据二次根式的加减运算法则分别判断得出即可．
【详解】（1）2√2+3√2=5√2；
（2）√8+√18=2√2+3√2=5√2；
（3）√16x+√64x=4√x+8√x=12√x；
√1 √3
（4）√48−9 +3√12=4√3−9× +3×2√3=7√3．
3 3
【点睛】此题主要考查了二次根式的加减运算，正确把握运算法则是解题关键．
【变式6.2】计算下列各式：
√2 √9
（1）√5−√6−√20+ +
3 5
√1 √1
（2）√12−√0.5−2 − +√18
3 8
√3 √a 1
（3）√27a−a +3 + √75a3
a 3 2a
2 √ y √ x √1
（4） x√9x+6x + y −x2 ．
3 x y x
【分析】先将二次根式化为最简，然后合并同类二次根式即可．
√6 3√5
【详解】（1）原式=√5−√6−2√5+ +
3 5
2√5 2√6
=− − ；
5 3
√2 2√3 √2
（2）原式＝2√3− − − +3√2
2 3 4
4√3 9√2
= + ；
3 4
5
（3）原式＝3√3a−√3a+√3a+ √3a
2
11√3a
= ；
2
（4）原式＝2x√x+6√xy+√xy−x√x
＝x√x+7√xy．
【点睛】本题考查了二次根式的加减运算，解答本题的关键是掌握二次根式的化简及同类二次根式的合
并．
√1
【变式6.3】若a、b为有理数，且√8+√18+ =a+b√2，求ba的值．
8【分析】首先化简各式，进而得出a，b的值，即可得出答案．
√1
【详解】∵√8+√18+ =a+b√2，
8
√2 21
∴2√2+3√2+ = √2=a+b√2，
4 4
21
∴a＝0，b= ，
4
21
∴ba＝（ ）0＝1．
4
【点睛】此题主要二次根式的化简求值以及乘方运算，正确化简二次根式是解题关键．
考点7二次根式的混合运算
【例7】（2022秋•历城区期末）计算：
（1）|−2√2|−3−1−√4×√2+(π−5) 0；
（2）(√5+3)(√5−3)−(√3−1) 2．
【分析】（1）先根据绝对值、零指数幂和负整数指数幂的意义计算，然后把√4化简后合并即可；
（2）根据平方差公式和完全平凡的公式计算．
1
【详解】（1）原式＝2√2− −2√2+1
3
2
= ；
3
（2）原式＝5﹣9﹣（3﹣2√3+1）
＝﹣4﹣4+2√3
＝2√3−8．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则、零
指数幂和负整数指数幂是解决问题的关键．
【变式训练】
【变式7.1】（2023•义乌市校级开学）计算：
1
（1）|√3−2|+(− ) −1−20220 ；
3
（2）(3√2+2√3)(3√2−2√3)−(√2−2√3) 2．
【分析】（1）根据绝对值的性质、负整数指数幂的意义以及零指数幂的意义即可求出答案．（2）根据平方差公式以及完全平方公式即可求出答案．
【详解】（1）原式＝2−√3+（﹣3）﹣1
＝2−√3−3﹣1
＝﹣2−√3．
（2）原式＝（18﹣12）﹣（2﹣4√6+12）
＝6﹣（14﹣4√6）
＝6﹣14+4√6
＝﹣8+4√6．
【点睛】本题考查实数的运算，解题的关键熟练运用平方差公式以及完全平方公式、绝对值的性质、负
整数指数幂的意义以及零指数幂的意义，本题属于基础题型．
【变式7.2】（2022秋•深圳期末）计算：
（1）√28−√7；
（2）√12+|√3−2|−(π−3.14) 0；
（3）(√3+√2)(√3−√2)−(√5−1) 2．
【分析】（1）先把√28化简，然后合并即可；
（2）先根据零指数幂和绝对值的意义计算，然后合并即可；
（3）先利用平方差公式和完全平方公式计算，然后合并即可．
【详解】（1）原式＝2√7−√7
=√7；
（2）原式＝2√3+2−√3−1
=√3+1；
（3）原式＝3﹣2﹣（5﹣2√5+1）
＝1﹣5+2√5−1
＝2√5−5．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则、零
指数幂是解决问题的关键．
【变式7.3】（2022秋•高新区校级期末）计算：
（1）(√48+√20)−(√12−√5)；
√1
（2）√48+√3−2 ×√30+(2√2+√3) 2．
4【分析】根据二次根式的运算法则即可求出答案．
【详解】（1）原式＝4√3+2√5−2√3+√5
＝2√3+3√5．
（2）原式＝4√3+√3−1×√30+8+4√6+（√3）2
＝5√3−√30+8+4√6+3
＝11+4√6+5√3−√30．
【点睛】本题考查二次根式的运算，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则，本题属于基础题型．
考点8二次根式的化简求值
【例8】（2022秋•天元区校级期末）已知a＝4﹣2√3，b＝4+2√3．
（1）求ab，a﹣b的值；
（2）求2a2+2b2﹣a2b+ab2的值．
【分析】（1）根据二次根式的乘法法则和二次根式的减法法则求出即可；
（2）先分解因式得出原式＝2[（a﹣b）2+2ab]﹣ab（a﹣b），代入后根据二次根式的运算法则进行计算
即可．
【详解】（1）∵a＝4﹣2√3，b＝4+2√3，
∴ab＝（4﹣2√3）×（4+2√3）
＝42﹣（2√3）2
＝16﹣12
＝4；
a﹣b＝（4﹣2√3）﹣（4+2√3）
＝4﹣2√3−4﹣2√3
＝﹣4√3；
（2）由（1）知：ab＝4，a﹣b＝﹣4√3，
所以2a2+2b2﹣a2b+ab2
＝2（a2+b2）﹣ab（a﹣b）
＝2[（a﹣b）2+2ab]﹣ab（a﹣b）
＝2×[（﹣4√3）2+2×4]﹣4×（﹣4√3）
＝2×（48+8）+16√3
＝2×56+16√3
＝112+16√3．
【点睛】本题考查了二次根式的化简求值和乘法公式，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键．
【变式训练】
【变式8.1】（2022春•高昌区月考）已知x=√6+√2，y=√6−√2，
（1）求x﹣y的值；
（2）求x2+2xy+y2的值．
【分析】（1）直接将x、y的值代入进行计算即可；
（2）利用完全平方公式进行化简后再代入数值进行计算．
【详解】（1）x−y=√6+√2−(√6−√2)=2√2；
（2）x2+2xy+y2＝（x+y）2
=(√6+√2+√6−√2) 2
=(2√6) 2
＝24．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算及完全平方公式，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题．
【变式8.2】（2022春•殷都区校级月考）已知a=√5+2，b=√5−2，求a2+ab+b2的值．
【分析】由a=√5+2，b=√5−2易得a+b＝2√5，ab＝1，再变形a2+ab+b2得到（a+b）2﹣ab，然后把
a+b＝2√5，ab＝1整体代入计算即可．
【详解】∵a=√5+2，b=√5−2，
∴a+b＝2√5，ab＝1，
∴a2+ab+b2
＝（a+b）2﹣ab
＝（2√5）2﹣1
＝20﹣1
＝19．
【点睛】本题考查了二次根式的化简求值：先根据已知条件把所求的代数式变形，然后利用整体的思想
求值．
1 1
【变式8.3】（2022秋•永年区期末）已知x = ，y = ，求值：
√7−√5 √7+√5
（1）xy；
（2）x2+3xy+y2．
【分析】（1）利用平方差公式进行运算即可；（2）利用完全平方公式及平方差公式进行运算即可．
【详解】（1）xy
1 1
= ×
√7−√5 √7+√5
1
=
7−5
1
= ；
2
（2）x2+3xy+y2
＝（x+y）2+xy
1 1 1
＝（ + ）2+
√7−√5 √7+√5 2
√7+√5+√7−√5 1
＝（ ）2+
2 2
1
＝（√7）2+
2
1
＝7+
2
1
＝7 ．
2
【点睛】本题主要考查二次根式的化简求值，分母有理化，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
考点9二次根式的应用
【例9】（2020春•韩城市期末）如图，有一张边长为6√3cm的正方形纸板，现将该纸板的四个角剪掉，
制作一个有底无盖的长方体盒子，剪掉的四个角是面积相等的小正方形，此小正方形的边长为√3cm．
求：
（1）剪掉四个角后，制作长方体盒子的纸板的面积；
（2）长方体盒子的体积．
【分析】（1）直接利用总面积减去周围正方形面积进而得出答案；
（2）直接利用长方体的体积公式得出答案．【详解】（1）制作长方体盒子的纸板的面积为：（6√3）2﹣4×（√3）2
＝108﹣12
＝96（cm2）；
（2）长方体盒子的体积：（6√3−2√3）（6√3−2√3）×√3
＝4√3×4√3×√3
＝48√3（cm3）．
【点睛】此题主要考查了二次根式的应用，正确掌握二次根式的混合运算法则是解题关键．
【变式训练】
【变式9.1】（2022春•亭湖区校级月考）据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）加高度h（单位：m）
√ℎ
近似满足公式t= （不考虑风速的影响）．
5
（1）求从40m高空抛物到落地时间；
（2）已知高空坠物动能w（单位：J）＝10×物体质量（单位：kg）×高度（单位：m），某质量为0.1kg
的玩具被抛出后经过4s后落在地上，这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人吗？请说明理由（注：
伤害无防护人体只需要65J的动能）．
【分析】（1）把40m代入公式即可；
（2）求出h，代入动能计算公式即可求出．
【详解】（1）由题意知h＝40m，
√40
∴t= =√8=2√2（s），
5
故从40m高空抛物到落地时间为2√2s；
（2）这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人，
√ℎ
理由：当t＝4s时，4= ，
5
∴h＝80m，
这个玩具产生的动能＝10×0.1×80＝80（J）＞65J，
∴这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人．
【点睛】本题考查二次根式的应用，通过具体情境考查二次根式，理解公式，正确运算代入求值是解决
本题的关键．
【变式9.2】（2021春•罗山县期中）（1）用“＝”、“＞”、“＜”填空．1 1 √1 1 1 √ 1
+ ＞ 2 × ；6+3 ＞ 2√6×3；1+ ＞ 2 1× ；7+7 ＝ 2√7×7．
2 3 2 3 5 5
（2）由（1）中各式猜想a+b与2√ab（a≥0，b≥0）的大小，并说明理由．
（3）请利用上述结论解决下面问题：
某同学在做一个面积为1800cm2，对角线相互垂直的四边形风筝时，求用来做对角线的竹条至少要多少
厘米？
【分析】（1）根据完全平方公式的非负性进行变形可得结论；
（2）直接利用完全平方公式的非负数的性质解答即可；
（3）根据对角线互相垂直的四边形面积＝相互垂直的对角线乘积的一半，并综合利用（2）的结论得出
答案即可．
√1 √1
【详解】（1）∵( − ) 2＞0，
2 3
1 √1 1 1
∴ −2 × + ＞0，
2 2 3 3
1 1 √1 1
∴ + ＞2 × ，
2 3 2 3
1 √ 1
同理得：6+3＞2√6×3；1+ ＞2 1× ；7+7＝2√7×7．
5 5
故答案为：＞，＞，＞，＝；
（2）猜想：a+b≥2√ab（a≥0，b≥0），
理由是：∵a≥0，b≥0，
∴a+b﹣2√ab=（√a−√b）2≥0，
∴a+b≥2√ab；
（3）设AC＝a，BD＝b，1
由题意得： ab= 1800，
2
∴ab＝3600，
∵a+b≥2√ab，
∴a+b≥2√3600，
∴a+b≥120，
∴用来做对角线的竹条至少要120厘米．
【点睛】此题考查了二次根式的实际应用，非负数的性质，掌握完全平方公式是解决问题的关键．
【变式9.3】（2022秋•桥西区期中）交通警察通常根据刹车后车轮划过的距离估计车辆行驶的速度，所依据
的经验公式是v＝16√df，其中v表示车速（单位：km/h），d表示刹车后车轮划过的距离（单位：
m），f表示摩擦系数，在某次交通事故调查中测得d＝20m，f＝1.2．
（1）求肇事汽车的速度；
（2）若此路段限速70km/h，请通过计算判断肇事汽车是否超速？
【分析】（1）直接用题目中速度公式和计算即可求出；
（2）比较两个速度的大小即可．
【详解】（1）当d＝20m，f＝1.2时，v＝16√20×1.2=32√6（km/h），
答：肇事汽车的速度是32√6km/h；
（2）v＝32√6≈78＞70，
∴肇事汽车已经超速．
【点睛】本题考查了二次根式的应用，能正确求出v的值是解此题的关键．
考点10二次根式与探究材料题
1
【例10】（2021春•泗阳县期末）在解决问题“已知a = ，求2a2﹣8a+1的值时，小明是这样分析与
2+√3
解答的：
1 2−√❑
∵a= = =2−√3，
2+√3 (2+√3)(2−√3)
∴a﹣2=−√3，∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3，
∴a2﹣4a＝﹣1，
∴2a2﹣8a+1＝﹣1．
请你根据小明的分析过程，解答下列问题：
2
（1）化简： ；
√3−1
1 1 1 1
（2）化简： + + +⋯+ ；
√3+1 √5+√3 √7+√5 √2021+√2019
1
（3）若a = ，求：
√2−1
1
① a2﹣a﹣1的值；
2
②2a2﹣5a2+1的值．
【分析】（1）（2）将原式分母有理化后，得到规律，利用规律求解；
（3）将a分母有理化得a=√2+1，移项并平方得到a2﹣2a＝1，变形后代入求值．
2 2(√3+1)
【详解】（1） = =√3+1；
√3−1 (√3+1)(√3−1)
1
（2）原式= （√3−1+√5−√3+√7−√5+⋯+√2021−√2019）
2
1
= （√2021−1），
2
√2021−1
= ；
2
1 √2+1
（3）∵a= = =√2+1，
√2−1 (√2−1)(√2+1)
∴a﹣1=√2，
∴a2﹣2a+1＝2，
∴a2﹣2a＝1，
1
①
a2−a−1
2
1
= （a2﹣2a）﹣1
2
1
= ×1−1
21
=− ；
2
②2a2﹣5a2+1
＝﹣3a2+1
＝﹣3(√2+1) 2+1
＝﹣3（2+2√2+1）+1
＝﹣9﹣6√2+1
＝﹣8−6√2．
【点睛】本题主要考查了分母有理化、完全平方公式以及代数式的变形，变形各式后利用a2﹣2a＝1，
是解决本题的关键．
【变式训练】
【变式10.1】（2019春•沭阳县期末）小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子
的平方，如：3+2√2=(1+√2) 2，善于思考的小明进行了以下探索：
设 a+b√2=(m+n√2) 2（其中 a、b、m、n 均为整数），则有：a+b√2=m2+2n2+2mn√2，∴a＝
m2+2n2，b＝2mn，这样小明就找到了一种把类似a+b√2的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b√3=(m+n√3) 2，用含m、n的式子分别表示a、b得：a＝
m 2 +3 n 2 ，b＝ 2 m n ；
（2）利用所探索的结论，用完全平方式表示出：7+4√3= （ 2+√3 ） 2 ．
（3）请化简：√12−6√3
【分析】（1）利用完全平方公式展开得到（m+n√3）2＝m2+3n2+2√3mn，从而可用m、n表示a、b；
（2）直接利用完全平方公式，变形得出答案；
（3）直接利用完全平方公式，变形化简即可．
【详解】（1）（m+n√3）2＝m2+3n2+2√3mn，
∴a＝m2+3n2，b＝2mn．
故答案为m2+3n2，2mn；
（2）7+4√3=（2+√3）2；故答案为：（2+√3）2；
（3）∵12﹣6√3=（3−√3）2，
∴√12−6√3=√(3−√3) 2=3−√3．
【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，完全平方公式，解决本题的关键是熟记完全平方公式．
【变式10.2】（2021•市中区校级一模）观察下面的式子：
1 1 1 1 1 1 1 1
S ＝1 + + ，S ＝1 + + ，S ＝1 + + ⋯S ＝1 + +
1 12 22 2 22 32 3 32 42 n n2 (n+1) 2
3 13 n(n+1)+1
（1）计算：√S = ，√S = ；猜想√S = （用n的代数式表示）；
1 2 3 12 n n(n+1)
（2）计算：S=√S +√S +√S +⋯+√S （用n的代数式表示）．
1 2 3 n
【分析】（1）分别求出S ，S ，…的值，再求出其算术平方根即可；
1 2
1 1 1 1
（2）根据（1）的结果进行拆项得出 1+ +1+ +1+ +⋯+1 + ，再转换成 n+（1
2 6 12 n(n+1)
1 1 1 1 1 1 1
− + − + − +⋯+ − ）
2 2 3 3 4 n n+1
即可求出答案．
1 1 9
+ + =
【解答】（1）解：∵S ＝1 ，
1 12 22 4
√9 3
∴√S = = ；
1 4 2
1 1 49
+ + =
∵S ＝1 ，
2 22 32 36
7
∴√S = ；
2 6
1 1 169
+ + =
∵S ＝1 ，
3 32 42 144
13
∴√S = ；
3 12
1 1 [n2+n+1] 2
∵S ＝1 + + = ，
n n2 (n+1) 2 n2 (n+1) 2n2+n+1 n(n+1)+1
∴√S = = ，
n n(n+1) n(n+1)
3 13 n(n+1)+1
故答案为： ， ， ；
2 12 n(n+1)
3 7 13 n(n+1)+1
（2）解：S= + + +⋯+
2 6 12 n(n+1)
1 1 1 1
＝1+ +1+ +1+ +⋯+1 +
2 6 12 n(n+1)
1 1 1 1 1 1 1
＝n+（1− + − + − +⋯+ − ）
2 2 3 3 4 n n+1
1
＝n+1− ，
n+1
n2+2n
= ．
n+1
【点睛】本题考查了二次根式的化简，主要考学生的计算能力，题目比较好，但有一定的难度．
【变式10.3】（2020春•玄武区期中）数学阅读：
古希腊数学家海伦曾提出一个利用三角形三边之长求面积的公式：若一个三角形的三边长分别为a、
1
b、c，则这个三角形的面积为S=√p(p−a)(p−b)(p−c)，其中p= （a+b+c），这个公式称为“海
2
伦公式”．
数学应用：
如图，在△ABC中，已知AB＝9，AC＝8，BC＝7．
（1）请运用海伦公式求△ABC的面积；
（2）设AC边上的高为h ，BC边上的高h ，求h +h 的值．
1 2 1 2
【分析】（1）根据海伦公式，代入解答即可；
（2）根据三角形面积公式解答即可．1
【详解】（1）AB＝c＝9，AC＝b＝8，BC＝a＝7，p= (a+b+c)=12，
2
∴S=√p(p−a)(p−b)(p−c)=√12(12−7)(12−8)(12−9)=12√5；
1 1
（2）∵S = AC⋅ℎ = BC⋅ℎ =12√5，
△ABC 2 1 2 2
24√5 24√5
∴ℎ = =3√5，ℎ = ，
1 8 2 7
24√5 45√5
∴ℎ + ℎ =3√5+ = ．
1 2 7 7
【点睛】此题考查二次根式的应用，关键是根据海伦公式，利用二次根式的计算解答．
